沪科版数学八年级下册教学课件17.3 一元二次方程根的判别式
3.不解方程，判别关于x的方程 x2 2 2kx k 2 0 的根的情况.
解：
2
2
2k 41 k 2
8k 2 4k 2 4k 2 , ∵k 2 0,
∴4k 2 0,
∴ 0.
∴方程有两个实数根．
能力提升： 在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关
判别式的情况
>0 = 0 < 0 ≥0
根的情况 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
练一练
按要求完成下列表格：
3x2 4x 4 0 1 x2 x 1 0 x2 1 0
3
3
的值
0
1
4
3
根的情况 有两个相等 的实数根
没有实数根
有两个不相 等的实数根
b2 4ac , x2= b
b2 4ac .
2a
2a
当
b2–
4ac=0
时,
x1=x2=
b 2a
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根),
所以原方程没有实数根.
要点归纳
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根 的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
4
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ 1 =0,a=1,b=-1,c= 1 .
4
4
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× 1 =0.
4
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1. ∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0. ∴方程无实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程无实数根．
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不
相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数 根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根， 故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
当堂练习
1.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0 有两个 实根，则m的取值范围是 m 1 .
解析：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能 有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
2.不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ 1 =0; (3) x2-x+1=0.
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
讲授新课
一 一元二次方程根的判别式
回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + b x + c = 0 .
要点归纳 根的判别式使用方法
1.化为一般式，确定a,b,c的值. 2.计算 的值，确定 的符号. 3.判别根的情况，得出结论.
二 根的判别式的应用
应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况 例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求 △ABC 的周长.
解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2－4ac=(b+2)2-4×(6-b)=b2+8b-20=0. ∴b=2或b=-10(舍去).
当a为底，b为腰时，则2+2<5,构不成三角形，此情况不成立； 当b为底，a为腰时，则5-2<5<5+2,能构成三角形； ∴△ABC 的三边长为5，5，2，其周长为5+5+2=12.
优翼 课件
八年级数学下（HK） 教学课件
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念； 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况； 3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值 范围.（重点、难点）
导入新课
aa
配方，得
x2 +
b a
x +(
b
2a )2
-(
b 2a
)2 - c a
= 0,
移项，得
(x + b )2
2a
=
b2 4ac 4a2 .
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能 直接开？
(x + b )2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2a
当 b2– 4ac＞0 时, x1= b
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沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程根的判别式》优质优课件
解： （ 3 ） 2 4 1 k 9 4 k
⑴ 方程有两个不相等的实数根
94k＞0 解得 k ＜ 9
当 k ＜9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ 方程有两个相等的实数根
94k0 解得 k 9
当k 9
4
时，原方程有两个相等的实数根
⑶ 当k 9＞4494 k＜时0，原解方得程k没＞有实94 数根
17.3 一元二次方程的 根的判别式
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25 y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?
有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
试一试
1.方程 x2 aax 有等根时,实数 a
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x22m xm0
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
议一议
设 ABC的三边为 a ，b ，c ，方程
x2 ax1(2bc)0有两
个相等的实数根4，且a b， c， 满
43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
a2xb xc0(a0)中
若a与c异号 ,则方程
（ A）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b24ac
例2：已知关于 x 的方程 x23xk0，
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
一元二次方程根的判别式课件沪科版数学八年级下册
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围.
解：因式分解，得[x-(k+1)](x-2)=0 有x-(k+1)=0或x-2=0 解得x1=k+1,x2=2 根据题意有k+1<1 解得k<0
四、典型例题
例2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0有两个不等实根，求m的
最大整数值. 解：a＝m-1，b＝-2，c＝3
b2 2a
4ac (b2
4ac
0)
三、概念剖析
想一想：
根据求根公式x b
b2 4ac 可不可以快速写出方程
2a
ax2+bx+c=0(a≠0)的根？
可以，当b2-4ac<0时，求根公式不存在，即方程无根
当b2-4ac≥0时，x1 b
b2 2a
4ac
, x2
b
b2 4ac 2a
特别地，b2-4ac=0时，计算发现：x1
(1)2x2+4x+4=x-3
(2)x2-kx-1=0
提示：先写出判别式△，再根据△的正负写出结论
解：(1)化成一般式：2x2+3x+7=0 a=2，b=3,c=7 ∴△=b2-4ac=32-4×2×7=-47<0 ∴方程无实数根
(2)a=1，b=-k,c=-1 ∴△=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4>0 ∴方程有两个不相等的实数根
x2
b 2a
三、概念剖析
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2-4ac.
一元二次方程根的情况： 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根.
解：因式分解，得[x-(k+1)](x-2)=0 有x-(k+1)=0或x-2=0 解得x1=k+1,x2=2 根据题意有k+1<1 解得k<0
四、典型例题
例2.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x+3=0有两个不等实根，求m的
最大整数值. 解：a＝m-1，b＝-2，c＝3
b2 2a
4ac (b2
4ac
0)
三、概念剖析
想一想：
根据求根公式x b
b2 4ac 可不可以快速写出方程
2a
ax2+bx+c=0(a≠0)的根？
可以，当b2-4ac<0时，求根公式不存在，即方程无根
当b2-4ac≥0时，x1 b
b2 2a
4ac
, x2
b
b2 4ac 2a
特别地，b2-4ac=0时，计算发现：x1
(1)2x2+4x+4=x-3
(2)x2-kx-1=0
提示：先写出判别式△，再根据△的正负写出结论
解：(1)化成一般式：2x2+3x+7=0 a=2，b=3,c=7 ∴△=b2-4ac=32-4×2×7=-47<0 ∴方程无实数根
(2)a=1，b=-k,c=-1 ∴△=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4>0 ∴方程有两个不相等的实数根
x2
b 2a
三、概念剖析
b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2-4ac.
一元二次方程根的情况： 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根.
沪科版八年级下册数学：17.3 一元二次方程的根的判别式 (共12张PPT)
用符号“ ”表示，即b24ac
记住了， 别搞错!
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c(a≠0)的根的情况可由▲=b2-4ac来判断：
1当 0 时，原方程有两个不相等的实数根； 2当 0 时，原方程有两个相等的实数根； 3当 0 时，原方程没有实数根。
反过来，有
1当方程有两个不相等的实数根时， 0 ； 2当方程有两个相等的实数根时， 0 ；
温故而知新
一 元 二 次 方 程 a x 2 b x c 0 a 0
的 求 根 公 式 是 ：
x
b
b2 4ac
议一议
2a
我们在运用公式法求解一元二次方 ax2+bx+c=0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0。 这是为什么？
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2bxc0a0的根的判别式，
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3 ） 2 4 1 k 9 4 k
⑴ ∵ 方程有两个不相等的实数根
94k＞0 解得 k ＜ 9
当 k ＜9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ ∵ 方程有两个相等的实数根
94k0 解得 k 9
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
记住了， 别搞错!
综上可知，我们不难发现一元二次方程 ax2+bx+c(a≠0)的根的情况可由▲=b2-4ac来判断：
1当 0 时，原方程有两个不相等的实数根； 2当 0 时，原方程有两个相等的实数根； 3当 0 时，原方程没有实数根。
反过来，有
1当方程有两个不相等的实数根时， 0 ； 2当方程有两个相等的实数根时， 0 ；
温故而知新
一 元 二 次 方 程 a x 2 b x c 0 a 0
的 求 根 公 式 是 ：
x
b
b2 4ac
议一议
2a
我们在运用公式法求解一元二次方 ax2+bx+c=0(a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0。 这是为什么？
我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2bxc0a0的根的判别式，
问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3 ） 2 4 1 k 9 4 k
⑴ ∵ 方程有两个不相等的实数根
94k＞0 解得 k ＜ 9
当 k ＜9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ ∵ 方程有两个相等的实数根
94k0 解得 k 9
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
沪科版数学八年级下册课件：17.3一元二次方程根的判别式(共18张PPT)
（2）当m取一个合适的整数，使方程有两个不 相等的实数根，求此时的方程的根。
5 4 程ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求：
b2-4ac≥0，这是为什么？
将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到
b b2 4ac x 2a 2 a
2
2
由于a≠0，所以4a2＞0，因此我们不难发现：
2-4ac b ＞0 （1）当b2-4ac＞0时， 2 4a
B、有两个不相等的实数根
C、没有实数根 D、只有一个实数根 5.已知关于x的一元二次方程x2-mx-2=0. （1）若x=-1是这个方程的一个根，求m的值
和方程的另一个根；
（2）若m为任意实数，讨论方程根的情况.
6.已知a、b、c分别是△ABC的三边，那么关于 x的方程cx2+(a+b)x+
是
.
c 4
1.方程x2+2x+1=0 有 两 其根为 x1=x2=-1 ___.
个 相等的 实数根，
2.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0 无实数
9 m＜ 4 根，则m的取值范围是 ____.
3.若关于y的一元二次方程y2-3y+m=0 有两个实
9 m≥ 数根，则m的取值范围是 ___. 4
4.方程2x2+2x+1=0的根的情况是（ c ） A、有两个不相等的实数根
第17章 二元一次方程组
1.一元二次方程的一般形式是 求根公式是 .
，
2.完成下表
二次项系数
方程 2x2-3x-5 =0 2x2+12x+18 =0 x2+3x+5 =0
沪科版八年级数学下册17.3 一元二次方程根的判别式课件
解 当 a = 0 时，x = 1.
当 a ≠ 0 时，方程为一元二次方程，
Δ = 25 – 20a.
当 Δ ＞ 0，即 a＜
5 4
时，x=
5
25 20a ； 2a
当 Δ = 0，即 a =
5 4
时，x=2；
当 Δ ＞ 0，即 a＜
5 4
时，方程无解.
课堂小结
根的判别式 Δ= b2 – 4ac 当Δ ＞ 0 时，有两个不相等的实数根； 当Δ = 0 时，有两个相等的实数根； 当Δ ＜ 0 时，没有实数根.
= 16m + 1 （1）当 Δ = 16m + 1 ＞ 0，即 m ＞ –
1 ，且m
≠0 时，方程有两个不等的实数根； 16
（2）当 Δ = 16m + 1 = 0，即 m = – 1时，方程
有两个相等的实数根；
16
（3）当 Δ = 16m + 1 ＜ 0，即 m ＜ – 1时，方程
没有实数根.
16
有两个不等的实数根.
4. 已知 2mx2 + 8m（x + 1）= –x，当 m 为何值 时，
（1）方程有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：原方程可化为 2mx2 + (8m + 1)x + 8m = 0
因为 Δ = b2 – 4ac = (8m + 1)2 – 4×2m×8m
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
新沪科版八年级下册数学课件17.3 一元二次方程根的判别式
知1－讲
知识点
1
一元二次方程根的判别式
定义：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即
Δ＝b2－4ac.
知1－练
1 方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，
a＝________，b＝________，c＝________， b2－4ac＝______．
知3－讲
例4 如果关于x的一元二次方程mx2－2(m＋2)x＋m＋
5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2
－2(m－1)x＋m＝0的根的情况． 导引： 若关于x的一元二次方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0
没有实数根，则必有Δ＜0，可得m的取值范围， 再判断方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况
解： (1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0,
所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0. 因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. (3)因为Δ＝
2
3 －4×2×l＝－5＜0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以原方程没有实数根.
知2－讲
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第17章
一元二次方程
17.3
一元二次方程
根的判别式
1
课堂讲解
一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的类别
一元二次方程根的判别式的应用
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
1．一元二次方程的一般形式为：______________。 2．已知方程2x2－3x＋1＝0,则b2－4ac＝_________。
沪科版八年级数学下册第十七章《一元二次方程根的判别式》优质课课件1
4
试一试
1.方程 x2 aax 有等根时,实数 a
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程
(m 1)x22m xm 0
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
议一议
设 ABC的三边为 a ，b ，c ，方程 x2 ax1(2bc)0 4
有两个相等的实数根，且a ，b ，c
证明:不论m为何值,这个方程总有两个不相 等的实数根。
解 : 4 m 2 4 2 m 4
4m28m16
4m 2 2 m 1 12
4m 121 20
所以,不论m为何值,这个方程总有两个不 相等的实数根。
Ø 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当-4ac＜0时， b2 4ac在实数范围内无意义。
因此方程没有实数根。
可见，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的情况
由b2-4ac来确定。我们把 b2 4ac 叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来 表示，即△ =b2-4ac.
解： （ 3 ） 2 4 1 k 9 4 k
⑴ 方程有两个不相等的实数根
94k＞0 解得 k ＜ 9
当 k ＜9
4
时，原方程有两个不相等的实数根
4
⑵ 方程有两个相等的实数根
94k0 解得 k 9
当k 9
4
时，原方程有两个相等的实数根
⑶ 当k 9＞449 k＜时0，原解方得程k没＞有实94 数根
新沪科版八年级下册初中数学 17-3 一元二次方程根的判别式 教学课件
反之，同样成立.
第九页，共十五页。
求下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
23x2 3 6x
b2 4ac 1 0,
方程有两个不相等的根
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 3 0
方程没有实数根
第十页，共十五页。
练习：按要求完成下列表格：
x b
b2 4ac .
2a
第四页，共十五页。
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式
如何把一元二次方程
的形式？
ax2 bx c写成0(（a x+0h) )2=k
ax2 bx c 0 x2 b x c 0
aa
x2 b x c aa
配方法
第五页，共十五页。
x2
b a
x
b 2a
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立.
第十五页，共十五页。
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第一页，共十五页。
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
第二页，共十五页。
复习引入 用公式法求下列方程的根:
1)2x2 x 2 0
用公式法 解一元二次 方程的一般 步骤:
2) 1 x2 x 1 0 4
3)3x2 2 3x 1 0
4)x2 x 1 0
x1
x2
b 2a
;
当b2-4ac＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，
负数没有平方根，所以，方程没有实数根：
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？
第九页，共十五页。
求下列一元二次方程根的个数：
(1)2x2 5x 3 0
23x2 3 6x
b2 4ac 1 0,
方程有两个不相等的根
b2 4ac 0,
方程有两个相等的根
(3)x2 x 1 0
b2 4ac 3 0
方程没有实数根
第十页，共十五页。
练习：按要求完成下列表格：
x b
b2 4ac .
2a
第四页，共十五页。
合作探究
活动：探究一元二次方程根的判别式
如何把一元二次方程
的形式？
ax2 bx c写成0(（a x+0h) )2=k
ax2 bx c 0 x2 b x c 0
aa
x2 b x c aa
配方法
第五页，共十五页。
x2
b a
x
b 2a
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 =0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根.
反之，同样成立.
第十五页，共十五页。
教学课件
数学 八年级下册 沪科版
第一页，共十五页。
第17章 一元二次方程
17.3 一元二次方程根的判别式
第二页，共十五页。
复习引入 用公式法求下列方程的根:
1)2x2 x 2 0
用公式法 解一元二次 方程的一般 步骤:
2) 1 x2 x 1 0 4
3)3x2 2 3x 1 0
4)x2 x 1 0
x1
x2
b 2a
;
当b2-4ac＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，
负数没有平方根，所以，方程没有实数根：
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？
沪科版八年级下册数学 17.3一元二次方程的根的判别式 课件(共16张PPT)
沪科版数学八年级（下）
§ 17.3一元二次方程根的判别式
相信自己，你最棒！
1、提问：一元二次方程有哪些解法？
2、解下列方程 （1）x2-4x+4=0 （2）x2-3x+2=0 （3）4 x2-28=0 （4）2 x2+x+1=0
讨论
1、2 x2+x+1=0为何解不出它的根？
2、探索下列方程b2-4ac与0的关系。 （1）x2-4x+4=0 （2）x2-3x+2=0 （3）4x2-28=0 （4）2x2+x+1=0
理论推导 一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a≠0)的求根公式：
x b b2 4ac 2a
（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
小试牛刀
不解方程，判别下列方程根的情况
1 5 x2 3x 2 0 225y2 4 20 y 32x2 3x 1 0
作业巩固
P36第1、2、3题
谢谢大家！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
§ 17.3一元二次方程根的判别式
相信自己，你最棒！
1、提问：一元二次方程有哪些解法？
2、解下列方程 （1）x2-4x+4=0 （2）x2-3x+2=0 （3）4 x2-28=0 （4）2 x2+x+1=0
讨论
1、2 x2+x+1=0为何解不出它的根？
2、探索下列方程b2-4ac与0的关系。 （1）x2-4x+4=0 （2）x2-3x+2=0 （3）4x2-28=0 （4）2x2+x+1=0
理论推导 一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a≠0)的求根公式：
x b b2 4ac 2a
（1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
小试牛刀
不解方程，判别下列方程根的情况
1 5 x2 3x 2 0 225y2 4 20 y 32x2 3x 1 0
作业巩固
P36第1、2、3题
谢谢大家！
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
沪科版八年级下册17.3.2一元二次方程根的判别式课件(18张PPT)
提示：先利用判别式求 k 的范围，再化简。
3k 2 3
动不如 动
已 知 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 m x2 3 ( m 1 )x 2m 3 0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的值.
在中考中，代数占 70-80 分，统计与概率占 20 分左右，几何占 50-60 分，其中一元二次方程占 10 分左右。一元二次方程的内容包括一元二次方程的解 法、一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系， 今天我们继续学习一元二次方程的根的判别式。
1.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行 有关的推理论证；
解：因为 V=b2 4ac 16m 1 ，所以
（1）当 V16m1 0，即 m 1 时，方程有两
16
个不等的实数根；
（2）当 V16m1 0，即 m 1 时，方程有两
16
个相等的实数根；
（3）当
V16m1 0，即
m
1 16
时，方程没有
实数根.
问题三：解含有字母系数的方程。
解方程： ax2 5x 5 0 。
提示：分类讨论：当 a=0 时，方程变为：
5x 5 0
当 a≠0 时，方程为一元二次方程，再利用△确
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
解： 当a=1时，x=1.
当a≠0时，方程为一元二次方程.
△=25-20a.
当△>0，即
a<
5 4
时，
x
5
25 20a
2a
；
5
当△=0，即 a= 4 时，x=2；