3勾股定理的应用2
18.9_勾股定理的应用(2)
资源信息表18.9（2）勾股定理的应用上海市尚文中学许敏教学目标能用勾股定理解决基本的有关证明和计算问题； 通过实际问题的解决增强数学的学习兴趣. 教学重点及难点 勾股定理的灵活应用 教学用具准备多媒体、黑板、粉笔、学生准备课堂练习本 教学流程设计教学过程设计一、 引入新课生活中勾股定理的应用随处可见： （学生可自由发言）篮球架，老房的房梁，电视机的英寸计数……二、 新课讲授例2 ：机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间.①一位旅客携带一件长65cm 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？解：∵四边形ABCD 是长方形（已知） ∴∠B=90 °（长方形的四个角都是直角） ∴在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2(勾股定理）443236562222=+=+=BC AB AC )(6.66cm ≈ ∵65<66.6,∴长65cm 的画卷能平放入行李架. ②若这件画卷长67cm ，能放入行李架吗？AG =22CG AC +=222CG BC AB ++=222233656++≈70.4﹥67∴长67cm 的画卷能放入行李架.（但平放不行）【说明】这个例题课本上没有讲清，所以略微作一点修改：平放.这个题选取的素材很好，正好可以挖掘用两次勾股定理，故加入第二问.36 5623AEBD FH 36 5623AEBD FH例3：《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个问题．按性质可分为三组，其中第一组的14个问题可以直接利用勾股定理来解决．很多是具有历史地位的世界著名算题． 《九章算术》勾股章第6题 :引葭(ji ā)赴岸 ：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”学生：现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺？（解题过程见教材）三、体会练习校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？15 1314ABCDx14-x AB解：设CD=x 米，则BD=（14-x ）米 152-（14-x ）2=132-x 2 解得：x=5 ∴AD=12总价格=21×14×12×120=10080（元） 答：购买这种草皮至少需要支出10080元.【说明】增加一个练习题，联系生活又能很好体现勾股定理.若设AD=x 米，则会产生无理方程，学生不会解，所以选择设CD=x 米.四、应用推广已知长度为 （n 是大于１的整数）的线段，你能作出长度为的线段吗？五、课堂小结勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务.B 6B 3AB 1Cn 1 n。
数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图
学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。
活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。
苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2
苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三单元《勾股定理的简单应用》是学生在学习了勾股定理之后的一个应用部分。
这部分内容主要让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题，培养学生的数学应用能力。
教材通过丰富的例题和练习题，让学生在解决实际问题的过程中，加深对勾股定理的理解和记忆。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了勾股定理，对勾股定理的基本概念和运用有一定的了解。
但是，对于一些生活中的实际问题，如何运用勾股定理来解决，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的基本概念，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：让学生能够运用勾股定理解决实际问题。
2.难点：如何引导学生将实际问题与勾股定理相结合，提高学生的数学应用能力。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生在解决问题的过程中，运用勾股定理，提高学生的数学应用能力。
同时，采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂上引导学生解决。
2.准备PPT，用于展示问题和引导学生思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生的思考，引出本节课的主题。
例题：一块直角三角形的木板，两条直角边的长度分别是3分米和4分米，那么这块木板的最大面积是多少？2.呈现（10分钟）呈现PPT，展示问题，引导学生思考如何解决这个问题。
3.操练（10分钟）学生独立思考，尝试解决PPT上的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
勾股定理的应用2
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知 几个条件? A
（2）求AB的长
2 3
3
13
D 2 C
B 1
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两 直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
D E A G B C
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8， 先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二
次折痕BG的长。 提示：先证明正三角形AA B
1
C A1 E
B
F
D
G
A
构造直角三角形
例1、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm， 求BC的长.
变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°， ∠B=60°，求AB. C
y
B
C
A B
A
O
x
添辅助线
勾股定理的使用
E
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
A
B
D
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
例2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°， AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.
A
A E
D
A
F
D C
B
C
18.1勾股定理
——综合应用
复习：
（1）勾股定理的内容：
（2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的 特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的角形中未知的边
八年级上预科四讲-勾股定理的应用二
BD 2 CD 2 2 AD 2 。
16、如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角 板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与
点 C？若能，(1) 求 BP+CP 的值（2） 请你求出这时 AP 的长。
17．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a：b=3：4，c=20，
则 a=
，b=
．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角
平分线，若 BC=10，AD=12，则 AC=
．
19．如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，
4
底面的直径。一蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试
求出爬行的最短路程。
C
3)、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝，在
圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到
它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？
4)、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径，C 是 A 杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内 壁到达高 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计） 5)、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，
（A）11
（B）10
（C）9
（D）8
5. 若三角形三边长为 a、b、c，且满足等式 (a b)2 c 2 2ab ，则此三角形是（ ）.
三角形中的勾股定理及其应用
三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。
这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。
勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。
勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。
这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。
2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。
3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。
根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。
4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。
例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。
在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。
通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。
例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。
除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。
例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。
总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。
冀教版初中八年级数学上册17-3勾股定理第二课时勾股定理的应用课件
A. 21 m
2
B.15 m
2
C.6 m
D.9 m
2
解析 设绳索AC的长为x m,在Rt△ADC中,AD=AB-BD=AB -(DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)m,DC=6 m,AC=x m,∵AD2+DC2=AC2,
∴x2=(x-3)2+62,解得x=15 ,∴绳索AC的长是15 m.故选B.
A.①②
B.①②③
C.①②③④
D.①
解析 长方体如图,AD=20 cm,CD=50 cm,AE=40 cm.连接AC, CE.在直角△ACD中,由勾股定理知AC2=AD2+CD2=202+502.在 直角△ACE中,CE2=AE2+AC2,所以CE2=402+202+502=4 500.因为 382=1 444<4 500,402=1 600<4 500,602=3 600<4 500,682=4 624> 4 500,所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③.故选B.
2.(2024广西河池环江期末)如图,货车车高AC=4 m,卸货时后 面挡板AB的A点折落在地面A1处,已知点A、B、C在一条直 线上,AC⊥A1C,测量得A1C=2 m,则BC= 1.5 m .
解析 由题意得AB=A1B,∠BCA1=90°, 设BC=x m,则AB=A1B=(4-x)m, 在Rt△A1BC中,A1C2+BC2=A1B2, 即22+x2=(4-x)2,解得x=1.5.故BC=1.5 m.
A.①号
B.②号
C.③号
D.均不能通过
解析 因为 2=2 1,22 .2<5 , <2.55, <52.3,所以5 可以从 这扇门通过的木板是①号木板.故选A.
17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)
A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2
3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的 收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三 角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落 在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A
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规则：各小组讨论完成，5分钟后派代表到后面统一出示 答案！答案正确可以得3分！
第三轮 第二轮 书本 71面：12 11题
1 、 S半圆= πr2） 2
（提示: S圆
=πr2
你对本节课所学的内容存在疑问吗？欢迎提出来， 共同讨论！
何把 10 、 13 表示在 数轴上？
3、练习：
模仿刚才的作图方法，把 8 、 17 表示在数轴上.
5、你见过海螺吗？ 数学中也有海螺(书本69面：图18.1-7)， 欣赏并思考它是怎样画出来的？
1 1
2
6 3 7
1
4
5
1 1 1
1
6、应用这种方法可以把 1、 2、3、 4、5 这样的数字表示 在数轴上！
彩虹的七色是由勤劳的赤、谦虚的橙、刻苦的绿、诚 实的黄、认真的青、俭朴的蓝和团结的紫组成的，让我们 拥有这七色元素，为自己画一道绚丽的彩虹！
张磊
学习目标： 1、进一步掌握勾股定理在解直角三角形中的应用.
2、能运用勾股定理在数轴上表示一些无理数.
课堂要求：认真听讲、积极思考、大胆展示！
1、求出下列三角形中未知边的长度.