9.5棱柱、棱锥的概念和性质
棱柱棱台棱锥知识点总结
棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。
2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。
（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。
（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。
二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。
2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。
（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。
三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。
2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。
（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。
（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。
四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。
2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。
3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。
以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
数学中的棱柱与棱锥的性质
数学中的棱柱与棱锥的性质数学中，棱柱与棱锥是常见的立体几何形体。
它们具有一些独特的性质和特点，对于理解和运用立体几何知识都至关重要。
本文将会介绍棱柱和棱锥的定义、性质以及相关的应用。
一、棱柱的定义和性质1. 定义：棱柱是由两个平行且相等的底面，以及连接底面上对应顶点的若干条棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱柱的侧面是由若干条相互平行的线段所组成，这些线段被称为棱。
（2）棱柱的底面是多边形，其边数与侧面棱数相同，并相互平行。
（3）棱柱的高是两个底面之间的垂直距离。
（4）棱柱的体积可以通过底面积和高的乘积计算得到。
二、棱锥的定义和性质1. 定义：棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个非在同一平面上的点的棱所组成的立体形体。
2. 性质：（1）棱锥的侧面是由底面的边和连接底面顶点与顶点的棱组成。
（2）棱锥的底面是一个多边形。
（3）棱锥的高是从顶点到底面的垂直距离。
（4）棱锥的体积可以通过底面积和高的乘积再除以3计算得到。
三、棱柱和棱锥的应用1. 棱柱的应用：（1）柱体的形状多用于建筑设计，比如柱子、烟囱等。
（2）在计算几何中，柱体的体积计算可以应用到计算物体的容积、质量等问题中。
2. 棱锥的应用：（1）锥体的形状常见于圆锥、塔尖等建筑物的设计。
（2）在几何学和几何光学中，锥体的性质和转光性质有着重要的应用。
总结：通过对数学中棱柱和棱锥的定义、性质以及应用进行了介绍，我们可以更好地理解和运用立体几何知识。
棱柱和棱锥的独特性质和计算方法有助于解决实际问题，并在建筑设计、几何学、几何光学等领域得到广泛应用。
掌握和理解棱柱和棱锥的概念，对于数学学习和应用具有重要意义。
认识数学中的棱柱与棱锥体积
认识数学中的棱柱与棱锥体积数学是一门抽象而又实用的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
在数学的世界中，有许多有趣的几何概念，其中包括棱柱和棱锥体积。
本文将详细介绍这两个概念，让我们一起来认识数学中的棱柱与棱锥体积。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行且相等的多边形底面以及连接底面对应顶点的直线段组成的几何体。
棱柱的体积可以通过以下公式来计算：V = 底面积 ×高其中，底面积是指底面的面积，高是指连接底面的直线段的长度。
棱柱的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱柱的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点的直线段所围成的区域。
棱柱的体积计算方法可以通过一个简单的例子来理解。
假设有一个底面积为10平方厘米，高为5厘米的三角形棱柱，那么它的体积可以计算如下：V = 10平方厘米 × 5厘米 = 50立方厘米从上述例子可以看出，棱柱的体积与底面积以及高密切相关。
当底面积或高增加时，棱柱的体积也会相应增加。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和连接底面顶点与一个点的直线段组成的几何体。
棱锥的体积可以通过以下公式来计算：V = 1/3 ×底面积 ×高其中，底面积指的是底面的面积，高是指连接底面顶点与顶点的直线段的长度。
棱锥的底面可以是任意多边形，例如三角形、四边形或者正多边形。
棱锥的侧面可以看作是底面上的边与连接底面顶点与顶点的直线段所围成的区域。
为了更好地理解棱锥的体积计算方法，我们可以举一个实际的例子。
假设有一个底面积为8平方厘米，高为6厘米的三角形棱锥，那么它的体积可以计算如下：V = 1/3 × 8平方厘米 × 6厘米 = 16立方厘米从上述例子可以看出，棱锥的体积与底面积以及高的关系也是密切相关的。
当底面积或高增加时，棱锥的体积也会相应增加。
三、棱柱与棱锥体积的比较通过对棱柱和棱锥体积的计算公式进行比较，我们可以发现它们之间存在着明显的差异。
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥
三年级数学认识几何中的棱柱与棱锥几何是数学的一个重要分支，它研究的是图形的形状、大小、相对位置等性质。
在三年级数学学习中，我们开始接触了几何中的一些基本概念，比如点、线、面等。
今天，我们要进一步认识几何，探讨一下棱柱与棱锥这两个重要的几何概念。
一、棱柱的认识及性质1. 棱柱的定义棱柱是一种由两个平行多边形底面围成的立体图形。
棱柱的侧面是由棱连接两个底面的对应顶点所形成的，每条连接两个底面对应顶点的线段被称为棱。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是相似的多边形。
（2）棱柱的侧面是矩形。
（3）棱柱的棱和底面垂直。
（4）棱柱的高是连接两个底面的垂直线段。
二、棱锥的认识及性质1. 棱锥的定义棱锥是一种由一个多边形底面和每个底面顶点到一个点（顶点）的直线段所围成的立体图形。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形。
（2）棱锥的侧面是由棱和顶点连接而成的三角形。
（3）棱锥的高是连接底面重心与顶点的直线段。
三、棱柱与棱锥的区别1. 形状区别棱柱的底面和顶面都是多边形，而棱锥的底面是一个多边形，顶面是一个点。
2. 侧面区别棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
3. 应用区别棱柱的应用场景较多，比如圆柱、立方体等都属于棱柱的特例。
棱锥的应用场景相对较少，比如一些塔楼的形状就类似于棱锥。
四、实例分析案例一：儿童玩具积木儿童玩具积木常使用棱柱形的积木块，因为棱柱的底面具有平稳的性质，利于稳定玩具结构。
案例二：蛋糕结构蛋糕通常采用棱锥形的结构设计，底面是一个圆形或者椭圆形的多边形，顶部是尖锐的顶点，能够很好地装饰和制作成各种形状。
五、总结通过对棱柱与棱锥的认识，我们了解到它们是几何学中的两个重要概念。
棱柱的底面与顶面都是多边形，而棱锥的顶面是一点。
此外，棱柱的侧面是矩形，而棱锥的侧面是三角形。
我们可以通过实际生活中的例子来更好地理解和应用这些几何概念，比如儿童玩具积木和蛋糕的结构设计等。
因此，在三年级数学学习中，我们需要进一步掌握棱柱与棱锥的形状特征及其性质，通过实际问题的应用，培养我们的几何思维能力。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
【精品含答案】高考一轮复习9.5棱柱、棱锥的概念和性质基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习9.5 棱柱、棱锥的概念和性质基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体，以上四个命题中，真命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 正四棱柱的对角线长为9cm ，表面积为2cm 144，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D. 无数3. 正方体的直观图如图所示，则其展开图是（ ）4. 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面111D BC A 而截得的，且11CC AA =，已知截得面111D BC A 与底面ABCD 成︒45的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（ ）A.2 B.33 C. 22 D. 425. （思维拓展题）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是（ ）A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B. 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D. 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上6. （2007·海南·宁夏高考）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h h h 21、、，则=h :h :h 21（ ） A.1:3:3B.2:2:3 C.2:2:3 D. 3:2:3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
棱柱、棱锥、棱台的概念和性质
1 1 3 1 ¢ \ MN = (0, , ); AB = ( , - ,1) 2 4 2 2
A N
AB ¢? MN = 0-
3 ?0 2
1 1 1 (- ) + ? 1 2 2 4
B
M
Y
C
X
1 1 + = 0 4 4
AB MN .
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
分析： 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时， 棱柱为斜棱柱。 左图：
A1 B1 C1
两个相邻侧面与底面 垂直时，它们的交线 也与底面垂直。
A B
C
2. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点？
1). 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。
2). 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱 的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全 等的矩形。
答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是． 如右图所示，不是棱柱．
棱柱的表示法； 1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如： 棱柱A C1
2
a 2a 2 + b 2
骣 2÷ ÷ ?ç 0, ç ÷ ç ÷ ç 2 桫
D
AC1 D1 C 形
骣 p p÷ ç , ÷ ç ç 桫 4 2÷
A
B
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
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C.5
D.6
4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以
该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为
（B）
A. 2
B. 2
C. 3
D.2
6
3
3
3
解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个
正四棱锥的高为 2 ，所以 V 2 1 1 2 2 .
知能迁移3 如图，四棱锥P—ABCD中， PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角 梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°， PA=AD=DC=2，AB=4.
（1）求证：BC⊥PC； （2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值； （3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD，
④假.理由同③； ⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的 各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上. 答案 ①⑤ 探究提高 本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并 会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相 等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相 等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角 形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形 内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结 论.
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ B） A.棱柱有一条侧棱与底面垂直
B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直
D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直
3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为
24，则这个长方体的一条对角线长为
（C）
A.2 3
B. 14
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离. 思维启迪 在（3）中，关键是确定O在平面PMN中 的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面 PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.
2
3 23
5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2 3 ，则一条侧
棱到与它相对的面之间的距离为
（ D）
A.1
B. 2
C. 3
D. 6
解析 由体积公式V=Sh可得底面积为S V 2 3, h
若设底面三角形的边长为a，则有 3 a2 2 3, 所 4
以a=2 2 ，故侧棱到相对面的距离为 3 a 6. 2
2 （3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC. ∴平面PAC⊥平面PMN.
设MN∩AC=Q，连结PQ，
则平面PAC∩平面PMN=PQ.
作OH⊥PQ，垂足为H，
则OH⊥平面PMN，
OH的长即为O到平面PMN的距离，
作AG⊥PQ于G.
在Rt△PAQ中，PA=a, AQ 3 AC 3 2 a,
⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.
其中真命题为
（写出所有真命题的序号）.
思维启迪 结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行 判断. 解析 ①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相 等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上 的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面 所成的角都相等； ②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在 底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰 四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不 都相等或互补.故是假命题； ③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接 圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个 四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；
知能迁移2 如图所示，四棱锥P— ABCD的底面是矩形，侧面PAD是 正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD， E为侧棱PD的中点.
（1）求证：PB∥平面EAC； （2）求证：AE⊥平面PCD.
解 （1）连结BD与AC交于O，连结OE， ∵O,E分别为BD，PD的中点， ∴OE∥PB，且OE 平面EAC，PB 平 面EAC，∴PB∥平面EAC. （2）方法一 ∵ABCD是矩形， ∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD，
如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点, ∴EF∥AB1. ∵AB1 平面AB1C1，EF 平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE 平面EFD，∴DE∥平面AB1C1. 探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面 的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与 性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确 把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊 梯形的使用等.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
题型一 棱柱、棱锥的概念和性质
【例1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它
为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5
个命题中：
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补；
③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；
④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；
证明 （1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC. ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1. ∵A1C 平面ACC1A1，∴BC⊥A1C. ∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C. 在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC= 3. ∵AA1= 3 ，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1. （2）当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1. 证明如下：
互相平行的面
多边形
侧面
其余各面
侧棱
两Байду номын сангаас侧面的公共边
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= ；1
若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所
成角分别为α、β、γ，则 cos2α+cos2β+cos2γ= 2.
4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象 (1)定义： 底面是 正多边形 ，并且顶点在底面上的射影是底 面的 中心 ，这样的棱锥叫做 正棱锥 . (2)性质： ①侧面是 全等的等腰三角形，与底面所成二面角 均 相等 ； ②侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； ③平行于底面的截面也是 正多边形 ；纵截面是 等 腰三角形 ； ④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径.
§9.5 棱柱、棱锥的概念和性质
基础知识 自主学习
要点梳理
1.棱柱、棱锥的定义
定义
棱柱 如果一个多面体有两 个面互相 平行 ，而其 余每相邻两个面的交 线互相 平行 ，这样的 多面体叫做棱柱
棱锥 如果一个多面体有一 个面是 多边形，其余 各面是有一个公共顶 点 的三角形，这样 的几何体叫做棱锥
底面
高积的一半 .
（2）全面积等于侧面积与底面积之和，即S全= S侧 + S底 .
基础自测
1.以下命题中正确的是
（ C）
A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面
都是平行四边形的多面体是棱柱
B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面
体是棱锥
C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.长方体一定是正四棱柱
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
∴CD⊥平面PAD. 又AE 平面PAD，∴CD⊥AE. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD. 又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD. 方法二 ∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD. 又平面PAD∩平面ABCD=AD， 平面ABCD⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD. 又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.