弹塑性力学扭转问题
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件
一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转
第七章柱体的弹塑性扭转第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。
所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 z 的方向相重合。
扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。
因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。
即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。
但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。
在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。
即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。
由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。
7.1弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 x, y, z ，且柱体的轴线为z方向，z方向的位移为w，即w(x, y, z) 0。
这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。
非圆形截面柱体的情况要复杂得多。
由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即w(x, y, z)0 。
函数w(x, y, z) 称为翘曲函数。
下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。
设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 M T作用，如图7.1所示。
1.边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为第七章柱体的弹塑性扭转x lxymxy l y m0(7.1-1)zx l zy m0式中 l cos( n, x), m cos( y, n) 。
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
塑性力学第五章(2)-简单的弹塑性问题(二)
σs
E
不变， ，保持 ε s不变，再加扭矩至 γ s =
τs
G
γ 同时拉扭进入塑性状态， 不变， （3）同时拉扭进入塑性状态，保持 ε 不变，到
ε s ,γ s
求应力分量
σ ,τ = ?
τ σ
Mises条件： 条件： 条件
σ 2 + 3τ 2 = σ s2
τ
σ
3
s
B
C A
O
σ
σ
s
γ
ε = σs
E =
应变分量（体积不可压缩）： 应变分量（体积不可压缩）：
σ
1 de z = d ε , de r = deθ = − d ε 2
d γ zθ = d γ
γ θr = γ rz = 0
塑性功增量： 塑性功增量：
dW d = sij deij
= s z de z + s r de r + sθ deθ + τ θz d γ θz + τ θr d γ θr + τ rz d γ rz
th
σs
σs
σ =
ch
σs
3G γ
σs
γ =
σs
3G
⇒
σ = 0 .648 σ s , τ = 0 .439 σ s
（2）先扭后拉 ）
γ
σs
3G
τ
B C
σ
3
A
s
B
C A
O
σs
3G
ε
O
σ
σ
s
dγ = 0
dW d = σ d ε + τd γ = σ d ε
3Gd ε = dσ 1−
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学课件第六章
图 6.2 非圆形截面等直杆的扭转实验
2018/10/31
8
第六章 柱体扭转问题
柱体扭转问题的实验研究
为了简化问题，圣维南（ Saint Venant）由实验观察中假定，任
意截面形状的柱体在发生自由扭转变形时，各个横截面的翘曲程度都
相同。这就是圣维南等翘曲假定。如果我们把轴取在柱体的轴线上， 根据等翘曲假定，就有
w w( x, y) ( x, y)
u zy v xz
刚性转动假定
u zy
v xz w ( x, y )
2 2
MT KT
MT KT
KT G ( x 2 y 2 x
A
y )dxdy y x y )dxdy y x
截面翘曲影响项
扭转刚度
G r 2 dxdy G ( x
第六章 柱体扭转问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
1
第六章 柱体扭转问题
引
言
柱体扭转问题的实验研究 基本方程
几个典型例子
柱体扭转问题的实验比拟方法
薄壁杆件的扭转问题
其他说明
2018/10/31
2
第六章 柱体扭转问题
引 言
柱体扭转问题在土木、机械等工程中是常见的一类问题。 所谓柱体扭转，是指圆柱体和棱柱体仅在端部受到扭矩的作 用，而且扭矩矢量与柱体的轴线方向重合。 本章将专门分析柱体扭转问题中较为简单的一类问题： 任意截面形状柱体的 自由扭转问题 ，即允许柱体在受扭变形 后的横截面自由翘曲的情形。关于柱体的 约束扭转问题 ，即 横截面的翘曲受到约束的情形，这里不进行讨论 。
弹塑性力学 第08章柱形杆的扭转
⎛ ∂v ∂u ⎞ τ xy = G⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = G⎜ ⎜ ∂y + x ⎟ ⎟ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ ⎟ = αG⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂w ∂x ⎞ − y⎟ + ⎟ = αG⎜ τ zx = G⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
M = − αG ∫
S1,S 2 ,L,S n n
Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
R R
= −αG ∑ ∫ ki ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
i =1 Si
由斯托克斯公式计算得
∫ (xl + ym)ds = − ∫ (xl + ym)ds = −2∫∫
处切应力大小应等于薄膜的斜率即由前述可知扭矩等于oxy平面与薄膜之间体设内外边界所围面积的平均值即薄壁杆截面中线所包围的面积为a于可见切应力与杆壁的厚度还成反比最大切应力发生在杆壁最薄为求单位长度上的扭转角先计算图示杆截面中心线即虚线上的应力环量以a表示中心线所包围的面积于是有为截面中心线的长度若闭口薄壁杆有凹角如上图在凹角处可能发生高度的应力集中现象
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数
需要完全精确地求解柱形杆的扭转问题是十分困难的。 因为，一方面，在实际问题中，柱形杆两端面上外力分布情 况往往是不清楚的，而只知道它 们的静力效应；另外，即使知道 M 了外力在端面上的分布情况，也 很难得到一组解答能精确地满足 端面上的精确条件。但是，如果 杆足够长，就能够按局部性原理 对其端面处的边界条件进行放松， n 而使问题得到解决。 O 本章仍然采用半逆解法求解 M 柱形杆的扭转问题。
材料力学第十七章-弹塑性分析
子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
《论语· 雍也篇》 孔子说：知道学问不如喜好它，喜好它不如以它为快 乐。 孟子曰：羿之教人射，必志于彀；学者亦必志于彀。 大匠诲人必以规矩，学者也必以规矩。 彀（gou):张满弓弩
《孟子· 告子上》
孟子说：后羿教人射箭，必意向拉满弓。学习者也要 “拉满弓”。大匠人以规矩教诲人，学习者也要守规
s
，进入屈服阶段，接着还有强化阶段，最后进入局部变
形阶段，然后破坏。
就发生了脆性断裂，可是塑性材料过了
b
认为屈服就破坏，这是弹性设计的概念。按照 弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。
安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题 弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害 为有利。
a
P
a
C
A,B,C都可能成为 塑性铰
有三种可能的可 动机构情况
Mu
2 2
Mu Mu
P
第一种：
A, B处出现塑性铰
P
P 2a P a M u 2 M u 2 M u
Mu P5 a
P
P 2a P a M u M u M u 2
s
简单构件：杆、扭转轴、梁 更复杂结构的弹塑性行为要借助有限元 等数值分析工具来计算。
§17-2 简单桁架的弹塑性分析
P N1 N 2 2 cos N1 1 2 A 两杆同时进入塑性，
1
B P
2
1 2 s , N1 s A
§17-4 梁的弹塑性弯曲
P
h
(+)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
o T q Tdx a dy b dx y d T
x
y x Tdy
z
c
简化后得
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即
zs 0
由于q/T为常量，所以以上两式可改写为
T z 1 0, q
zx
, y
zy
4
将应力分量代入不计体力的 相容方程，可见：前三式及最后 一式得到满足，其余二式要求
注：体力为零时，空间问题 应力分量表示的相容方程
2 (1 ) x 2 0 x 2 2 (1 ) y 2 0 y
0, x d y dy
b a o x y
则 成为
2 C
d C 2 dy
2
22
积分，并注意在边界上
y b
即得
应力分量为
6M zx 3 y y ab zy 0 x
0
2
C 2 b2 y 2 4
15
§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面 直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相 当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜 内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示 z 方向微 小的垂度。
由
2 d x d y M
13
可得
a 2b 2 1 1 2 C ( 2 x d x d y 2 y 2 d x d y d x d y) M a2 b2 a b
于是得
2(a 2 b2 ) M C a 3b3
最后得
M x2 y 2 2 2 1 ab a b
2
T z 0 q s
a
而应力函数所满足的微分方程和边界条件为
2 2Gk,
s 0
18
其中Gk也是常量，故也可改写为
1 0, 2Gk
2
0 2Gk s
b
T 将式 b与式 a对比，可见 2Gk 与 z 决定于同样的微 q
23
二 矩形截面杆 在狭矩形截面扭杆应力函数的基础上，取任意矩形 截面杆应力函数为
b2 mx my 2 Gk y Amch cos 4 b b m1,3,5,
代入微分方程
2 2Gk
并使满足边界条件
x a
0,
2
y b
l ( x z ) s m( y z ) s 0
即
l y m 0 x s s
由于在边界上
dy l , ds
dx m ds
6
于是有
d y d x d y d s x d s d s 0 s s
16
取薄膜的一个微小部分abcd 图示，它在xy面上的投影是一个 矩形，矩形的边长分别是dx和dy。 设薄膜单位宽度上的拉力为 T， 则由z方向的平衡条件 得 Z 0
z z Tdy z dx Tdy x x x z z Tdx z dy Tdx qdxdy 0 y y y
14
于是由
zx xz
最后得到解答
, y
z y yz
x
zx
2M y, 3 ab
zy
2M 3 x a b
1 2
横截面上任意一点的合剪应力是
2 zx 1 2 2 zy
2M x 2 y 2 4 4 ab a b
m 1 2
将Am代入，得确定的应力函数
m 1 mx my 1 2 ch cos 2 b2 8b 2 b b Gk y 3 ma m1,3,5, 4 m3ch 2b
25
由薄膜比拟可以推断，最大剪应力发生在矩形截面长 边的中点若a≥b
d
由
又可得
zx xz , y
z 2Gk zx / y q / T
z y yz
x
e
20
调整薄膜所受的压力q，使得c、 d、 e三式等号 的右边为1，则可得出如下结论： 1 扭杆的应力函数等于薄膜的垂度z。 2 扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间 的体积的两倍。
扭 转
等截面直杆的扭转 椭圆截面杆的扭转 薄膜比拟 矩形截面杆的扭转 开口薄壁杆件的扭转
2
§9-1 等截面直杆的扭转
一 应力函数
o M x y
设有等截面直杆，体力不计， 在两端平面内受扭矩M作用。取杆 的一端平面为 xy面，图示。横截 面上除了切应力τzx、τzy以外， 其余的应力分量为零
x y z xy 0
材料力学解决了圆截面直杆的扭转问 题，但对非圆截面杆的扭转问题却无法 分析。对于任意截面杆的扭转，这本是 一个较简单的空间问题，根据问题的特 点，本章首先给出了求解扭转问题的应 力函数所应满足的微分方程和边界条件。 其次，为了求解相对复杂截面杆的扭转 问题，我们介绍了薄膜比拟方法。
1
第九章
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5
0
24
2
得到
m y 将上式右边在y∈-b/2,b/2区间展为 cos 的级 b 数，然后比较两边的系数，得
2 b2 ma my 5,Am ch 2b cos b Gk y 4 m 1, 3,
Am
1
8Gkb2 ma 3 3 m ch 2b
分方程和边界条件，因而必然具有相同的解答。于是有
Tz 2Gk q
即
2Gk z q /T
c
19
设薄膜及其边界平面之间的体积为V，并注意到
2 d x d y M
则有 从而有
q qM V zdxdy dxdy 2GTk 4GTk
M 2Gk 2V q /T
应力函数在边界上应等于零，故取
o
b y
a
x
x2 y2 m 2 2 1 b a
代入
1
2 C
12
得 求得
2m 2m 2 C 2 a b a 2b m C 2 2 2( a b )
回代入1式得
a 2b2 x2 y2 2 2 C 2 2 1 2(a b ) a b
9
其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移
u Kyz v Kxz
代入前面右边前两式
e
w 1 Ky x G y w 1 Kx y G x
上两式可用来求出位移分量w。
f
10
上两式分别对y和x求导，再相减，得
0 z
积分后得到
w v 1 y z G x u w 1 z x G y v u 0 x y
u u 0 y z z y Kyz v v 0 z x x z Kxz
max zx x 0, y b
8 Gkb1 2
其中扭角 k 由
2
y x 0, y b
2
1 ,5 2 ma m 1, 3 m ch 2b
2
5
二 边界条件 在杆的侧面上，将 n=0，及面 力分量为零代入边界条件，可见前 两式总能满足，而第三式要求
注：空间问题应力边界条件
l x s m yx s n zx s X m y s n zy s l xy s Y n z s l xz s m yz s Z
2
2 0 x 2 0 y
即
2 (1 ) z 2 0 z 2 2 (1 ) yz 0 yz
2
C
2
b
2 (1 ) zx 0 zx 2 2 (1 ) xy 0 xy
将应力分量及体力X=Y=Z=0代入平 衡方程，得
M
z
3
z x z y x z y z 0, 0, 0 z z x y 根据前两方程可见，τzx、τzy只是 x和y的函数，与z无关，由第三式
( x z ) ( y z ) x y
根据微分方程理论，一定存在一 个函数x,y，使得
注：空间问题平衡微分方程
x yx zx X 0 x y z y zy xy Y 0 z x y z xz yz z x y Z 0
a x 函数x,y称为扭转问题的应力函 数。
3 扭杆横截面上某一点处的、沿任意方向的剪应力， 就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。
由此可见，椭圆截面扭杆横截 面上的最大剪应力发生在短轴的两 端点处，方向平行于长轴。
o b y
a
x
21
§9-4 矩形截面杆的扭转
一 狭长矩形截面杆的扭转 设矩形截面的边长为a和b。若a» b (图示)，则称为狭长矩形。由薄膜比拟 可以推断，应力函数在绝大部分横截 面上几乎不随x变化，于是有