微积分的发展和应用
微积分的重要性和应用
微积分的重要性和应用微积分是数学中的一门重要学科，对于各个领域的研究和应用起着至关重要的作用。
它是研究函数、极限、导数、积分等概念和方法的学科，涵盖了计算、物理、经济、生物等多个领域。
本文将探讨微积分的重要性以及其在不同领域的应用。
一、微积分的重要性微积分是现代科学和技术的重要基础，它在以下几个方面具有重要的作用。
1. 为自然科学提供数学工具：微积分是物理学和工程学等自然科学的基础数学工具之一。
在描述物体运动、电磁场分布、流体力学等领域时，微积分提供了解决问题的数学工具和方法。
2. 推动科学发展：微积分是科学发展的催化剂。
通过微积分的工具和方法，科学家能够解决复杂的问题，深入探索自然界的奥秘，推动科学的发展与进步。
3. 发展现代工程技术：微积分在工程技术领域的应用广泛而重要。
例如，在建筑设计中，通过微积分可以确定最佳结构，优化设计方案；在电子工程中，可以应用微积分来模拟电路的工作原理和性能；在航天技术中，微积分可以用于轨道设计和导弹的制导系统等。
4. 为经济学提供分析方法：微积分在经济学中具有重要的应用。
通过微积分的方法，经济学家可以分析供求关系、成本效益、市场均衡等经济问题，为决策提供科学的依据。
二、微积分在不同领域的应用微积分在各个领域都有广泛的应用，下面将分别探讨微积分在计算、物理和生物等领域的应用。
1. 计算领域微积分为计算机科学和数据分析领域提供了重要的工具和方法。
以机器学习为例，微积分的概念和技术被广泛应用于算法的设计和优化，使得计算机可以通过学习和分析数据来进行模式识别、预测和决策。
此外，在计算机图形学中，微积分也被用来实现图像处理、三维建模等技术。
2. 物理领域微积分是物理学的基础，它在解析力学、电磁学、量子力学等领域中具有重要应用。
在古典力学中，微积分被用于描述物体的运动和力学性质；在电磁学中，微积分被用于分析电场、磁场和电磁波等现象；在量子力学中，微积分被用于描述微观粒子的行为和性质。
数学中的微积分概念及应用
数学中的微积分概念及应用数学是一门博大精深的学科，微积分是其中的重要分支之一。
微积分的概念和应用广泛，涵盖了自然科学、工程学、经济学等领域。
下面将从微积分的概念、应用以及未来发展方向等方面入手，进行阐述。
一、微积分的概念微积分是研究变化率和积分的数学分支。
变化率是一个函数从一个值到另一个值之间的变化率。
积分是对一个函数的面积进行求解。
微积分的概念是在求解变化率和积分的过程中，将一个函数划分成无穷小的部分，对其进行求导与积分。
微积分被广泛应用于科学领域，如物理、化学、生物学等，同时也是工程、经济领域中不可或缺的数学工具。
二、微积分的应用微积分在科学研究中有着非常广泛的应用。
例如，在物理学中，微积分用于研究物体的运动和变化；在化学中，微积分用于求解化学反应的速率和平衡常数；在生物学中，微积分用于研究种群生长和遗传；在医学中，微积分用于研究生命的本质和探索人体的内部结构。
微积分还被广泛应用于工程学领域，如机械工程、电气工程等。
在机械工程中，微积分用于研究机械运动和变形；在电气工程中，微积分用于研究电路和信号处理等。
三、微积分的未来发展方向随着科学技术的不断发展，微积分的应用范围也在不断扩大。
未来，微积分的发展方向将主要体现在以下几个方面：1. 数值方法数值方法是微积分的一种重要应用，它可以用计算机模拟和解决实际问题，例如对复杂模型的求解和对结构的分析等。
传统的微积分方法不适用于复杂模型的求解，数值方法则可以通过计算机模拟和求解，使得分析工作更加便捷和高效。
2.应用领域扩大微积分已经在物理、化学、生物学、工程学、经济学等领域得到了广泛应用，随着科学技术的不断发展，微积分的应用领域将不断扩大，新的领域也将应用微积分，例如人工智能、物联网、数据科学等。
3. 深度学习深度学习是一种人工智能算法，它可以用于图像识别、自然语言处理、语音识别和机器人等领域。
微积分作为深度学习的基础，将为未来的发展提供更加广泛的应用场景。
微积分的发展
微积分的发展微积分是数学中的一门重要分支，它是对极限、导数和积分等基本概念的研究和应用。
微积分起源于17世纪的欧洲，经过几个世纪的发展和完善，现在已成为现代数学以及其他学科领域中不可或缺的工具和基础。
微积分的发展可以追溯到古希腊的数学家阿基米德，他在求解曲线面积和体积的问题中提出了类似于微积分的方法。
此外，中国著名数学家刘徽也曾经在《九章算术》中提到过积分的概念。
然而，微积分的真正发展始于17世纪，那时欧洲许多数学家和科学家开始在这方面研究，尤其是牛顿和莱布尼兹。
1642年，牛顿出生在英国林肯郡的乡村中。
在他年轻时，曾对人说：“如果有什么我所见过的比别人更远，则是因为我站在巨人的肩上。
”他的话虽然简单，却能够很好地说明他对科学的贡献，他成为了数学、物理学中的一个伟大巨人。
在数学上，他所做的巨大贡献之一就是微积分的发展。
牛顿发明了微积分的三大支柱：极限、导数和积分。
在1664年至1666年的牛顿绝学时期，他发明了微积分的原理，并创建了微积分这一分支领域的基本理论和方法。
与牛顿同时代的莱布尼兹也是微积分发展中重要的人物之一。
莱布尼兹出生于1646年，在数学上，他主要创立了微积分的符号形式，这给微积分的研究和应用带来了便利，同时，他还发明了微分学和积分学这两种不同的微积分方法。
18世纪，欧拉、拉格朗日和拉普拉斯等数学家则对微积分的各个方面进行了研究和推广。
欧拉是微积分中的里程碑式人物之一，他在微积分中系统地应用了指数及对数函数，发明了莫比乌斯函数和阿贝尔求和等。
拉格朗日发现了一种新的微积分算法，可以通过代数运算来证明微积分的性质，也就是在证明微积分定理的时候，可以不必再用到极限。
而拉普拉斯在微积分的发展中，对微分和泊松公式的推导和应用做出了重要贡献。
18世纪的欧洲，微积分的各个方面都已经得到了重要的推广和完善。
19世纪，由于清末中西文化交流的推动，西方的微积分也传进了中国。
在中国，李文襄和严步兵等数学家为发展微积分、深入研究数学领域做出了重要的贡献。
微积分的发展历史
微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。
2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。
3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。
牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。
这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。
4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。
5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。
这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。
6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。
来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。
7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。
8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。
函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。
高中 微积分
高中微积分摘要：一、微积分简介1.微积分的概念2.微积分的发展历程3.微积分在高中阶段的教学内容二、微积分的核心概念1.极限2.导数3.积分三、微积分的基本公式和定理1.导数的基本公式2.导数的应用定理3.积分的计算公式4.积分的应用定理四、微积分在高中数学中的应用1.函数问题2.几何问题3.物理问题五、微积分的学习方法和策略1.理解概念和原理2.掌握基本公式和定理3.培养解题技巧和思维能力正文：微积分是高中数学的重要内容，它以函数为基础，研究函数的极限、导数、积分等性质。
微积分的发展历程悠久，从古希腊时期的数学家开始，经历了一系列重要的发展阶段，如牛顿和莱布尼茨的创立等。
在我国，微积分自20 世纪初开始引入中学教育，现已成为高中数学的必修课程。
微积分涉及的核心概念包括极限、导数和积分。
极限是微积分的基石，它研究当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。
导数则是描述函数在某一点处变化率的数学量，它反映了函数的局部性质。
积分则是一种求和的方法，用于计算曲线下的面积、长度等。
微积分中包含许多基本公式和定理，如导数的基本公式、拉格朗日中值定理、牛顿- 莱布尼茨公式等。
这些公式和定理为解决实际问题提供了有力的工具。
在高中阶段，微积分主要应用于函数问题、几何问题以及物理问题等，如求解极值、曲线拟合、速度与加速度等。
学习微积分需要掌握一定的方法和策略。
首先，要深入理解概念和原理，这是解决问题的关键。
其次，熟练掌握基本公式和定理，这样才能迅速地解决问题。
最后，培养解题技巧和思维能力，这有助于提高解题效率和准确度。
总之，微积分是高中数学的重要组成部分，它为我们解决实际问题提供了丰富的方法和策略。
学习微积分需要投入时间和精力，但回报也是丰厚的。
微积分的发展和应用
英文摘要2
1微积分产生的背景 3
1.1萌芽时期3
1.2准备时期3
2微积分的建立 4
2.1牛顿4
2.2莱布尼茨5
2.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较7
3微积分的发展及完善 8
4微积分的应用 9
4.1在数学学科中的应用9
4.2在其他学科中的应用12
5结语 13
6致谢 14
7参考文献 15
摘要：本篇论文主要介绍了微积分的发展和应用。微积分的发展过程，是从微积分产生的背景，微积分的建立，微积分的发展与完善这三个方面来介绍。其中背景中简单介绍了萌芽时期古希腊数学家欧多克斯与阿基米德的思想，及中国此时期一些有关思想；准备时期出现的急需解决的问题，及数位数学家的方法。在微积分的建立中着重对牛顿及莱布尼茨建立微积分的过程加以描述，牛顿和莱布尼茨关于建立微积分而作出的杰出贡献,就在于他们分别提出了微积分的基本原理、三个重要概念流量、流数、瞬和“变量”数学的思想体系。在微积分的发展和完善中对欧拉，柯西和黎曼对微积分的完善做了简单的介绍。应用方面则是从数学学科和其他学微积分的萌芽出现得比较早,下面简单介绍一下。
古希腊数学家欧多克斯发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步
中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰,日取其半,万事不竭”，就蕴涵了无穷小的思想。还有中国数学家刘徽,发明了“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率 3.14。
但这一时期微积分并没有引起人们的广泛关注。
1.2准备时期
微积分在实际中的应用
微积分在实际中的应用一、微积分的发明历程如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
微积分是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求合”就是积分。
微分学包括求导的运算，是一套关于变化的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可以用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念、求面积的无限小方法、积分与微分的互逆关系。
前两阶段的工作，欧洲及中国的大批数学家都做出了各自的贡献。
从17 世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学时代，即微积分不断完善成为一门学科。
整个17 世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。
二、微积分的思想从微积分成为一门学科来说，是在17 世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。
公元前3 世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287~ 前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，与此同时，战国时期庄子在《庄子•天下篇》中说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，体现了无限可分性及极限思想。
公元3 世纪,刘徽在《九章算术》中提及割圆术“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”用正多边形来逼近圆周。
这是极限论思想的成功运用。
他的极限思想和无穷小方法，也是世界古代极限思想的深刻体现。
虽然最后是欧洲人真正的研究和完成了微积分的创立工作，但中国古代数学对于微积分的出色工作也是不可忽视的。
微积分的历史发展及其应用
科学技术创新2019.27微积分是一门建立在实数、函数和极限基础上的学科，它主要研究函数的微分、积分以及相关概念和应用。
微积分是微分和积分的总称，微分即“无限细分”，积分即“无限求和”。
微积分的产生起源于极限思想，最早可追溯到我国的战国时期。
魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，阿基米德的“平衡法”等都蕴含着微积分的基本思想。
17世纪牛顿莱布尼兹公式的提出标志着微积分理论开始成为一门独立的学科。
微积分推动了人类文明的进步，在数学、物理、天文以及经济学等许多领域都起到了关键的作用。
1微积分的起源与发展微积分思想的起源最早可以追溯到我国战国时期，《庄子·天下篇》中曾提到过“一尺之棰，日取其半，万事不竭”；魏晋时期刘徽在求圆周率时提出了“割圆术”的方法，其中蕴涵着分割、求和、极限等思想。
还有古希腊数学家欧多克斯的“穷竭法”，被认为是微积分的第一步；阿基米德的“平衡法”，运用微元的思想计算面积和体积等。
这些都是微积分思想萌芽的最早体现，为后世微积分的诞生打下了基础。
从15-16世纪欧洲文艺复兴时代开始，培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒等人发展和完善了前人的思想，深入研究了求切线、求面积和体积这两类基本问题，并提出了无穷小的方法，但他们都没有意识到“求切线”和“求面积”这两者之间存在着互逆关系。
直到17世纪，英国数学家巴罗引入了“微分三角形”的概念，以明确形式给出了求切线和求面积之间互逆关系的几何形式，对后来微积分的创立起到了巨大的推动作用，因此被认为是微积分创立的先驱者[1]。
17世纪以来，随着科学和生产力的进一步发展，以下四种类型的问题亟需解决：求变速运动中的即时速度；求曲线的切线；求函数的最值；求曲线长度、曲边梯形面积等。
这些问题的提出是促使微积分产生的重要因素，牛顿对此做出了巨大贡献。
牛顿在其三大著作《论流数》《无穷多项方程的分析》《流数法和无穷级数》中，将求切线和求面积之间的互逆关系从巴罗的纯几何形式推广到了代数形式，第一次以明确形式给出了微积分基本定理，并将其应用到许多动力学和运动学问题中，在经典物理学领域做出了卓越的贡献。
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目录摘要 1 英文摘要 2 1微积分产生的背景 3 1.1萌芽时期 3 1.2准备时期 3 2微积分的建立 4 2.1牛顿 4 2.2莱布尼茨 5 2.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较 7 3微积分的发展及完善 8 4微积分的应用 9 4.1在数学学科中的应用 9 4.2在其他学科中的应用 12 5结语 13 6致谢 14 7参考文献 15摘要：本篇论文主要介绍了微积分的发展和应用。
微积分的发展过程，是从微积分产生的背景，微积分的建立，微积分的发展与完善这三个方面来介绍。
其中背景中简单介绍了萌芽时期古希腊数学家欧多克斯与阿基米德的思想，及中国此时期一些有关思想；准备时期出现的急需解决的问题，及数位数学家的方法。
在微积分的建立中着重对牛顿及莱布尼茨建立微积分的过程加以描述，牛顿和莱布尼茨关于建立微积分而作出的杰出贡献, 就在于他们分别提出了微积分的基本原理、三个重要概念流量、流数、瞬和“变量”数学的思想体系。
在微积分的发展和完善中对欧拉，柯西和黎曼对微积分的完善做了简单的介绍。
应用方面则是从数学学科和其他学科的应用来介绍的。
关键词：微积分牛顿莱布尼茨黎曼积分Abstract:This thesis mainly talk about the development and application of calculus.The development of caculus can be seen from the three aspects ：the backguound of its generatation ,its establish , its develop and its completion. Firstly simply introduced the idea of Eudoxus and Archimedes who were the famous mathematicians in ancient Greek in the budding period of calculus,the idea of Chinese mathematicians and some problems need to be solved in this period. Secondly we provide a detailed description of the outstanding contribution made by Newton and Leibniz. The two great men separately put forward the basic principles of calculus and some important concepts,like fluxion and they proposed the idea of“variable” stly we give a brief introduction of Euler,Cauchy and Riemann's accomplishment,which improved and perfected the calculus. The application of the caculas is introducted according to the application of the mathematic branch and other subjects.key words:calculus Newton Leibniz Riemann Integral浅议微积分的发展与应用微积分学,是人类思维的伟大成果之一。
到今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。
同样微积分也有着久远的历史，它是经过许多人的努力而建立起来的，下面就来简单介绍一下微积分的建立及发展过程。
1微积分产生的背景1.1萌芽时期微积分的萌芽出现得比较早,下面简单介绍一下。
古希腊数学家欧多克斯发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。
欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。
古希腊数学家阿基米德在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等) ,再用另一组微小单元来进行比较,而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于杠杆的平衡原理来计算”。
实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”。
阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积=343R π , 且等于外切圆柱体积2。
中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰, 日取其半, 万事不竭”， 就蕴涵了无穷小的思想。
还有中国数学家刘徽,发明了“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率π≈3.14 。
但这一时期微积分并没有引起人们的广泛关注。
1.2准备时期公元17世纪前后, 在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下, 出现了如下四个迫切需要解决的问题：（1）怎样用数学方法准确描述和处理各种物体运动的问题。
（2）怎样求曲线切线的问题。
（3）怎样求函数极大值与极小值的问题。
（4）如何求曲线的长度，曲线所围成图形的面积、体积的问题，物体的重心，一个物体作用于另一个物体上的引力。
正是这些问题的产生，让许多数学家开始用微积分的思想来解决问题，像德国天文学家、数学家开普勒与旋转体体积的问题；意大利数学家卡瓦列里不可分量原理；英国数学家沃利斯“无穷算术法”，比如将幂函数积分公式101n a na x dx n +=+⎰推及到分数幂()()101p q a p q p q q a q x dx a p q p q+==++⎰，不过沃利斯仅对1q =的特例给出了证明；国数学家笛卡尔用代数方法求切线的方法—“圆法”；法国业余数学家费马求极大值与极小值的方法，按费马的方法，设函数()f x 在点a 处取值，用a e +代替原来的未知量a ，并使()f a e +与()f a 逼近，消去公共项后，用e 除两边再令e 消失，即()()00e f a e f a e =+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此方程求得的a 就是()f x 的极值点；还有英国数学家巴罗在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。
2微积分的建立17世纪后期，牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分。
下面就介绍下两人创立微积分的过程。
2.1牛顿牛顿1642年生于英格兰东海岸中部的一个农民家庭, 从小勤奋好学, 常常思考大自然的道理, 喜欢动手制做各种奇妙的玩具和器械。
1661 年, 由于成绩优秀考入英国剑桥大学三一学院, 在此幸运地得到巴鲁教授的指导。
牛顿对微积分问题的研究始于1664年。
当时他反复阅读笛卡尔的《几何学》，对笛卡尔求切线所用的“ 圆法”产生了极大的兴趣并试图寻找更好的求切线方法。
1665年，黑死病席卷伦敦，牛顿在获得剑桥大学学士学位后，不得不离开剑桥，回到家乡避难.在躲避瘟疫期间，他继续探讨微积分并取得了突破性进展：将两个不相关的问题——切线问题与求积问题联系起来，建立了两者之间的桥梁，并称之为“ 流数术”（ 流数即后来的导数) 。
1666年5月，他又建立了“ 反流数术”( 即现在的积分法) 。
同年10月，牛顿将他这两年的研究成果整理成一篇总结性的论文，此文现在被称为《流数简论》，它是历史上第一篇系统的微积分文献。
牛顿关于微积分的主要著作有三部：《运用无穷多次方程的分析学》（简称《分析学》；《流数法和无穷极数》（简称《流数法》）和《曲线求积术》（简称《求积术》）。
在《分析学》中，牛顿给出一种曲线求积法，假定一条曲线, 曲线下的面积Z 已知是m Z ax =他把x 的无限小的增量叫做x 的瞬，并用0（即现在用的dx ）表示，0y （即现在用的dy ）是面积的瞬，则有()0mz y a x a +=+从第二个式子减去第一个，用0除方程两边，略去仍含有的0项，就得到1max m y -=。
用现在的话来讲，1max m dz y dx-==即面积在任意点x 的变化率是曲线在x 处的y 值。
反过来, 如果曲线是1max m y -=，那么, 在它下面的面积就是m Z ax =。
他还引进了不定积分，并得到了不定积分的若干基本性质，在牛顿以前，导数同积分本质上是平行发展、互不相干的，它们的互逆性质在其前辈中并不十分明确，牛顿的思想用今天的符号表示就是()()x a dy d f t dt f x dx dx==⎰ 牛顿是历史上第一明确揭示这种互逆关系并给出有效的计算方法的人这标志着牛顿创立了微积分。
关于求积问题，牛顿是将其视为求面积变化率的逆过程，即今天常用的求积运算法不定积分法.在面积的观念上，牛顿不把面积视为无限多个“无穷小矩形”面积之和，而把求积过程等同于求变化率的逆过程。
这就是今天的微积分基本公式“牛顿-莱布尼兹公式”。
在《流数法》中，他认为变量是连续运动产生的，牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系，求它们流数之间的关系，以及它的逆问题，牛顿称变化率为流数，称变化的量为流量，设,x y 为流量，则它们的流数 ，在《流数法》中，牛顿从流数出发，清楚地陈述了微积分的基本问量为,x y题是：“已知量的关系，要算出他们的流数，以及反过来”。
比曲线求积法更一般化。
另外, 牛顿指出若用0表示“无穷小的时间间隔”，那么x 0和y 0就是和的无穷小增量, 或者说是x和y的瞬。
有了流量、流数和瞬三个重要概念, 牛顿把它们广泛地用到几何问题和力学问题的求解上去, 他用作曲线的切线,来求解函数的极值问题, 求曲线的曲率、曲线的长度, 以及求以曲线为界的平面图形的面积。
后来，在《求积术》中，牛顿又使用了所谓“最初比”与“最终比”，但本质上没什么新的内容。
2.2莱布尼茨莱布尼茨于1646 年7 月1 日,出生在德国东部莱比锡，从小学习了很多著名学者的著作,为他后来成为举世罕见的科学家奠定了坚实的文化功底和明确的学术目标。
1663 年莱布尼茨在耶舒大学学习短时期的数学,并获得哲学硕士学位。
1666的莱布尼茨获得了该校法学博士学位。
毕业后,便投身于外交界,工作期间遍游欧洲各国,接触了数学界不少名流,访问巴黎时,深受惠更斯的启发,决心钻研高等数学,并仔细钻研了大数学家笛卡儿、费尔马、怕斯卡等人的名著,为他后来的开创性工作,打下了坚实的基础。