勾股定理的应用 (2)
勾股定理的应用 (2)
D
C
B
10尺 11尺 10尺
A
例1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形， 在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺， 如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边， 那么它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水 池的水深和这根芦苇的长度各是多少？
如图，某隧道的3.6m，宽3m满载 货物的货车能通过该隧道吗？
C
B
A
没办法，完全通不过
例2 .如图，某隧道的截面是一个半 径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m， 宽3m的货车能通过该隧道吗？
（必做）1、一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m， 若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙4m时，梯子的上端 恰好与窗户的下沿对齐，求梯子的长度。
1m
4m
（选做）2、小英想用一条36cm长的绳子围城一个直 角三角形，其中一条边的长度为12cm，求另外两条边 的长度。
水面D C
B
水池
A
有一个水池，水面是一个边长为6尺的 正方形，在水面正中央有一根9尺长的芦苇， 芦苇部分折断，尖端恰好落在池边的底部,求 折断处离水池底部有多高？
例2 .如图，某隧道的截面是一个半 径为4.2m的半圆形，一辆高3.6m， 宽3m的货车能通过该隧道吗？
太好了，顺利通过了
可惜，刚好通不过
勾股定理的应用(二)
用勾股定理建立方
C
AC+CD=AB+BD=30米
程，关键是找出三
边的关系，能用同 x
一个未知数表示未 D 知边。
30-x
10米
┏
B
A
20米
作业：书本P60练习第1、2题; 习题14.2第2、4题。 校本：勾股定理应用（二）
补充：儿童游乐园有一秋千，在平衡位置时，下端A离地面
距离AE为0.6米，当秋千荡到OA1位置时，下端A1离平衡位 置的水平距离A1B等于2.4米，A1离地面距离A1F为1.4米，求 秋千OA的长。
分析:(1)CF+BF=AF+FB=8
设BF=X,则CF=8-x
D
在RtΔCBF中，由勾股定理得
X 2 42 (8 X )2
解得X 3
E
3
C
O
X
4
21
SΔBCF=1／2 BF●CB=6 A
F
8-x B
(2)在RtΔABC中，由勾股定理易求AC＝ 80
在RtΔOFC中，由勾股定理易求得OF= 5
O
A
2.4米
B
A1
0.6米 A
1.4米
D
B
C
E
F
选做：如图，在△ABC中，AB=AC, D点在CB延长线上.
求证：AD2-AB2=BD·CD
（提示：作高构造直角三角形）
补充：如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在
一起,EF为折痕。若AB=8,BC=4.
(1)求△BFC 面积。 (2)试求以折痕EF为边长的正方形面积。
L
而两个直角边分别是2，3 B
那斜边一定是 13
八年级数学基础巩固与拓展提优：第二章 第10课时 勾股定理的应用(2)
第10课时勾股定理的应用(2)（附答案）【基础巩固】1．小强量得家里彩电荧屏的长为58 cm，宽为46 cm，则这台电视机的尺寸是 ( ) A．9英寸(23 cm) B．21英寸(54 cm)C．29英寸(74 cm) D．34英寸(87 cm)2．如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC的三边a，b，c的大小关系是 ( )A．a<c<b B．a<b<e C．c<a<b D．c<b<a3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，BC＝10 cm，则△DEC的周长是 ( )A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．14 cm4．旗杆上的绳子垂到地面还多出1 m，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为_______m．5．如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，求图中阴影部分的面积．6．在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1m，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2m，问这里水深多少？78．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC AB1．求边BC的长．9．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；(2)在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．【拓展提优】10，如图，已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以直角三角形ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_______．11．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．AB＝AC＝2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为_______．12．如图，数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l 和射线AN上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，E是CB的中点，AE＝EC，∠BAC＝3∠DBC，BD＝6AB＝_______14．已知直角三角形的周长是2斜边上的中线为1，则此直角三角形的面积是( )A．1 B．2 C．12D．1415．如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图方式折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF，求DE的长．16．如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，求EM ＋CM的最小值．17．如图是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图①所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图①中的△ABC绕点C顺时针方向旋转到图②的位置，使点E落在边AB上，AC交DE于点G，则线段CG的长为_______cm（保留根号）．18．如图，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于_______．参考答案【基础巩固】1．C 2．C 3．B 4．12 5．10 6．1.5m 7．略 8．2 9．略【拓展提优】10．n 11．4或 12．5 13．12 14．C 15．5.8 16．17． 18。
数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图
学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。
活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。
勾股定理的应用2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知 几个条件? A
（2）求AB的长
2 3
3
13
D 2 C
B 1
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
D E A G B C
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二
次折痕BG的长。 提示：先证明正三角形AA B
1
C A1 E
B
F
D
G
A
构造直角三角形
例1、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm， 求BC的长.
变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°， ∠B=60°，求AB. C
y
B
C
A B
A
O
x
添辅助线
勾股定理的使用
E
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
A
B
D
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
例2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°， AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.
A
A E
D
A
F
D C
B
C
18.1勾股定理
——综合应用
复习：
（1）勾股定理的内容：
（2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的 特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的角形中未知的边
八年级上预科四讲-勾股定理的应用二
BD 2 CD 2 2 AD 2 。
16、如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角 板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与
点 C？若能，(1) 求 BP+CP 的值（2） 请你求出这时 AP 的长。
17．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a：b=3：4，c=20，
则 a=
，b=
．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角
平分线，若 BC=10，AD=12，则 AC=
．
19．如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，
4
底面的直径。一蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试
求出爬行的最短路程。
C
3)、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝，在
圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到
它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？
4)、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径，C 是 A 杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内 壁到达高 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计） 5)、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，
（A）11
（B）10
（C）9
（D）8
5. 若三角形三边长为 a、b、c，且满足等式 (a b)2 c 2 2ab ，则此三角形是（ ）.
勾股定理的应用(2)
2.7勾股定理的应用(二) --- [ 教案] 班级 姓名 学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。
发展学生的分析问题能力和表达能力。
3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。
重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。
（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。
如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。
（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业D CBA图6图9D CBA。
江苏省丹阳市第三中学八年级数学苏科版上册3.3.勾股定理的简单应用(2)教案
主备：蔡辉审核：管华敏编号：80305班级姓名备课组长签名【学习目标】1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
【课前预习】△若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状。
【学习过程】例1.如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.例2.在△ABC中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC的周长和面积。
△例3.如图，一个高20m，周长10m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)【当堂训练】1. 已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ）A.2B.3C.4D.52.将上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为 （ ）A.1.50B.1.75C.1.95D.以上都不对3.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ）A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 m4.已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则其周长为______________.5.旗杆上的绳子垂到地面还多出1m ，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m 后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m.6.一架5m 长的梯子靠在一面墙上，梯子的底部离建筑物3m ，若梯子底部滑开1m ，则梯子顶部下滑的距离是___________.7.如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=12，BC=5，AM=AC ，BN=BC 。
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勾股定理的应用
一、知识框架
1、勾股定理的猜想
2、勾股定理的验证
3、勾股定理的应用
二、目标点击
1、经历探索勾股定理的过程，培养推理能和，体会数形结合起来思想。
2、能够利用定理解决一些简单的实际问题
3、培养学生良好的探究习惯，经历猜想——验证——应用的探究过程
三、重难点预见
学习重点：经历探索勾股定理的过程。
学习难点：会用勾股定理解决一些简单的实际问题。
四、学法指导
1、让学生根据教材和教师提供的预习学案先独立探究，然后在小组内交流自已在预习过程中遇到的疑难，完成对学案内容的探究。
2、学具准备：边长为整数的直角三角形纸片（每组2个），带有刻度的直尺。
五、自主探究
情境导入：
2002年在北京召开国际数学大会，在那个大会上，到处可以看到一个简洁优美的图案在流动，那个远看像旋转的风车的图案就是大会的会标，在这个会标中到底蕴含着什么样的数学奥秘呢？今天就让我们走进这人神秘的图形，一起探究数学王国中的奥妙。
学法指导：
通过学生亲自动手测量直角三角形纸片三边的长度，猜想直角三角形三边长度的平方之间的关系，从而培养学生动手操作能力和猜想能力。
（一）猜一猜
测量你们小组的两块直角三角形纸板三边长度，并将各边的长度填入下表：
三角尺直角边a 直角边b 斜边
c 关系
1
2
根据测得的数据：你能发现直角三角形纸板三边的长度的平方之间是否存在着一定的关系？你能作出怎样的猜想？把你的发现说给组内的同学听一听。
（二）想一想
1、观察图2正文形P中含有几个小方格，即P的面积为多少个单位面积？正方形Q与正方形R的面积为多少个单位面积呢？正方形P、Q、R的面积有什么关系？这说明等腰直角三角形三边的平方具有什么关系呢？
解后感悟：
通过数方格，可以发现等腰直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。
方法提升：计算平面图形面积经常用到的方法有：数方格、割补法、凑整法等。
2、观察图
3、并填下表：
正方形A的面积=_______平方单位。
正方形B的面积=_______平方单位。
正方形C的面积=_______平方单位。
你是如何得出正方形C的面积的？把你的想法在小组内交流。
解题关键：求出正方形C的面积是探究三个正方形C的面积是探究三个正方形面积之间关系的关键。
预见性问题：学生探究正文形C的面积时比较困难，方法比较单一。
利用分割法求正方形C 的面积时，忘记中间的一个小正方形而造成失误。
预见性措施：让学生通过小组交流，然后在班内汇报。
教师重点引导学生对不同方法，不同思路进行比较，最后得出最优的方案。
（三）议一议
三个正方形A、B、C的面积之间存在什么关系？那么，你能发现直角三角形三边长度的平方之间存在什么关系吗？与同伴交流。
学法指导：能过前面的探究，让学生在班内汇报自己的观点，班内其他同学补充完善，最后验证前面猜想的正确性。
（四）记一记
对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c，则a^2+b^2=C^2.
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（五）想一想
运用勾股定理的前提条件是什么？钝角三角形和锐三角形三边的平方是否也具有这样的关系？
规律总结：
运用勾股定理的前提是应该直角三角形，知道直角三角形的任意两边都可以求出第三边。
六、基础在线
（1）如图，字母B所代表的正方形的面积是（）
A、12
B、13
C、144
D、194
设计意图：
设计本题主要是考察学生对勾股定理探究过程的理解。
新课程标准明确提出：“在教学中，我们不仅要关注结论，更要关注过程。
”因此，通过考察本题，达到对勾股定理探究过程的考察目的。
拓展延伸：
如果说把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为以直角三角形三边为边长的正方形的面积。
那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广。
比如：把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为三边为直径的半圆，结论仍然成立。
即以斜边直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之各。
如果将上图斜边上的半圆沿斜边翻一个身，不难证明：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积。
”
这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形。
”
一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一根木条加固，求这根木条的长。
关键点剖析：
解答这道题关键是将实际问题转化为数学问题，弄清题目告诉的条件是直角三角形的两条直角边，所求问题是直角三角形的斜边。
从实际问题中构建出数学模型。
（3）已知直角三角形两边的长分别是3cm和5cm,则第三边的长是_____________。
易错点剖析：
学生在解答时，大部分同学把5cm误认为是直角三角形的斜边，从而中人是求出第三条边4cm，忽略了5cm 可以是三角形的直角边这一种情况。
问题设计：
在这道题目中，5cm一定是直角三角形的一条斜边吗？5cm可以是斜边吗？本题有几种情况？
七、能力升级
（1）将长为13cm的梯子AC斜靠在墙上，BC长为5cm，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
变式训练：
若将梯子的顶端A沿墙向下滑动1cm，则梯子的底端C是否也向外滑动1cm，你能否通过计算证明你的猜想？
（2）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=45°，CD=2cm .求BC 的长。
思路点击：本题要求BC的长度，应先在RT△ADC中利用勾股定理求出AC的长度，再在RT△ABC中利用勾股定理求出BC的长度。
关键点剖析：通过利用两次勾股定理求出BC的长度。
八、经典分析：
如图：为了求出位于湖两岸的两点A、B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰为直角三角形。
通过测量，得到AC长160cm，BC长为128cm。
问从点A穿过湖到点B有多远？
思路分析：
要求点A穿过湖到点B有多远，重点是弄清线段AC在直角三角形中是斜边还是直角边。
本题实际是已知直角三形的一条直角边和一条斜边，求它的另一条直角边的长度。
拓展延伸：
日常生活中，求两点之间的距离问题，通常用到的知识点有：直角三角形的勾股定理、全等三角形、相似三角形、锐角三角函数等知识。
解后反思：
利用勾股定理解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，弄清题目的已知条件和所求问题，构建出数学模型。
九、快乐达标
A组题目
在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5,b=12,则C=_________。
（2）若a=15，c=25，则b= ________。
B组题目
如图，要修建一个育苗棚，棚高1.8cm，棚宽a=2.4，棚的长为d=12cm，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方塑料薄膜。
C组题目
铁路上A、B两点相距25KM，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建设一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A多少km处？
达标说明：
（1）将全班同学按数学成绩分为A、B、C三个小组，其中，A组为全班最后三会之一；B组同学为全班中间三分之一；C组同学为全班最优秀的三分之一。
（2）全班最后三分之一达标任务：A组题目：全班中间三分之一达标任务：B组题目：全班最优秀的三分之一达标任务：C组题目。
（3）达标方法
学生独立完成，教师收取达标测评纸条进行批阅，了解学生的达标状况，及时做好因材施教和不过关同学。