2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)

2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题
1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧
==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )
A ．[1-，2]
B ．(2，3]
C ．[1，2)
D ．[1，3)
2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a i
z i
+=-纯虚数，则(a = ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．1±
3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（3分）函数1()3()2
x f x x =-+零点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )
x
1 2 3 4 5 y
0.5
1
1
1.5
2
A ．ˆ0.350.15y
x =+ B ．ˆ0.350.25y
x =-+
C ．ˆ0.350.15y
x =-+ D ．ˆ0.350.25y
x =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=
C ．230x y -+=
D ．230x y --=
7．（3分）函数2
1()||12
f x x ln x =
--的大致图象为( ) A ． B ．
C ．
D ．
8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u r
g 的值为( )
A ．26
B ．13
C ．
52
3
D ．10
9．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数3
21()1()3
n n a f x x a x n N ++=
-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019
201820182018
[](b b b b b b ++⋯+= )
A ．2019
B ．2018
C ．1009
D ．1008
10．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )
A ．25003cm π
B ．26259cm π
C ．
262536
cm π
D ．
215625162
cm π
11．（3分）已知双曲线22
21(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲
线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 163
8+ B ．4(21) C 43
8+ D ．2(32)
12．（3分）若函数2
()x f x ax lnx x lnx
=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是(
)
A ．1(1,
)1e e e
-- B ．[1，
1]1e e e -- C ．1(1
e
e e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-
二．填空题
13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
„…
„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36
ππ
α∈，则cos α的值为
15．（3分）已知函数()ex f x ln
e x =-，满足220181009
()()()()(2019201920192
e e e
f f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数）
，则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且
||4||AF BF =，则弦长||AB = ．
三．解答题
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bc
cos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =
，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；
（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；
（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：
完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k …
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；
（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦
点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．（12分）设函数()x
a e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0b e 剟
，求证：()0f x >． 四．选考题
22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的
面积．
23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；
（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|
B x y ⎧
==⎨⎩，则(A B =I )
A ．[1-，2]
B ．(2，3]
C ．[1，2)
D ．[1，3)
【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，
|{|2}
B x y x x ⎧
===<⎨⎩，
{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．
故选：C ．
2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a i
z i
+=-纯虚数，则(a = ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．1±
【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2
a i a i i a a i
z i i i +++-++=
==
--+Q 是纯虚数， ∴10
10a a -=⎧⎨
+≠⎩
，即1a =．
故选：B ．
3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．
∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．
故选：B ．
4．（3分）函数1()3()2
x f x x =-+零点的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解答】解：由于函数1
()3()2
x f x x =-+是R 上的单调减函数，。