2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．109．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．100810．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)12．（3分）若函数2()x f x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB = ．三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()xa e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由于函数1()3()2x f x x =-+是R 上的单调减函数，。
安徽省2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)
参考答案
一、选择题
1.A 2.A3.B 4.A5.C 6.D 7.B 8.B 9.D 10.C 11.B 12.A
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(1)由已知及余弦定理得2c× ＝2a＋b,
整理得a2＋b2－c2＝－ab,
A．命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
B．命题“存在 ，使得 ”的否定是：“任意 ，都有 ”
C．若命题“非 ”与命题“ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题
D．命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
6.三个数 的大小顺序是
A. B.
C. D.
7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为
所以△ABC为等腰三角形，且BC＝AC＝ .
所以△ABC的面积
S＝ BC·AC·sin ＝ × × × ＝ .
18.（1）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为
.
（Ⅱ）根据题意，得出如下 列联表
骑行爱好者
非骑行爱好者
总计
青年人
700
100
800
非青年人
800
200
1000
总计
1500
300
在四边形 中， ,及(1) 为 中点， ,得 为等腰三角形，
故 ,
则
20.（1）由题设 ， ，
所以 .又 ，
所以 . 的方程为 .
（2）由题设 不平行于 轴，设 ： ，联立 ，
得 . ， .
因为 ，所以四边形 为平行四边形，
四边形 面积
2022年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）1. 已知集合，，若，则a 的取值范围为( )A.B.C. D.2. 设复数z 满足，则( )A. 0B. 1C. D. 23. 已知命题p ：“且”是“”的充要条件；命题q ：，曲线在点处的切线斜率为，则下列命题为真命题的是( )A. B.C.D.4. 在区间上随机取一个数x ，则的值介于0到之间的概率为( )A.B.C.D.5. 若实数x ，y 满足约束条件，若的最大值等于3，则实数a的值为( )A.B. 1C. 2D. 36. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 为奇函数B. 为奇函数C. 为偶函数D.为偶函数7. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若函数无极值点，则角B 的最大值是( )A. B. C. D.8. .某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( )A. B. 4 C. 2 D.9. 已知，，若，则的最小值为( )A. 6B. 9C. 16D. 1810. 已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则( )A. B. C. 3 D. 611. 若直线l：与曲线有公共点，则实数m的范围是( )A. B. C. D.12. 已知函数，有三个不同的零点，，，且，则的范围为( )A. B. C. D.13. 在等比数列中，，，则______.14. 已知函数，则的值是______.15. 已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于______.16. 已知函数满足：当时，，当时，，当时，且若函数的图像上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：①的值域为R；②为周期函数；③实数a的取值范围为；④在区间上单调递减．其中所有真命题的序号是______.17. 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统．为了了解市民使用公共自行车情况，现统计了甲、乙两人五个星期使用公共自行车的次数，统计如下：第一周第二周第三周第四周第五周甲的次数111291112乙的次数9691415分别求出甲乙两人这五个星期使用公共自行车次数的众数和极差；根据有关概率知识，解答下面问题：从甲、乙两人这五个星期使用公共自行车的次数中各随机抽取一个，设抽到甲的使用次数记为x，抽到乙的使用次数记为y，用A表示满足条件的事件，求事件A的概率．18. 如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，O，E分别是BD，BC的中点，，求证：平面BCD；求点E到平面ACD的距离．19. 已知数列满足，求的值，并证明数列是等差数列；求数列的通项公式并证明：20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离是求椭圆C的方程；设过椭圆的上顶点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．21. 已知函数判断函数的单调性；已知，若存在时使不等式成立，求的取值范围．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为求曲线C的普通方程；若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．23. 已知函数的最小值为求m的值；若实数a，b满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用并集定义、不等式性质直接求解．【解答】解：集合，，，的取值范围是故选：2.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，求出结果．本题主要考查复数代数形式的运算，求复数的模的方法，属于基础题．【解答】解：复数z满足，，，故选3.【答案】D【解析】解：对于p，当且时，可得出，充分性成立，当时，不能得出且，必要性不成立，是充分不必要条件，p为假命题；对于q，，，由曲线在点处的切线的斜率为1，得，，即，曲线在点处的切线斜率为，q为真命题；所以为真命题，故选：根据充分必要条件的定义对p，q进行判断，再利用真值表判断真假即可．本题考查了充分必要条件的判断，复合命题的真假判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当时，，则，由几何概型中的线段型可得：在区间上随机取一个数x，则的值介于0到之间的概率为，故选：先求出的解集，再结合几何概型中的线段型求解即可．本题考查了几何概型中的线段型，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，即故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数，即可求解a值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．6.【答案】C【解析】解：，，为偶函数，故A错误；，为偶函数，故C正确；，为非奇非偶函数，故B错误；，为非奇非偶函数，故D错误．故选：利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查二倍角的余弦的应用，考查型函数的图象与性质，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知，，则无解或有两个相等的实数解，所以，因此，由余弦定理可得，因为，所以，所以B的最大值为，故选：求导，根据导数与函数极值的关系，求得，结合余弦定理即可求得B的最大值．本题考查导数的应用，导数与函数极值的关系，余弦定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图的还原，由三视图可知：该三棱锥的侧面底面ABC，交线BC，，且，，，，据此即可计算出其体积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．【解答】解：由三视图可知：该三棱锥的侧面底面ABC，交线BC，，且，，，，故选9.【答案】C【解析】解：由，，又，则，即，则，当且仅当，即，时取等号，故选：由平面向量共线的坐标运算求出x，y的关系，再结合均值不等式求最小值即可．本题考查了平面向量共线的坐标运算，重点考查了均值不等式，属基础题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，为偶函数，函数的图象关于直线对称，则有，是定义在R上的奇函数，则，综合可得：，函数是周期为3的周期函数，是定义在R上的奇函数，则，则，，故；故选：根据题意，由为偶函数分析的对称性，进而可得是周期为3的周期函数，由此求出和的值，计算可得答案．本题考查函数奇偶性和周期性的性质以及应用，关键是分析函数的周期，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：直线方程即，联立直线方程可得直线过定点，曲线C的方程即，表示圆心为，半径为2的上半圆，当时，直线l为y轴，与曲线C显然有公共点，当时，直线l的斜率为，易知当直线过点时斜率最小，如图所示，所以，解得，综上，实数m的范围是，故选：首先确定直线所过的定点，然后考查C的特征，据此即可确定直线斜率最小时点的坐标，然后利用斜率公式即可求得直线的斜率．本题主要考查直线与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：令，当时，的图象如图所示，由对称性可知，，所以，又，，由图象可知，所以所以故选：令，将函数的零点问题，转化为函数的图象与直线的交点横坐标问题进行研究根据正弦函数的图象的对称性质得到，进而得到，结合图象和正弦函数的最大值，得到m的取值范围，进而得到的取值范围．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：设等比数列的公比为q，由，得，所以故答案为：设等比数列的公比为q，由可得，从而利用即可求解．本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：根据题意，函数，则，则，故答案为：根据题意，由函数的解析式计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．15.【答案】【解析】解：因为双曲线，所以，渐近线方程为，所以，所以，所以焦距，故答案为：由双曲线E的方程，得，由渐近线方程，得b的值，再计算c，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于基础题．16.【答案】①③【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①，当时，且，这部分函数的值域为R，则的值域为R，①正确；对于②，当时，，不具有周期性，不是周期函数，②错误；对于③，当时，，且当时，，作出函数在上的部分图象关于原点对称的图象，如图所示，若函数的图象上关于原点对称的点至少有3对，即函数的图象与所作的图象至少有三个交点，必有，解得，a的取值范围为，③正确；对于④，当时，，即，，则，，在区间上单调递增，④错误；其中正确的是①③；故答案为：①③．根据题意，依次分析题目4个命题的真假，即可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和对称性，属于中档题．17.【答案】解：甲的众数是11和12，极差是，乙的众数是9，极差是从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为x ，乙抽到的次数为y ，则所有的为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有25个其中满足条件的有：，，，，，，，，共有8个事件A 的概率为【解析】利用众数，极差的定义直接求解．从甲乙二人的次数中各随机抽一个，设甲抽到的次数为x ，乙抽到的次数为y ，利用列举法能求出事件A 的概率．本题考查众数、极差、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】证明：连接OC ，OA ，，，，，，在中，由已知可得，，，而，，则，即，，平面BCD ，平面BCD ，平面BCD ；解：设点E 到平面ACD 的距离为h ，，，在中，，，，又，，点E到平面ACD的距离为【解析】连接OC，OA，由题意可得，，求解三角形证明，再由直线与平面垂直的判定可得平面BCD；设点E到平面ACD的距离为h，由，即可求得点E到平面ACD的距离．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．19.【答案】解：当时，，，当时，；相除得，整理为：，即，为等差数列，公差；证明：由得，整理得：，，又单调递增，所以【解析】根据数列通项与前n项积的关系结合等差数列的定义即可得出答案；求出数列的通项，即可求出数列的通项公式，再根据数列的单调性即可得证．本题考查数列的递推式，考查学生的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：因为椭圆的右焦点到直线的距离是4，，，又因为离心率，所以，，椭圆方程为：；解法一：由知，设，则，，当时，有最大值，此时或，当时直线l的斜率，直线l的方程为；当时直线l的斜率，直线l的方程为直线l的方程为或解法二：由知，当直线l的斜率不存在时；当直线l的斜率存在时：设直线l的方程为：，联立，得，，，，令，，时即时最大为18，最大为，直线l的方程为或【解析】根据椭圆的右焦点到直线的距离是4，可求出c，再根据离心率求出a，即可求得椭圆方程；解法一：知，设，则有，即可求解；解法二：考虑斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，和椭圆方程联立，从而表示出弦长，进而求弦长最大时斜率的值，求得答案．本题考查了椭圆的有关性质及直线与椭圆相交时弦长问题，解法一利用了两点间的距离公式，解法二用了分类讨论思想，属于中档题．21.【答案】解：因为，所以，令，则，，所以函数在区间单减，又因为，所以当时，，所以函数在区间上单调递减．当时，所求不等式可化为，即，易知，由知，在单调递减，故只需在上能成立．两边同取自然对数，得，即在上能成立．令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，所以，又故的取值范围是【解析】求出导函数，令，利用导函数判断函数的单调性，推出结果即可．不等式可化为，即，只需在推出在上能成立．令，则，判断函数的单调性，求解函数的最大值，即可得到结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：由为参数，得为参数，消去t得曲线C的普通方程为由，得，联立得，，所以AB中点坐标为，，故以AB为直径的圆的直角坐标方程为，即，将，，代入得【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用方程组的解法求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：，故，，由可知，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为【解析】利用绝对值的几何意义，求解函数的值域，利用最小值求解m即可．利用的结果，通过配凑法，结合基本不等式求解表达式的最小值即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2021届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学文科试题(解析版)参照模板
淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题(文科)一、选择题1.若集合{}21A x x =-≤，B x y ⎧⎫==⎨⎩，则A B = ( ) A. []1,2- B. (]2,3 C. [)1,2D. [)1,3【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合,A B ，然后再求交集.【详解】由{}21A x x =-≤得，[1,3]A = ,(),2B x y ⎧⎫===-∞⎨⎩则[1,2)A B ⋂= 故选：C【点睛】本题考查集合求交集,属于基础题. 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为( ) A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数是( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数，数形结合可得结论． 【详解】函数()132xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭零点的个数， 即方程132xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的根的个数， 所以只需求函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点的个数 在同一坐标系中分别作出函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像.如图所示，函数3y x =-和函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭交点有1个. 故选：B【点睛】本题主要考查函数的图象的交点问题，函数的零点个数的判断，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题．5.由下表可计算出变量,x y 的线性回归方程为( )x5 4 3 2 1 y21.5110.5A. ˆ0.350.15yx =+ B. ˆ0.350.25yx =-+ C. ˆ0.350.15yx =-+ D. ˆ0.350.25yx =+ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，543212 1.5110.53, 1.255x y ++++++++====∴样本中心点为(3，1.2)代入选择支，检验可知A 满足.故答案选A ． 考点：线性回归方程.6.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A. 230x y -+= B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D 【解析】 【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题． 7.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为( ) A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--.此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.8.在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC ⋅的值为( ) A. 26 B. 13C.523D. 10【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的几何意义和三角形外心的性质即可得出.【详解】()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅如图,设,AB AC 的中点分别为,E F ,则,OE AB OF AC ⊥⊥,||||cos ||||428AO AB AB AO OAB AB AE ⋅=⋅∠=⋅=⨯= ||||cos ||||6318AO AC AC AO OAC AC AF ⋅=⋅∠=⋅=⨯=所以18810AO BC ⋅=-= 故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题． 9.已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数()32113n n a f x x a x +=-+()n N +∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦( )A. 2019B. 2018C. 1009D. 1008【答案】D 【解析】 【分析】求得()f x 的导数，可得1(1)20n n f a a +'=-=，数列{}n a 为等比数列，可得数列{}n a 的通项公式，利用对数的运算性质可得n b ，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．【详解】由21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数()f x 的极值点，所以1(1)20n n f a a +'=-=，即12n n a a +=所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列, 则12n na .由1222log log 21n n n b a n ++===+120182018112018(1)(2)12n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以122320182019201820182018b b b b b b ++⋅⋅⋅+ 1223201820191111112018[]b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1201911111009=20182018=1009220201010b b ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1223201820192018201820181009[1009]10081010b b b b b b ⎡⎤++⋅⋅⋅+=-=⎢⎥⎣⎦ 故选：D【点睛】本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A .2500cm 3πB.2625cm 9πC.2625cm 36πD.215625cm 162π【答案】B 【解析】 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R 即可求出球的表面积．【详解】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ， 则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于(3)R cm -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得222(3)4R R =-+，解得：25=6R ． ∴球的表面积为2225625=4=4=369S R πππ⨯ ． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了正方体的性质、垂径定理以及勾股定理等知识，将立体图转化为平面图形是解题关键．11.已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为( )8 B. )41-8+ D. )22【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m -=， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.若函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1,11e e e ⎛⎫--⎪-⎝⎭B. 11,1ee e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦C. 11,1ee e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭D. 1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦【答案】C 【解析】【详解】函数()2ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点,即方程ln ln x xa x x x =--有三个不同实数根.设ln ()(0)ln x xg x x x x x=->-, 则22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )()(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----'=-=-- 由1212ln ,2x y x x y x x-'=-=-=, 当1(0,)2x ∈时，0y '<，2ln y x x =-单调递减， 当1()2,x ∈+∞时，0y '>，2ln y x x =-单调递增, 所以112ln 2ln 1ln 2022y x x =-≥⨯-=+> 所以在(0,)x ∈+∞恒有2ln 0y x x =-> 令()0g x '=，得1x =或x e =.当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当e x <时，()0g x '< 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.(1)1g =，1()1e g e e e=-- 0x →时，ln x x→-∞，1ln ln 1x x x x x=→-- x →+∞时，ln 0x x→，11ln ln 1x x x x x=→--所以0x →时，()+g x →∞，x →+∞时()1g x →所以()g x的大致图像如下:方程lnlnx xax x x=--有三个不同实数根.结合函数图像有：11,1eae e⎛⎫∈-⎪-⎝⎭故选：C【点睛】本题考查函数的零点、导数的综合应用，考查转化与化归能力，运算求解能力、数形结合思想，属于难题.二．填空题13.若实数x，y满足0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y=+的最大值为______．【答案】3【解析】【分析】作出不等式组满足的平面区域，再将目标函数平移经过可行域，可得最值.【详解】由0,20,20,x yx yx y-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域，如下目标函数2z x y =+可化为2y x z =-+. z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.即求直线2y x z =-+在y 轴上的截距的最大值. 由可行域的图像，可知目标函数过点(1,1)B 时截距最大. 所以z 的最大值为：2113z =⨯+= 故答案为：3【点睛】本题考查简单的线性规划问题，注意简单线性规划中目标函数的几何意义，属于基础题. 14.已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______． 433- 【解析】 【分析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2cos 1s 653in 6ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭341552=-+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题. 15.已知函数()lnexf x e x =-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a ，b 均为正实数)，则ab 的最大值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----，然后配对(用倒序相加法)可求和，从而求出,a b 的关系，可得出答案. 【详解】由()()()()lnln ln[]2()ex e e x ex e e x f x f e x e x e e x e x x--+-=+=⋅=----. 22018201920192019e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20182201710091010[][[]201920192019201920192019e e e e e e f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10092=⨯()10092a b =+ 所以4a b +=，且a ，b 均为正实数.则242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab 当且仅当2a b == 时取等号. 故答案为：4.16.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，则弦长AB =______．【答案】258【分析】求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l 的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案． 【详解】抛物线焦点坐标为1(,0)2F ， 设点1122(,),(,)A x y A x y 设直线l 方程为12x my =+， 由抛物线的定义有111||22p AF x x =+=+，221||22p BF x x =+=+ 由4AF BF =，得1211422x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1214(1)my my +=+. 所以有12(4)3(1)m y y -=，又由2122x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 得：2210y my --=，所以122y y m +=，121(2)y y ⋅=-由(1),(2)联立解得：2916m =. 又1212||||||12AB AF BF x x my my =+=++=++212925()22222168m y y m =++=+=⨯+=故答案为：258【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题．三．解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】(Ⅰ)60C =︒；(Ⅱ)S = 【解析】(Ⅰ)由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =，可得答案.|(Ⅱ)由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】(Ⅰ)∵3cos sin a C c A =，由正弦定理可得3sin cos sin sin A C C A =， 又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan 3C = ∵0180C <<︒，∴60C =︒．(Ⅱ)根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =． ∴ABC ∆的面积153sin 6022S CA CB =⋅︒=． 【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18.高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求图中a 的值；(Ⅱ)现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；(Ⅲ)为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(Ⅰ)0.030a =；(Ⅱ)37P =；(Ⅲ)表见解析，没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图中的面积之和为1，求参数a .(Ⅱ)由题意前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，利用列举的方法可求得概率.(Ⅲ)先计算填好2×2列联表，然后代入公式计算2K ，与给出的表格比较得出答案. 【详解】(Ⅰ)由题意()100.010.01520.0250.0051a ⨯+⨯+++=解得0.030a =.(Ⅱ)由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()13,A C ； ()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,A C ，()22,A C ，()23,A C ； ()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()13,B C ；()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()23,B C ；()31,B C ，()32,B C ，()33,B C ；()12,C C ，()13,C C ，()23,C C ；共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， ∴所求的概率为123287P ==. (Ⅲ)2×2列联表如下：由上表及公式可知()2220050406050 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为2.02＜2.072所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关.【点睛】本题考查根据频率分布直方图求参数，考查概率可独立性检验，属于中档题.19.如图在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥．(Ⅰ)求证：PE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)设F ，G 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13G BCF V -= 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据原图中的垂直关系，得到翻折后BE PE ⊥，PE BC ⊥，从而可证明. (Ⅱ)由F ，G 分别为PD ，PB 的中点111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，从而可求解体积.【详解】(Ⅰ)由题意可知BCDE 为正方形，∴BC BE ⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥ 又PE BC ⊥，且PB BE B =，∴BC ⊥平面PBE ，∵PE PB ⊂，E ，BC PE ⊥又BCBE B =，∴PE ⊥平面BCDE .(Ⅱ)∵G 为PB 的中点，∴PGF BGF S S ∆∆=，∴12C PGF C BGF C PBF V V V ---== 又F 为PD 的中点，∴PBF BDF S S ∆∆=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---== ∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----==== 又1142P BCDP BCDE V V --=，∴11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查翻折问题，考查线面垂直的证明和求体积,属于中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． (Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22198x y ；(2)存在，0m ≤<或0m <≤【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.(Ⅱ)AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围. 【详解】(1)由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y .(2)直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=012m -≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是012m -≤<或012m <≤. 【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题.21.设函数()ln xa e f xb x e=-，且()11f =(其中e 是自然对数底数)．(Ⅰ)若1b =，求()f x 的单调区间； (Ⅱ)若0b e ≤≤，求证：()0f x >． 【答案】(Ⅰ)增区间为1,，减区间为0,1；(Ⅱ)见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)当1b =时()11x xe f x x--'=，令()11x t x xe -=-，对()t x 求导分析出其单调性，从而分析出函数值的符号，得到()f x 的单调区间.(Ⅱ)对()f x 求导讨论其单调性，分析其最小值，证明其最小值大于0即可. 【详解】(Ⅰ)由()11f =可得，1a =，又1b =，∴()1ln x f x e x -=-，()11x xe f x x--'=，0x >，令()11x t x xe-=-，()()11x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在0,单调增函数，又()10t =.∴当()0,1x ∈时，()0t x <，()‘0f x <，当()1,x ∈+∞时，()0t x >；()‘0f x >，∴()f x 的单调增区间为1,，减区间为0,1(Ⅱ)当0b =时，()0f x >，符合题意. 方法(一)当0b e <≤时，()11x x b xe bf x e x x---'=-=令()1x h x xeb -=-，又()00h b =-<，()220h e b =->∴()h x 在()0,2∃唯一的零点，设为0x ，有010x x eb -=且()00,x x ∈，()00f x '<，()f x 单调递减；()0,x x ∈+∞，()00f x '>，()f x 单调递增 ∴()()0100min ln x f x f x eb x -==-∵010x x eb -=，∴01x be x -=，两边取对数， 001ln ln x b x -=-∴()()000ln 1bf x b b x x =-+-00ln 2ln ln b bx b b b b b b b b b b x ⎛⎫=+--≥--=- ⎪⎝⎭(当且仅当01x =时到等号) 设()ln m b b b b =-，∴()ln m b b =-，当()0,1b ∈时，()0m b '>，当(]1,b e ∈时，()0m b '<； 又()0m e =，且，0b >，趋向0时，()0m e >； ∴当0b e <≤，()0m b ≥，当且仅当b e =时取等号由(1)可知，当1b =时，01x =，故当b e =时，01x ≠，()()00f x m b >≥，∴()00f x > 综上，当0b e ≤≤时，()0f x > 方法(二)当0b e <≤时，(i )当01x <≤时ln 0x ≤，ln 0b x ≤，()1ln 0x f x e b x -=->显然成立；(ii )当1x ≥时，构造函数()ln 1F x x x =-+()110F x x'=-≤，()F x 在[)1,+∞为减函数，∴()()10F x F ≤=，∴0ln 1x x <≤- ∴()()0ln 11b x b x e x <≤-≤-，∴()0ln 1b x e x <<- ∴()()11ln 1x x f x eb x e e x --=->--又由ln 1x x ≤-，可得21x e x -≥-，进而()()110x f x e e x -=--≥综上：当0b e ≤≤时，()0f x >【点睛】本题考查求函数单调区间和证明函数不等式，考查了导数的应用，应用了放缩与指对互化的技巧，属于难题.四．选考题22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求1C ，2C 的极坐标方程； (2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==，所以MN =12. 试题解析：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ==所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯= 考点：坐标系与参数方程.【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】 试题分析：(1)解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：(1)当a ＝－3时，f(x)＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f(x)≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|(4－x)－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【此处有视频，请去附件查看】百度文库精品文档1、想想自己一路走来的心路历程，真的很颓废一事无成。
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷(文科)
2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-…，|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-= B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ． B ．C ．D ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．109．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．100810．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)12．（3分）若函数2()x f x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是()A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 ． 14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 ． 16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB = ．三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数()xa e f x blnx e =-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-． （Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若集合{||2|1}A x x =-„，|B x y ⎧==⎨⎩，则(A B =I )A ．[1-，2]B ．(2，3]C ．[1，2)D ．[1，3)【解答】解：Q 集合{||2|1}{|13}A x x x x =-=剟?，|{|2}B x y x x ⎧===<⎨⎩，{|12}[1A B x x ∴=<=I „，2)．故选：C ．2．（3分）已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=-纯虚数，则(a = ) A ．0B ．1C ．2D ．1±【解答】解：()(1)1(1)1(1)(1)2a i a i i a a iz i i i +++-++===--+Q 是纯虚数， ∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，即1a =．故选：B ．3．（3分）已知a ，b 都是实数，那么“lga lgb >”是“a b >”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：0lga lgb a b a b >⇒>>⇒>， 反之由“a b >”无法得出lga lgb >．∴ “lga lgb >”是“a b >”的充分不必要条件．故选：B ．4．（3分）函数1()3()2x f x x =-+零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：由于函数1()3()2x f x x =-+是R 上的单调减函数，f （3）108=>，f （4）115101616=-+=-<，根据函数的零点存在性定理，函数只有1个零点． 故选：B ．5．（3分）根据如表的数据，用最小二乘法计算出变量x ，y 的线性回归方程为( )x1 2 3 4 5 y0.5111.52A ．ˆ0.350.15yx =+ B ．ˆ0.350.25yx =-+C ．ˆ0.350.15yx =-+ D ．ˆ0.350.25yx =+ 【解答】解：1234535x ++++==，0.511 1.521.25y ++++==，5152215ˆ0.355i ii ii x yxy bxx ==-==-∑∑，ˆˆ 1.20.3530.15ay bx =-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.350.15yx =+． 故选：A ．6．（3分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC ∆的顶点(4,0)A ，(0,2)B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．230x y -+=D ．230x y --=【解答】解：线段AB 的中点为(2,1)，12AB k =-，∴线段AB 的垂直平分线为：2(2)1y x =-+，即230x y --=，AC BC =Q ，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB 的垂直平分线上，因此ABC ∆的欧拉线方程为230x y --=， 故选：D ．7．（3分）函数21()||12f x x ln x =--的大致图象为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()()f x f x -=，函数为偶函数， 当x →+∞，()f x →+∞，排除A ，D ，f （1）111122=-=->-，∴排除B ， 故选：C ．8．（3分）在ABC ∆中，4AB =，6AC =，点O 为ABC ∆的外心，则AO BC u u u r u u u rg 的值为( )A ．26B ．13C ．523D ．10【解答】解：过O 作OS AB ⊥，OT AC ⊥垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点，()AO BC AO AC AB AO AC AO AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g ||||||||AC AT AB AS =-u u u r u u u r u u u r u u u r646422=⨯-⨯10=．故选：D ．9．（3分）已知数列{}n a 满足11a =，且1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点，设22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018[](b b b b b b ++⋯+= )A ．2019B ．2018C ．1009D ．1008【解答】解：函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈， 可得21()2n n f x a x a x +'=-，1x =是函数321()1()3n n a f x x a x n N ++=-+∈的极值点， 可得：120n n a a +-=，即{}n a 是等比数列，首项为11a =，公比为2，可得12n n a -=，22log 21n n b a n ==-，122320182019201820182018111100930282018()1009100813354035403740374037b b b b b b ++⋯+=++⋯+=-=+⨯⨯⨯， 则122320182019201820182018[]1008b b b b b b ++⋯+=． 故选：D ．10．（3分）如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5cm ，如果不计容器的厚度，则球的表面积为( )A ．25003cm πB ．26259cm πC ．262536cm πD ．215625162cm π【解答】解：如图所示，设球的半径为R ，由题意可得OA OB =，O A OB '⊥交OB 于O '，4O A '=，3O B '=，在三角形OO A '中，222OO OA O A ''=-，即222(3)4R R -=-，解得256R =，所以球的表面积262549S R ππ==， 故选：B ．11．（3分）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒，则1ABF ∆的周长为( ) A 1638+ B ．4(21) C 438+ D ．2(32)【解答】解：由双曲线2221(0)4x y b b -=>，可得：2a =．如图所示，设2||AF m =，2||BF n =． 可得：1||4AF m =+，1||4BF n =+．4m m n ∴+=+．解得4n =．作1AD BF ⊥，垂足为D ．D 为线段1BF 的中点． 160F AD ∠=︒．13||(4)DF m ∴=+， ∴3(4)24m n +⨯=+，即3(4)4m n +=+． 又4n =，代入解得：834m =-． 1ABF ∴∆的周长44m m n n =+++++16382()8m n =++=+． 故选：A ．12．（3分）若函数2()xf x ax lnx x lnx=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．1(1,)1e e e-- B ．[1，1]1e e e -- C ．1(1ee e --，1)- D ．1[1e e e --，1]-【解答】解：令()0f x =可得x lnxa x lnx x=--， 令()x lnxg x x lnx x=--，则2211()(1)()()g x lnx x lnx x '=---．令()0g x '=可得x e =或1x =或2x lnx =， 令()2h x x lnx =-，则1()2h x x'=-， ()h x ∴在1(0,)2单调递减，在1(2，)+∞单调递增，()h x ∴的最小值为11()1022h ln =->，∴方程2x lnx =无解．当01x <<时，10lnx ->，x lnx x ->，当1x e <<时，10lnx ->，0x lnx x <-<， 当x e >时，10lnx -<，0x lnx x <-<，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，当x e >时，()0g x '<，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，∴当1x =时，()g x 取得极小值g （1）1=，当x e =时，()g x 取得极大值g （e ）11e e e=--． ()f x Q 有3个零点，()a g x ∴=有3解，111e a e e∴<<--． 故选：A ． 二．填空题13．（3分）若实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„则2z x y =+的最大值为 3 ． 【解答】解：作出实数x ，y 满足0,20,20,x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩„…„表示的平面区域，如图所示： 由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大 作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B 时，z 最大 由20x y x y +=⎧⎨-=⎩可得(1,1)A ，此时3z =．故答案为：3．14．（3分）已知4sin()65πα+=，5(,)36ππα∈，则cos α的值为 433-【解答】解：由5(,)36ππα∈，得(62ππα+∈，)π，由4sin()65πα+=，得23cos()1sin ()665ππαα+=-+-，所以cos cos[()]66ππαα=+-cos()cos sin()sin 6666ππππαα=+++3341()552=-+⨯433-=433-． 15．（3分）已知函数()ex f x lne x =-，满足220181009()()()()(2019201920192e e ef f f a b a ++⋯+=+，b 均为正实数），则ab 的最大值为 4 ． 【解答】解：由()exf x ln e x=-，可得2()()2f x f e x ln ln lne +-=+==， 因为220181009()()()()2019201920192e e e f f f a b ++⋯+=+， 所以20181009()222a b +⨯=， 即有4a b +=， 由基本不等式可得2()42a b ab +=…，当且仅当2a b ==时取等号，此时取得最大值4． 故答案为：4．16．（3分）设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且||4||AF BF =，则弦长||AB =258． 【解答】解：抛物线焦点坐标为1(2F ，0)，设直线方程为12x my =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2212y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得：2210y my --=，则由韦达定理有：122y y m +=，①，121y y =-，②||4||AF BF =Q ，∴12114()22x x -=-，124y y -=，③， 由①②③可得2916m =， 1212925||1()222168AB x x m y y ∴=++=++=⨯+=． 故答案为：258． 三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，bccos sin C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB ABC ∆的面积． 【解答】解：()I ．Q cos sin C c A =cos sin sin A C C A =．又A 是ABC ∆内角，sin 0A ∴≠，∴tan C =0180C <<︒Q ，60C ∴=︒．()II 根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PAPB =+-︒， 解得2AP =，5BC ∴=，2AC =．ABC ∴∆的面积153sin 602S CA CB =︒=． 18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下22⨯列联表：经常使用 偶尔使用或不用合计 男性 50 100 女性 40 合计200完成上述22⨯列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.635【解答】解：（Ⅰ）由题意知，10(0.010.01520.0250.005)1a ⨯+⨯+++=， 解得0.030a =；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3， 分别记为1A ，2A ，1B ，2B ，3B ，1C ，2C ，3C ，从中抽取2辆的结果有：1(A ，2)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，1(A ，3)B ， 1(A ，1)C ，1(A ，2)C ，1(A ，3)C ；2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，2(A ，3)B ， 2(A ，1)C ，2(A ，2)C ，2(A ，3)C ；1(B ，2)B ，1(B ，3)B ，1(B ，1)C ， 1(B ，2)C ，1(B ，3)C ；2(B ，3)B ，2(B ，1)C ，2(B ，2)C ，2(B ，3)C ； 3(B ，1)C ，3(B ，2)C ，3(B ，3)C ；1(C ，2)C ，1(C ，3)C ，2(C ，3)C 共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个， 故所求的概率为123287P ==； （Ⅲ）由题意填写22⨯列联表如下，经常使用 偶尔使用或不用合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计11090200由上表及公式可知2200(50406050) 2.0210010011090K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；因为2.02 2.072<，所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关．19．（12分）如图在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD DC ⊥，E 为AD 的中点224AD BC CD ===，以BE 为折痕把ABE ∆折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BC ⊥． （Ⅰ）求证：PE ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）设F ，F 分别为PD ，PB 的中点，求三棱锥G BCF -的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：由题意可知BCDE 为正方形，BC BE ∴⊥，且BE AE ⊥，即BE PE ⊥，又PE BC ⊥，且PB BE B =I ，BC ∴⊥平面PBE ，PE ⊂Q 平面PBE ，BC PE ⊥，又BC BE B =I ，PE ∴⊥平面BCDE ． （Ⅱ）解：G Q 为PB 的中点，PGF BGF S S ∆∆∴=，∴12C PGF C BGF C PBF V VV ---==，又F 为PD 的中点，PBF BDF S S ∆∆∴=，∴12C PBF C BDF C PBD V V V ---==，∴111244G BCF G BGF C PBF C PBD P BCD V V V V V -----====，又1142P BCD P BCDE V V --=， ∴三棱锥G BCF -的体积为：11112228833G BCF P BCDE V V --==⨯⨯⨯⨯=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12． （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ）过点(0,2)P 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，222b a c =-，所以3a =，1c =，28b =，所以椭圆C 的方程为22198x y +=（Ⅱ）直线l 的解析式为2y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，AB 的中点为0(E x ，0)y ， 假设存在点(,0)D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形， 则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(89)36360k x kx ++-=，故1223698k x x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DEk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++ 当0k >时，89k k +=…0m <； 当0k <时，89k k+-„012m <„，综上：m取值范围是[，0)(0⋃． 21．（12分）设函数()xa e f x blnx e=-，且f （1）1=（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）若1b =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0b e 剟，求证：()0f x >．【解答】解：（Ⅰ）由条件可得，1a =，1b =，111()()x x xe f x elnxf x x---'∴=-=，0x > 令1()1x t x xe -=-，1()(1)x t x x e -'=+，当0x >时，()0t x '>，()t x 在(0,)+∞单调增函数，又t （1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0t x <，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0t x >，()0f x '>，()f x ∴的单调增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；（Ⅱ）当0b =时，()0f x >，符合题意， 当0b e <„时，11()x x b xe bf x ex x---'=-=， 令1()x h x xe b -=-，又(0)0h b =-<，h （2）20e b =->，()h x ∴在(0,2)∃唯一的零点，设为0x ，有010x x e b -=，且0(0,)x x ∈，0(0)f x '<，()f x 单调递减； 0(x x ∈，)+∞，0(0)f x '>，()f x 单调递增；∴0100()()x min f x f x e blnx -==-Q 010x x e b -=， ∴010x be x -=，两边取对数，001x lnb lnx -=-， ∴00000()(1)()2b bf x b lnb x bx blnb b b blnb b b blnb x x =-+-=+----=-…（当且仅当01x =时到等号），设m （b ）b blnb =-， m ∴（b ）lnb =-，当(0,1)b ∈时，m '（b ）0>， 当(1b ∈，]e 时，m '（b ）0<；又m （e ）0=，且，0b >，趋向0时，m （e ）0>；∴当0b e <„，m （b ）0…，当且仅当b e =时取等号，由（1）可知，当1b =时，01x =，，故当b e =时，01x ≠，0()f x m >（b ）0…， 0()0f x ∴>，综上，当0b e 剟时，()0f x >． 四．选考题22．在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△2C MN 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由于cos x ρθ=，sin y ρθ=，1:2C x ∴=- 的 极坐标方程为cos 2ρθ=-，故222:(1)(2)1C x y -+-=的极坐标方程为： 22(cos 1)(sin 2)1ρθρθ-+-=，化简可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=． （Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程()4R πθρ=∈代入圆222:(1)(2)1C x y -+-=，可得2(2cos 4sin )40ρρθρθ-++=， 求得122ρ=，22ρ=，12||||2MN ρρ∴=-=，由于圆2C 的半径为1，22C M C N ∴⊥，△2C MN 的面积为2211111222C M C N =⨯⨯=g g ．23．已知函数()|||2|f x x a x =++-．（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x …的解集； （Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当3a =-时，()3f x …即|3||2|3x x -+-…， 即①2323x x x ⎧⎨-+-⎩„…，或②23323x x x <<⎧⎨-+-⎩…，或③3323x x x ⎧⎨-+-⎩……；解①可得1x „，解②可得x ∈∅，解③可得4x …． 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{|1x x „或4}x …． （2）原命题即()|4|f x x -„在[1，2]上恒成立，等价于||24x a x x ++--„在[1，2]上恒成立，等价于||2x a +…，等价于22x a -+剟，22x a x ---剟在[1，2]上恒成立． 故当12x 剟时，2x --的最大值为213--=-，2x -的最小值为0， 故a 的取值范围为[3-，0]．。
2020年安徽省淮南市艺术中学高三数学文联考试卷含解析
2020年安徽省淮南市艺术中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．6参考答案：C如右图所示，点A（0，－2），由，得，所以B（4，2），因此所围成的图形的面积为。
选择C。
2. 如图，程序框图所进行的求和运算是A．B．C．D．参考答案：A3. 若的最小值为( )A．B．C．D．参考答案：A因为函数的最小值为，选A.4. 已知双曲线的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为A．B．2 C．D．参考答案：D解答：由题意，则，故渐近线方程为，则点到渐近线的距离为.故选D.5. 已知变量满足约束条件，则的最小值为( )A．B．C．D．参考答案：6. 设全集S={a，b，c，d，e}，集合A={a，c}，B={b，e}，则下面论断正确的是（）A．A∪B=S B．A C S B C．C S A B D．C S A∩C S B=[来源: / /]参考答案：B7. 设定义在R上的函数，若关于的方程有三个不同实数解，，且，则下列说法中正确的是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 若函数f（x）=log a（x+b）的图象如图，其中a，b为常数．则函数g（x）=a x+b的大致图象是（）．B．D．D9. 已知等比数列的前项和为，若，且满足，则使的的最大值为（）（A）6 （B）7 （C）8 （D）9参考答案：D略10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）参考答案：B满足条件的四面体如左图，依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个几何体的三视图如图所示，其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是．参考答案：12. 已知函数f(x)=sinx+5x,x∈(-1,1),如果f(1-a)+f(1-a2)<0,则a的取值范围是_______________.参考答案：1<a<13. ．参考答案：略14. 已知二次函数，不等式的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为)，则实数m的值是_______.参考答案：【分析】根据题意的解集为，分析可得和是方程的两根，将二次函数根与系数的关系与相结合，可得的值．【详解】根据题意的解集为，则和是方程即的两根，则，，不等式的解集的区间长度为6，即，则有，解可得，故答案为．【点睛】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．15. 已知点为圆外一点，圆上存在点使得，则实数的取值范围是▲ .参考答案：16. 设sin（+θ）=，则sin2θ=．参考答案：﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：利用两角和的正弦公式可得+=，平方可得+sin2θ=，由此解得sin2θ的值．解答：解：∵sin（+θ）=，即+=，平方可得+sin2θ=，解得sin2θ=﹣，故答案为﹣．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用，属于基础题．17. 若x，y满足约束条件则的最小值为．参考答案：画出x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=的几何意义为动点P（x，y）到定点Q（﹣2，﹣1）的斜率，当P位于A（﹣1，1）时，此时QA的斜率最大，此时z max==2，当P位于B（1，1）时，此时直线的斜率最小，目标函数z=的最小值是．故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年安徽省淮南市大兴中学高三数学文摸底试卷含解析
2020年安徽省淮南市大兴中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若R，为虚数单位，且，则（）A．，B．，C．，D．，参考答案：2. 已知，，，（且），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是（）A B CD参考答案：B略3. 若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件可得f（x）是周期函数，T=2，h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g（x）图象，由图象可得结论．【解答】解：由题意f（1+x）=f（x﹣1）?f（x+2）=f（x），故f（x）是周期函数，T=2，令h（x）=f（x）﹣g（x）=0，则f（x）=g（x），在同一坐标系中作y=f（x）和y=g （x）图象，如图所示：故在区间[﹣5，5]内，函数y=f（x）和y=g（x）图象的交点有8个，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为8．故选C．【点评】本题考查函数零点的定义，体现了数形结合的数学思想，在同一坐标系中作y=f （x）和y=g（x）图象，是解题的关键．4. 设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（﹣2）＜f（π）＜f（﹣3）B．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）C．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（π）D．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（π）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间[0，+∞）上，然后利用函数的单调性比较大小关系．【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2）．∵函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（π）＞f（3）＞f（2），即f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2），故选C．【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再比较大小．5. 函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A． B． C． D．参考答案：D6. 下列判断正确的是（）A．函数是奇函数； B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数 D．函数既是奇函数又是偶函数参考答案：C7. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A．B．6πC．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2．的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π，上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=．故几何体的体积为V=V1+V2==．故选C．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．8. 已知a，b是实数，则“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若“a＞2且b＞2”则“a+b＞4且ab＞4”成立，即充分性成立，当a=1，b=5时，满足a+b＞4且ab＞4，但a＞2且b＞2不成立，即必要性不成立，故“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分不必要条件，故选：B9. 已知集合，则A∩B的元素有() A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B10. 若,则（）A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，且，则．参考答案：12. 正项数列的前项和为，且，若，则__________.参考答案：13. （几何证明选讲）如图，以为直径的圆与的两边分别交于两点，，则．参考答案：略14. 已知曲线与直线交于点，若设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为___________．参考答案：略15. 设双曲线的右顶点为，右焦点为．过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则的面积为．参考答案：双曲线的右顶点为，右焦点，双曲线的渐近线为，过点且与平行的直线为，则，即，由，解得，即，所以的面积为.16. 若实数x，y满足不等式组目标函数z=2x+y的最大值为．参考答案：16【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．【解答】解：作出约束条件不等式组的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（5，6）处取最大值为z=2×5+6=16．故答案为：16．17. 在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=为两点之间的“折线距离”，则坐标原点O与直线上任意一点的“折线距离”的最小值是_________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届安徽六校高三数学(文科)答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数(1)(3)z i i =+-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A.2B.2iC.4D.4i解：易知复数(1)(3)42z i i i =+-=+，故z 的虚部为2，选A.2．设集合{}11M x x =-≥，{}1N x x =<，则M N =()A.{}1x x < B.{1x x <或}2x ≥ C.{}01x x ≤< D.{}0x x ≤解：由{}{}1120M x x x x x =-≥=≥≤或且{}1N x x =<得{}0M n x x ⋂=≤，选D.3.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =-，则(3)f =（）A.9B.-9C.45D.-45解：由(3)(3)(2718)45f f =--=---=，选C.4.若10,1<<<>b c a ，则下列不等式不正确的是（）A．20192019log log a b > B.log log c b a a >C．()()bc a b c a b c ->- D.bc a c a a c a )()(->-解：由1,01a c b ><<<有,0cba a a c <->，故有()()cba c a a c a -<-，选D.5.已知函数21()44f x x x=-，则()f x 的大致图象是()A B C D解：易知当01x <<时，()0f x <；01x x <>或时，()0f x >，可排除A 、C ，又可由1132()()f f <排除D ，故选B.6.甲、乙两名同学在6次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这6次考试的平均成绩分别用x 甲、x 乙表示，则下列结论正确的是（）A.x x >甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定B.x x >甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定C.x x <甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定D.x x <甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定解：根据茎叶图中数据可求得82x =甲、83x =乙，2743S =甲，21643S =乙故选C.安徽六校教育研究会2020届高三第一次素质测试文科数学参考答案7.如图程序框图是为了求出满足322020n n ->的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.2020A >和1n n =+B.2020A >和2n n =+C.2020A ≤和1n n =+D.2020A ≤和2n n =+解：因为要求2020A >时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“2020A >”，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，所以“”中n 依次加2可保证其为偶数，所以D 选项满足要求，故选：D．8.函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象如图所示，则()fπ=()A.1B.12C.22D.32解：由图象知1A =，74123T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，此时()()sin 2f x x ϕ=+，将7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解析式得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又2πϕ<，则3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()3sin32fππ==．故选D．9.如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD 上的点，且45AM AB = ，连接AC 、MN 交于P 点，若411AP AC =，则点N 在AD 上的位置为A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点解：假设AN AD λ=，45AM AB = ，()444515411111141111AP AC AB AD AM AN AM AN λλ⎛⎫∴==+=+=+ ⎪⎝⎭，三点M，N，P 共线，542111113λλ∴+=⇒=，故选：B.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为（）A．9(0,]5B．3(0,]2C．5(0,]3D．13(,]32解：设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则OA OB =,又OF OF '=,∴四边形AFBF '为平行四边形，AF BF '∴=又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =,点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥，即22292a c c -=-≥,05c ∴<≤,50,3c e a ⎛⎤∴=∈ ⎥ ⎝⎦。
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2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知全集∪={1，2，3}，集合B={1，2}，且A∩B={1}，则满足条件的集合A的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A．m=0 B．x=0 C．x=1 D．m=14．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．5．经过抛物线x2=4y的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3=0 B．x+80y﹣5=0 C．x+3y﹣3=0 D．x+5y﹣5=06．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，7．数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2020等于（）A．2020 B．1008 C．504 D．08．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心9．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．10．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1 C．D．12．已知函数f（x）=x3﹣3ax，若f（x）存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]二.填空题13．若2x+2y=1，则x+y的取值范围是．14．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为10，求直线l 的方程为．15．二次函数y=ax2+2ax+1在区间[﹣3，2]上最大值为4，则a等于．16．定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．三.解答题17．在△ABC中，B=，AC=，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．18．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n．﹣219．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12．（1）求证：AA1⊥AC；（2）求点B到面ACC1A1的距离．20．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．21．已知函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）求证：时，若x∈[1，+∞），则f（x）≤0．四.选做题，以下三题任选一题22．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g （x）的对称中心．23．已知＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0，若¬p是¬q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．2020年安徽省淮南市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集∪={1，2，3}，集合B={1，2}，且A∩B={1}，则满足条件的集合A的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义可知，2∉A，1∈A，故3可在或不在集合A中，由子集个数公式可得．【解答】解：∵全集I={1，2，3}，集合B={1，2}，且A∩B={1}，∴2∉A，1∈A，故3可在或不在集合A中，∴满足条件的A集合的个数为21=2．故选：C．2．复数的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的基本运算化简复数即可．【解答】解：=，则复数的虚部是1，故选：C3．如图的程序框图，能判断任意输入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是（）A．m=0 B．x=0 C．x=1 D．m=1【考点】设计程序框图解决实际问题；程序框图．【分析】本题考查了选择结构，由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0，从而得到判断框条件．【解答】解：由程序框图所体现的算法可知判断一个数是奇数还是偶数，看这个数除以2的余数是1还是0．由图可知应该填m=0．故选A．4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，由此得出原来的图形是什么．【解答】解：根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变，平行于y的线段变为原来的，∵O′C′=1，O′A′=，∴OC=O′C′=1，OA=2O′A′=2；由此得出原来的图形是A．故选：A．5．经过抛物线x2=4y的焦点和双曲线﹣=1的右焦点的直线方程为（）A．x+48y﹣3=0 B．x+80y﹣5=0 C．x+3y﹣3=0 D．x+5y﹣5=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点为（0，1），求出双曲线的a，b，c，可得右焦点为（5，0），运用直线方程的截距式，即可得到所求方程．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点为（0，1），双曲线﹣=1的a=，b=2，c==5，可得右焦点为（5，0），由直线方程的截距式可得+y=1，即为x+5y﹣5=0．故选：D．6．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）A．2，﹣ B．2，﹣ C．4，﹣ D．4，【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，2）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==，∴T=π，∴ω==2；∵（，2）在图象上，所以2×+φ=2k，φ=2kπ，（k∈Z）．∵﹣＜φ＜，∴k=0，∴φ=．故选：A．7．数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2020等于（）A．2020 B．1008 C．504 D．0【考点】数列的求和．==0，k∈N*，a2k=2kcoskπ=2k 【分析】a n=ncos，可得a2k﹣1（﹣1）k．即可得出S2020=a2+a4+…+a2020．【解答】解：∵a n=ncos，==0，k∈N*．∴a2k﹣1a2k=2kcoskπ=2k（﹣1）k．则S2020=a2+a4+…+a2020=2[（2﹣1）+（4﹣3）+…+]=1008，故选：B．8．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定+的方向与∠BAC的角平分线一致，再由可得到=λ（+），可得答案．【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴=λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选B．9．函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．【解答】解：设y=f（x），则f（﹣x）=xcosx=﹣f（x），f（x）为奇函数；又时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故应选D．10．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．11．如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A．B．π+1 C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q 使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故选：D．12．已知函数f（x）=x3﹣3ax，若f（x）存在唯一的零点x0，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的加法与减法法则．【分析】求导f′（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a）；从而分类讨论以确定函数的单调性，从而转化为极值问题求解即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3ax2，∴f′（x）=3x2﹣6ax=3x（x﹣2a）；当a=0时，f（x）=x3﹣3ax2在R上是增函数，故f（x）存在唯一的零点；当a＜0时，f（x）=x3﹣3ax2在（﹣∞，2a）上是增函数，在（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；而且f（0）=0，f（x）存在唯一的零点；当a＞0时，f（x）=x3﹣3ax2在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；而且f（0）=0，故只需使f（2a）=8a3﹣12a3＞0，无解综上所述，a的取值范围为[﹣∞，0]，故选：D．二.填空题13．若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用基本不等式构造出2x•2y，利用指数的运算性质，即可求得x+y的取值范围．【解答】解：∵2x＞0，2y＞0，∴2x+2y≥=，当且仅当2x=2y，即x=y时取“=”，∵2x+2y=1，∴≤1，即=2﹣2，∴x+y≤﹣2，∴x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．14．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为10，求直线l 的方程为x﹣3y﹣6=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当直线l的斜率不存在时，过点M（﹣3，﹣3）的直线l的方程为x=﹣3，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）﹣3，求出圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心、半径及圆心（0，﹣2）到直线l：y=k（x+3）﹣3的距离，根据过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为10，由勾股定理能求出直线l．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，过点M（﹣3，﹣3）的直线l的方程为x=﹣3，联立，得，或，∴直线l：x=﹣3被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为4，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）﹣3，圆x2+y2+4y﹣21=0的圆心（0，﹣2），半径r==5，圆心（0，﹣2）到直线l：y=k（x+3）﹣3的距离d==，∵过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+4y﹣21=0所截得的弦长为10，∴由勾股定理得：，即25=+25，解得k=，∴直线l：y=（x+3）﹣3，整理，得x﹣3y﹣6=0．故答案为：x﹣3y﹣6=0．15．二次函数y=ax2+2ax+1在区间[﹣3，2]上最大值为4，则a等于﹣3或．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据函数解析式确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解a的值．【解答】解：根据所给二次函数解析式可知，对称轴为x=﹣1，且恒过定点（0，1），（1）当a＜0时，函数在[﹣3，﹣1]上单调递增，在[﹣1，2]上单调递减，所以函数在x=﹣1处取得最大值，因为f（﹣1）=﹣a+1=4，所以a=﹣3．（2）当a＞0时，函数在[﹣3，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，所以函数在x=2处取得最大值，因为f（2）=8a+1=4，所以a=，故答案为﹣3或．16．定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在[﹣2，0]上为增，若满足f（1﹣m）＜f（m），则m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数的性质等价转化所求的不等式，利用函数的单调性和定义域，列出关于m的不等式组，再求出m的取值范围．【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，所以不等式f（1﹣m）＜f（m）等价于：f（|1﹣m|）＜f（|m|），因为f（x）在[﹣2，0]上为增函数，所以，解得﹣1≤m＜，即m的取值范围是，故答案为：．三.解答题17．在△ABC中，B=，AC=，求AB+BC的最大值并判断取得最大值时△ABC的形状．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，从而利用三角函数恒等变换的应用可求AB+BC=，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：∵B=，AC=，∴在△ABC中，根据==，得AB=•sinC=sinC=2sinC，∴同理BC=2sinA，∴AB+BC=2sinC+2sinA，…=2sinC+2sin（π﹣C）=，…当C=，可得AB+BC的最大值为，…取最大值时，因而△ABC是等边三角形．…18．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n．﹣2【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式a n；=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公（II）由（I）可得a3n﹣2．差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）=0，∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．∴a n=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公（II）由（I）可得a3n﹣2差的等差数列．=∴S n=a1+a4+a7+…+a3n﹣2==﹣3n2+28n．19．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥AC，且A1B=AC=5，AA1=BC=13，且AB=12．（1）求证：AA1⊥AC；（2）求点B到面ACC1A1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面ABB1A1即可，（2）根据体积法建立方程关系进行求解．【解答】（1）证明：在△ABC中，∵AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB，…又∵A1B⊥AC且A1B、AC是面ABB1A1内的两条相交直线，∴AC⊥平面ABB1A1，又AA1⊂平面ABB1A1，∴AA1⊥AC；…（2）在△ABC中，∵，∴A1B⊥AB，又∵A1B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，∴A1B⊥面ABC，…由（1）知，AA1⊥AC，∴，∵，设点B到面ACC1A1的距离为h，由得，，解得，∴点B到面ACC1A1的距离为…20．如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．【考点】轨迹方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题意P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x p，y p）由已知得：∵P在圆上，∴，即C的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），将直线方程即：，∴线段AB的长度为|AB|===．21．已知函数f（x）=xlnx+（2a﹣1）x﹣ax2﹣a+1，（1）若，求f（x）的单调区间；（2）求证：时，若x∈[1，+∞），则f（x）≤0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）可求导数，f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1），进而求出a=时的导数，为判断导数符号需进一步求导，这样即可判断导数f′（x）的符号，从而求出f（x）的单调区间；（2）可令f′（x）=0，从而得到lnx=2a（x﹣1），容易得出函数lnx在x=1处的切线为y=x ﹣1，根据上面可以得出a=时，可得出f（x）≤0，而a时，数形结合即可得出f（x）≤0，这样即证出结论．【解答】解：（1）f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1）当时，f′（x）=lnx﹣（x﹣1）令g（x）=lnx﹣（x﹣1），则．x∈（0，1）时g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时g′（x）＜0∴g（x）≤g（1）=0，即f′（x）≤0（只在x=1处取等号）∴f（x）的单减区间是（0，+∞）；（2）f′（x）=lnx﹣2a（x﹣1）令f′（x）=0，则lnx=2a（x﹣1）且函数lnx在x=1处的切线为y=x﹣1由（1）知，时，f（x）在[1，+∞）上单减且f（1）=0∴f（x）≤0，合题意当a＞时，数形结合知，f（x）在[1，+∞）上仍单减且f（1）=0∴f（x）≤f（1）=0综上：若，且x∈[1，+∞），恒有f（x）≤0．四.选做题，以下三题任选一题22．已知函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+（0≤ϕ≤）为偶函数．（I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的对称中心．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】（I）把函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，即为函数解析式的最简形式，即可求出最小正周期以及单调区间；（II）由题意根据平移变换求出函数的解析式，然后求出函数的对称中心即可．【解答】解：（I）函数f（x）=sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+=sin（2x﹣2φ）﹣（2cos2φ﹣1）=sin（2x﹣2φ）﹣cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ）函数f（x）为偶函数，则﹣2φ=kπ，k∈z∵0≤ϕ≤∴φ=∴f（x）=sin（2x﹣π）=﹣sin2x∴函数的最小正周期T==π令2x∈[﹣+2kπ， +2kπ]k∈Z 解得：﹣+kπ≤x≤+kπ∴函数f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ， +kπ]k∈Z（II）由（I）知f（x）=﹣sin2x由题意知g（x）=﹣sin[2（x﹣）]=﹣sin（2x﹣）令2x﹣=kπ（k∈Z），则x=+（k∈Z），∴函数的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）．23．已知＜2；q：x2﹣2x+1﹣m2＜0，若¬p是¬q的充分非必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】＜2⇔﹣2＜x＜10，记A={x|﹣2＜x＜10}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2＜0}，由¬p是¬q的充分非必要条件，可知：B⊊A．再利用二次函数的图象与性质即可得出．【解答】解：＜2⇔﹣2＜x＜10，…记A={x|﹣2＜x＜10}，B={x|x2﹣2x+1﹣m2＜0}，由¬p是¬q的充分非必要条件，可知：B⊊A…记，f（x）=x2﹣2x+1﹣m2，则，即解此不等式组得，﹣3≤m≤3…经检验m=±3时上等式组中两不等式的等号不同时成立．∴m的取值范围是﹣3≤m≤3…24．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【考点】平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．2020年8月5日。