第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想
学而思秘籍小学数学思维培养教程八级答案
学而思秘籍小学数学思维培养教程八级答案注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
丘成桐考试题及答案讲解
丘成桐考试题及答案讲解一、选择题1. 以下哪项是丘成桐的数学成就？A. 证明了费马大定理B. 证明了哥德巴赫猜想C. 证明了卡拉比猜想D. 发现了黎曼猜想的证明方法答案：C2. 丘成桐教授在哪所大学获得了博士学位？A. 哈佛大学B. 麻省理工学院C. 斯坦福大学D. 牛津大学答案：A二、填空题3. 丘成桐教授是_________国籍的数学家。
答案：中国4. 丘成桐教授的主要研究领域是_________。
答案：微分几何三、简答题5. 简述丘成桐教授的主要贡献。
答案：丘成桐教授的主要贡献包括证明了卡拉比猜想，为微分几何领域做出了重大贡献。
他还提出了丘成桐空间的概念，对数学和物理学的交叉领域有着深远的影响。
四、计算题6. 假设有一个曲面S，其高斯曲率为K。
如果曲面S上任意一点P的切平面在P点的法向量为n，证明曲面S在点P处的曲率是K。
答案：根据高斯曲率的定义，曲面S在点P处的曲率K是曲面S在P 点的两个主曲率k1和k2的乘积，即K = k1 * k2。
在微分几何中，曲面S的高斯曲率可以通过第二基本形式来计算。
设曲面S的参数表示为r(u, v)，则曲面S在点P处的法向量n可以通过r_u × r_v来计算，其中r_u和r_v分别是r对u和v的偏导数。
根据第二基本形式的公式，可以推导出K的表达式，并证明其与k1和k2的关系。
五、论述题7. 论述丘成桐教授在数学教育和数学普及方面所做的工作。
答案：丘成桐教授不仅在数学研究领域取得了卓越成就，还在数学教育和普及方面做出了巨大贡献。
他积极参与数学竞赛的组织和评审工作，推动了数学竞赛的发展，激发了青少年对数学的兴趣。
此外，丘成桐教授还通过撰写科普文章、举办公开讲座等方式，向公众普及数学知识，提高公众的数学素养。
他的工作不仅提升了数学在社会中的地位，也为数学的未来发展培养了大量人才。
陈省身数学探索与应用能力等级测试
陈省身数学探索与应用能力等级测试活动是为促进青少年爱数学、学数学、用数学而设，它以九年义务教育大纲为考核准则，以国家课程标准为命题依据，充分体现“数学好玩”、“数学之美”、“数学有用”的命题理念。
陈省身数学探索与应用能力等级测试由等级测试委员会统一命题、统一报名、统一测试、网上统一评审，对测试合格的学生颁发相应级别的考级合格证书。
一、测试时间每年进行两次测试，第一次为每年6月份报名，暑假期间测试；第二次为每年12月份报名，寒假期间测试；具体测试时间根据每年放假时间确定。
二、等级设置智力数学：根据不同级别书面考试的成绩来确定成绩，小学级别设为一至六级，分别对应小学一、二、三、四、五、六年级，初中设为七至八级，分别对应初中一、二年级，高中设为九至十级，分别对应高中一、二年级。
每个级别的等级按照成绩来评定，测试卷满分150分，80分（含80分）以上者为合格，80分（不含80分）以下为不合格。
合格以上等级分为：优秀、良好、合格三个等级，优秀不超过总人数的10%，良好不超过总人数的20%，可以跨级别参加测试。
趣味益智游戏：将根据书面考试正确率和时间；动手操作的准确率和速度来确定等级，参加对象可以是大中小学生和成人，共分9个等级。
三、测试内容设置智力数学和趣味益智游戏的测试分别设有10个级别，高级别的测试内容涵盖低级别的内容，以考核个人能力为主，并适当拓宽知识面，测试形式为书面测试。
智力数学题目分填空、选择和解答三种类型。
趣味益智游戏有书面考试和操作两种类型。
四、等级测试大纲智力数学一级（小学一年级）大纲摆水杯和圆片；找规律（找简单的数字和图形规律）；捉迷藏分馒头；摆扣子变图形；火柴棍拼图形；组数字比大小；分苹果比多少；摸球游戏；认识十进制；填写识字框；趣味数字；有趣的图形；数常见的图形的个数（包括点、线段、角、三角形、长方形）；10以内加法和减法简单计算；简单智巧问题，了解简单代换；简单推理；简单应用；简单操作。
第1~6届启智杯真题+答案
6．已知 a 1 1 1 23
1 ，b 1 2 4 5 7 8
672
369
2014 2015 ．求 a b 的值，写出计算过程． 2016
7．下图左边是一个 4 4 的正方形去掉六个1 1的小正方形后剩下的“十字”形图形，右边的六个图形也是有 1 1的小正方形拼成的图形，这些图形中，选择两块可以在平面上移动（可转动，但不翻动）拼成左边“十 字”形图形，请把所有可能选出两块的拼法画在“十字”形图形上，并标出拼图组件所对应的字母．
7．在一个孤岛上生活着三种怪物：奇虎、奇狮、奇豹，数量分别为 2010、2015、2020 个．这些怪物有一种 古怪的习性：它们任何两种怪物一旦见面，就双方都变成第三种怪物（比如，一个奇虎和一个奇狮见面，就 都变成奇豹），见一种怪物见面则不会产生变化．问，如此下去，它们是否有可能到某种时刻全部变成同一 种怪物？请说明理由．
10．右边乘法算式中，只有四个位置源自的数已知，它们分别是 2，0，1，5，请你在空白位置填上数字，使 得算式能够成立，写出所有可能成立的算式．
3
11．如下图，在正方形 ABCD 的四个顶点 A 、 B 、 C 、 D 上按照顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶 点 A 、 B 上分别标注数 1、2，之后将 AB 两点的标注数之和（1+2=3）标注在下一个顶点 C 处，再将 BC 两 点的标注数之和（2+3=5）标注在下一个顶点 D 处．接下来再把 A 点的标注数 1 擦去，将 CD 两点的标注数 之和（3+5=8）标注在 A 点，如此下去，请问：对 A 点进行第 2015 次标注的数被 3 除的余数是多少？说明 你的依据．
2015 深圳市第 6 届“启智杯”数学思维竞赛题（A1 中年级组）
浙江省2023-2024学年第一学期北斗星盟阶段性联考数学答案
2023学年第一学期浙江北斗星盟阶段性联考高二年级数学参考答案选择题题号123456789101112答案BCDCDBABABBCDCDACD填空题13.214.515.143416.⎥⎦⎤ ⎝⎛210，8.点M 在线段1BC 上运动，即动线段DM 在D BC 1∆内运动，动线段DN 在1DCC ∆内运动，动线段MN 在1BCC ∆内运动，以1BCC ∆为基准，将D BC 1∆和1DCC ∆翻折使其与1BCC ∆共面，如图所示：其中D BC 1∆翻折至21D BC ∆，1DCC ∆翻折至31D CC ∆，在四边形23121==D C D C ，312D C D ∠，由余弦定理可求得1332+=D D 11.()0，a H -，()b M λ，0，abk HM λ=；()0，a H ，()b ua a N --，，a b k NF μ=；对于AB 选项，1-==u k k NFHMλ，此时P 的轨迹既不是双曲线，也不是椭圆，AB 均错；对于C 选项，22a b k k NF HM =⋅，此时P 的轨迹既是双曲线（顶点除外），C 对；对于D 选项，22ab k k NFHM -=⋅，此时P 的轨迹既是双曲线（顶点除外），D 对；12.nn a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=413，116136433-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n n S ，故A 对，B 错；对于C 选项，{}n S 的前2023项和为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-11613143n ，小于43，C 对；对于D 选项，记阴影三角形的最小角为θ，即存在正整数k n ，，使得πθk n 2=（转动k 圈），其中1327cos =θ，∴26232cos =θ，……，发现（猜测）θn cos 中的13无法约去，0cos ≠θn ，D 错；14.取AB ，AD ，1AA 为一组基底，0=⋅AD AB ，211=⋅AA AB ，211=⋅AA AD ，5===15.记2015年初牛的存栏数为12001=a ，则2024年初牛的存栏数为10a ，100009.12001+⋅=-n n a ，∴1434100009.1200910≈+⋅=a 16.经分析，椭圆上只有右顶点()0，a 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛02，cP 的距离最小，设)(y x Q ，是椭圆上的点，[]a a x ，-∈，2222222242b c cx x a c y c x PQ ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，对称轴是c a x 22=，定义域是[]a a x ，-∈，∴ca a 22≤，解得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈210，e 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(一)代数--观察与归纳(含答案)
第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（一）代数---观察与归纳【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力1．发散性思维能力：直觉思维——数学直觉和数学灵感；形象思维——数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维——形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、从个别事例开始，先观察、研究这类问题的几个简单的、特殊的情况的共同特征，通过逆推、比较、分析，从中发现一般规律，找到解决问题的途径和方法，叫做归纳思维同步练习1．找规律填数（1）30、36、31、40、32、44、（）、（）（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（），（）【参考答案】（1）30、36、31、40、32、44、（33 ）、（48 ）（2）2, 6, 4, 12, 10, 30, 28，（84 ），（82 ）乘3减22．根据规律填数。
43×101=4343 29×101=292951×101=（）86×（）=8686（）×101=7272 （）×（）=9494【参考答案】51×101=（5151 ）86×（101 ）=8686（72 ）×101=7272 （94 ）×（101 ）=94943．根据规律填数。
67×67=4489667×667=4448896667×6667=（）66......67× 66......67=44......488 (89)【参考答案】101个4，100个84．观察下面的几个算式,找出规律：1＋2＋1=4,1＋2＋3＋2＋1=9,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16,1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25,……利用上面的规律,请你迅速算出：1＋2＋3＋……＋99＋100＋99＋……＋3＋2＋1=________.【参考答案】1002=100005. 一串分数按规律排列：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51……，那么，第100个分数是多少？ 2011是排列中的第 个分数。
第一届启智杯真题及答案详解
7. 解：不必问月球赤道的半径是多大，也用不着做计算，头顶只比脚底多走的路程还是只有 18.84 米。 因为在刚才解答环绕地球旅行的问题时，地球赤道的半径在计算过程中消去了，计算结果与脚底圆周 的半径无关。 8. 解：实验归纳：在 n 刀的基础上再增加一刀，就增加了 n 块。共 37 个
9. 解：如图，假定此人在 P 点遇到接他的汽车，也就 是说，与往常相比，汽车少车两个 PB（一个来回） ， 结果少用 10 分钟， 说明走一个 PB 需 5 分钟.汽车到单 位应是 5 点钟，那么到 P 点是 4 点 55 分，也就是，此 人 4 点开始从办公室出来， 4 点 55 分在 P 点遇到汽车， 共走了 55 分钟。
6．商店规定 4 个空汽水瓶可换一瓶汽水，某班 28 位同学春游，他们至少买多少瓶汽水才能确保每人 有一瓶汽水喝？
1
理科教研部
7．一位 3 米高的巨人，沿赤道环绕地球步行一周。那么他的脚底沿赤道圆周移动了一圈，他的头顶画 出了一个比赤道更大的圆。已知地球赤道的半径是 6371 千米。在这次环球旅行中，这位巨人的头顶比 他的脚底多走了多少千米？ 巨人的脚底走过的圆， 半径是 6371 千米。巨人的身高是 3 米，所以他的头顶走过的圆，半径增加 3 米。 都用千米做长度单位，半径增加的数量就是 0.003 千米。取圆周率的近似值为 3.14，那么两圆周长的 差=3.14×2×(6371＋0.003)-3.14×2×6371=3.14×2×0.003=0.01884(千米)=18.84(米)。 结论是：环绕地球一周，巨人的头顶只比脚底多走 18.84 米。 如果这位巨人打算再环绕月球表面步行一圈，那样一圈走下来，他的头顶比脚底多走了________ 千米呢？ 8.我们知道：1 刀可以把一个蛋糕切成两块，2 刀最多可以把一个蛋糕切成四块，那么 8 刀最多可以把 一个蛋糕切成________块。
2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三上学期8 月联考数学试题及答案
数2025届高三年级八月智学联考学命题学校：黄石二中一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2,ln(1|0)2|A x B x x x y x -=-≤==-，则)(B C A R ⋂（）A ．[)1,1-B ．[]1,1-C ．(]1,2D ．()1,+∞2.若复数z 满足11i izz -=+-，i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量||3,|||2|a a b a b =-=+，则||a b += （）AB ．2CD ．34.若1nx -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中51x 的系数为（）A ．8B ．28C ．70D ．2525.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE AC ，所在圆台的底面半径分别是1r 和2r ，且15r =，210r =，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为（A．3B．3C．3D．6.已知函数()()2x mf x m +=∈R 为偶函数，则()2log 0.8a f =，)3(2.0f b =，c f=的大小关系为（）A ．a b c <<C ．a c b<<7.已知函数22()2cos (sin cos )(0)f x x x x ωωωω=-->的图象关于直线π12x =轴对称，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的值为（）A ．12B ．1C ．32D ．28.已知抛物线C ：212x y =和圆22:4440M x y x y +--+=，点F 是抛物线C 的焦点，圆M 上B ．c <a <b D ．b <c <a的两点,A B 满足2AO AF =，2BO BF =，其中O 是坐标原点，动点P 在圆M 上运动，则P 到直线AB 的最大距离为（）A．2BC ．24+D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是（）A ．极差是4B ．众数小于平均数C ．方差是1.8D ．数据的80%分位数为410.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在矩形ABCD 内（包括边界）的动点E 始终满足1D E与平面ABCD 所成的角是4π，则下列结论正确的是（）A ．多面体111BCD ABCD -的体积为2030.9311.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()g x ，()2f x +和()1g x +都是奇函数B ．动点E 运动轨迹的长度为πC ．不存在点E ，使得平面AB 1D 1//平面DEC 1D ．在正四面体D 1-AB 1C 的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以是，A ．()g x 关于点()1,0对称B ．()()0f x f x +-=C ．()20251g =D ．()202400k f k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在∆ABC 中，1cos 7A =-，7AB =，8BC =，则ABC 的面积是______．13.数列{}n a 是等差数列，且满足142n n n n S S a +=+-+，则1a =________．14.已知双曲线()222210，x y a b a b-=>的左焦点为F ，过坐标原点O 作直线与双曲线的左右两支分别交于,A B 两点，且4FB FA = ，2π3AFB ∠=，则双曲线的渐近线方程为_________．f (1)=1，则下列说法正确的是（）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，,//PB PD AD BC =，AB BC ⊥，四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）AB =，22BC AD ==，平面PBD ⊥平面ABCD ，点Q 在AB 上，PB CQ ⊥．(2)若四棱锥P ABCD -的体积是332，求二面角P CD A --的余弦值16.（本小题满分15分）已知函数()1ax y f x e +==，x R ∈．(1)若12a =，求过原点且与()y f x =相切的切线方程；(2)若关于x 的不等式()2f x x e >+对所有()0,x ∈+∞成立，求a 的取值范围．17.（本小题满分15分）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X （单位：元）服从正态分布()2330,25N ．为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，(1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额X 在()305顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动．对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）．每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题．若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题．+∞，内的人数（结果保留附：若()2,X N μσ ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈．(2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，A 类题中的两次答题机会答对的概率都是34，B 类题中的两次答题机会答对的概率都是23，且每次答题相互独立．若答题结束后可减免的现金数额为X 元，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分17分）椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆上的点到焦点的最短距离是1，点A 为椭圆的左顶点，过点()4,0P 且斜率为()0k k ≠的直线交椭圆于B ，C 两点．(1)求E的方程；(1)求AQ :QB 的值；整数）；(2)直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点，且MN =k ．19.（本小题满分17分）若项数为()3m m ≥的数列{}n a 满足两个性质：①()*11,N 2,3,,i a a i m =∈= ；②存在{}2,3,,1n m ∈- ，使得{}11,2,1111,,12k k k n a a n k m +⎧≤≤-⎪∈⎨⎧⎫≤≤-⎨⎬⎪⎩⎭⎩，并记{}{}max 是的最大项,1=≤≤i k M i a a k n ．则称数列{}n a 具有性质Ω．(1)若44,2m a ==，写出所有具有性质Ω的数列{}n a ；(2)若2025m =，202516a =，求{}n a 的最大项的最大值；(3)若20252M a =，1m a =，且{}n a 满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足1s t M ≤<≤的项s a 和t a ，在{}n a 的余下的项中，总存在满足1p q M ≤<≤的项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ⋅=⋅；（ⅱ）对于满足M s t m ≤<≤的项s a 和t a ，在{}n a 的余下的项中，总存在满足M p q m ≤<≤的项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ⋅=⋅．求满足上述性质的m 的最小值．一、选择2025届高三年级八月智学联考数学答案题12345678B A D DCACA二、多选题91011ACABDABD三、填空题：12、13、214、23y x=±15.【详解】（1）证明：过点P 作直线PO BD ⊥于点O ，因为平面PBD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD，CQ ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CQ ，PB CQ ⊥，所以CQ BD ⊥．由四边形ABCD 是直角梯形，且22,AB BC AD AB BC ===⊥．在直角ABD △中，2BD ==，可得π2,3DC BCD ∠==，从而BCD △是等边三角形，CQ BD ⊥，3CBD π∠=，所以6BCQ π∠=．从而tan 2tan6BQ BC BCQ π=⋅∠==AQ AB BQ =-=:1:2AQ QB =（2）解：因为PB PD =，所以O 是BD 的中点，连接OC ．因为平面PBD⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，所以PO ⊥平面ABCD ，113322P ABCD ABCD V S PO PO -=⋅=⋅=以O 为原点，以,,OB OC OP所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在等边BCD △中，OC =，如图，()()()()1,0,0,0,,1,0,0,0,0,3B C D P -，可得,(1,0,3)3)PD PC =--=-，设平面PCD 的一个法向量为1(,,)n x y z = ，则113030n PD x z PCz n ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，解得3,x z y =-=，法向量1(n z =- 令1z =得，()1n =- ，而()20,0,1n =是平面ABCD 的一个法向量，所以二面角P CD A --的余弦值1212cos 13n n n n θ⋅==⋅ 16.【详解】（1）若12a =，设切点横坐标是t ，则切线斜率()1212tk f t e +='=，切线方程是()112212tt y ee x t ++-=-，因为切线过原点，所以()11221002t t e e t ++-=-，解得，2t =，所以切线方程是2e y =四、解答题，所以PO =3．．x ；②若0a >，则()（2）首先注意到f (0)=e ，g (x )=eax +1-2x +e ，x >0，g '(x )=ae ax +1-2，①若a ≤0，则g '(x )<0在x >0时恒成立，故g (x )单调递减，则对所有x >0，g (x )<g (0)=0，不满足题意，故舍去；12ax g x a ea +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，令()<0g x '得，12ln 1x a a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭；令()>0g x '得，12ln 1x a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭．所以，()g x 在12,ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，()g x 在12ln 1,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增．（ⅰ）若20a e <<，则2ln 1a ≥，即12ln 10a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以()g x 在120,ln 1a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，12ln 1,a a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，则()()min12ln 100g x f f a a ⎛⎫⎛⎫=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不满足题意，故舍去；（ⅱ）若2a e ≥，则2ln 1a≤，即12ln 10a a ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，则对所有0x >，综上所述，a 的取值范围是2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．17.【详解】（1）由题意()305P X >()()11110.68270.841352P X μσ=-≤-≈--≈，若某天该商场有200位顾客，估计该天消费额X 在()305+∞，内的人数为0.84135200168.27168⨯=≈；（2）设X 的取值为0，10，20，则331(0)114416P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31113115(10)433443348P X ==⨯⨯+⨯⨯⨯=，(2)1(05(16))P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为：X 01020P11654856数学期望155425()010*********E X =⨯+⨯+⨯=．18.【详解】（1）由椭圆上的点到焦点的最近距离是1，故1a c -=，则2221a c a b c -=⎧==+⎪⎩解得2a =，b =，1c =，即椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设()11B x y ，、()22,C x y ，由题可知，()20A -，，则1112y k x =+，g (x )>f (0)=0，符合题意．2222y k x =+，所以()1212121224y y k k x x x x ⋅=+++①.由题意，设BC 所在的直线方程为()4y k x =-，联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得，()2222343264120k x k x k +-+-=，且()()()22223244364120k k k ∆=--+->，解得102k <<依据韦达定理，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -⋅=+，设直线AB 的方程为()1122y y x x =++，直线AC 的方程为()2222y y x x =++，则依题设，11642y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，、22642y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，，()()112244y k x y k x =-=-，，则()()()121212121212121212121212126661261236363622242424y y y x y y x y kx k x x MN k x x x x x x x x x x x x x x +----=-===⨯+++++++++++，即3636MNk k ==36MN k ===MN ==13k =±，满足0k <<综上所述，直线的斜率13k =±．19.【详解】（1）{}n a 有三种结果：1，1，2，2或1，2，2，2或1，2，4，2；（1）当2025m =时，{}2,3,,2024n ∈ ．由1211211,12,,12,12n n n n a a a a a a a ---=≤≤≤≤≤≤ ，累乘得112n n a -≤≤①；又由202320242024112202512,12,,12,12,n n n n a a a aa a a a +++≤≤≤≤≤≤≤≤ ，202520251a a ≤≤，累乘得2022055212n n a a -≤≤②；将①②相乘得20222024512n a a ≤≤，又*n a ∈N ，202516a =，所以101412n a ≤≤.所以数列{}n a 的最大项的最大值为10142，满足条件的数列为()(1202921,2,,101521016,1017,,2n n nn a n --⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 因为数列{}n a 满足：当11n M ≤≤-时112n n a a +≤≤，11a =，所以202a ≤≤，又因为当11i M ≤≤-，都有i a N *∈，所以21a =或22a =，当22a =时，432a a ≥≥，此时12342a a a a ⋅=<⋅，这与在剩下的项中总存在满足1p q M ≤<≤的项p a 和q a ，使得s t p q a a a a ⋅=⋅矛盾，所以21a =，类似的，必有31a =，41a =，52a =，62a =，由s t p q a a a a ⋅=⋅得前6项任意两项之积小于等于4时，均符合，要使得m 值要尽量小，则需要每项尽可能12合题意．（3）①讨论项数满足1≤k ≤M 025)；的情况：大，且则a5⋅a6=4=a1⋅a7，a7=22，同理，a8=23，a9=24，⋯，a M-6=22023，由对称性得最后6项为a=a M-1=a M-2=a M-3=22025，a M-4=a M-5=22024，当{a n}中间各项为公比为2的等比数列时，可使得M值M最小，且M的最小值为M min=6+2022+6=2034，满足已知条件．②讨论项数满足M≤k≤m的情况：类比①可知a M=a M+1=a M+2=a M+3=22025，a M+4=a M+5=22024，a M+6=22023，a M+7=22022，⋯，a m-7=23，a=22，a m-5=2，a m-4=2，a m-3=a m-2=a m-1=a m=20=1．m-6综上所述，m的最小值m min=2034⨯2-1=4067．故答案为：4067．。
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第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训(八)几何--类比与猜想第八届“启智杯”数学思维能力竞赛集训（八）
【备注】一、考察的思维品质考察数学思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性与批判性。
二、考察的思维能力 1．发散性思维能力：直觉思维――数学直觉和数学灵感；形象思维――数学表象和数学想象。
2．收敛性思维能力：逻辑思维――形式逻辑、数理逻辑、辩证逻辑。
3、面临两个个体，其中一个性质清楚，另一个有待认识，于是对这两个对象进行比较，通过两个个体中若干相同或相似之处，类比猜想这两个人个体在其它方面的相同或相似，实现对另一个对象的合情判断
1.有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，全程350公里，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。
如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？【参考答案】小鸟飞行时间与两辆车的相遇时间相同，即：350÷（15＋20）=10（小时），则小鸟飞行了10×30=300（千米）。
2.如果2元钱一瓶汽水，喝完后五个空瓶换一瓶汽水，问：你有40元钱，最多可以喝到几瓶汽水？【参考答案】8元钱可以买4瓶却能喝5瓶，则40÷8=5，5×5=25（瓶）。
3. 在一块正方形纸上剪下一个宽为0.5分米的长方形纸条，剩下的面积为平方分米，剪下的长方形纸条的面积是__________平方分米。
【参考答案】此题用弦图来解：如图，设原正方形的边长为a,则剪下一个长方形纸条后剩下部分的长为a，宽为（a－0.5），那么，图中存在这样一个关系：（2a －0.5）2＝ 0.52，则a＝，那么剪下的长方形纸条的面积S＝×0.5＝＝1 （dm2）
4.一个纸箱里装有2013张小卡片，上面分别写着1～2013这2013个自然数，从纸箱中任意摸出若干张小卡片，然后算出这些卡片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新卡片上放入纸箱中，经过若干次这样的操作后，纸箱中还剩下一张卡片，这张卡片上的数是多少？【参考答案】每次操作都不改变纸箱中所有数之
和除以100的余数，所以最后一张卡片上的数等于1～2013的和除以100的余数。
（1＋2＋…+2012＋2013）÷100＝2027091÷100＝20270……91，所以这张卡片上的数是91.
5.国庆期间，某酒店在大厦的外墙周围安装了2013个霓虹灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这2013个灯泡按1～2013编号，它们的明暗规则是：第一秒，全部灯泡变明；第二秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由明变暗；第三秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的明暗状态，即暗的变明，明的变暗；……同样，第n秒凡是编号为n 的倍数的灯泡改变原来的明暗状态。
这样继续下去，到第2013秒时，还有多少个灯泡是明的？【参考答案】某个灯泡，如果它的明暗变化的次数为奇数，那么它是亮的。
根据题意可知，号码为N的灯泡，明暗变化的次数等于N的因数的个数，而如果N的因数的个数是奇数，则N一定是平方数。
所以第2013秒时，那些编号是平方数的灯泡是亮的。
因为12，22，32，…，442＝1936�2013�452＝2025，所以第2013秒时，还有44个灯泡是明的。
6.如图，梯形ABCD的对角线MC、BD相交于点O，已知AB＝10cm，CD ＝6cm，梯形ABCD的面积为24cm2，那么三角形BOC的面积是多少？【参考答案】∵A B�sCD＝OB�sOD＝10�s6＝5�s3，
∴S△ABD�sS△BDC＝S△BOC�sS△DOC＝5�s3，∴S△BDC＝24× ＝9（cm2）,S△BOC＝9× ＝（cm2）。
7.从一个长、宽、高恰好是三个连续自然数的长方体中截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和为72厘米。
原来长方体的体积是多少立方厘米？【参考答案】如图，长方体截去一个最大的正方体后，棱长增加2个高，那么根据棱长和公式，4（a＋b＋h）＋2h=72，得2a＋2b＋3h=36，又由于长、宽、高是三个连续自然数的和，解得a=4，b=5，h=6，所以长方体的体积＝4×5×6＝120（立方厘米）。
7.将一块正方形的纸片裁成面积相等的四块，写出八种裁法（用图形表示）。
提示：题目的要求是“裁成面积相等的四块”，因此，所提供的解法必须具有可操作性。
【参考答案】
8.能否把一个正方形分割成个等腰直角三角形，其中任意两个三角
形都不相同？（经过平移、旋转、翻折后可以重叠的视为相同的三角形）【参考答案】
9.已知是等腰三角形, 过的一个顶点的一条直线, 把分成两个小三角形, 如果这两个小三角形也是等腰三角形, 试求出各内角的度数. 【参考答案】
（1）900,450,450；（2）1080，360，360；（3）360，720，720；（4）（25 ）0，（77 ）0，（77 ）0
10.如图所示的立体图形由9个棱长为1cm的立方块搭成，请问这个立体图形的表面积为多少？【参考答案】从上、下、左、右、前、后等到的这个立体图形有表面的面积分别为5cm2，5cm2，5cm2，5cm2，6m2，6m2，总和为32cm2. 11.剪刀沿图中小方格的边界把4×4正方形格纸剪开成形状、大小都相同的两部分，给出五种不同的剪法。
【参考答案】
12.左图给定的是纸盒外表面，右图中哪一项能由它折叠而成？【参考答案】答案：D，左边的纸盒外表折叠得到左边的图形，A项中右面的两条线相反，A错误；B项右侧错误，C项的斜线方向错误；D项可由上边图象折成。
13.左图盒子展开将得到右图选项中那个图形？【参考答案】答案：B，给定的图形上、下面的两个阴影三角形的三边是对应平行的。
A、B项的图形排列一致，只需将小阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致，分析可知，B项满足，是正确答案；C、D项的图形排列一致，只需将阴影三角形的面上下翻转，看是否与大阴影三角形方向一致即可。
分析可知，都不满足。
14.一个边长为5厘米的正方体，它是由125个边长为1厘米的小正方体组成的。
P为上面ABCD的对角线的交点。
用一个平面分别通过P、E、F三点的平面、P、F、G三点的平面、P、H、G三点的平面、P、H、E三点的平面把正方体切开，求最后剩下的立体图形中，包括几个完整的棱长是1厘米的小正方体？【参考答案】在ABCD面中最后只剩下P点，底面EFGH是完好的。
连接点P与E、点P与F、点P与G、
点P与H的线都是直线，所以剩下的立体图形是底面为正方形的正四棱锥（如图）。
从正侧面看，从下数第一层3×3＝9（个），第二层是3×3＝9（个），第三层是1个，第四层是1个，合计是：9＋9＋1＋1＝20（个）。
15.如图，一个正方体是由125块体积相等的黑白相间的小正方体拼成的，那么露在表面上的黑色正方体的个数是多少？【参考答案】解法一：表面每个面有13个，由六个面有13×6=78（个），又由于棱上有12个都计算过两次，顶点上8个都计算过三次，所这个正方体的表面共有黑色小正方体78－12×1－8×2＝50（个）解法二：三个面：8个；两个面：1×12=12个；一个面：5×6=30个。
共：
8+12+30=50（个）。
16.马老师让全班49名同学每人手拿一张1～49的不同号码牌，让他们围坐成一个圆圈，使相邻两个同学的号码的乘积小于100，问：这个圆圈最多只能坐多少人？【参考答案】如图：最多只能坐18人。
（答案不唯一）
17.公园中一块草坪（如图），其中四个角上各有一棵大古树，现在园林处根据安排要求把这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，并使扩大后的草坪为平行四边形，试问这个想法能否实现？若能，请你设计出草图并说明画法。
否则说明理由。
【参考答案】能，分别过点A、C作BD的平行线，过点B、D作AC的平行线得到一个平行四边形且原草坪的面积扩大一倍。
18.一个圆形滚动（如图），它从A位置开始，滚过与它相同的其它六个圆的上部，到达B位置，则该圆滚动了几圈？【参考答案】
滚动的圆与从左右到右的圆分别接触的圆弧长为（设一圆的周长为1）：，，，，，，在相邻两个圆之间滚过的弧长为，，，，所以该圆共滚过的圈数为：2× ＋4× =1 （圈）。