三棱锥的几个重要性质

直角三棱锥的几个性质 有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。

循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。

我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：Rt Δ的垂心就是直角顶点。

性质2：Rt Δ的两个锐角互余。

性质3：Rt Δ两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质4：Rt Δ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt Δ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。

性质5：Rt Δ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。

性质6：Rt Δ斜边上的中线等于斜边的一半。

(所以Rt Δ的外接圆半径R ＝21c ＝2122b a +)。

性质7：Rt Δ的内切圆半径r ＝22b a b a ab +++＝21(a ＋b －c)。

现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。

如图所示，在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c 。

∵PA 、PB 、PC 两两垂直， ∴PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PCA ，PC ⊥面PAB ， ∴面PAB 、面PBC 、面PCA 两两垂直。

作PH ⊥面ABC 于H ，连CH 并延长并交AB 于D ，连PD ，则PH ⊥AB ，PH ⊥CD ，面PCD ⊥面ABC ；而PC ⊥面PAB ⇒PC ⊥AB ，所以AB ⊥面PCD ，∴AB ⊥PD ，AB ⊥CH 。

同理，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 。

由AB ⊥面PCD 知CD ⊥AB ，而PD ⊥AB 且∠APB ＝90°，∴∠ABC 、∠CAB 为锐角。

同理，∠BCA 也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

由AB ⊥CH ，AH ⊥BC ，BH ⊥CA 易知，H 是ΔABC 的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

在Rt ΔPAB 中，PD ·AB ＝PA ·PB ⇒PD ＝22b a ab+；在Rt ΔPCD 中，CD 2＝PD 2＋PC 2＝(22ba ab +)2＋c 2＝22222222b a a c c b b a +++；在Rt ΔPCD 中，PH ⊥CD ，∴PD ·PC ＝CD ·PH ⇒PH 2＝222CD PC PD ⋅＝22222222222)(b a a c c b b a c b a ab +++⋅+＝222222222a c c b b a c b a ++，∴21PH＝222222222c b a a c c b b a ++＝21a ＋21b ＋21c 。

因此有： 性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21c 。

因PH ⊥面ABC ， ∴侧棱PC 与底面ABC 所成角为∠PCH ＝α，则有sin 2∠PCH ＝sin 2α＝22CD PD ＝22222222222)(b a a c c b b a b a ab ++++＝22222222ac c b b a b a ++。

同理,侧棱PB 与底面ABC 所成角为∠PBH ＝β,sin 2∠PBH ＝sin 2β＝22222222ac c b b a a c ++，侧棱PA 与底面ABC 所成角为∠PAH ＝γ，sin 2∠PBH ＝sin 2γ＝22222222ac c b b a a c ++，所以sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。

因此，性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。

三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。

由AB ⊥PD,AB ⊥CD ，∴侧面PAB 与底面ABC 所成角为∠PDC ＝θ,由PC ⊥PD 知θ＋α＝90°,∴sin 2α＝sin 2(90°－θ)＝cos 2θ。

类似推理，由sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1。

易得：sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。

另外，tan(P-AB-C)＝tan ∠PDC ＝PD PC ＝22b a abc +＝c 2211b a +，同理，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211ac +。

所以， 性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。

各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c 2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211a c +。

如图，Q 为底面ΔABC 内任一点，作点Q 到面PAB 的距离为RQ ＝d 1，到面PBC 的距离为RT ＝d 2，到面PCA 的距离为RS ＝d 3，容易得到：PQ 2＝RQ 2＋RP 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2＝d 12＋d 22＋d 32性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。

QP 与棱PA所成角的余弦值cos 2α＝22PQ SP ＝22PQ RT ，QP 与棱PB 所成角的余弦值cos 2β＝22PQ TP ＝22PQRS ，QP 与棱PA 所成角的余弦值cos 2γ＝22PQ RQ ， 在PQ 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2两边同时除以PQ 2，得cos 2γ＋cos 2α＋cos 2β＝1； 性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。

QP 与面PAB 所成角的余弦值cos 2θ＝222PQ RT RS +，QP 与面PBC 所成角的余弦值cos 2δ＝222PQ RQ RS +，QP 与面PCA 所成角的余弦值cos 2ϕ＝222PQRQ RT +，由PQ 2＝RQ 2＋RT 2＋RS 2得2×PQ 2＝RS 2＋RT 2＋RS 2＋RQ 2＋RT 2＋RQ 2,两边同时除以PQ 2，得cos 2θ＋cos 2δ＋cos2ϕ＝2，∴ 1－sin 2θ＋1－sin 2δ＋1－sin 2ϕ＝2，得sin 2θ＋sin 2δ＋sin 2ϕ＝1。

性质4：③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。

底面三角形的面积S ABC ∆＝21AB ·CD ＝2122b a +·22222222b a a c c b b a +++＝21222222a c c b b a ++，这也可以当成直角三棱锥的一个性质：性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S ＝21222222a c c b b a ++。

在Rt ΔPCD 中，PD 2＝HD ·CD ，两边同乘以41AB 2得41AB 2·PD 2＝41AB 2·HD ·CD ，即S PAB ∆2＝S HAB ∆·S ABC ∆；同理，S PBC ∆2＝S HBC ∆·S ABC ∆；S PCA ∆2＝S HCA ∆·S ABC ∆。

性质5：②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。

把S PAB ∆2＝S HAB ∆·S ABC ∆；S PBC ∆2＝S HBC ∆·S ABC ∆；S PCA ∆2＝S HCA ∆·S ABC ∆；这三个式子相加，得S ABC ∆2＝S PAB ∆2＋S PBC ∆2＋S PCA ∆2。

性质5：③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。

直角三棱锥P-ABC 中，在点A 处，cos ∠PAB ·cos ∠PAC ＝AB PA ·AC PA ＝ACAB PA ⋅2， cos ∠BAC ＝AC AB BC AB AC ⋅-+2222＝ACAB PC PB AB AC ⋅+-+2)(2222 ＝AC AB PB AB PC AC ⋅-+-22222＝AC AB PA PA ⋅+222＝ACAB PA ⋅2＝cos ∠PAB ·cos ∠PAC ； 即cos ∠BAC ＝cos ∠PAB ·cos ∠PAC ；同理，点B 处，cos ∠ABC ＝cos ∠PBA ·cos ∠PBC ；点C 处，cos ∠ACB ＝cos ∠PCB ·cos ∠PCA 。

所以性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。

将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。

因此有性质7：①直角三棱锥外接球的半径R ＝21222c b a ++。

设直角三棱锥内切球半径为r ，球心为Ｏ，连OA,OB,OC ，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，∴ V ABC P -＝V PAB O -＋V PBC O -＋V PCA O -＋V ABC O -，∵ S ABC ∆＝21222222a c c b b a ++，∴ 31×21ab ×c ＝31×21ab ×r ＋31×21bc ×r ＋31×21ca ×r ＋31×21×222222a c c b b a ++×r ， ∴ r ＝222222a c c b b a ac bc ab abc+++++。

所以，性质7：②直角三棱锥内切球的半径r ＝222222a c c b b a ac bc ab abc+++++。

现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

②直角三棱锥顶点到底面的距离为h 满足关系式21h ＝21a ＋21b ＋21c。

性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。

三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。

②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。

各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c 2211b a +，tan(P-BC-A)＝a 2211c b +，tan(P-CA-B)＝b 2211a c +。

性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。

②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。

③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。