从特殊三棱锥到一般三棱锥问题共26页文档
三棱锥的性质
三棱锥的性质三棱锥是一种几何体，由一个底面和三条斜面组成。
本文将探讨三棱锥的各种性质和特点。
一、基本定义和构造三棱锥是一种具有三个侧面和一个底面的多面体。
它的底面是一个三角形，而侧面是三个以底面三个顶点为顶点的三角形。
二、顶点、棱和面的关系1. 顶点：三棱锥有四个顶点，其中三个顶点位于底面的三个角上，第四个顶点是所有棱的共同顶点，位于顶面上。
2. 棱：三棱锥有六条棱，其中三条棱是底面的边，另外三条棱是从顶点向底面的三个顶点连线。
3. 面：三棱锥有四个面，其中三个面是侧面，一个面是底面。
三、特殊类型的三棱锥除了一般的三棱锥外，还有一些特殊类型的三棱锥，包括：1. 直三棱锥：如果三个侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直三棱锥。
2. 正三棱锥：如果底面是等边三角形，并且侧面都是等边三角形，那么这个三棱锥就是正三棱锥。
3. 直交三棱锥：如果底面是一个直角三角形，并且侧面都与底面的边垂直相交，那么这个三棱锥就是直交三棱锥。
四、1. 顶点角和底角之和：三棱锥的所有顶点角的和等于360度，底面的角之和也等于360度。
2. 侧面和侧边：侧面是由底面的边和顶点连接而成的三角形。
侧边是从顶点到底面的边。
3. 面积和体积：三棱锥的侧面积等于底面积的三倍加上底面周长乘以棱长的一半。
体积等于底面积乘以高度的三分之一。
4. 对称性：三棱锥具有一些对称性质，包括轴对称、面对称和中心对称。
五、应用和扩展三棱锥作为一种几何体，在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如建筑物的设计、物体的体积计算等。
此外，三棱锥的性质也可以扩展到其他多面体的研究中。
总结：三棱锥是一种具有底面和三个侧面的多面体，其顶点、棱和面之间有一些特定的关系。
了解三棱锥的性质对于几何学的学习和实际应用都具有重要意义。
通过研究和理解三棱锥的性质，我们可以更好地理解几何学的基本概念和定理，并应用于实际问题的解决。
立体几何之三棱锥知识要点
立体几何之三棱锥知识要点三棱锥是一个具有四个面的多面体，其中三个面是三角形，而第四个面是一个底面，底面是一个任意形状的多边形。
三棱锥的重要特点和性质如下：1.三棱锥的顶点：三棱锥有一个顶点，它是三个侧面的顶点的共同顶点。
2.三棱锥的侧棱：三棱锥有三条侧棱，它们连接顶点和底面上的顶点。
3.三棱锥的高：三棱锥的高是从顶点垂直地延伸到底面的最短距离。
4.三棱锥的底面积：三棱锥的底面积是底面上所围成的面积。
5.三棱锥的侧面积：三棱锥的侧面积是三个侧面所围成的总面积。
6.三棱锥的表面积：三棱锥的表面积是底面积和侧面积的总和。
7.三棱锥的体积：三棱锥的体积可以通过以下公式计算：V=(1/3)*底面积*高。
8.三棱锥的角度性质：三棱锥有三个顶点的角，它们是顶点和底面上的两个相邻顶点围成的角。
9.正三棱锥：如果三棱锥的三个侧面都是等边三角形，并且顶点和底面上的顶点间的连线垂直于底面，那么这个三棱锥是正三棱锥。
10.斜三棱锥：如果三棱锥不是正三棱锥，则被称为斜三棱锥。
斜三棱锥没有任何特殊的角度性质。
11.直三棱锥：如果三棱锥的顶点和底面上的顶点通过一根直线相连接，则这个三棱锥是直三棱锥。
12.斜高：斜三棱锥的高与形状有关，不能通过简单的垂直延伸来获得。
13.圆锥：当底面是一个圆形时，三棱锥被称为圆锥。
14.锥截面：如果一个平面截过三棱锥，截面的形状取决于平面的方向。
15.等面积：如果三棱锥的两个三角形侧面有相等的面积，那么三棱锥的两个侧面角也是相等的。
三棱锥的这些重要特点和性质对我们理解和解决与三棱锥相关的问题非常有帮助。
通过理解和应用这些知识，我们可以计算三棱锥的体积、表面积，以及解决各种与三棱锥相关的几何问题。
有一类特殊的三棱锥【精选】
有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。
循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。
我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。
性质2：RtΔ的两个锐角互余。
性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。
性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。
性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。
(所以RtΔ的外接圆半径R ＝c ＝)。
性质7：RtΔ的内切圆半径r ＝＝(a ＋b －c)。
现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。
如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。
∵PA、PB 、PC 两两垂直， ∴PA⊥面PBC ，PB⊥面PCA ，PC⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。
作PH⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC ；而PC⊥面PABPC⊥AB，所以AB⊥面PCD ，∴AB⊥PD，AB⊥CH。
同理，AH⊥BC，BH⊥CA。
由AB⊥面PCD 知CD⊥AB，而PD⊥AB 且∠APB＝90°，∴∠ABC、∠CAB 为锐角。
同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。
由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得：性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
在RtΔPAB 中，PD·AB ＝PA·PBPD ＝；在RtΔPCD 中，CD ＝PD ＋PC＝()＋c ＝；在RtΔPCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PH PH ＝＝＝，∴＝＝＋＋。
三棱锥专题
三棱锥的特殊到一般三棱锥 四面体 复杂根从简单起 线线、线面到面面 讨论角度和距离解三棱锥三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根. 注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱. 图形的认识，从特殊到一般：（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.（3）与直三角形对应的有直三棱锥.（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.解正四面体正四面体化归为正方体求解.在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1中，由6条面对角线A 1D 、 BC 1 、A 1C 1、BD 、A 1B 、DC 1为棱的四面体即为正四面体 A 1 - BC 1D .正四面体A 1- BC 1D 的棱长为1的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ；体积为正方体的13；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径2. 三棱锥确定条件个数一般情况下,确定一个三角形需要3个条件. 同样，一般情况下确定一个三棱锥需要6个条件.确定一个等腰三角形需要2个条件，对应的，确定一个正三棱锥需要2个条件.确定一个等腰直三角形只需1个条件，对应的，确定一个“正直三棱锥”只需1个条件.解三角形，一般是解斜三角形，已知条件需要3个. 而解三棱锥，一般是解特殊的三棱锥，已知条件不多于3个.“正直”三棱锥我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”. 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.立式图中，1个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线.解正直三棱锥化为正方体求解一、线线关系：（1）相交垂直：AD⊥DD1（2）相交45°：AD与AD1（3）相交60°：AD1与AC（4）异面垂直AC与DD1二、线面关系（1）垂直：AD与DCD1（2）交成45 °：AD与ACD1三、面面关系（1）垂直：三侧面两两之间（2）交成：如平面ACD1与平面ACD正直三棱锥的高线【题目】若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1.求它高线VH的长度.【解1】（斜高法）【解2】（等积法）正直三棱锥的外接球正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径.【题目】正直三棱锥的侧棱长为1，求其外球半径长.在三棱锥O - ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等.M为AB 的中点. 则OM与平面ABC的成角的大小为.正方体内接三棱锥的个数【问题】以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数.“长棱”三棱锥正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类. （1）斜三棱锥(图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥(图右).它们各有1条长度为的“长棱”，其外心在长棱的中点上.直正三棱锥底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个.直正三棱锥的四个面中：（1）底面是正三角形；（2）有2个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；（3）另一个侧面为等腰三角形；解直正三角形【题目】三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，且PA AB = BC = CA =1.（1）求三棱锥P-ABC的体积；（2）求A到平面PBC的距离.。
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11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
Байду номын сангаас
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
《长方体中的三棱锥及其应用》
长方体中的三棱锥及其应用逆向思维，往往也是解决问题的一种重要思维方式.如：有的三棱锥是从长方体中分离出来，当然也可将其还原回去.若借助长方体的性质，来解三棱锥的问题，比从三棱锥中求解，有时会简单的多. 一、长方体中的三棱锥因为任何二条异面直线段AB 、CD 的四个端点的两两的连线AB 、CD 、AC 、AD 、BC 、BD ，可以构成三棱锥A -BCD .而长方体中有三类线，其为棱、面对角线、体对角线.据此长方体中可分离出五类三棱锥.棱与棱（要求异面）、一棱与一面对角线（异面）、一棱与一体对角线（异面）；一面对角线与另一面对角线（异面），一面对角线与一体对角线（异面）.现从图中把它们标识出来：1．两异面棱构成的三棱锥.如棱AB 与棱CD 组成三棱锥A -BCD ，如图1.其中三棱锥A -BCD 的六条棱，分别为长方体的三条棱AB 、BD 、DC ，两条面对角线AD 、BC 和一条体对角线AC (它等价于棱BD 与体对角线AC 构成的三棱锥A -BCD ).同理,棱AB 与棱FC 也可组成类似的三棱锥.2．两异面线一棱与一面对角线构成的三棱锥.棱AB 与DF 组成的三棱A -BDF ，如图2.其中三棱锥由长方体的三条棱AB 、BD 、BF 和三条面对角线AD 、AF 、DF 组成.图1 图2 图3 图43．两异面线一面对角线与另一面对角线构成的三棱锥.面对角线AD 与面对角线MF 组成的三棱锥A -DFM ，如图3，其中三棱锥由长方体的六条面对角线AD 、AF 、AM 、DM 、DF 、FM 组成.4．两异面线一面对角线与一体对角线构成的三棱锥.面对角线DF 与体对角线AC 组成三棱锥A -CDF ，如图4，其中三棱锥由长方体的二条棱DC 、CF 和三条面对角线AD 、AF 、DF 和一条体对角线AC 组成. 二、将三棱锥还原到长方体中将分离的三棱锥还原回长方体中，再借助长方体的性质或建立空间直角坐标系，求解起来就简单了.FAC DBAFDBAFMDF ADC例1.设MN 为互相垂直的异面直线a 、b 的公垂线，P 为MN 上不同于M 、N 的点，A 、B 分别为a 、b 上的点，则三角形APB 为（ ）三角形.A ．锐角B .钝角C .直角D .都有可能 解析：依题意得图1-1，把其还原回图1-2中的长方体中，∵∠QNB ＝2π，∠APB ≥∠QNB ，而P 为MN 上不同于M 、N 的点，故∠APB 为钝角，选B .图1－1 图1－2评注：两异面直线互相垂直且出现了公垂线，这三条线是长方体中顺次连结的三条棱AM 、MN 、NB .例2.在正三棱锥S -ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正三棱锥S -ABC 的外接球的体积为（ ）.A ．43πB ．3264πC ．36πD ．323π 解析：如图2-1，∵S -ABC 为正三棱，∴SB ⊥AC ，又MN ⊥AM ，MN ∥SB ，∴SB ⊥AM ，∴SB ⊥面SAC ，∴SB ⊥SA ，SB ⊥SC .又SA ⊥BC ，SA ⊥SC , ∴SA ⊥面SBC , ∴SA ⊥SC .将S -ABC 还原回正方体中，如图2-2.又S -ABC 的外接球半径R 与正方体的外接球半径相等，∴（2R ）2＝222SC SB SA ++=3SA 2，∴R ＝3，V 外接球＝34πR 3＝36π，选C .图2-1 图2-2 图3-1 评注：当把三棱锥还原回长方体中时，三棱锥外接球的直径，就是该长方 体的对角线长.例3.（2006年高考数学江西卷理科）如图3-1，在三棱锥A -BCD中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 为公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形.（1）求证：AD ⊥BC ；（2）求二面角B -AC -D 的大小；（3）直线AC 上是否存在点E ，使ED 与面BCD 成︒30角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由.图证明：（1）过A 作AH ⊥面BCD 于H ，连BH 、CH ，依题意AB ＝AC ＝BC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝2π，AD ＝3，BD ＝CD ＝1，则BHCD 为正方形，DH ⊥BC ，∴AD ⊥BC .（2）作BM ⊥AC 于M ，作MN ⊥AD 交AD 于N ，则∠BMN 就是二面角B -AC -D 的平面角.∵AB ＝AC ＝BC ＝2 ，M 是AC 的中点，则BM ＝26. 又MN ∥CD ，∴MN ＝21CD ＝21，BN ＝21AD ＝23，由余弦定理得 cos ∠BMN =362222=⋅-+MN BM BN NM BM ,∴∠BMN =arccos 36.（3）设E 为所求的点，作EF ⊥CH 于F ，连FD ，则EF ∥AH ，∴EF ⊥面BCD ，∠EDF 为ED 与面BCD 所成的角，则 ∠EDF ＝︒30.设EF ＝x ，易得AH ＝HC ＝1，则CF ＝x ，FD ＝21x +，∴tan ∠EDF =3312=+=x x FD EF , 解得x =22,则CE ＝2x ＝1，故线段AC 上存在E 点，且CE ＝1时，ED 与面BCD 成︒30角.评注：把三棱锥还原回正方体中，有利于建立空间直角坐标系.事物之间是相互联系的，这种联系有时往往是解决问题的关键. 三、长方体中的长方体长方体中也可以再割补出其他的长方体.请看2008年高考数学宁夏卷理科第18题. 长方体对角线的性质：1）cos α2+cos β2+cos γ2=1（其中α、β、γ为长方体对角线与它相交处的三条棱的夹角）. 2）cos θ2+cos ϕ2+cos δ2=2(其中θ、ϕ、δ为长方体的对角线与它相邻的三个面所成的角).例4．（2008年高考数学宁夏卷理科第18题）如图4-1，已知点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA =60°. （I ）求DP 与CC 1所成角的大小； （II ）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小.图4-1 图4-2解：（I ）如图4-2，将图形补形为一个小长方体EQFD －MPGN ，设DP 与DA 、DD 1、DC 所成角分别为α、β、γ，依题意，ED ＝DF ，则有α＝γ＝60°， 由cos α2+cos β2+cos γ2=1⇒cos 2β=21，又0<β<2π, ∴β=︒45,即DP 与CC 1所成的角为45 .APD BCG M QEA 1B 1 D 1C 1NF APD B1B 1C 1D 1A（II ）连DM ，则∠PDM 为DP 与面AA 1D 1D 所成角.设DP 与面D A 1、面DC 1、面DB 所成角分别为θ、ϕ、δ.由题意得θ＝ϕ，由（1）得δ＝45 .又cos θ2+cos ϕ2+cos δ2=2，∴ cos θ2＝43，而0<θ<2π，∴θ＝30°， 即DP 与面ADD 'A '所成的角为30°.评注：借助长方体已有的结论cos α2+cos β2+cos γ2=1与cos θ2+ cos ϕ2+ cos δ2=2，抓住本题的特点：可构造一个底面为正方形的长方体，求解起来非常简单.。
解三棱锥的高问题(最新版)
解三棱锥的高问题(最新版)解三棱锥的高问题三棱锥是一种具有四个面和六个顶点的多面体。
在解三棱锥的高问题时，我们要计算出三棱锥的高度。
问题描述给定一个三棱锥，我们希望找到它的高度。
三棱锥的高度是指从顶点垂直向底面的距离。
为了解决这个问题，我们需要知道三棱锥的底面形状以及顶点到底面的距离。
解决方案解三棱锥的高问题的方法有多种。
下面是其中的一种简单而常用的方法：1. 确定底面形状：首先，我们需要确定三棱锥的底面形状。
常见的底面形状有三角形、正方形、正五边形等等。
在确定底面形状之后，我们可以了解到底面的几何特征。
2. 计算底面面积：根据底面的几何特征，我们可以计算出底面的面积。
不同形状的底面有不同的计算方法，例如三角形的面积计算可以使用海伦公式。
3. 计算高度：根据底面面积和顶点到底面的距离，我们可以使用三角形的面积公式来计算出三棱锥的高度。
三角形的面积公式为1/2 * 底 * 高，其中底是底面面积，高是顶点到底面的距离。
4. 结果呈现：最后，将计算出的高度呈现出来。
可以使用适当的单位来标注高度的值，例如厘米或米。
示例以下是一个计算三棱锥高度的示例：1. 底面形状：假设三棱锥的底面是一个正三角形。
2. 底面面积：计算正三角形的面积，假设为5平方厘米。
3. 顶点到底面的距离：假设顶点到底面的距离为8厘米。
4. 计算高度：使用三角形的面积公式，高度为1/2 * 5平方厘米* 8厘米 = 20平方厘米。
5. 结果呈现：三棱锥的高度为20平方厘米。
总结解三棱锥的高问题可以通过确定底面形状、计算底面面积和顶点到底面的距离，并使用三角形的面积公式来解决。
这种方法简单易用，适用于大多数情况下。
当然，对于特殊形状的三棱锥，可能需要使用其他的计算方法。
三棱锥的认识与性质
三棱锥的认识与性质三棱锥是一种多面体，由一个底面和四个侧面组成。
它的底面是一个三角形，而侧面则是三个三角形和一个三角形的组合。
在本文中，我们将探讨三棱锥的基本认识和性质。
1. 三棱锥的构成三棱锥由底面和侧面构成。
底面是一个三角形，由三条边和三个角组成。
底面上的三个角分别与侧面的三条边相连，形成三个侧面三角形。
另外，由底面的顶点到侧面三角形顶点的边，形成了三棱锥的侧边。
2. 三棱锥的性质（1）侧面三角形的性质：三棱锥的侧面是三个三角形。
这些侧面三角形具有以下性质：三角形的内角和为180度，任何两个内角之和大于第三个内角。
（2）底面三角形的性质：三棱锥的底面是一个三角形。
底面三角形具有一般三角形的性质：三个内角的和为180度，任意两边之和大于第三边。
（3）顶点角的性质：三棱锥的顶点是底面的一个顶点。
顶点角是底面的顶点和侧面边相连接所形成的角。
顶点角的个数等于侧面三角形的个数，通常为三个。
（4）高度和斜高：三棱锥的高度是从底面垂直延伸到侧面三角形所形成的线段。
斜高是从底面顶点到侧面三角形所形成的线段。
三棱锥的高度和斜高可以用于计算体积和表面积。
3. 体积和表面积计算三棱锥的体积公式为V = (1/3) ×底面面积 ×高度，其中底面面积为底面三角形的面积，高度为从底面到顶点的垂直线段长度。
三棱锥的表面积由底面和侧面三角形的面积之和组成。
底面三角形的面积可以通过海伦公式计算，而侧面三角形的面积可以通过三角形面积公式计算。
4. 应用领域三棱锥在实际生活中有广泛的应用领域。
它是许多建筑结构、工程设计和几何学问题的基础。
例如，在建筑设计中，三棱锥的性质可以帮助我们计算建筑物的体积和表面积，从而更好地规划和设计建筑物。
此外，三棱锥还在几何学和立体几何学中被广泛研究和应用。
它作为一个基本的多面体形状，有助于我们理解和解决与三角形、多面体以及空间几何相关的问题。
总结：三棱锥是一个由底面三角形和侧面三角形构成的多面体。