棱锥的概念和性质.
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
初中数学复习解谜棱锥与棱柱的性质与计算方法
初中数学复习解谜棱锥与棱柱的性质与计算方法初中数学复习解谜：棱锥与棱柱的性质与计算方法在初中数学学习中，我们学习了许多几何图形的性质与计算方法，其中包括了棱锥和棱柱。
在本文中，我们将探讨这两种几何图形的特点、属性和计算方法。
一、棱锥的性质与计算方法1. 棱锥的定义棱锥是指一个顶点和一组边，其中除了顶点外的其他点都在同一个平面内，而相交的边则相交于一个顶点。
棱锥的顶点称为尖端，该棱锥的底面是一个多边形，而其侧面是由尖端与底面上的各个顶点相连而成的。
2. 棱锥的性质（1）棱锥的底面是一个多边形，其边数决定了棱锥的类型，例如三角棱锥、四边形棱锥等。
（2）棱锥的侧面是由尖端与底面上的各个顶点相连而构成的。
（3）棱锥的高是指从尖端到底面的垂直距离。
3. 棱锥的计算方法（1）棱锥的表面积计算方法公式为：表面积 = 底面积 + 侧面积（2）棱锥的体积计算方法棱锥的体积是指由底面上所有顶点与尖端依次相连而成的三角锥的体积之和。
计算公式为：体积 = 1/3 ×底面积 ×高度二、棱柱的性质与计算方法1. 棱柱的定义棱柱是指底面为一个多边形，而侧面是由底面上的各个顶点与对应顶点相连而成的直线段组成的几何图形。
2. 棱柱的性质（1）棱柱的底面是一个多边形，其边数决定了棱柱的类型，例如三角棱柱、四边形棱柱等。
（2）棱柱的侧面是由底面上的各个顶点与对应顶点相连而构成的。
（3）棱柱的高是指两个并行底面之间的距离。
3. 棱柱的计算方法（1）棱柱的表面积计算方法和。
计算公式为：表面积 = 2 ×底面积 + 侧面积（2）棱柱的体积计算方法棱柱的体积是指由底面上的各个顶点与对应顶点相连而成的所有矩形的体积之和。
计算公式为：体积 = 底面积 ×高度三、棱锥与棱柱的比较1. 相同点棱锥和棱柱都是由底面和侧面组成的几何图形，都有底面积和高度的概念，都可以计算表面积和体积。
2. 不同点（1）形状不同：棱锥的底面是一个多边形，而棱柱的底面也是一个多边形，但是两者的底面形状可以不同。
小学数学知识归纳掌握棱锥和棱锥的性质
小学数学知识归纳掌握棱锥和棱锥的性质棱锥是一种常见的几何图形，它由一个底面和多条侧边构成。
在小学数学中，学生需要了解棱锥的性质以及相关的数学知识。
接下来，本文将归纳掌握棱锥的性质，并对相关概念进行解释。
1. 棱锥的定义与性质棱锥是由一个多边形（底面）和一些连接多边形顶点和一个点（顶点）的线段（侧边）所构成的立体图形。
棱锥的侧边数目取决于多边形的边数。
据此可知，棱锥具有以下性质：- 棱锥必定有一个顶点和一个底面，顶点是由侧边所汇聚而成。
- 棱锥的侧边数目与多边形的边数有关。
- 如果棱锥的侧边数目为3，则它是一个三棱锥；如果侧边数目为4，则为四棱锥，以此类推。
2. 棱锥的种类根据底面的形状，棱锥可以分为不同的种类：- 三棱锥：底面是一个三角形，侧边有3条。
- 四棱锥：底面是一个四边形，侧边有4条。
- 五棱锥：底面是一个五边形，侧边有5条。
- 六棱锥：底面是一个六边形，侧边有6条。
- 依此类推，可以有七棱锥、八棱锥等。
3. 与棱锥相关的数学知识在学习棱锥的过程中，学生还需要了解一些与棱锥相关的数学知识，例如：- 底面与侧面：棱锥的底面是由连接顶点的线段所围成的多边形。
与底面相邻的面是侧面，因为它们有一个公共的边。
- 顶点角：顶点角是由侧边所围成的角。
对于一个n棱锥（n > 3），顶点角的个数为n个。
- 高度：棱锥的高度是从顶点到底面的垂直距离。
- 表面积：棱锥的表面积由底面积和所有侧面积之和构成。
- 体积：棱锥的体积可以通过公式V = (1/3) * 底面积 * 高度来计算。
4. 棱锥的应用棱锥是几何学中的重要概念，它在现实生活中有广泛的应用，例如：- 施工业：在建筑和工程领域中，棱锥的概念被应用于设计各种形状的建筑和结构。
- 包装工业：许多包装盒的形状可以近似看作棱锥。
- 地理测量学：地球的地壳形状可用棱锥来近似表示。
- 自然界中的晶体：许多晶体的形状与棱锥相似。
本文对小学数学中的棱锥及其性质进行了归纳与解释。
棱锥的性质及其计算公式
棱锥的性质及其计算公式棱锥是一种几何体，具有一定的性质和计算公式。
本文将介绍棱锥的性质，并提供相关的计算公式。
首先，棱锥是由一个多边形的底面和一个顶点连接而成的立体图形。
底面可以是任意形状的多边形，而顶点与底面上的各个顶点连线的线段称为棱。
棱锥的侧面是由底面上的各个顶点与顶点连线所围成的三角形。
根据底面的形状不同，可以有正棱锥、直棱锥、斜棱锥等不同类型的棱锥。
棱锥有以下几个重要的性质：1. 底面积：棱锥的底面积可以根据具体的底面形状来计算。
例如，如果底面是一个正多边形，则可以根据正多边形的边长和边数来计算底面积。
若底面面积为A，则底面积公式为：A = (n * s^2) / (4 * tan(π/n))其中，n表示底面多边形的边数，s表示底面边长，π为圆周率。
2. 侧面积：棱锥的侧面积指的是所有侧面三角形的面积之和。
侧面积的计算与底面形状和棱锥的高度有关。
对于任意形状的底面，可以使用海伦公式将侧面积计算为三角形三边长度的函数。
3. 总表面积：棱锥的总表面积等于底面积加上侧面积。
即S = A + L其中，S表示总表面积，A表示底面积，L表示侧面积。
4. 体积：棱锥的体积可以根据底面积和棱锥高度来计算。
体积的计算公式为：V = (A * h) / 3其中，V表示体积，A表示底面积，h表示棱锥的高度。
除了以上的基本性质，棱锥还涉及到一些其他的概念和计算公式：5. 斜高：棱锥的斜高是指从棱锥顶点到底面上一条边的距离。
斜高可以使用勾股定理计算，即斜高^2 = 高^2 + 距离^2其中，高表示棱锥的高度，距离表示从顶点到底面上一条边的垂直距离。
6. 母线：棱锥的母线是由棱锥顶点连接到底面上一条边上的点的线段。
母线的长度可以使用勾股定理计算，即母线^2 = 高^2 + 距离^2其中，高表示棱锥的高度，距离表示从顶点到底面上一条边的垂直距离。
综上所述，棱锥是一种由底面和顶点组成的立体图形，具有多个性质和计算公式。
棱锥的概念和性质
E H
D
C
又∵
'
过SC、SH的平面与截面和 底面分别交于 C ' H ' 和 CH
'
C H // CH , 得
C B CB
'
'
SC SC
'
SH SH
'
A
B
A B
'
'
同理
'
SH SH
'
,...
S
'
AB
A B AB
'
B C BC
'
'
SH SH
D
'
因此
底面A’B’C’D’E’ ∽底面ABCDE
( B ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 1 )
( C ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 2 )
( D ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3
2)
提示：
3.
D
4.C
应用
例1 已知正三棱锥S-ABC的 高SO=h，斜高SM= l
求 .经过SO的中点平行于底面的 截面 A ' B ' C ' 的面积.
棱锥的高
D E A
棱锥的侧面
O
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥
棱 底边的边数 锥 四棱锥
S
五棱锥
六棱锥 ……
D E O C
A
B
棱锥有如下重要性质
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么， 截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱 锥的高和已知棱锥的高的平方比
棱柱与棱锥的概念与性质
棱柱与棱锥的概念与性质棱柱与棱锥是几何学中常见的三维图形，它们在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将对棱柱与棱锥的概念进行介绍，并探讨它们的性质和特点。
一、棱柱的概念与性质棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个侧面组成的立体图形。
其中，多边形底面的边数决定了棱柱的名称，例如三角形底面的棱柱称为三棱柱，四边形底面的棱柱称为四棱柱，以此类推。
（1）棱柱的特点在棱柱中，底面和顶面是平行的，并且底面的对应边和顶面的对应边相互平行。
此外，棱柱的侧面由底面的各个顶点和顶面的对应顶点之间的线段组成，这些线段称为棱。
因此，棱柱的名称即为棱的总和。
（2）棱柱的面积和体积棱柱的面积等于底面的面积加上底面与顶面之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱柱的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 棱长×棱的数量。
棱柱的体积等于底面的面积乘以棱长。
因此，我们可以用以下公式计算棱柱的体积：体积 = 底面积 ×棱长。
二、棱锥的概念与性质棱锥是由一个多边形底面和它的顶点以及底面的各个顶点之间的直线段组成的立体图形。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，而棱柱有两个平行的底面。
（1）棱锥的特点在棱锥中，底面是一个多边形，顶点位于多边形的正上方。
底面的各个顶点与顶点之间的线段称为棱。
同样，棱锥的名称即为棱的总和。
（2）棱锥的面积和体积棱锥的面积等于底面的面积加上底面与顶点之间的若干个侧面的面积之和。
具体地，棱锥的表面积为：底面积 + 侧面积 = 底面积 + 各侧面的面积之和。
棱锥的体积等于底面的面积乘以高，并除以3（三棱锥）或者是高乘以底面积，并除以3（四棱锥）。
因此，我们可以用以下公式计算棱锥的体积：体积 = 底面积 ×高 ÷ 3。
三、棱柱与棱锥的应用棱柱与棱锥在日常生活和工程实践中有着广泛的应用。
例如，在建筑领域，棱柱形状的建筑物如柱子、烟囱等被广泛使用。
同时，棱锥形状的物体如手指、纸锥、礼帽等也是我们常见的物品。
棱锥与棱台的概念
棱锥与棱台的概念棱锥和棱台是几何学中的两个重要概念，它们都属于多面体的一种。
下面我将分别对棱锥和棱台进行详细的介绍。
一、棱锥棱锥是由一个多边形的底面和一个顶点连接底面上各个顶点的直线段所组成的几何体。
棱锥的特点是顶点只有一个，底面是一个多边形，而侧面是由底面上的各个顶点和顶点连线所组成的三角形。
棱锥的侧面数量与底面的边数相等。
棱锥的分类：1. 正棱锥：底面是一个正多边形，且顶点到底面各顶点的距离相等。
2. 斜棱锥：底面是一个任意多边形，且顶点到底面各顶点的距离不相等。
棱锥的性质：1. 棱锥的底面积加上各个侧面的面积之和等于棱锥的表面积。
2. 棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
二、棱台棱台是由两个平行的多边形底面和连接底面上对应顶点的直线段所组成的几何体。
棱台的特点是顶点和底面上的各个顶点都连成一条直线，且底面和顶面平行。
棱台的侧面是由底面上的各个顶点和顶面上的对应顶点连线所组成的梯形。
棱台的分类：1. 正棱台：底面和顶面都是正多边形，且底面和顶面平行。
2. 斜棱台：底面和顶面都是任意多边形，且底面和顶面平行。
棱台的性质：1. 棱台的底面积加上顶面积加上各个侧面的面积之和等于棱台的表面积。
2. 棱台的体积等于底面积乘以高再除以3。
总结：棱锥和棱台都是由多边形组成的几何体，它们的区别在于棱锥只有一个顶点，而棱台有两个平行的底面。
棱锥的侧面是由底面上的各个顶点和顶点连线所组成的三角形，而棱台的侧面是由底面上的各个顶点和顶面上的对应顶点连线所组成的梯形。
棱锥和棱台的体积都可以通过底面积乘以高再除以3来计算。
高二数学 棱锥基本性质及其应用
高二数学棱锥基本性质及其应用本周学习内容：棱锥的性质、侧面积公式及体积公式；本周学习重点：棱锥的性质及其应用一、基本概念1. 定义、概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面构成的几何体叫棱锥。
2. 分类：按底面多边形的数，(底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高、斜高)3. 棱锥的性质：1. 平行于底面的截面与底面是相似的多边形；2. 有一个面是多边形，其余各面是三角形，但反之不然。
4. 正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影是正多边形的中心。
5. 正棱锥的性质：1. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；2. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
6. 棱锥的体积及侧面积：；棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和。
二、相关例题：例1. 判断问题：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥。
( )(2)所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥。
( )(3)侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
( )例2. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为( C )A. 30°B. 60°C.D.例3.若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则底面与底面所成的二面角是( D )(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°分析：可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案例4.正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( D )(A)(B)(C)(D)分析：可设棱高为1，通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离，进而可得。
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