静矩和形心
惯性矩、静矩,形心坐标公式
§I−1 截面得静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分(I −1)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得静矩。
静矩可用来确定截面得形心位置。
由静力学中确定物体重心得公式可得利用公式(I −1),上式可写成 (I −2) 或 (I −3) (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成得组合图形,则由静矩得定义可知,整个图形对某一坐标轴得静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴得静矩得代数与。
即:(I −5)式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分得面积与其形心坐标,n 为简单图形得个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标得计算公式为 (I −6)例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面得形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面得对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则 A Ⅰ=0.072m 2,A Ⅱ=0.08m 2y Ⅰ=0.46m,y Ⅱ=0.2m§I −2 惯性矩、惯性积例题I −1图图I −1与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 得形心在坐标系zOy 中得坐标为y 与z ,到坐标原点得距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴得惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点得极惯性矩,而以下三个积分(I −7)分别定义为该截面对于z 轴与y 轴得惯性矩以及对坐标原点得极惯性矩。
由图(I −2)可见,,所以有(I −8) 即任意截面对一点得极惯性矩,等于截面对以该点为原点得两任意正交坐标轴得惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离得乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴得惯性积,而积分(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴得惯性积。
材料力学课件截面的静矩和形心位置
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
x
80
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
y 0
Ip Aρ2dA
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
dx dx x
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
ix
Ix A
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
Hale Waihona Puke 解：dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
xc
ob
x
材料力学课件截面的静矩和形心位 置
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
y 10
取 x 轴和 y 轴分别与截面
截面的静矩和形心位及惯性矩的计算
y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20 1403
20 140
(8046.7)2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
120 103 152 120 10
1 12
703
10
(25)2
70
10
100.4 104 mm 4
Iy 278.4 104 mm4
70 20 10
120
y
80
c
x
10
y
I xy 0 15 20 120 10 0 (25) (35) 70 10
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
第七章 静矩及其性质
A
A1 A2
C2
c(-20.3;34.7)
C1
z
80
351100 20.3(mm) 10110 8010
yc
Ai yci A1 yc1 A2 yc2
A
A1 A2
601100 10110 8010
34.7(mm1)2
y
10
解法三：负面积法
10
A1 9600 mm 2 , zc1 40mm, yc1 60mm A2 70 110 mm 2 , zc2 45mm, yc2 65mm
第七章 截面的几何性质
❖ 静矩和形心 ❖ 惯性矩、惯性积 ❖ 平行移轴公式 ❖ 转轴公式 ❖ 主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩
1
§7-1 静矩和形心
一、简单图形的静矩（面积矩）
1、定义：
dA对z轴的微静矩:
y
dA对y轴的微静矩:
dSz ydA dS y zdA
z
dA
y
o
S z
ydA
A
z
S y
CP
S ae da Sabcd
AM L
9
4、排水体积和浮心坐标 可列表进行计算
L
Asi
xB
Asi xi Asi
zB
Asi zAi
Asi
10
例 试确定下图的形心。
解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形
y 10
A1 700 mm 2 , zc1 45mm, yc1 5mm
四、组合图形的形心：
yc
Szi
Ai
Ai yci A
zc
Syi Ai
Ai zci A
利用基本图 形的结果，可使 组合图形的形心 计算简单
第26讲第五章 材料力学(九)
第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。
对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。
【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。
(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。
截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。
截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。
若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。
例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。
对y轴惯性矩相同。
答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。
提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。
静矩和形心
静矩和形心
S y AzC
S z AyC
1.若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必
过
形心； 2.若轴过形心，则截面对该轴的静矩等于零
。
静矩和形心
三、组合截面的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面 。
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和 ， 等于该截面对于同一轴的静矩。
静矩和形心
n
S y
zdA
A
Ai zCi
i 1
n
S z
ydA
A
A i yCi
i 1
其中 Ai —第 i个简单截面面积；
( yCi, zCi)—第 i个简单截面的形心坐标；
静矩和形心
静矩和形心
一、静矩(面积的一次矩)
设平面图形，取 yoz 为图形所在平面的坐标 系，在坐标为（y , z）处取面积元dA。 截面对 y , z 轴的静矩为 z
y
S y
zdA
A
dA
m3
z
S z
ydA
A
O
y
静矩和形心
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
1.静矩可正，可负，也可能等于零；
2.同一图形，对不同的坐标轴，静矩也不同。
静矩和形心
二、截面的形心(Centroid of an area)
n
Ai zCi
zC
i1 n
Ai
i1
z d
A
A
A
z
z zC
dA C
O yC
y
Sy A
y
静矩和形心
n
Ai
i1
A ydA
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix
A y2dA
h
2h
by2dy
2
bh3 12
Ix A y2dA
静矩和形心
附录I 平面图形的几何性质§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式与主惯性轴§I-1 静矩和形心1． 静矩定义：⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰AyA Z zdA S ydA S （1）静矩是对坐标而言的，同一图形对不同坐标轴静矩不同（面积对轴的一次矩）。
（2）静矩可正值，可为负，亦可为零。
（3）量纲为长度的三次方。
2．形心坐标计算公式（1）合力矩定理——合力对某轴之矩，等于其各分对同一轴力矩的代数和。
（2）静面矩定理——总面积对某轴之矩，等于其各分面积对同一轴之矩的代数和。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎭⎬⎫==A S z A S y z A S y A S y z y Z ·· （3）若某轴过形心，则图对该轴静矩为零。
反之若图形对某轴静为零，则该轴过形心。
Example 试用积分法求图示图形对y 轴的静矩S y ，并求形心坐标Z 。
Solution 以y 、z 为参考坐标轴 ①dz Z b a ydz dA nn==22·20210+=+====++⎰⎰⎰n abn z b a dzZ badz Z b a Z zdA S bn n A bon nn n b y②()11100+=+====+⎰⎰⎰n abn b ab dz Z b a ydz dA A n n bn n bA()21122++=++==n bn n ab n ab A S Z y 3．组合图形静矩计算及形心坐标确定。
（1）组合图形：有若干简单图形（如矩形、圆形、三角形）组（2）静矩定理：整个图形对某轴之静矩等于组合图形各组成部分面积对该轴之矩的代数和。
⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑==ni i i y ni i i Z z A S y A S 11⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====ni i ni i i ni i ni ii A z A z A yA y 1111Example1 试求图形形心坐标z y ,Solution 以y 、z 为参考坐标系，因为形心一定在对称轴上，故()()cmO A A Z A Z A z y 67.12040445200222212211=--⨯⨯-=++==ππExample2 求组合图形的形心坐标，z y ，Given [No.18a A 1=25.7cm 2 cm z cmy 988.111==[No.9 90×90×10A 2=17.2cm 2()59.21859.222-=-=z cmySolution ：以yz 作为参考坐标轴()cmA A Z A Z A z 57.112.177.255.2182.17957.2212211=+-⨯+⨯=++=()cmA A y A y A y 0874.02.177.2559.22.1788.157.2212211=+-+⨯=++=§I-2 惯性矩和惯性半径 1．定义⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z A y dA y I dA z I 22 （1）惯性矩恒为正值 （2）量纲为长度的四次方力学计算中，有时把惯性矩写成图形面积A 与某一长度二次方的乘积，即 ⎭⎬⎫==22··z z y y i A I i A I 2．惯性半径⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A I i A I i z z y y (1) i y 为图形对y 轴的惯性半径i z 为图形对z 轴的惯性关径 （2）量纲为长度。
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静矩和形心
设平面图形，取 yoz 为图形所在平面的坐标系，在坐标为（y , z ）处取面积元dA 。
O y
z dA y z 截面对 y , z 轴的静矩为
m 3
一、静矩(面积的一次矩)
y S =d z A y A S =⎰d A z A ⎰
1.静矩可正，可负，也可能等于零；
d y A z A S =⎰d z A y A
S =⎰2.同一图形，对不同的坐标轴，静矩也不同。
z O d A y z
二、截面的形心(Centroid of an area) C
1
1n i
Ci i C n i i A z z A
===∑∑C
y C z y d A z A
A =⎰y S A
=
11n i
Ci i C n i i y A y A
===∑∑d A y A
A =⎰z S A
=z
O d A y z C
C
y C z y
y C Az S =z C
Ay S =2.若轴过形心，则截面对该轴的静矩等于零。
1.若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过
形心；
三、组合截面的静矩
由几个简单图形组成的截面称为组合截面。
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩。
其中 A i —第 i 个简单截面面积；
1d n i Ci
y A i z A S A z ===∑⎰1
d n i z Ci
A i y A y S A ===∑⎰—第 i 个简单截面的形心坐标； (),Ci Ci y z。