极点配置与状态观测器
现代控制理论课件PPT极点的配置和观测器的设置
(s *1)(s *2 )
(s
* n
)
sn
a1*s n1
an1*s an*
0
通过比较系数，可知
a1
~k~n
a2 kn1
a1* a2
*
an
~ k1
an*
西华大学电气与电子信息学院
由此即有
k~2k~1aann1**
an an1
~ kn
a1*
a1
又因为
u v Kx v KP1x% v K%x%
要求用状态反馈来镇定系统。
解：系统不稳定。同时系统为不能控的。不能控子系统 特征值为－5，符合可镇定条件。故原系统可用状态反馈 实现镇定，镇定后极点设为 s1,2 2 j2
能控子系统方程为
x&C
AC xC
bCu
1 0
0 1 2 xC 1 u
引入状态反馈 u V KC xC ，设 KC [k1 k2 ]
西华大学电气与电子信息学院
5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵， 使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希 望的动态性能。
5.2.1 能控系统的极点配置 定理 5-2 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
西华大学电气与电子信息学院
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
充分性：因为给定系统 能控，故通过等价变换
~x Px 必能将它变为能控标准形
%:
x&% A%x% b%u y c%x% d%u
这里，P 为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有
利用matlab实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)
实 验 报 告实验名称 利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课老师 预定时间实验时间实验台号一、目的要求1、掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2、掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈设线性定常系统的状态空间表达式为Cxy Bu Ax x =+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配置如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数的调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是期望极点构成的向量。
MATLAB 提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。
函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件⎣[y1=lsim(G,u,t); plot(t,y1,':',t,y2,'-')蓝色为配置前，绿色为配置后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]123---。
程序>> A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6]'; C=[1 0 0]; D=0;p=[-1 -2 -3]; L=(acker(A',C',p))' 结果：L = 40 -10。
利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器(现代控制)
订 线实 验 报 告实验名称 利用MATLAB 实现极点配置、设计状态观测器系 专业 自动化 班 姓名 学号 授课老师 预定时间实验时间实验台号一、目的要求1、掌握状态反馈和输出反馈的概念及性质。
2、掌握利用状态反馈进行极点配置的方法。
学会用MATLAB 求解状态反馈矩阵。
3、掌握状态观测器的设计方法。
学会用MATLAB 设计状态观测器。
4、熟悉分离定理，学会设计带有状态观测器的状态反馈系统。
二、原理简述1、状态反馈和输出反馈设线性定常系统的状态空间表达式为Cxy Bu Ax x=+=如果采用状态反馈控制规律u= r-Kx ，其中 r 是参考输入，则状态反馈闭环系统的传递函数为：B BK A sIC G k 1)]([---=2、极点配置如果 SISO 线性定常系统完全能控，则可通过适当的状态反馈, 将闭环系统极点配置到任意期望的位置。
MATLAB 提供的函数acker( )是用Ackermann 公式求解状态反馈阵K 。
该函数的调用格 式为K=acker(A,B,P)其中A 和B 分别为系统矩阵和输入矩阵。
P 是期望极点构成的向量。
MATLAB 提供的函数place( )也可求出状态反馈阵K 。
该函数的调用格式为 K=place(A,B,P)函数place( )还适用于多变量系统极点配置，但不适用含有多重期望极点的问题。
函数acker( )不适用于多变量系统极点配置问题，但适用于含有多重期望极点问题。
三、仪器设备PC 计算机，MATLAB 软件[0410x y ⎢=⎢⎢--⎣=理想闭环系统的极点为（1）采用直接计算法进行闭环系统极点配置；（2）采用Ackermann订 线y1=lsim(G,u,t); plot(t,y1,':',t,y2,'-')蓝色为配置前，绿色为配置后题5-3 某系统状态空间描述如下[]010100134326100x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦= 设计全维状态观测器，要求状态观测器的极点为[]123---。
现代控制理论_第5章_状态反馈与状态观测器
y 10 0 0 x
状态反馈阵
k k k k 1 2 0
状态反馈系统特征方程：
2 1 j 1 j 3 4 2 6 4 0
、x 、x 根据两特征方程同次项系数相等的条件，可求出由x1 2 3 引出的反馈系数为：
x x 0 1 0 10 1 1 0 0 －2 x 10 u x 2 2 0 1 3 0 x x 3 3
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控 证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
0 0 A 0 a 0
1 0 0
0 0 0
a a 1 2
0 1 a n1
G C sI A 1
1 b
10
11 q1
1,n1
1 sn a sn1 a s a n1 1 0 q0
q,n1
I A bk n a
k n1 a k 2 a k 1 n1 2 1 1 n 2 1 a k 0 0 0 (5-9)
， k ，可使特征方程的 显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0， n1 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
线性系统极点配置和状态观测器基于设计(matlab) - 最新版本
一. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的，则可引入状态反馈调节器，且：这时，闭环系统的状态空间模型为：()x A BK x Bv y Cx =-+⎧⎨=⎩二. 状态观测器设计原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可观的，则可引入全维状态观测器，且：ˆˆ(y y)ˆˆx Ax Bu G y Cx ⎧=++-⎪⎨=⎪⎩设ˆx x x=-，闭环系统的状态空间模型为： ()x A GC x =-解得：(A GC)t(0),t 0x ex -=≥由上式可以看出，在t 0≥所有时间内，如果(0)x =0，即状态估计值x 与x 相等。
如果(0)0x ≠，两者初值不相等，但是()A GC -的所有特征值具有负实部，这样x 就能渐进衰减至零，观测器的状态向量ˆx就能够渐进地逼近实际状态向量x 。
状态逼近的速度取决于G 的选择和A GC -的特征配置。
三. 状态观测的实现为什么要输出y 和输入u 对系统状态x 进行重构。
u Kx v =-+证明 输出方程对t 逐次求导，并将状态方程x Ax Bu =+代入整理，得2(n 1)(n 2)(n 3)21n n y Cxy CBu CAx y CBu CABu CA x y CBu CABu CA Bu CA x-----=⎧⎪-=⎪⎪--=⎨⎪⎪⎪----=⎩将等号左边分别用z 的各分量12,,,n z z z 表示，有121(n 1)(n 2)(n 3)2n n n y C z y CBu CA z z y CBu CABu x Qx z CA y CBu CABu CA Bu -----⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--==⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪----⎩⎣⎦如果系统完全能观，则rankQ n =即1ˆ(Q Q)T Tx Q z -= （类似于最小二乘参数估计） 综上所述，构造一个新系统z ，它是以原系统的输出y 和输入u ，其输出经过变换1(Q Q)T T Q -后得到状态向量ˆx。
极点配置与状态观测器课件
在实际应用中，极点配置与状态观测器面临着诸多挑 战，如模型不确定性、外部干扰、时变参数等。
针对不同的应用领域，还需要进一步研究和探索更加 适合的观测器和控制器设计方法。
对未来研究的建议与展望
进一步研究和改进极点配置与状态观测器的理 论和方法，以提高其性能和鲁棒性，为实际工 程应用提供更加可靠的技术支持。
存在各种设备和运行状态，如发电机、变压器、负荷等
03
案例三：电力系统中的极点配置与状态观测
1
电力系统的控制输入信号受到严格限制
2. 极点配置的重要性
2
提高电力系统的稳定性和可靠性
3
案例三：电力系统中的极点配置与状态观测
优化电力系统的动态性能和响应 速度
极点配置方法可以有效地抑制噪 声和干扰，保障电力供应的质量 和稳定性3. 状态观测器的应用价
发展不断取得新的突破。
随着科学技术的不断发展，极点配置与 状态观测器的性能和鲁棒性得到了显著
提高，应用领域也不断扩大。
在未来，极点配置与状态观测器将更加 注重实际应用中的性能表现，并不断探 索新的理论和方法，以更好地解决实际
工程问题。
在实际应用中的挑战与解决方案
为了解决这些问题，研究人员和工程师们不断探索新 的解决方案，如采用自适应控制、鲁棒控制、智能控 制等先进技术，以提高系统的性能和鲁棒性。
提高系统的故障检测和容错控 制能力
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
1. 机器人导航的特点 需要精确的定位和导航
存在复杂的障碍物和动态环境
案例二：机器人导航中的极点配置与状态观测
机器人的运动状态和控制输入信号可能不稳定 2. 极点配置的作用
提高机器人的运动稳定性和导航精度
实验6极点配置与全维状态观测器的设计
实验6极点配置与全维状态观测器的设计实验 6 极点配置与全维状态观测器的设计⼀、实验⽬的1. 加深对状态反馈作⽤的理解。
2. 学习和掌握状态观测器的设计⽅法。
⼆、实验原理在MATLAB 中，可以使⽤acker 和place 函数来进⾏极点配置，函数的使⽤⽅法如下：K = acker(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
K = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。
[K,PREC,MESSAGE] = place(A,B,P) A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵，PREC 为特征值，MESSAGE 为配置中的出错信息。
三、实验内容1.已知系统（1）判断系统稳定性，说明原因。
（2）若不稳定，进⾏极点配置，期望极点：-1，-2，-3，求出状态反馈矩阵k。
（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系，说明状态反馈为何能进⾏极点配置？（4）使⽤状态反馈进⾏零极点配置的前提条件是什么？1.（1）（2）代码：a=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];b=[1,1,1]';p=[-1,-2,-3]';K=acker(a,b,p)K =-1 2 4（3）讨论状态反馈与输出反馈的关系, 说明状态反馈为何能进⾏极点配置?在经典控制理论中,⼀般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律，即输出反馈。
在现代控制理论的状态空间分析⽅法中,多考虑采⽤状态变量来构成反馈律，即状态反馈。
从状态空间模型输出⽅程可以看出，输出反馈可视为状态反馈的⼀个特例。
状态反馈可以提供更多的补偿信息，只要状态进⾏简单的计算再反馈，就可以获得优良的控制性能。
(4)使⽤状态反馈配置极点的前提是系统的状态是完全可控的。
2.已知系统设计全维状态观测器，使观测器的极点配置在12+j，12-j 。
（1）给出原系统的状态曲线。
（2）给出观测器的状态曲线并加以对⽐。
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6.3 状态观测器
v
-
u
B
+
x
∫
x
y
C
A
+
E
+
K
B
+
~ x
∫ A
~ x
C
~ y
-
观测器
6.3 状态观测器 需要面临两个问题：
1. 状态反馈配置的极点是否受影响； 2. 观测器配置的极点是否受影响。
感谢大家对本人的支持！ 祝愿大家研究生期间 充实、快乐！
对于单入单出系统：
状态反馈 标量
u v Kx
x1 x xn
K k1 k n
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈后系统矩阵 v
-
u
B
+
x
∫ A
x
C
y
K
A BK x Bv 状态反馈后系统状态方程：x
A BK
6.1 状态反馈及其性质
6.3 状态观测器
v
-
u
B
+
x
∫
x
C
y
A
状态 观测器 ~ x
K
6.3 状态观测器
用~ x 代替 x 自然要求：
~ xx
t
渐近意义下：
~ lim x x 0
6.3 状态观测器
u
B
+
x
∫
x
y
C
A
+
E
+
B
+
~ x
∫ A
~ x
C
~ y
-
观测器
~ x
6.3 状态观测器
能观测。
6.2 极点配置
6.2 极点配置
极点的重要性：
1. 完全决定系统稳定性。 2. 对动态特性产生很大影响，如响应速度等。
6.2 极点配置
零输入响应：
At x t e x0
1 x 0 0
t 2 t
x1 t 2e e x t t 2t 2 2e 2e
状态反馈后系统极点 v
-
u
B
+
x
∫
A
x
C
y
K
系统矩阵： A BK 特征值（源自点）λ A BK 该矩阵的特征值决定，例如稳定性、状态响应等
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈 K v
-
u
B
+
x
∫ A
x
C
y
K
我们是否可以通过设计K， 来使系统达到某种期望特性？
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置
例6.2.1 给定系统的状态空间表达式为
0 0 0 1 1 1 0 x 0 u x 0 1 1 0
* 1 2 * 2, 3 1 j 3
y 0 1 1x
求状态反馈增益阵 K ，使反馈后闭环特征值为
s 平面
2
1
0
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置
在看一例：
Im
s 平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统 1阶系统
6.2 极点配置
Im
s 平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统
1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点 v
-
u
B
+
x
∫
A
x
C
y
K
λ A λ A BK
状态反馈的几点性质：
1. 系统矩阵由 A 变为 A BK 2. 状态反馈后，系统特征值为 λ A BK
3. 状态反馈后，系统阶次不变 4. 状态反馈后，能控性不变，但不一定保持能观性
6.1 状态反馈及其性质
例 6.1.1 系统
1 2 0 x u ： x 3 1 1
v
-
u
B
+
x
∫
x
C
y
A
H K
当 K HC 时
输出反馈
银蛋！
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈前后，状态方程的变化：
线性时不变
y Cx
Ax Bu x
状态反馈
u v Kx
状态反馈后的系统：
A BK x Bv x
y Cx
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置
Im
s 平面
1
λ A
0
Re
6.2 极点配置
6.2 极点配置
1 3i
Im
s 平面
λ A BK
2 1
λ A
0
Re
1 3i
6.2 极点配置
sys=ss(A,B,C,D) [y,t,x]=step(sys,10); plot(t,y)
6.3 状态观测器
u
y
+
E
+
B
+
~ x
∫
~ x
C
~ y
-
A
观测器状态方程
观测器
~ ~ x A EC x Bu Ey
6.3 状态观测器
观测器状态方程
Ax Bu x
~ ~ x A EC x Bu Ey
两个方程相减：
~ ~ x x A EC x x
x1 t 2e e
t
2t
1 1, 2 2
6.2 极点配置
Im
s 平面
2
1
0
Re
6.2 极点配置
2
2e
t
1.5
1
x1 t
0.5
0
-0.5
e
2 t
-1
-1.5
-2 0 1 2 3 4 5 time(s) 6 7 8 9 10
6.2 极点配置
Im
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈
u v Kx
K 3 1
u v 3 1x
6.1 状态反馈及其性质
则闭环系统 的状态空间表达式为 K
1 2 0 K ： x x v 0 0 1
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
本章目录
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置
6.3 状态观测器
6.1 状态反馈及其性质
v
-
u
B
+
x
∫ A
x
C
y
u v Kx
K
状态反馈
金蛋！
6.1 状态反馈及其性质
状态反馈与输出反馈 当 K HC 时
u v Kx
u v HCx
u v Hy
输出反馈！
6.1 状态反馈及其性质
6.2 极点配置 是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？ Im
s 平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
:
通过状态反馈
Ax Bu x y Cx Du
u v kx
任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理