用十字相乘法解一元二次方程

用“十字相乘法”解一元二次方程

回顾：1.一元二次方程的一般形式是：

2.一元二次方程的根的个数的判断：（1）当时，方程无解

（2）当时，方程一解（3）当时，方程两解

3.根与系数的关系（韦达定理）是：

作用：有根可求系数

4.求根公式：

作用：求根

5..求一元二次方程的根的方法有：

6.常用求根方法是“十字相乘法”

新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解

一、二次项系数是1型：

例1：()()2

x x x x

++=++，反过来，就得到二次三项式256

2356

++的因式

x x

分解形式，即()()

25623

++=++，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，

x x x x

而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

写成十字相乘形式是：

一般地，由多项式乘法，()()()

2

++=+++，反过来，就得到

x a x b x a b x ab

写成十字相乘形式是：

练习一用“十字相乘法”把以下多项式分解因式：

-9

1（1）2x -7x+6=0 （2）2x -5x+6=0

（3） 2x +8x+16=0 （4）=++892x x 0

（5）=+-24102x x 0 （6）2x +(1+3)x+3=0

（7）=-+1522x x 0 （8）=--2832x x 0

二：二次项系数不是1型：

例2：()()4312++x x =

反过来我们就得到 因式分解的结果： ()()431241162

++=++x x x x 。 我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项2

6x 拆成x x 32⋅，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成41⨯，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！

1.因式分解竖式写

2.交叉相乘验一次项

3.横向写出

∴ ()()431241162++=++x x x x

二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程

例2 解方程：0453142=--x x 41162++x x 413x

2x 2x ⋅4+3x ⋅1=11x

解： ()()0549=+-x x

∴

练习二解下列一元二次方程：

（1）3722++x x =0

（2）3722+-x x =0

（3）01692=++x x

(4)=+-1442x x 0

（5）3522-+x x =0

（6）2384a a -+=0

（7）06722=+-x x

（8）04432=+--x x

（9）38162=+x x

（10）09642=--x x

31

-9-451=⨯+⨯）（0

5409=+=-x x 或.

45

,921-=

=x

x

（11）()116116=+x x （12）0132=+-x x

三：带字母的

（1）0)1(2=++-a x a x （2）0)1(2=+++a x a x

(3)0)(322=++-m x m m x （4）0)(322=+++m x m m x

（5）022=+--a a x x (6）022=+-+a a x x

总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。

（2）当二次项系数是1时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。

（3）不是所有二次三项式都能“十字相乘法” 进行因式分解，只是对某些特殊的多项式较为方便。如12

-+x x 不能用“十字相乘法” 进行分解。