第5章 Hopfield神经网络与联想记忆
第五章霍普菲尔德(Hopfield)神经网络
（2）极限环
（3）混沌现象
（4）状态轨迹发散
离散型 Hopfield神经网络
• 1982年,美国加州工学院J.Hopfield提出了可用作联想存储 器和优化计算的反馈网络,这个网络称为Hopfield神经网络 (HNN)模型,也称Hopfield模型.并用它成功地探讨了旅行商 问题(TSP)的求解方法。
HNN是一种循环NN,从输 出到输入有反馈连接. HNN有离散型和连续型 两种.
• 反馈NN由于其输出端有反馈到其输入端,所以,HNN在 输入的激励下,会产生不断的状态变化.
– 当有输入之后,可以求取出HNN的输出,这个输出反馈到 输入从而产生新的输出,这个反馈过程一直进行下去. – 如果HNN是一个能稳定的网络,则这个反馈与迭代的计算 过程所产生的变化越来越小,一旦到达了稳定平衡状态, 那么HNN就会输出一个稳定的恒值. – 对于HNN来说,关键是在于确定它在稳定条件下的权系数. – 应该指出,反馈网络有稳定的,也有不稳定的. • 对于HNN来说,还存在如何判别它是稳定网络,亦或是 不稳定的问题.而判别依据是什么,也是需要确定的.
在不考虑外部输入时,则有
j 1,2,..., n
n y j (t 1) f w i, j yi (t) θ j i 1
•通常网络从某一初始状态开始经过多次更新后才可 能达到某一稳态。使用异步状态更新策略有以下优点： （1）算法实现容易，每个神经元节点有自己的状态 更新时刻．不需要同步机制； （2）以串行方式更新网络的状态可以限制网络的输 出状态，避免不同稳态以等概率出现。 一旦给出HNN的权值和神经元的阈值，网络的状态转 移序列就确定了。
《hopfield神经网络》课件
神经网络的学习算法
1
Hebbian学习规则
根据同时激活的神经元之间的相关性来更新连接权重。
2
Delta规则
使用反向传播算法根据误差信号来调整连接权重，以逼近期望输出。
3
学习的稳定性
神经网络的学习算法可以保证网络的稳定性和收敛性。
神经网络的应用领域
1 模式识别
2 优化问题
通过学习和存储模式来实现模式识别和分类， 例如图像识别和语音识别。
《hopfield神经网络》PPT 课件
介绍《hopfield神经网络》的PPT课件，包含神经网络的基本概念与应用，学 习算法以及与其他神经网络的比较，展望神经网络未来的发展趋势。
Hopfield神经网络概述
Hopfield神经网络是一种用于模式识别和优化问题的反馈神经网络，基于神 经元之间的相互连接和信号传递。
Kohonen网络
Kohonen神经网络适用于聚类和自组织特征映射， 常用于无监督学习和可视化。
神经网络中的记忆与自组织
记忆
Hopfield神经网络可以学习和存储输入模式，并能够通过模式关联实现模式识别和记忆恢复。
自组织
神经网络中的神经元可以自动组织为有效的连接结构，以适应不同问题的处理和学习需求。
神经网络的基本形式
结构
Hopfield神经网络由神经元和它们之间的连接组成， 形成一个全连接的反馈网络结构。
激活函数
神经元通过激活函数将输入信号转换为输出信号， 常用的激活函数包括Sigmoid函数和ReLU函数。
反向传播算法
Hopfield神经网络使用反向传播算法来量函数
能量函数是Hopfield神经网络的核心概念，它通过计算网络状态的能量来衡 量模式之间的关联性和稳定性。
Hopfield联想记忆网络
% ------------------------standard number array-----------------------zero=[-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1;...-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1; -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;...-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;...-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 ;...-1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1;-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1];one=[-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1];two=[-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];three=[-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1;-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1];four=[ -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1];six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];point=[ -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1];nine=[ -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1; -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1;...-1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1; -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------ZERO=imresize(zero,20);subplot(3,3,1)imshow(ZERO)title('stand number')ONE=imresize(one,20);subplot(3,3,2)imshow(ONE)title('stand number')TWO=imresize(two,20);subplot(3,3,3)imshow(TWO)title('stand number')THREE=imresize(three,20);subplot(3,3,4)imshow(THREE)title('stand number')FOUR=imresize(four,20);subplot(3,3,5)imshow(FOUR)title('stand number')SIX=imresize(six,20);subplot(3,3,6)imshow(SIX)title('stand number')POINT=imresize(point,20);subplot(3,3,7)imshow(POINT)title('stand number')NINE=imresize(nine,20);subplot(3,3,8)imshow(NINE)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[zero;one;two;three;four;six;point;nine]';net=newhop(T);5%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;... % -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.05six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')10%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1]; % ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.1six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')20%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.2six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')30%干扰的程序：% ------------------------standard number array-----------------------six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% ----------------------plot standard number figure-----------------SIX=imresize(six,20);subplot(2,1,1)imshow(SIX)title('stand number')% ----------------------create hopfield net--------------------------T=[six]';net=newhop(T);% ------------------------------generate noise----------------------------% -------------------------noise array(fixed noise)--------------% six=[-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ;...% -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 ;... % -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1;...% -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1;-1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1];% -----------------------noise array(rand noise)-----------------rand('state',0);for i=1:100a=rand;if a<0.3six(i)=-six(i);endendno1=six;% -------------------------plot noisy figure---------------subplot(2,1,2)NO1=imresize(no1,20);imshow(NO1)title('noisy number')。
《hopfield神经网络》课件
图像识别实例
总结词
通过Hopfield神经网络，可以实现高效的图像识 别。
总结词
图像识别的准确率取决于训练样本的多样性和数 量。
详细描述
在图像识别实例中，可以将图像信息转化为神经 网络的输入，通过训练和学习，网络能够将输入 的图像信息与预存的图像模式进行匹配，从而实 现图像的快速识别。
详细描述
为了提高图像识别的准确率，需要收集大量具有 代表性的训练样本，并采用多种不同的训练方法 对网络进行训练，以增加网络的泛化能力。
神经元模型
神经元模型
Hopfield神经网络的基本单元是神经元，每个神经元通过加权输 入信号进行激活或抑制。
激活函数
神经元的输出由激活函数决定，常用的激活函数有阶跃函数和 Sigmoid函数。
权重
神经元之间的连接权重用于存储记忆模式，通过训练可以调整权重 。
能量函数
1 2 3
能量函数定义
能量函数是描述Hopfield神经网络状态的一种方 式，其值越低表示网络状态越稳定。
《Hopfield神经网 络》PPT课件
目录
CONTENTS
• Hopfield神经网络概述 • Hopfield神经网络的基本原理 • Hopfield神经网络的实现 • Hopfield神经网络的优化与改进 • Hopfield神经网络的实例分析
01 Hopfield神经网络概述
定义与特点
能量函数的性质
能量函数具有非负性、对称性、连续性和可微性 等性质，这些性质对于网络的稳定性和记忆性能 至关重要。
最小能量状态
训练过程中，网络会逐渐趋近于最小能量状态， 此时对应的模式被存储在神经元连接权重中。
稳定性分析
稳定性定义
第5章 Hopfield神经网络与联想记忆
第5章Hopfield神经网络与联想记忆前面介绍了前向网络及其学习算法，对于所介绍的前向网络，从学习的观点来看，它是一个强有力的学习系统，系统结构简单、易于编程；从系统的观点来看，它是一个静态非线性映射，通过简单非线性处理单元的复合映射可获得复杂系统的非线性处理能力；从计算的观点来看，它并不是一强有力系统，缺乏丰富的动力学行为。
反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计算能力。
1982年美国物理学家J. Hopfield提出的单层全互连含有对称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。
Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的Hopfield网络，称之为离散Hopfield网络。
而且Hopfield还将该反馈网络同统计物理中的Ising模型相类比，把磁旋的向上和向下方向看成神经元的激活和抑制两种状态，把磁旋的的相互作用看成神经元的突触权值。
这种类推为大量的物理学理论和许多的物理学家进入神经网络领域铺平了道路。
1984年，Hopfield设计与研制了Hopfield网络模型的电路，指出神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可用电子线路来模拟，称之为连续Hopfield网络。
用该电路Hopfield成功的解决了旅行商（TSP）计算难题（优化问题）。
Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里程碑。
把神经网络看作一种非线性的动力学系统，并特别注意其稳定性研究的学科，被称为神经动力学（Neurodynamics）。
Hopfield神经网络可看作一种非线性的动力学系统，所以为了方便介绍Hopfield神经网络，本章首先简单介绍神经动力学。
前面介绍的单层前向网络和多层前向网络，其思路均是先介绍网络模型再介绍相应的学习算法。
霍普菲尔德(Hopfield)神经网络概述
Hopfield网络的应用
组合优化 (TSP问题) 组合优化问题，就是在给定约束条件下， 求出使目标函数极小（或极大）的变量组 合问题。 将Hopfield网络应用于求解组合优化问题， 就是把目标函数转化为网络的能量函数， 把问题的变量对应于网络的状态。这样当 网络的能量函数收敛于极小值时，问题的 最优解也随之求出。
Hopfield网络的特点
单层反馈式网络
x1 o1 W x2 o2 … … xn
on
Hopfield网络的特点
灌输式学习方式 灌输式学习中网络权值不是通过训练逐渐 形成的，而是通过某种设计方法得到的。 权值一旦设计好就一次灌输给网络，不再 变动， 这种学习是死记硬背式的，而不是训练式 的。
Hopfield网络的特点
各神经元的状态在运行中不断更新
x1 o1 W x2 o2 … … xn
on
Hopfield网络的特点
首次引入能量函数
考虑了输入与输出的延迟因素
Hopfield网络的分类
根据激活函数的不同，可以分为： 离散型 Hopfield神经网络（DHNN） 1 netj ≥ 0 f(netj ) = sgn(netj ) = − 1 netj < 0 连续型 Hopfield神经网络（CHNN）
霍普菲尔德（Hopfield Hopfield） Hopfield 神经网络概述
旅行商问题(TSP)
旅行商问题（Traveling Saleman Problem， TSP）又译为旅行推销员问题、货郎担问题， 简称为TSP问题，是最基Байду номын сангаас的路线问题。
是指一名推销员要拜访多个地点时，如何 找到在拜访每个地 TSP问题点一次后再回 到起点的最短路径。
Hopfield神经网络ppt课件
2）保证所有要求记忆的稳定平衡点都能收敛 到自己；
3）使伪稳定点的数目尽可能的少； 4）使稳定点的吸引域尽可能的大。 MATLAB函数
[w,b]=solvehop(T);
.
23
连续性的Hopfield网络
CHNN是在DHNN的基础上提出的，它的原理
.
34
几点说明：
1）能量函数为反馈网络的重要概念。 根据能量函数可以方便的判断系统的稳 定性；
2）能量函数与李雅普诺夫函数的区 别在于：李氏被限定在大于零的范围内， 且要求在零点值为零；
3）Hopfield选择的能量函数，只是 保证系统稳定和渐进稳定的充分条件， 而不是必要条件，其能量函数也不是唯 一的。
1、激活函数为线性函数时
2、激活函数为非线性函数时
.
29
当激活函数为线性函数时，即
vi ui 此时系统的状态方程为：
U AU B 其中A 1 WB。
R 此系统的特征方程为：
A I 0 其中I为单位对角阵。通过对解出的特征值1， 2，， r 的不同情况，可以得到不同的系统解的情况。
.
霍普菲尔德（Hopfield） 神经网络
1、网络结构形式 2、非线性系统状态演变的形式 3、离散型的霍普菲尔德网络（DHNN） 4、连续性的霍普菲尔德网络（CHNN）
.
1
网络结构形式
Hopfield网络是单层对称全反馈网络，根据激 活函数选取的不同，可分为离散型和连续性两种 （ DHNN,CHNN）。 DHNN：作用函数为hadlim，主要用于联想记忆。 CHNN：作用函数为S型函数，主要用于优化计算。
.
19
权值修正的其它方法
异联想记忆Hopfield神经网络的模型_算法及性能
收稿日期: 2004 07 13 资助项目: 国家自然科学基金( 59877016) 作者简介: 姜惠兰( 1965- ) , 女( 汉) , 河北籍, 博士, 副教授, 硕士生导师, 主攻人工智能和电力系统故障分析与控制的研 究.
致使所建网络的记忆能力受到限制. 本文在分析 Hebb 规则学习算法的基础上, 以矩阵理论的原理为基础,
将算法进行了改进, 建立了异联想记忆 Hopf ield NN 的伪逆和广义逆学习算法, 它使样本正交的条件变得
宽松, 扩大了 NN 对原型样本的记忆, 进而为研究问题所建立的 联想记忆模式对 能够被记忆成网络的稳
3 异联想记忆 Hopfield NN 的学习算法
一个有效 NN 的联想记忆能力不仅依赖于它的模型 结构, 而且与所采用的 学习算法有关. 一般地,
Hopf ield NN 多采用 Hebb 规则, 它具有学习速度快和信息存储方便等优点, 但是它要求用于训练权值的 联
想记忆模式对 是一组正交的矢量集. 对于工程实际问题, 所构造的训练样本是很难满足这一苛刻的条件,
2005 年 5 月
文章编号: 1000 6788( 2005) 05 0101 07
系统工程理论与实践
第5期
异联想记忆 Hopfield 神经网络的模型、算法及性能
姜惠兰, 孙雅明
( 天津大学电气与自动化工程学院 , 天津 300072)
摘要: 对联想记忆神经网络( neural networks NN) 的特性进行了分析, 基于双向联想存储器 BAM 原理, 对
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稳定性和渐进稳定性定理
Lyapunov定理： 定理 1 若在平衡态 V 的小域内存在有界正函数 E(V)，该函数对时间的导数在区域中是有界非正函 数，则 V 是稳定的。 定理2 若在平衡态 V 的小邻域内存在有界正函数 E(V) ，该函数对时间的导数在区域中是有界负函数， 则 V 是渐进稳定的。 满足上述条件的标量函数E(V)称为平衡态的 Lyapunov函数。性和渐进稳定性，其定理如下：
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若E(V)是Lyapunov函数，(定理1)如果
d E (V ) 0 dt
V V
N维向量所处的空间称为状态空间， 状态空间通常 指的是欧氏空间，当然也可以是其子空间，或是类 似圆、球、圆环和其他可微形式的非欧氏空间。
如果一个非线性动力系统的向量函数 F(V(t)) 隐含地 依赖于时间t，则此系统称为自治系统，否则不是自 治的。
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稳定性和收敛性的定义:
定义1 平衡态 V 在满足下列条件时是一致稳定的， 对任意的正数 ，存在正数 , 当 || V (0) V || 。 时，对所有的 t 0 均有：
|| V (t ) V ||
定义2 若平衡态 V 是收敛的，存在正数 ， 满足 || V (0) V || ，则当 t 时 。
神经元可取二值{0/1}或{-1/1}，其中的任意神经元i与j 间的突触权值为 Wij，神经元之间联接是对称的，即 Wij= Wji，神经元自身无联接,即Wii=0。虽然神经元自 身无联接，但每个神经元都同其它的神经元相连，即 每个神经元都将其输出通过突触权值传递给其它的神 经元，同时每个神经元又都接收其它神经元传来的信 息，这样对于每个神经元来说，其输出信号经过其它 神经元后又有可能反馈给自己，所以 Hopfield 网络是 一种反馈神经网络。
Fi () 函数是包含自变量的非线性函数。为了表述方
d V (t ) F (V (t )) dt
如果满足： F (V ) 0 则称矢量 V 为系统的稳态或 平衡态。
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Artificial Neural Network
人工神经网络
竞 争 促 进 发 展
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协 同 形 成 结 构
V (t ) V
。、、、 合肥工业大学
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定义
定义3 若平衡态 V 是稳定的、收敛的，则该平衡 态被称为渐进稳定。 定义4 若平衡态 V 是稳定的，且当时间 t 趋向于 无穷大时，所有的系统轨线均收敛于 V ，则此平 衡态是渐进稳定的或全局渐进稳定的。
连续Hopfield网络成功的解决了旅行商（Traveling Salesman Problem，TSP）计算难题（优化问题）。 Hopfield网络是神经网络发展历史上的一个重要的里 程碑。
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j 1 j i
相应神经元i的输出或状态为：
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vi (t 1) f (ui (t ))
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其中的激励函数f (· )可取阶跃函数u(t)或符号函数 Sgn(t)。如取符号函数，则Hopfield网络的神经元 的输出vi(t+1)取离散值1或-1，即：
则平衡态 V 是稳定的. d (定理2)如果 E (V ) 0 dt
则平衡态
V V
V 是渐进稳定的。
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5.2.1 离散Hopfield网络模型
离散Hopfield网络是单层全互连的，其表 现形式有两种。
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神经动力学
动力学系统是状态随时间变化的系统。令v1(t), v2(t), …, vN(t) 表示非线性动力学系统的状态变量， 其中 t 是独立的连续时间变量，N 为系统状态变量 的维数。大型的非线性动力学系统的动力特性可用 下面的微分方程表示：
d vi (t ) Fi (vi (t )), dt
i 1,2, , N
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便可将这些状态变量表示为 一个N×1维的向量， 称为系统的状态向量. 可用向量形式表示系统的状态方程：
第5章Hopfield神经网络与联想记忆
5.0 前言 5.1 神经动力学 5.2 离散Hopfield神经网络 5.3 连续Hopfield神经网络 5.4 联想记忆 5.5 最优化计算 5.6 仿真实例
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z
1
z
1
z
1
z
1
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i
w w ji ij
j
图5.1 Hopfield神经网络结构
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5.0 前言
对于所介绍的前向网络， 从学习的观点来看，它是一个强有力的学习系统， 系统结构简单、易于编程； 从系统的观点来看，它是一个静态非线性映射，通 过简单非线性处理单元的复合映射可获得复杂系统 的非线性处理能力； 从计算的观点来看，它并不是一强有力系统，缺乏 丰富的动力学行为。
5.2 离散Hopfield神经网络
5.2.1 离散Hopfield网络模型 5.2.2 离散Hopfield网络运行规则
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这些定理要求Lyapunov函数E(V)是有界正函数，这 样的函数定义如下：函数E(V)在状态空间 中是有 界正函数，则对所有的 V 满足下列条件： （1）函数E(V)关于状态向量V中的每个元素是 连续偏 导的； （2） E (V ) 0 （3） E (V ) 0 if V V 。
5.1 神经动力学
1989 年 Hirsch 把神经网络看成是一种非线性动力学 系统，称为神经动力学（Neurodynamics）。 确定性神经动力学将神经网络作为确定性行为，在 数学上用非线性微分方程的集合来描述系统的行为， 方程解为确定的解。 统计性神经动力学将神经网络看成被噪声所扰动， 在数学上采用随机性的非线性微分方程来描述系统 的行为，方程的解用概率表示。
5.2.2 离散Hopfield网络运行规则
Hopfield网络按动力学方式运行，其工作过程为状 态的演化过程，即从初始状态按“能量” 减小的 方向进行演化，直到达到稳定状态，稳定状态即 为网络的输出。 Hopfield网络的工作方式主要有两种形式： （ 1 ）串行（异步）工作方式：在任一时刻 t，只有 某一神经元 i（随机的或确定的选择）依上式变化， 而其他神经元的状态不变。 （ 2 ）并行（同步）工作方式：在任一时刻 t，部分 神经元或全部神经元的状态同时改变。
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反馈神经网络是一个反馈动力学系统，具有更强的计 算能力。1982年J. Hopfield提出的单层全互连含有对 称突触连接的反馈网络是最典型的反馈网络模型。 Hopfield 用能量函数的思想形成了一种新的计算方法， 阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学 的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络 稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的 连接上，形成了所谓的离散Hopfield网络。
1 vi (t 1) 1
if wij v j (t ) bi 0
j 1 j i n