14.2勾股定理的应用2
勾股定理的应用(2)
勾股定理的应用(二) 班级 姓名 学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。
发展学生的分析问题能力和表达能力。
3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。
积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。
重 难 点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。
（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。
如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。
（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？ （七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高 （九）布置作业D CBA图6图9D CBA。
勾股定理的应用(二)
用勾股定理建立方
C
AC+CD=AB+BD=30米
程，关键是找出三
边的关系，能用同 x
一个未知数表示未 D 知边。
30-x
10米
┏
B
A
20米
作业：书本P60练习第1、2题; 习题14.2第2、4题。 校本：勾股定理应用（二）
补充：儿童游乐园有一秋千，在平衡位置时，下端A离地面
距离AE为0.6米，当秋千荡到OA1位置时，下端A1离平衡位 置的水平距离A1B等于2.4米，A1离地面距离A1F为1.4米，求 秋千OA的长。
分析:(1)CF+BF=AF+FB=8
设BF=X,则CF=8-x
D
在RtΔCBF中，由勾股定理得
X 2 42 (8 X )2
解得X 3
E
3
C
O
X
4
21
SΔBCF=1／2 BF●CB=6 A
F
8-x B
(2)在RtΔABC中，由勾股定理易求AC＝ 80
在RtΔOFC中，由勾股定理易求得OF= 5
O
A
2.4米
B
A1
0.6米 A
1.4米
D
B
C
E
F
选做：如图，在△ABC中，AB=AC, D点在CB延长线上.
求证：AD2-AB2=BD·CD
（提示：作高构造直角三角形）
补充：如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在
一起,EF为折痕。若AB=8,BC=4.
(1)求△BFC 面积。 (2)试求以折痕EF为边长的正方形面积。
L
而两个直角边分别是2，3 B
那斜边一定是 13
勾股定理的实际运用
勾股定理的实际运用一、勾股定理内容回顾勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长度分别为和，斜边长度为，那么。
二、勾股定理实际运用的常见类型1. 工程测量中的应用测量建筑物高度例如，想要知道一座垂直于地面的大楼的高度。
我们可以在大楼旁边的平地上选一点，从点向大楼底部点拉一条绳子，测量出的距离。
然后在点用测角仪测量出大楼顶部点与点连线和地面的夹角。
此时在直角三角形中，，如果我们知道和，可以求出。
然后再根据勾股定理求出大楼的高度。
测量两点间的距离（不可直接测量的情况）假设在一个池塘的两边有、两点，我们要测量、两点间的距离。
我们可以在池塘边找一点，使得。
测量出的长度和的长度，然后根据勾股定理，就可以得到、两点间的距离。
2. 航海问题中的应用一艘船从港口出发，向正东方向航行海里后到达点，然后改变航向，向正南方向航行海里到达点。
此时船从港口到点的距离就是直角三角形的斜边长度。
根据勾股定理，海里。
航海中利用勾股定理可以计算船只的航行轨迹和距离等信息。
3. 生活中的简单应用梯子问题有一个长度为的梯子靠在墙上，梯子底部与墙的距离为，梯子顶端与地面的垂直高度为。
如果梯子底部向外滑动了距离，那么顶端下滑的距离可以通过勾股定理来计算。
初始时，滑动后，通过这两个等式联立求解可以得到的值。
电视屏幕尺寸问题电视屏幕的尺寸是按照对角线长度来衡量的。
如果屏幕的长为单位，宽为单位，那么对角线长度就满足。
我们可以根据这个关系来判断不同尺寸屏幕的实际大小关系等。
三、勾股定理实际运用的解题步骤总结1. 分析问题，确定是否为直角三角形问题。
如果是，找出直角三角形的三条边（已知边和未知边）。
2. 根据勾股定理（为斜边）列方程。
3. 解方程求出未知边的值。
4. 检验答案的合理性，看是否符合实际问题的情境。
四、练习题1. 在一个直角三角形中，一条直角边的长度为米，斜边长度为米，求另一条直角边的长度。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
14.2第二课时 勾股定理的实际应用
A
B
C
作业
⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m, 那么它的底端是否也滑动1m? ⑶有人说,在滑动过程中,梯子的 底端滑动的距离总比顶端下滑的 距离大,你赞同吗?
C B
◆一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑶有人说,在滑动过程中,梯 子的底端滑动的距离总比顶 A 端下滑的距离大,你赞同吗?
A’
CBB’源自A 1.如图,太阳能热水器 的支架AB长为90cm, 与AB垂直的BC长 120cm.太阳能真空管 AC有多长?
C
B
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵 高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m
A
8m
C
B
2m 8m
3. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内 部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯 里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 多长？
转换成生活实际
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最 长的 吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能 帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）
A C
A
12
3 12 C 4 B D 4 3 B C B
BA+AC≈1.36+2.95=4.31(km), (BA+AC)－BC≈4.31-2.62=1.69≈1.7(km). 答:直接走湖底隧道比绕道BA和AC减少行程约1.7km.
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距 离为8m,则梯子的顶端A与它的底端 B哪个距墙角C远? A
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍勾股定理的原理和证明，并介绍其在实际应用中的一些重要示例。
一、勾股定理的原理和证明勾股定理是一个关于直角三角形斜边与两个直角边的关系定理。
它的表述可以归纳为：在直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
设直角三角形的斜边长度为c，两个直角边的长度分别为a和b。
根据勾股定理，有c² = a² + b²。
证明该定理的方法多种多样，其中一种比较简单的方法是利用面积关系进行证明。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c。
将该三角形移动到一个边长为a、边宽为b的矩形内，如图1所示。
[图1：勾股定理证明过程的示意图]显然，通过镜像方式将三角形补全，可以构成一个边长为c、边宽为c的正方形，如图2所示。
[图2：利用镜像补全三角形后构成正方形]由于正方形的面积等于边长的平方，我们可以得到两个式子：面积1 = a * b面积2 = c * c由于直角三角形的面积1等于正方形的面积2，我们可以得到：a *b =c * c进一步变换可得：c² = a² + b²上述证明过程说明了勾股定理的原理，并证明了定理的正确性。
二、勾股定理的应用示例勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍其中一些重要的示例。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以被用于测量直角三角形的边长。
当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算出斜边的长度。
例如，如果直角三角形的两个直角边的长度分别为3和4，可以使用勾股定理计算出斜边的长度：c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = 5因此，该直角三角形的斜边长度为5。
2. 建筑和工程应用勾股定理在建筑和工程领域中具有重要的应用。
勾股定理的应用(二)
第14章勾股定理§14.2勾股定理的应用（二）【学习目标】1.掌握勾股定理及其逆定理.2.准确运用勾股定理及逆定理.【课前导习】1.若一个三角形的三边满足c2－a2＝b2，则这个三角形是三角形．２.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，则BD= ．3.直角三角形的两边分别为3和4，则第三边为 .4.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，CB＝2，则斜边上的高为 .5.在垂直于地面的墙上2m的A点斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度为6. 利用勾股定理，分别画出长度为3厘米和5厘米的线段【主动探究】例题讲解例1如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．例2如图，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．【当堂训练】1.若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x， x的值为．2.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＡＣ＝23，∠C＝３０°，则∠B= ．3.三角形的三边分别是n＋1、 n＋2、 n＋3，当n= 时，三角形是一个直角三角形.4. 如图，已知AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，∠CＡＢ＝ ，∠B= ．5.试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；( )（2）三边长之比为 1∶1∶2；( )（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2( )【回学反馈】1．如图，有一块四边形地ＡＢＣD，∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地的面积．2. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．3.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．。
七年级下册数学勾股定理的应用
h=3.75，r=3
h=2.625，r=3
8.625
11.625 9.375
①
我想检测雕塑底座正面的AD边和BC 边是否分别垂直于底边AB，随身只带
了一把卷尺.
（1）你有办法吗？ （ 2 ）量得 AD 长是 30 厘米， AB 长是 40 厘米， BD 长是 50 厘米 .AD 边垂直于 AB 边吗？ D A C B
食 物
B
A
B
B
A
【解析】AB2=202+102=500＞400
不能
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间 的最短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1、没有图的要按题意画好图并标上字母； 2、有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方 程来解.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
例 题
《九章算术》中的趣题
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？” 注：方:正方形 丈：长度单位 1丈=10尺 葭：芦苇．
1
5
《九章算术中的趣题》
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？”
【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺 由勾股定理得x2 +52=(x+1)2 x2+25=x2+2x+1 1
【解析】如图AD2+AB2=302+402=502=BD2
得∠DAB=90°AD边垂直于AB边
（3）若随身只有一个长度为 20厘米的 刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直 于AB边吗？
【解析】在AD上取点M,使AM=9,在AB
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面积问题 1、 有一块田地的形状和尺寸 如图所示，试求它的面积。 如图所示，试求它的面积。
A 13 5 C
∟
B 12 D
面积问题
2.如图，在四边形ABCD中 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=900 如图 ABCD AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD ABCD的 AB=BC=4,CD=6,AD=2，求四边形ABCD的 面积。 面积。 D 2 A 6 4 B 4 C
14.2勾股定理的应用
挑战“试一试” 挑战“试一试”:
一辆装满货物的卡 其外形高2.5米 车 ， 其外形高 米 ， 宽 1.6米 ， 要开进厂门 米 形状如图的某工厂， 形状如图的某工厂 ， 问这辆卡车能否通过 该工厂的厂门? 该工厂的厂门 说明理
由。
A 2.3米 米 B
D
2米 米
C
分析
由于厂门宽度 足够, 足够,所以卡车能否通 过,只要看当卡车位于 厂门正中间时其高度是 否小于CH 如图所示, CH． 否小于CH．如图所示, 在离厂门中线0.8 0.8米 点D在离厂门中线0.8米 处,且CD⊥AB, 与地面 交于H 交于H．
折叠问题
3、如图，小颍同学折叠一个直角三角 如图， 形的纸片， 重合，折痕为DE DE， 形的纸片，使A与B重合，折痕为DE， 若已知AC=10cm BC=6cm,你能求出 AC=10cm， 你能求出CE 若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？ 的长吗？ D B
A E
C
轴对称问题
课本60页 课本 页 练习第１ 练习第１题， 课本62页 课本 页 复习题第１ 复习题第１题。
• 如图，某地要在河边修建一个水泵站，分 如图，某地要在河边修建一个水泵站， 别向Ａ、Ｂ两村送水灌溉农田，已知Ａ Ａ、Ｂ两村送水灌溉农田 别向Ａ、Ｂ两村送水灌溉农田，已知Ａ村， 村到河边距离分别为2千米和 千米， 千米和7千米 Ｂ村到河边距离分别为 千米和 千米，且 Ａ，Ｂ两村相距 千米． 两村相距13千米 Ａ，Ｂ两村相距 千米． • （１）水泵应修建在什么地方，可以使所 水泵应修建在什么地方， 用的水管最短？ 用的水管最短？请在图中设计出水泵站的 位置． 位置． • （２）若铺设管道的工程费用为每千米 2000元，请求出最节省的铺设管道费用 元 为多少元？ 为多少元？
折叠问题
1、矩形纸片ABCD中，AD＝4cm， 矩形纸片ABCD中 AD＝4cm， ABCD AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF AB=10cm，按如图方式折叠，折痕是EF DE的长度 的长度？ ，求DE的长度？
A D E B F
（C）
（B）
C
折叠问题
2、如图，在矩形ABCD中，沿直线AE把 如图，在矩形ABCD中 沿直线AE把 ABCD AE ADE折叠 使点D恰好落在边BC上一点F 折叠， BC上一点 △ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F AB＝8cm，CE=3cm， BF的长度 的长度。 处，AB＝8cm，CE=3cm，求BF的长度。
C
A 2.3米 米 O ┏ B
D
N
2米 米
H
M
解：OC＝1米 (大门宽度一半)， OC＝ 大门宽度一半)
OD＝ 卡车宽度一半） OD＝0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△OCD中，由勾股定理得 △ 中 C 2 2 CD＝ CD＝ OC − OD ┏ B 2 2 A ＝ 1 − 0.8 ＝0.6米， 0.6米 O D CH＝0.6＋ CH＝0.6＋2.3 2.9(米 2.5(米 ＝2.9(米)＞2.5(米).
网格问题 如图， 如图，正方形网 A 格中， 格中，每个小正 方形的边长为1， 方形的边长为1， 则网格上的 △ABC三边的 三边的 大小关系？ 大小关系？
C B
网格问题
如图，小方格都是边长为 的正方形 的正方形， 如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ＡＢＣ 的面积． ＡＢＣD的面积 求四边形ＡＢＣ 的面积．
因此高度上有0.4米的余量， 因此高度上有 米的余量， 米的余量 所以卡车能通过厂门． 所以卡车能通过厂门．
2.3米 米 N 2米 米
H
M
最短路程问题 如果盒子换成如图长为3cm，宽为 ， 如果盒子换成如图长为 2cm，高为 的长方体， ，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着 的长方体 表面需要爬行的最短路程又是多少 呢？
B
A 3 2
B 2
1 C
A
A 1
3
C
解 (1)当蚂蚁经过前面和上底面时， (1)当蚂蚁经过前面和上底面时 当蚂蚁经过前面和上底面时， B 如图， 如图，最短路程为 B :
2 1
A
3
C
Aபைடு நூலகம்
AB＝ ＝
AC 2 + BC 2 ＝
3 +3
2
2
＝
18
(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图， (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图， 当蚂蚁经过前面和右面时 最短路程为
轴对称问题
D M A
C B
轴对称问题
C D M A E B
在运用勾股定理时， １.在运用勾股定理时，要 在运用勾股定理时 看图形是不是直角三角形。 看图形是不是直角三角形。 ２.要学会根据题意画出 要学会根据题意画出 草图，构建直角三角形。 草图，构建直角三角形。 考虑问题要全面， ３.考虑问题要全面，不 考虑问题要全面 要漏了某些情况。 要漏了某些情况。
B
1
A
3
2
分析：蚂蚁由 爬到 爬到B过程中较短的路 分析：蚂蚁由A爬到 过程中较短的路 线有多少种情况？ 线有多少种情况？ B 2 (1)经过前面和上底面 经过前面和上底面; 经过前面和上底面 1 (2)经过前面和右面 经过前面和右面; 经过前面和右面 C A 3 (3)经过左面和上底面 经过左面和上底面. 经过左面和上底面 B
B
B 1 C
A
A
3
2
AB＝ ＝
AC 2 + BC 2 ＝
5 +1
2
2
＝
26
(3)当蚂蚁经过左面和上底面时， (3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如 当蚂蚁经过左面和上底面时 图，最短路程为
B
B 2
A
A 1
3
C
AB＝ AC 2 + BC 2 ＝ ＝
4 +2
2
2
＝
20
∵ 18 < 20 < 26
最短路程为 18 ㎝