九年级数学上册 第17课时 一元二次方程全章复习 新人教版
人教版九年级上册数学一元二次方程复习资料
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
人教版九年级上册数学一元二次方程复习资料.doc
I 一元二次方程一、知识结桁「1'解与-解法一元二次方程=>< 根的判别韦达定理*二、考点精析挎点_、槪态|⑴定义：|①牙含亩一个不纠朝，并且②不卸瑕即最哥姿瑕是2 ,这样的③整戎方程就是一元二次方程。
週M若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：变式：当k 不是1 时,关于X的方程kx2^2x = x2+3是一元二次方程。
2、方程（也+ 2斤岡+ Six + 1 = 0是关于x的--元二次方程，则m的值为 2 。
针对练习：|★ 1、方程8x2 =7的一次项系数是一（）,常数项是一・7 。
★2、若方程（m- 2）x "归=0是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程恃点二、方程苗解⑴概念：|使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
2、关于X的一元二次方程（°一2>2+x + a2-4 = 0的一个根为0,则a的俏为-23、已知关于x的一元二次方程ax2 -hbx + c = 0（a^0）的系数满足a + c = b,则此方程必有根为-1 。
★ 1、已知方程x2+kx-\0 = 0的一根是2,则k为____________________ , -另一根是一-5★★4、已知d 是X2-3X +1= 0 的根，则2a2 -6a= __________ 2★★★6、若2无+ 5y-3 = 0.奶4「32J 8 。
⑴方法：|①直接开方法;②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：x 2 = > 0）,=> % = ±4rn ※※对于(x + a)2 =m , (ax + m)2 = (bx + H )2等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：(1)2/-8 = 0; (2)、9(x -I)2 =16(x + 2)2 (3X1 - %)2 - 9 = 0; 类型二、因式分解法I ：（兀一兀I X 兀一兀2 ） = ° =* X 二尢I ，或X =兀2※［方程特点：|左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”, 典型例题：|例 1、2x （x - 3）= 5（x - 3）的根为（3 或 2|5 ）变式2：若（兀+yX?—兀一『）+3 = 0,贝iJ x+y 的值为 ______变式 3：若无2+xy+y = 14, y 2 + xy + x = 28 ,贝ij x+y 的值为________ H★ ★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：_⑵写出一个一元二次方程，耍求二次项系数不为1, n 两根互为相反数： _________________, 15、方程：/+2的解是_ 匸负1 。
人教版初三数学：《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】 2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释： 1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 要点四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解． 【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0， 解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【高清ID 号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】 【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程. 【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程 (1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴12 3x=，21x=．(2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0． ∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0． ∴ 11t =，212t =．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ． a ＞1 C ． a ≤1 D ．a ＜1 【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0， ∴a ≥1． 故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=． ∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤．因为y随m的增大而减小，故当12m 时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积2360lS rlππ=扇n=，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥CBAO关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯A EB DC F P故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
九年级数学上册 一元二次方程复习课件 (新版)新人教版
一、知识梳理
知识点一： 一元二次方程的定义
只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c为常数，a≠0）
一、知识梳理
知识点二：
一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：(x＋h)2＝k (k≥0)
（2）配方法： x2＋mx＋n＝0
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的
积，右边是0的方程
应用
思考题
已知方程 (k－4)xk＋x2－4x＋1＝0 是一元二次方程，求 k的值。
加油，同学们!
二、问题解决
1. k取什么值时，方程 x2－k(kx＋－＋14)＝x＋0 42＝0 有两个相等的实数根？求这时方程的根.
二、问题解决
2. k取何值时, 方程 x2－4x＋k＝0 ①有两个相等的实数根？ ②有两个不相等的实数根？ ③有一个根为2？
④有一个根为 2 3？
⑤两根之比为 1 : 3？
二、问题解决
一、知识梳理
知识点三： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情 况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根；
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根的判别式.
(x＋h)2＝k (k≥0)
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
(x b )2 2a
b24a42ac
一、知识梳理
知识点二： 一元二次方程的解法：
（3）公式法： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2 －4ac≥0时，它的根是 x b b2 4ac
人教版九年级上册一元二次方程综合复习
一元二次方程综合复习1.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：2.一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法。
例1.用适当的方法解以下方程：(1). x2−7x=0 (2). x2+12x=27 (3).x(x−2)+x−2=0 ( 4). x2+x−2=4(5).5x2−2x−14=x2−2x+34( 6). 4(x+2)2=9(2x−1)2变式练习1.用适当的方法解以下方程〔1〕(x+5)2=16〔2〕x2−2x+1=4〔3〕3(2x−1)=x(2x−1)〔4〕(x−4)2−(5−2x)2=0〔5〕x2+4x+8=2x+11〔6〕x(x−4)=2−8x2．用直接开方法解方程：⑴4x2−9=0⑵(x−2)2=13．用因式分解法解方程：〔1〕3x(2x+1)=4x+2〔2〕(2x−1)2= (3−x)24．用配方法解方程：⑴x2−8x+1=0⑵2x2+1=3x5．用公式法解方程：=⑴x2+x−1=0⑵x2−√3x−14(1)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的情况： ①当∆>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当∆=0时，方程有两个相等的实数根； ③当∆<0时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。
例1. ,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。
例2求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。
变式练习1.关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0,其中分别为△三边的长。
〔1〕如果1是方程的根，试判断△的形状，并说明理由；〔2〕如果方程有两个相等的实数根，试判断△的形状，并说明理由；〔3〕如果△是等边三角形，试求这个一元二次方程的根。
2.如果关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围为=0有两个不相等的实数根，那么m的3.关于x的方程x2+(3−m)x+m24最大整数值是4. a，b，c分别是三角形的三边，那么方程〔〕x2+2〔〕=0的根的情况是〔〕A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.6、方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。
(完整word版)人教版九年级上册数学一元二次方程复习资料
一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
人教版初中数学九年级上册一元二次方程重点知识归纳
人教版初中数学九年级上册一元二次方程重点知识归纳知识点1 一元二次方程的概念1.概念：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程必须同时满足的条件（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2;（3）是整式方程；3.对一元二次方程的理解（1）“元”指未知数,“次”指未知数的最高次数；（2）方程中含有的字母系数,应区分未知数和字母。
如“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其它字母均是常数。
（3）是整式方程而不是分式方程和根式方程。
整式是原方程中等号两边合并前的代数式，而不是整理合并后；分母或根号内不能含有未知数。
知识点2 一元二次方程的一般形式1.一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0，b，c是常数)。
2.一般式的特征： (1)将方程变形和整理后,它的左边是未知数的二次三项式的降幂排列,且其中a通常写成大于0的形式,而右边是0；(2)左边的三个单项式ax2,bx,c分别叫做二次项,一次项和常数项，且常数a,b 分别叫二次项系数和一次项系数；(3)一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础；(4)不能漏写单项式系数的负号；(5)解题时注意隐含条件a≠0 。
知识点3 一元二次方程的解1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。
【说明】只含有一个未知数的方程求解的值可以叫解，也可以叫根。
但多元方程求解的值只能叫解。
2.一元二次方程解的判定方法：代入检验法【例】已知x=3是一元二次方程x ²-mx+6=0的一个解，则m 的值_______ 【5】 知识点4 解一元二次方程的方法1.三种方法：配方法、公式法、因式分解法2.配方法：配成完全平方的形式。
（1）一般式：（x+p ）2=q ，q 的取值有三种情况：①q ﹥0时，方程有两个不相等的实数根；②q=0时，方程有两个相等的实数根； ③q ﹤0时，方程无实数根。
人教版上学期九年级数学解一元二次方程知识点
人教版上学期九年级数学解一元二次方程知识点数学学习是一个墨守成规的进程，需求同窗们不时的学习和努力。
查字典数学网提供了解一元二次方程知识点，希望能协助大家更好的温习所学的知识。
解法一：因式分解法第一步：将方程化为普通方式，使方程右端为 0;第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积; 第三步：方程左边两个因式区分为 0，失掉两个一次方程，它们的解就是原方程的解.解法二：配方法x^2-4x+3=x^2-4x+4-1=(x-2)^2-1=0即(x-2)^2=1于是x=3或x=1普通来说，一元二次方程往往可以用这样2种方法解答，特别是对配方来说，它能够更适用，普遍。
比如x^2+x-1=0我们能够分解不出它的因式来，不过我们可以采用配方法x^2+x-1=(x+1/2)^2-5/4=0于是失掉x=(根号5-1)/2或x=(-根号5-1)/2小练习1.分解因式：(1)x2-4x=_________; (2)x-2-x(x-2)=________(3)m2-9=________;(4)(x+1)2-16=________2.方程(2x+1)(x-5)=0的解是_________3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是___________4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1·x2，且x1>x2，那么x1-2x2的值等于_______5.y=x2+x-6，当x=________时，y的值为0;当x=________时，y的值等于24.6.方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________.小编为大家提供的人教版上学期九年级数学解一元二次方程知识点就到这里了，愿大家都能在学期努力，丰厚自己，锻炼自己。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》知识点总结
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。有了查字典数学网为大家整理的一元二次方程知识点总结，大家感觉是不是方便了很多，那么大家就要及时关注本网站了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
教学三维目标知识与技能
1、了解一元二次方程的定义、一般式及其有关概念。
2、利用化归思想,以“降次”为基本策略，掌握配方法、公式法和因
式分解法等一元二次方程的基本解法。
3、求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数
根？
4、掌握一元二次方程中根与系数的关系，学会利用整体代入思想解
决一些数学问题。
5、在经历和分析实际问题的过程中，体会一元二次方程的数学建模
作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能
力。
过程与方法通过复习使学生更好地掌握一元二次方程的相关知识和方法。
情感态度价值观
经过复习使学生更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴
趣。
教学重点一元二次方程的概念及解法和列一元二次方程解应用题。
教学难点学会利用适当方法解一元二次方程。
学会寻找实际问题中的等量关系，列出一元二次方程。
教具学具三角板、小黑板、PPT等。
本节课预习作业题1. 一元二次方程的一般形式为：，其中是二次项, 是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
2. 若
12
,x x分别是一元二次方程20(0)
ax bx c a
++=≠的两个根，则
12
x x
+= ,
12
x x
•=。
3. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）
A.22
312
x x
+= B.
1
20
x
-=
C. 20
ax bx c
++= D. 22
21
x x x
+=-
4. 方程2
(1)9
x+=的根为（）
A. 2
x= B. 4
x=-
C.
12
2,4
x x
==- D.
12
0,4
x x
==
5.方程x²-3x-5=0的根的情况（）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
6. 选用合适的方法解下列方程
（1）242
x x
+=（2）3
10
22=
-x
x（3）(x-1)(x+3)=12
7. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一
月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：
教学环节教学活动过程
思考与调整活动内容师生行为
预习交流（一）学生围绕教材内容和预习作业题
自学3-5分钟。
要求： 1、了解一元二次方程的概念及
一般形式、二次项、二次项系数系数、
一次项、一次项系数和常数项等概念；
2、掌握一元二次方程的三种解法——
配方法，公式法，因式分解法；体会将
次在解一元二次方程中的作用。
3、求根公式与配方法有什么关系？什
么情况下一元二次方程有实数根？
4、掌握一元二次方程中根与系数的关
系。
5、学会寻找应用题中的等量关系，列
出一元二次方程。
（二）将学生分小组进行讨论交流；
（三）教师精解点拨预习作业：（或根
据生生互动交流情况灵活处理）
1、第3题教师提示：只含有一个未知
数，并且未知数的最高次数是2的方程
叫做一元二次方程。
2、第4题教师提示：用直接开方法可
以将方程化为两个一元一次方程
13
x+=或13
x+=-，再分别求解。
3、第5题教师提示什么情况下一元二
次方程有实数根？
4、第6题解题方法指导：先观察——
观察方程用什么方法简便，后解题——
根据一定的方法和步骤解题。
第一小题
用配方法较简便，第二小题用公式法较
简便，第三小题用因式分解法比较简
单。
4、第7题解题方法指导：一读题，二
1、教师课前检查了解学生完成
预习作业情况。
2、教师布置学生自学，明确内
容和要求，进行方法指导。
3、生生互动，质疑答疑。
通过
再次预习和讨论交流，学生基本
掌握所布置四个的要求和目标。
4、对第5题、第6题中问题进
行解题方法指导。
课堂评价小结 两个方面评价小结：
1、对本节课的知识内容进行总结。
2、对各个学习小组活动情况及学生参与学习积极性等方面进行评价小结。
课后作业 见配套练习 教后 反思
配套练习
一．选择
1．方程（m ²-1）x ²+m x -5=0是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是 （ ）
A ． m ≠1
B ． m ≠0
C ．∣m ∣≠1
D ． m=±1
2. 若关于x 的一元二次方程0235)1(2
2
=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
3. 方程（3x+1）(x-1)=(4x-1)(x-1)的解是 （ ） A ． x 1=1 x 2=0 (B ) x 1=1 x 2=2 (C) x 1=2 x 2=-1 (D) 无解 4．若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ）
A ． ±
2
1
B ． ±1
C ． ±22
D ． ±2
5. 若分式x 2
— 7x + 12
x 2
— 9 的值为0，则x 的值为( ) A ．3、4 B ．－3、－4 C ．3 D ．4
6.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是( ) A ．
2
2
.1m 元 B ．1.2m 元 C ．28.0m 元 D ．0.82
m 元 7．方程02
=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） A ． 1，0 B ． -1，0 C ． 1，-1 D ． 无法确定
8. 用换元法解方程 x ²+x-1=
x
x +2
6
时，如果设x ²+x=y ，那么原方程可变形为（ ） A ． y ²-y-6=0 B ．y ²-y+6=0 C ．y ²+y-6=0 D ．y ²+y+6=0 二．填空
9. 方程(x －3)(2x ＋1)＝2化成一般形式是 ,它的二次项系数是 . 10．方程0422
=+x x 的根是 .
11. 剪一块面积为150平方厘米的长方形铁片，使它的长比宽多5厘米，设宽是x 厘米，可得方程_________________.
12. 若方程kx 2
－6x ＋2＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .
13.已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092
=+-x x 的一个根，则这个等腰三角形的周长是 ．
14．已知x 是一元二次方程x 2
＋3x －1＝0的实数根，那么代数式235
(2)362
x x x x x -÷+---的值
为 ． 三．解答 15. 解方程
（1）0432
=-+x x （用配方法） （2）2
35(21)0x x ++=（用公式法）
16.已知,,a b c 分别是三角形的三边长，试判断一元二次方程方程2
()2()0a b x cx a b ++++=的跟的情况。
17．几个同学间户送卡片，送出的卡片数共72张，问共有几个同学？
18. 某单位计划在长m 20，宽m 12的空地中间划出一块长方形的平地建一间仓库，使仓库四周的剩余部分一样宽，并且剩余部分的面积是总面积的%25，求这个宽度。
19. 某商店4月份销售额为50万元,第二季度的总销售额为182万元,若5、6两个月的月增长率相同,求月增长率.
20. 某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
21.(拓展延伸)已知：如图3-9-3所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B . 点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2
？ （2）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？ （3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2
?说明理由. 答案：1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A
9. 2
2550x x --=，2 10. 0或22- 11. (5)150x x +=
12. 92k <
且0k ≠ 13. 18 14. 13
15. (1) 1或 4- (2)
510
3
-± 16. 没有实数根 17. 9个同学 18. 宽度为1米 19. 增长率20% 20. 定价应为12或16元 21.（1）1秒后（2）2秒后（3）不能等于7 cm
2
因为方程无解。