有一类特殊的三棱锥

有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。

循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。

我们已经学习过的直角三角形的性质有：
性质1：RtΔ的垂心就是直角顶点。

性质2：RtΔ的两个锐角互余。

性质3：RtΔ两直角边的平方和等于斜边的平方。

性质4：RtΔ中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtΔ两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。

性质5：RtΔ两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。

性质6：RtΔ斜边上的中线等于斜边的一半。

(所以RtΔ的外接圆半径R＝c＝)。

性质7：RtΔ的内切圆半径r＝＝(a＋b－c)。

现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。

如图所
示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂
直，设PA＝a，PB＝b，PC＝c。

∵PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥面PBC，PB⊥
面PCA，PC⊥面PAB，∴面PAB、面PBC、面PCA两
两垂直。

作PH⊥面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，
连PD，则PH⊥AB，PH⊥CD，面PCD⊥面ABC；而PC⊥面PAB PC⊥AB，所以AB⊥面PCD，∴AB⊥PD，AB⊥CH。

同理，AH⊥BC，BH⊥CA。

由AB⊥面PCD知CD⊥AB，而PD⊥AB且∠APB＝
90°，∴∠ABC、∠CAB为锐角。

同理，∠BCA也是锐角，从而有：
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

由AB⊥CH，AH⊥BC，BH⊥CA易知，H是ΔABC的垂心，由此可得：
性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

在RtΔPAB中，PD·AB＝PA·PB PD＝；在RtΔPCD中，CD＝PD＋PC ＝()＋c＝；在RtΔPCD中，PH⊥CD，∴PD·PC＝CD·PH
PH＝＝＝，∴＝
＝＋＋。

因此有：
性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式＝＋＋。

因PH⊥面ABC，∴侧棱PC与底面ABC所成角为∠PCH＝α，则有sin∠PCH＝sinα＝＝＝。

同理,侧棱PB与底面ABC所成角为∠PBH＝β,sin∠PBH＝sinβ＝，侧棱PA与底面ABC所成角
为∠PAH＝γ，sin∠PBH＝sinγ＝，所以sinα＋sinβ＋sin γ＝1。

因此，
性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。

三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。

由AB⊥PD,AB⊥CD，∴侧面PAB与底面ABC所成角为∠PDC＝θ,由PC⊥PD知θ＋α＝90°,∴sinα＝sin(90°－θ)＝cosθ。

类似推理，由sinα＋sinβ＋sinγ＝
1。

易得：sinθ＋sinδ＋sin＝1。

另外，tan(P-AB-C)＝tan∠PDC＝＝＝c，同理，tan(P-BC-A)＝a，tan(P-CA-B)＝b。

所以，
性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。

各角的正切值：tan(P-AB-C)＝c，tan(P-BC-A)＝a，tan(P-CA-B)＝b。

如图，Q为底面ΔABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQ＝d，到面PBC的距离为RT＝d，到面PCA的距离为RS＝d，容易得到：PQ＝RQ＋RP＝RQ＋RT＋RS＝d
＋d＋d
性质4：①底
面内任一点到顶点
距离的平方，等于
它到三个侧面距离
的平方和。

QP与棱PA所
成角的余弦值cos
α＝＝
，QP与棱PB所成角的余弦值cosβ＝＝，QP与棱PA所成角的余弦值
cosγ＝，
在PQ＝RQ＋RT＋RS两边同时除以PQ，得cosγ＋cosα＋cosβ＝1；
性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。

QP与面PAB所成角的余弦值cosθ＝，QP与面PBC所成角的余弦值cos
δ＝，QP与面PCA所成角的余弦值cos＝，由PQ＝RQ
＋RT＋RS得2×PQ＝RS＋RT＋RS＋RQ＋RT＋RQ,两边同时除以PQ，得cos
θ＋cosδ＋cos＝2，∴1－sinθ＋1－sinδ＋1－sin＝2，得sinθ＋sinδ＋sin＝1。

性质4：③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。

底面三角形的面积S＝AB·CD＝·＝
，这也可以当成直角三棱锥的一个性质：
性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S＝。

在RtΔPCD中，PD＝HD·CD，两边同乘以AB得AB·PD＝AB·HD·CD，即S＝S·S；同理，S＝S·S；S＝S·S。

性质5：②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。

把S＝S·S；S＝S·S；S＝S·S；这三个式子相加，得S＝S＋S＋S。

性质5：③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。

直角三棱锥P-ABC中，在点A处，cos∠PAB·cos
∠PAC＝·＝，
cos∠BAC＝＝
＝＝＝＝cos∠PAB·cos∠PAC；
即cos∠BAC＝cos∠PAB·cos∠PAC；同理，点B处，cos∠ABC＝cos∠PBA·cos∠PBC；点C处，cos∠ACB＝cos∠PCB·cos∠PCA。

所以
性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。

将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。

因此有
性质7：①直角三棱锥外接球的半径R＝。

设直角三棱锥内切球半径为r，球心为Ｏ，连OA,OB,OC，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，∴V＝V＋V＋V＋V，
∵S＝，∴×ab×c＝×ab×r＋×bc×r ＋×ca×r＋×××r ，
∴r＝。

所以，
性质7：②直角三棱锥内切球的半径r＝。

现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下：
性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。

性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

②直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式＝＋＋。

性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。

三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。

②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。

各角的正切值：
tan(P-AB-C)＝c，tan(P-BC-A)＝a，tan(P-CA-B)＝b。

性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。

②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。

③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。

性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S＝。

②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项。

③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。

性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。

性质7：①直角三棱锥外接球的半径R＝。

②直角三棱锥内切球的半径r＝。