21.2 配方法解一元二次方程
配方法解一元二次方程
乙方 去角琴
注意能用直接开平方法求 开平方法
解的一元二次方程必须同时具备。 对于形如 ２：ｍ或（似＋凡） ＝ｍ（ａ＃Ｏ，ｍ≥０）的一元二次方程， 以下两个特点：（１）方程的一 即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边 边是未知数＿的平方或是含有未知是一个非负数，可用直接开平方法求解．当ｍ＞０时，方程有两个不 蓍霎二耋 常 方程 竺苎 根；当ｍ＝０时？方程有两个相等实数根；当ｍ＜０时，方程无
点拔 此方程左端是未知 解方程 ＝２５６・
数的平方，右端是一个常数，若将。 解 。． ｘ２＝２５６，
方程两端同时开平方，即可得到 ．・． ＝±Ｖ ＝±１６，
该方程的解． 即ｘｉ＝１６，Ｘ２＝一１６．
点拨 根据式子的特征， 将左边化成完全平方，右边是正
的常数的形式，再开平方，从而 得其解．同时注意开平方后各系 数符号的变化． 所给五个方程都可经适当 变形化成一个含未知数的式子 的平方等于一个正的常数的形 式．于是可用直接开平方法求解． 用直接开平方法解下列方程．
（１） ２－３２＝０；（２）４（ｘ一３）ｚ＇２５＝０；（３）（ｘ＋５）（ 一５）＝２５；
（４） （ ３） ＝１６；（５）丢（３ｙ－１） ＿８＿０．
解（１）移项，得２ｘ ＝３２，两边同除以２，得ｘ￣＝１６．
由平方根的定义，得ｘ＝－＋４，
． ． １＝４，９Ｃ２＝一４．
（２）移项，得
４（ －３） ＝２５，两边同除以４，得（ 一３）２． Ｚ，Ｄ・
由平方根的定义，得 一３＝±÷，
时间的利齿可以吞噬一切别的东西，而对真理却无能为力。——托马斯・赫胥黎
２９ Ｕ册
一元二次方程
・。・铂 。 ’
（３）原方程可化为ｘＺ－２５＝２５，移项得ｘ２＝５０．
由平方根的定义，得 ＝±５、／ ，
．－． １＝５、／ ， ２＝一５、／ ．
（４）两边同乘以６，得（），＋３） ＝９６．
由平方根的定义，得ｙ＋３＝±４、／厂 ，
．・．ｙ１＝２３＋４、／百，ｙ２＝一３—４、／百．
21.2.1配方法(1)教学设计
21.2 解一元二次方程
【本节分析】
本节是本章的核心内容，主要是一元二次方程的各种解法.其中的一元二次方程的配方法和应用一元二次方程知识理解应用问题是重点，而这两个重点又是教学过程中的难点.一元二次方程的解法，尤其是公式法是学好本章的关键.因此，本节又是全章的重点，是学好本章的基础.
一元二次方程的解法，课本介绍了四种，即直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法.
直接开平方法适用于x2=a或（x+m）2=a（a≥0）模式的方程.实际上，给出的一般方程只要存在实根，就可以用配方法转化为x2=a或（x+m）2=a（a≥0）的形式.例如，课本中将方程x2+6x+4=0转化为（x+3）2=5，因此配方法是直接开方法的延伸，而直接开平方法是配方法的基础.
在配方法解一元二次方程的基础上，很自然地推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，实际上就是对一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程实施配方法的结果.
对于三种解法，公式法可以是一种“万能”方法，只要≥0，将系数a，b，c代入公式即可求解.在教学中要注意一元二次方程中的a≠0这一前提条件.在配方时应强调方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”或在左端加上“一次项系数一半的平方”再减去“一次项系数一半的平方”， 实质上是方程的一种同解变形，这里必须反复训练方可达到学生熟练进行配方的目的，它也是推导求根公式的基础.
【学情分析】
学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程、二元一次方程、分式方程的解法，在此基础上本节课将从实际问题入手，得出一元二次方程的解法.
部分学生由于基础较薄弱，用一元二次方程解决实际问题有一定的难度，解决这类问题要以多练为主．
【课时安排】
7课时
21.2.1配方法（第1课时）
【教学目标】
1.使学生知道形如x2=a (a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；
配方法解一元二次方程 2
“配方法解一元二次方程”说课
于晓静：北京市十一学校 中学高级
一、教材的地位和作用
配方法是以配方为手段、以平方根定义为依据解一元二次方程的一种基本方法，其中所涉及的完全平方式、求一个非负数的平方根以及解一元一次方程等都是学生已有的知识与技能，为本节课的学习奠定了知识技能方面的基础。
本节在此基础上，通过经历探索解方程的过程，使学生进一步体会转化、归纳等数学思想，总结配方法的基本步骤。 配方法是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用，也 是进一步完善方程体系的有效载体。
二、教学目标
1 ．知识与技能：
（ 1）理解配方法的意义，会用配方法解数字系数的一元二次方程；
（ 2）在学习的过程，体会配方法的运用， 进一步发展符号感，提高代数运算能力。
2 ．过程与方法：
通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法。
3 ．情感与态度：
学生在独立思考中感受探究的兴趣，并体验数学的价值， 促进形成学好数学的自信心。
三、教学重、难点
重点：配方并运用配方法解二次项系数为数字系数的一元二次方程。
难点：发现并理解配方的方法。
因本节课中研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理添加条件进行转化，即 “配方 ”，所以 如何配方就成为本节课的学习重点与难点，如何找到对应的常数项成为解决问题的关键。 弄清楚配方法就是将方程变形为熟悉的能用直接开平方法求解的形式，在这里关键要掌握配方的方法，也就是配方法解一元二次方程的基本步骤，这是基本，也是关键。
四、教学过程设计
根据本节课的教学目标，教学过程设计为以下五个环节：
环节一：引出新知； 环节二：探索与发现；
环节三：归纳与概括；
环节四：巩固与应用；
环节五：回顾与反思。
环节一：引出新知
通过问题 1：具有什么结构特征的一元二次方程能用直接开平方法解？你能举出这样的例子吗？
21.2.1配方法解一元二次方程
1 21.2.2配方法解一元二次方程（1）
教学目标
1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
【课前预习】
导学过程
阅读教材第31页至第34页的部分，完成以下问题
解下列方程
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9
填空：
（1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2
（3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2
问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？
1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？
2、什么叫配方法？
3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 2 4、配方法的关键是什么？
用配方法解下列关于x的方程
（1）2x2-4x-8=0 （2）x2-4x+2=0 （3）x2- x-1=0 （4）2x2+2=5
总结：用配方法解一元二次方程的步骤：
配方法解一元二次方程.2一元二次方程的解法第二课时(配方法)
课题:17.2 一元二次方程的解法——配方法（第二课时）
教学目标 1.更加熟悉直接开平方法，理解配方法，会用配方法解一元二次方程。
2. 经历配方法解一元二次方程的学习过程，发展学生的观察、比较、联想、归纳的能力，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的意识。
3.在学习过程中，感受数学知识的获取过程及数学思想方法在解决问题中的应用。
重点：配方法解一元二次方程
难点：利用配方法将方程转化为完全平方式的形式
关键：对完全平方式的正确理解及灵活应用
学情介绍 上节课学习了直接开平方法解一元二次方程，在此基础上学习配方法，思维上易于接受。只是对于完全平方式知识有所遗忘，配方的过程存在难度，因此在课前要让学生完成对完全平方式知识的复习。
内容分析 教材首先给出一个方程，不能直接用直接开平方法解决，激发学生对本节内容的兴趣和学习欲望；随后通过探究活动掌握配方方法，将一元二次方程配方为直接开平方的形式；讨论二次项系数为1的情况后再讨论系数不为1的情况，提升学习的难度。在学习过程中体现数学思想在其中的应用。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动
一、 创设情境，引入新课
复习直接开平方法
解方程 （x+1）2=4
回顾直接开平方法解方程的过程 1. 利用直接开平方法解方程（x+1）2=4
2. 如何解x2+2x-3=0 通过比较（x+1）2=4
与x2+2x-3=0的关系引入本节课主题，激发学习的兴趣 将（x+1）2=4转化为一般形式，并与x2+2x-3=0作比较
二、 合作交流，探究新知
完成下列填空题：
(1) x2+2x+ 2=( + )2
(2) x2+4x+ 2 =( + )2
(3) x2+8x+ 2 =( + )2
(4) x2+10x+ 2 =( + )2
结合上述填空，你发现有何规律？ 复习完全平方式
引导学生观察一次项系数与常数项间关系
归纳：
222()()22ppxpxx
21.2.1配方法解一元二次方程 2
21.2.1 配方法解一元二次方程 预习案
【课标要求】
理解配法，能用配方法解数字系数的一元二次方程.
【预习目标】
1. 独立研读文本，找出配方法解一元二次方程的依据.
2.会解的一元二次方程.
【使用说明及学法指导】
1.先精读课本P5—P9，用红色笔进行勾画；再回答导学案中预习导学
设计的问题；
2.限时完成预习案，书写规范，找出自己的疑惑写在“我的疑惑
栏”，准备课上讨论质疑.
【预习导航】
1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方
根．这就是说，如果，那么 叫做a的平方根，记为.
2.利用平方根的定义解下列方程：
（1） （2）
3. 请你直接归纳出的根的情况：
4.观察下面的两个一元二次方程：
x2+10x+25=26 ①
x2+10x=1 ②
思考：（1）方程①的左边有什么特点？根据这个特点，解方程①.
（2）比较方程①和②，它们有哪些相同和不同？
（3）方程②的两边都加上哪个数，就能得到方程①？加的这个数是什么数的平方？
【我的疑惑】
12.2.1配方法解一元二次方程 探究案
【学习目标】
通过对配方法解一元二次方程过程的探索，总结出一般步骤.；会用配方法解一
元二次方程.
【使用说明及学法指导】
1.明确目标，独立认真地完成探究案，标注疑难；
2.积极参与合作探究，针对自己的疑问，各取所需，整理提升.
【探究点】探究配方法解一元二次方程的过程
问题一：我们已经会解方程，若解方程，能否把此方程转化为的形式来
解呢？
1.请你把方程的常数项移到方程的右边得：
2.请你观察，在方程两边加上怎样的数，使左边成为完全平方式？
3.请你观察，方程两边所添加的数与一次项系数之间有什么数量
关系？
4.请你写出方程的根.
问题二：当一元二次方程的二次项系数不是1时，该怎样用配方法求解？请你尝试解方程.
【归纳总结】用配方法解一元二次方程的步骤：
【巩固提升】
解下列一元二次方程：
(1) (2) （3）
【归纳总结】
【我的收获】
21.2.1 解一元二次方程(配方法)导学案
1 土城子中学___九__年级__数学____（学科）导学方案
课 题 21.2.1 解一元二次方程（配方法） 课 型 新授课
总课时数 3 时 间 9.5 第 1周第3课时
设计者 张晓梅 审核者 潘明玲
学习目标 1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方
2、理解配方法的根据就是直接开平方。
3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解
重点 熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方
难点 理解配方法的根据就是直接开平方
关键 掌握方法
教法 指导 练习 学法 自主，合作探究，展示
导 学 过 程 设 计
一、 复习回顾：12999 . c o m
1、若x2=a(a≥0)，则x =_______.
若（x+1）2=a(a≥0)，则x =_______，即 x1＝_______，x2＝________.
直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。
2、解方程：（1）、23270x （2）、2(3)25x
3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系
（1）、26925xx （2）、2616xx
2
2017- -2018学年度第二学期 二、 新课研讨：
1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。
2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ，再用直接开平方法求解。
3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。
（1）、26xx+ =(x ）2； （2）、2x+ +25=(x ）2
21.2.1配方法(直接开平方)解一元二次方程
1 21.2.1配方法（直接开平方法）解一元二次方程
主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课
学习目标：
1、 会用开平方法解形如)0()(22ppnmxpx或的方程。
2、 体会整体、转化、降次等数学思想。
3、 经历列方程解实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型。能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
学习重点：用开平方法解一元二次方程
学习难点：运用整体、转化降次等数学思想解决问题。
学习过程：
一 复习回顾
1、数0，1，2，3中是一元二次方程0232xx的解的是数 。
2、填空
（ ）²=9 （ ）²=94 （ ）²=1649 （ ）²=2
3、在空白处填上适当的数或式，使左右两边成立。
（1） =2)(ba （2） =2)(ba
（3）xx62 = 2)3(x （4）xx82 = （x - ）2
4、你能说出下列方程的根吗？说说你是怎么想的。
（1）252x （2）0162x （3）16)3(2x
二 新知探究
问题1，一桶油漆可刷的面积为1500平方分米，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
1、对照上面的解法，你认为应该怎样解以下方程？
（1）5)12(2x （2）12)5(32x
2
（3）016)4(2x （4）2962xx
三 小结与归纳
四 基础训练