222降次--解一元二次方程(教案说明)
九年级数学上册 第二十二章 一元二次方程 22.2 降次──解一元二次方程名师教案2 人教新课标版
四人学习小组共同研究，给出一个解题过程。
我
编
编
编
众人齐心，30秒，再当考官！
请各四人小组试着编一个类似于(x+1)2=144这样能用直接开平方法解的一元二次方程。努力喔！只用30秒时间！
（师）1、分析学生所编的方程。
2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习。
第五关(2x+ )(2x- )=4
积极、努力的思考并解题。
布
置
作
业
作业：1、作业本
2、挑战题：解方程：
⑴x2+2= x
⑵ ＝2
板
书
设
计：
§22.2.1用直接开平方法解一元二次方程
课件显示、实物投影
x2＝15
解题过程
4x2＝144
解题过程
（x＋1）2＝144
解题过程
x2－8x+16＝0
解题过程
（师）1、利用学生的解答，实物投影，讲解此题。2、说明其解的表示方法。“x1=x2=-1”是为了今后研究方程的需要，看作是方程有两个相等的根。
积极思考，并解题。
试
一
试
出示：解方程x2－8x+16＝0
改头换面：出示：解方程x2－8x＝－16
x2+16＝8x
－8x+16＝－x2
x2－4（2x－4）＝0
（师）指出一些方程需要先移项，去括号等整理变形才可以用直接开平方法解。
方法一：
解：由题意得：x2＝144
x2-144=0
(x-12)(x+12)=0
∴x-12=0或x+12=0
∴原方程的解是：x1=12 , x2=-12
降次--解一元二次方程(初中数学九年级)
降次--解一元二次方程(初中数学九年级) 学情分析:在学习本节之前，学生对一元一次方程及一元一次方程的解的有关知识有一定的了解，并且九年级的学生有一定的数学思维基础，分析和概括能力相对于八年级学生有很大的提高，容易开发学生的主观能动性，适合有特殊到一般的探究方式教学内容分析:本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标:1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学难点分析：重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．关键：理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．教学课时： 1课时教学过程：一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x 2-6x+5=0 （2）2x 2-7x+3=0（学生扳演，教师点评）二、自主学习：〈一〉自学课本Ｐ40---P 41思考下列问题：1、结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？2、配方时，方程两边同时加是什么？3、教材中方程②()224422a acb a b x -=+能不能直接开平方求解吗？为什么？4、什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。
关键感受推导过程。
在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。
三、例题学习：例1（教材P 41例2）解下列方程：（1）2x 2-x-1=0 （2）x 2+1.5x=-3 x（3）x 2-x 2= -21（4）4x 2-3x+2=0解：将方程化成一般形式 解：a=4, b= -3， c=2.x 2-x 2+21=0 b 2-4ac=（-3）2-4×4×2=9-32=-23＜0a=1, b= -2， c=21 因为在实数范围负数不能开平方，所以方b 2-4ac=(-2)2-4×1×21=0 程无实数根。
数学：22.2《降次—一元二次方程的解法》教案(人教版八年级上)
数学：22.2《降次—一元二次方程的解法》教案（人教版八年级上）一. 教学内容：用因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．体会解决问题方法的多样性．二. 知识要点：1. 因式分解法解方程x2－x＝0．方程左边x2－x可以分解因式：x2－x＝x（x－1），于是：x＝0或x－1＝0．所以x1＝0，x2＝1．上述解法过程中，不是不用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫做因式分解法．2. 因式分解法解一元二次方程的主要步骤：（1）将方程化成右边等于0的形式；（2）将方程左边分解因式（两个一次因式的积），方程化成（ax＋m）（bx＋n）＝0的形式；（3）由ax＋m＝0或bx＋n＝0得出方程的根．3. 直接开方法、配方法、公式法、因式分解法的对比形如x2＝a（a≥0）或（ax＋b）2＝c（c≥0）的用直接开方法解．因为一元二次方程的求根公式是由配方法推导出来的，对一般形式的一元二次方程一般不用配方法求根，可考虑因式分解法或公式法．三. 重点难点：因式分解法把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解，体现了“降次”的思想，这种思想不但是本节的重点，而且在以后处理其他方程时也是非常重要的．【典型例题】例1. 用因式分解法解下列方程：（1）5x2＋3x＝0；（2）7x（3－x）＝4（x－3）；（3）9（x－2）2＝4（x＋1）2．分析：（1）左边＝x（5x＋3），右边＝0；（2）先把右边化为0，7x（3－x）－4（x－3）＝0，找出（3－x）与（x－3）的关系；（3）应用平方差公式．解：（1）因式分解，得x（5x＋3）＝0，于是得x＝0或5x＋3＝0，x1＝0，x2＝－3/5；（2）原方程化为7x（3－x）－4（x－3）＝0，因式分解，得（x－3）（－7x－4）＝0，于是得x－3＝0或－7x－4＝0，x1＝3，x2＝－4/7；（3）原方程化为9（x－2）2－4（x＋1）2＝0，因式分解，得＝0，即（5x－4）（x－8）＝0，于是得5x－4＝0或x－8＝0，x1＝4/5，x2＝8．评析：（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．例2. 选择合适的方法解下列方程．（1）2x2－5x＋2＝0；（2）（1－x）（x＋4）＝（x－1）（1－2x）；（3）3（x－2）2＝x2－2x．分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1－x）与（x－1）的关系用因式分解法；（3）题中x2－2x＝x·（x －2）用因式分解法．解：（1）a＝2，b＝－5，c＝2，b2－4ac＝（－5）2－4×2×2＝9＞0，x＝x1＝2，x2＝0.5；（2）原方程化为（1－x）（x＋4）＋（1－x）（1－2x）＝0，因式分解，得（1－x）（5－x）＝0，即（x－1）（x－5）＝0，x－1＝0或x－5＝0，x1＝1，x2＝5；（3）原方程变形为3（x－2）2－x（x－2）＝0，因式分解，得（x－2）（2x－6）＝0，x－2＝0或2x－6＝0，x1＝2，x2＝3．评析：（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．例3. 已知（a2＋b2）2－（a2＋b2）－6＝0，求a2＋b2的值．分析：若把（a2＋b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2＋b2）为未知数的一元二次方程．解：设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0．a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×（－6）×1＝25＞0，，∴x1＝3，x2＝－2．即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3．评析：（1）本题求的是a2＋b2，而题中条件是关于a2＋b2的，把a2＋b2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．（2）根据非负数的性质有a2＋b2≥0，在做题时要注意隐含条件．例4. （1）当代数式x2＋7x＋6的值与x＋1的值相同时，x的值为多少？（2）方程x2＋2x－8＝0的正整数解为几？分析：（1）两个代数式值相等，即x2＋7x＋6＝x＋1，解这个方程可得x的值；（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．解：（1）x2＋7x＋6＝x＋1，x2＋6x＋5＝0，a＝1，b＝6，c＝5，b2－4ac＝16＞0．x1＝－1，x2＝－5，所以x的值为－1或－5．（2）解方程x2＋2x－8＝0，a＝1，b＝2，c＝－8，b2－4ac＝22－4×1×（－8）＝36＞0，x1＝2，x2＝－4．所以方程x2＋2x－8＝0的正整数解为2．评析：（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．－【方法总结】1. 对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．2. 注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．【预习导学案】（实际问题与一元二次方程）一. 预习前知1. 两个数的差等于3，积等于18，则这两个数是__________．2. 三个连奇数的平方和等于155，则这三个数是__________．3. 矩形的长比宽大4厘米，面积等于60厘米2，则它的周长为__________．4. 经实验，某物体运动规律满足等式s＝40t－5t2，问t＝__________时，s＝60．二. 预习导学1. 两个数的和为2，且积为－15，那么求其中一个数x，列方程为（）A．x2－2x－15＝0 B．x2＋2x＋15＝0C．x2－2x＋15＝0 D．x2＋2x－15＝02. 某厂2008年总产值达1493万元，比2007年增长11.8%，下列说法：①2007年总产值为1493（1－11.8%）万元；②2007年总产值为1493÷（1－11.8%）万元；③2007年总产值为1493÷（1＋11.8%）万元；④若按11.8%的年增长率计算，2010年总产值预计为1493（1＋11.8%）万元．其中正确的是（）A．③④ B．②④ C．①④ D．①②③3. 在一块长12m，宽10m的长方形平地中央划出一块地，砌成面积为48m2的长方形花台，使花台四周的空地的宽度一样，①则花台面积占长方形平地面积的__________；②空地面积与花台面积的比是__________；③如果求花台四周空地的宽度x，则所列方程为__________．反思：（1）列一元二次方程解实际问题的一般步骤是怎样的？（2）用一元二次方程解实际问题应该注意什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 方程x（x－1）＝0的根是（）A.0B. 1C. 0，－1D. 0，12. 方程9（x＋1）2－4（x－1）2＝0的正确解法是（）A. 直接开方得3（x＋1）＝2（x－1）B. 化为一般形式13x2＋5＝0C. 分解因式得＝0D. 直接得x＋1＝0或x－1＝03. 解方程（5x－1）2＝3（5x－1）的适当方法是（）A. 直接开方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法4. 若实数x、y满足（x＋y＋2）（x＋y－1）＝0，则x＋y的值为（）A. 1B. －2C. 2或－1D. －2或15. 方程3x（x－2）＝0的解是（）A. x1＝3，x2＝2B. x1＝0，x2＝2C. x1＝，x2＝2D. x1＝0，x2＝－2*6. 若a使得x2＋4x＋a＝（x＋2）2－1成立，则a的值为（）A5 B. 4 C. 3 D. 2*7. 如果x2＋x－1＝0，那么代数式x3＋2x2－7的值是（）A.6B. 8C. －6D. －8**8. 已知（x＋y）（1－x－y）＋6＝0，则x＋y的值为（）A. 2B. －3C. －2或3D. 2或－3二. 填空题1. 一元二次方程x2－2x＝0的根是__________．2. 方程（x－1）（x＋2）＝2（x＋2）的根是__________．*3. 方程（x－1）（x＋2）（x－3）＝0的根是__________．4. 方程x（2x－1）＝3（2x－1）的根是__________．*5. 使代数式x2＋x－2的值为0的x的值是__________．6. 一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．**7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．*8. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若b＝a＋c，则这个方程必有一根为__________．2. 用适当的方法解下列方程：（1）（5－8x）2＝2；（2）x2＋8x＝20；（3）3x2＋2x－3＝0；（4）（x－1）（x＋2）＝70．3. 试求使代数式（x－7）（x＋3）的值比（x＋5）大10的x的值．4. 审查下面解方程（x－1）2＝2（x－1）的过程回答问题．方程两边都除以（x－1）得x－1＝2，∴x＝3．上述过程对不对，为什么？*5. 直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．。
教案：22.2降次——解一元二次方程
教案：22.2降次——解一元二次方程第一篇：教案：22.2降次——解一元二次方程12999数学网 22.2降次——解一元二次方程（5）教学内容本节课主要学习用因式分解法解一元二次方程。
教学目标知识技能1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．数学思考体会“降次”化归的思想。
解决问题能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．情感态度使学生知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．重难点、关键重点：应用分解因式法解一元二次方程．难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法，感悟用因式分解法使解题简便．教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程一、复习引入解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为应加上（111，的一半应为，因此，224121），同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 44【设计意图】复习前面学过的一元二次方程的解法，为学习本节内容作好铺垫。
二、探索新知【问题】仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？（1）上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？【活动方略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x （2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0 12999数学网 12999数学网 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-1．2（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．归纳：利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．【设计意图】引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．【探究】通过解下列方程，你能发现在解一元二次方程的过程中需要注意什么？（1）x(x-2)+x-2=0；2（2）5x-2x-13=x2-2x+；44（3）3x(2x+1)=4x+2；（4）(x-4)2=(5-2x)2．【活动方略】学生活动：四个学生进行板演，其余的同学独立解决，然后针对板演的情况让学生讨论、分析可能出现的问题．对于方程（1），若把（x－2）看作一个整体，方程可变形为（x －2）（x＋1）＝0；方程（2）经过整理得到4x-1=0，然后利用平方差公式分解因式；方程（3）的右边分解因式后变为3x(2x+1)=2(2x+1)，然后整体移项得到23x(2x+1-)2x(+2=1)，把（2x－1）看作一个整体提公因式分解即可；22方程（4）把方程右边移到左边(x-4)-(5-2x)=0，利用平方差公式分解即可．教师活动：在学生交流的过程中，教师注重对上述方程的多种解法的讨论，比如方程（1）可以首先去括号，然后利用公式法和配方法；方程（3）可以去括号、移项、合并然后运用公式法或配方法；方程（4）可以利用完全平方公式展开，然后移项合并，再利用配方法或公式法．在学生解决问题的基础上，对比配方法、公式法、因式分解法引导学生作以下归纳：（1）配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．（2）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次．【设计意图】12999数学网 12999数学网 主体探究、灵活运用各种方法解方程，培养学生思维的灵活性．【应用】例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2．你能根据上述规律求出物体经过多少秒回到地面吗？【活动方略】学生活动：学生首先独立思考，自主探索，然后交流教师活动：在学生解决问题的过程中鼓励学生运用多种方法解方程，然后让学生体会不同方法间的区别，找到解方程的最佳方法，体会因式分解法的简洁性．【设计意图】应用所学知识解答实际问题，培养学生的应用意识．三、反馈练习教材P45 练习2212999数学网 ∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．aba2+b2例2．已知9a-4b=0，求代数式--的值．baab22aba2+b2分析：要求--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的baab关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．a2-b2-a2-b22b=-解：原式=aba∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，22b或a=b 3322b当a=-b时，原式=-=3 23-b32当a=b时，原式=-3．3a=-例2：若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0a<-2∵ax+3>0即ax>-3∴x<-3 a3 a∴所求不等式的解集为x<-【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
22.2降次---解一元二次方程教学设计
教学课时建议：教学课时建议：本小节新授课可分为六学时，其中第一二学时主要让学生理解一元二次方程的解法—配方法；第三四学时主要让学生理解一元二次方程的解法—公式法；第五六学时主要让学生理解一元二次方程的解法—因式分解法.具体的教学设计如下：22.2 降次一、教学目标知识技能：理解掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.通过对一元二次方程解法的探索,体会“降次转换”的基本思想.数学思考：通过配方过程将一元二次方程分解为两个一元一次方程,从而达到降次的目的,体会转化的数学思想方法;通过求根公式的推导过程体会由特殊到一般的数学思想方法,领会配方法事推导求根公式的关键;通过总结解一元二次方程的因式分解法,进一步体会解方程过程中所蕴含的化归思想．问题解决：会用配方技巧将方程变形为(x+m)2=n的形式,明确这一变形的关键是配常数;会准确运用求根公式求解一元二次方程.通过解一元二次方程来提高运算技能．情感态度：感悟数学问题的探索性与条理性,分享成功的喜悦;通过观察、运算和归纳总结的过程,体验数学问题的探究性与规律性,增强学习数学的兴趣;体会知识间的互相联系、互相转化的辩证关系．二、重难点分析教学重点：用配方法解一元二次方程．应用公式法求一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程．配方法是初中教学中的重要内容，也是一种重要的数学方法.配方的方法在以后的学习中经常用到，如在二次根式、代数式的变形及二次函数中有广泛应用.对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，同时它又是推导公式法的基础.公式法的意义在于:对任意的一元二次方程,只要将方程化为一般形式,然后确定a、b、c的值，在b-4ac≥0的前提条件下，将a、b、c的值代入公式即可求出解.因式分解法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法.用配方法解一元二次方程比较麻烦,在解一元二次方程时一般不用配方法,这是为公式法作准备的一种方法.但在今后的学习中,配方法经常用到,因而必须正确掌握配方法的方法. 配方的关键是在二次项系数为1的形式下,方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 在此基础上，介绍了用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程ax + bx + c = 0 的要求和步骤.教学时，要按照由具体到抽象，前后呼应的特点，讲清用配方法解一元二次方程的基本思路和步骤.另外要理解因式分解法解一元二次方程的根据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0．教学难点：用配配方法解一元二次方程的步骤.求根公式在解决实际问题过程中的应用.掌握用因式分解法解一元二次方程.灵活运用各种方法解一元二次方程．学生可以比较容易的掌握直接开平方解一边是完全平方式的一元二次方程的方法，可是大部分一元二次方程方程不具备上述结构特点，需要合理添加条件进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验，因此对配方方法的探索是本节课的教学难点.掌握了配方法后学生可以很容易的理解求根公式的推导.为了突破本节的教学难点：发现和理解配方的方法，在教学中主要以启发学生进行探究的形式展开，目的是想通过学生对方程解法的探索，能够体会和联想到完全平方公式，从而对配方法的完全理解.所以在知识的探索阶段，应该设计几个既有联系又逐步递进的方程,本课的重点放在探究这几个方程的解法上，让学生从特殊方程的配方法进而转化到一般化的一元二次方程的配方，归纳出配方法的基本方法，这也体现了数学教学中从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程.在教学中，开展自主探究，合作交流的学习方式，通过学生的主动探究，掌握和理解配方法.三、学习者学习特征分析由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多.一元二次方程是初中数学的重点内容，学好一元二次方程意义深远．许多同学由于对这一部分内容理解不透，知识掌握不系统，以致学习中形成很大的学习障碍，常出现畏难情绪．教师在教学中应多注意观察学生的反馈情况，有针对性的解决．四、教学过程（一）创设情境，引入新课同学们，我们已经认识了一元二次方程，你知道如何解一元二次方程吗?本节课我们将要利用原有的知识储备来探索一元二次方程的解法.方程①②③④分别适宜于直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．（二）合作交流，探索新知1.配方法：[链接多媒体素材动画：配方法解一元二次方程]我们知道=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2即2t+1=2，2t+1=-2方程的两根为，问题(1)（学生活动）请同学们解下列方程（1）（2）（3）老师点评：上面的方程都能化成或（p≥0）的形式，那么可得x=±或mx+n=±（p≥0）．如：问题（2）：探索的求解过程和方法.这里要给学生充分的时间进行思考和交流，教师在学生小组交流后，组织全班进行讨论，通过观察方程的结构与完全平方式的联系找到问题的突破口.在问题（1）、（2）的基础上，学生获得了解决问题的基本思路，即将方程转化成的形式.学生通过观察方程结构，发现虽然不是完全平方式，但前两项具有完全平方式的特征，只要通过添加条件即可凑成完全平方式——即“配方”.因此，为避免干扰，先将常数项－16移项至方程右边，此时方程化为.对比完全平方式，学生不难发现，方程左边加上一个常数9，就能凑成完全平方式，因此可以根据等式性质在方程两边都加上9，将方程化为，即，从而成功地完成了由“不会解”到“会解”的转化.问题（3）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤：１.化1：把二次项系数化为1；２.移项：把常数项移到方程的右边；３.配方：方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方；４.变形：方程左边分解因式，右边合并同类项；５.开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；６.求解：解一元一次方程；７.定解：写出原方程的解.2.公式法.[多媒体素材动画求根公式的推导]问题1：已知（a≠0）且，试推导它的两个根x1=，x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：二次项系数化为1，得+x=-配方，得：即∵且∴≥0直接开平方，得：即x=∴，由上可知，一元二次方程（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3.判别一元二次方程根的情况：我们已经学过了一元二次方程的求根公式，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=，当时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的，即有两个不相等的实根．当-4ac=0时，•根据平方根的意义=0，所以，即有两个相等的实根；当-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即，．（2）当-4ac=0时，一元二次方程有两个相等实数根即．（3）当-4ac<0时，一元二次方程没有实数根．4.因式分解法：[链接：多媒体素材动画因式分解法解一元二次方程]教师提问：（1）2+x=0，3+6x=0上面两个方程中有没有常数项？（2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2+x=x（2x+1），3+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.（三）应用新知，体验成功1.典型例题：利用媒体资源中的典型例题进行教学．2.练一练解下列方程1）2x2+1=2x2）3）(x-5)(x-1)=104) x -5）6）（四）课堂小结，体验收获通过本节学习你有哪些收获？教师可以进行引导和提示，让学生自主进行总结，并且教师应给予肯定.1.直接开平方法解一元二次方程.2.配方法解一元二次方程.3.公式法解一元二次方程.4.判别一元二次方程根的情况.5.因式分解法解一元二次方程．（五）拓展延伸，布置作业1.解下列方程（１）3x+5x-2=0（２）(2x-3)(x-1)=2（３）2x（x+5）=7x-1（４）2x -（５） x-4x -3=02.已知=20，求的值.分析：将视为整体，将方程化为关于的一元二次方程，再求解.注意验根.3.解关于x的方程：a+c=0（a≠0）注意：分类讨论解：方程a+c=0（a≠0）可变形为=当a、c异号时，﹥0，方程有两个实数根x=±；当a、c同号时，﹤0，方程无实数根；当c=0时，=0，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0五、教学评价：(一)选择题1.方程-0.36=0的解是（）（A）0.6．（B）-0.6.（C）±6.（D）±0.6.2.解方程:4+8=0的解为（）（A）. （B）（C）. （D）此方程无实根.3.方程2x(x-3)=5(x-3)的根为( )（A）. （B）x=3.（C）. （D）.4.若代数式4-2x-5与2+1的值互为相反数,则x的值为( )（A）1或.（B）1或. （C）-1或.（D）1或.5.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是( )（A）直接开平方法. （B）配方法. （C）公式法. （D）因式分解法.6.方程的根是( )（A）x=1.（B）.（C）. （D）以上均不对.(二)填空题7.方程=5的解是,方程=5的解是,方程=5的解是 .8.①=(x- )②=(x+ )9.把化成ax+bx+c=0(a≠0)的形式后,则a= ,b= ,c= .10.一元二次方程当一边是,而另一边是时,方程就可以用因式分解法来解.11.方程的根是.(三)解答题12.设a、b为实数,求a+2ab+b-4b+5的最小值,并求此时a与b的值.13.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?答案：(一)选择题1.D；2.D；3.C；4.B；5.D；6.C.(二)填空题7.;8. 9. 1,10.两个关于未知数的一次因式之积,0 11.;(三)解答题12.解:a+2ab+2b-4b+5=(a+2ab+b)+b-4b+4+1=(a+b)+(b-2)+1 ∴当a+b=0,b-2=0时,原式有最小值, 即当a=-2,b=2时,原式有最小值1．13.设参加会议的有x人，则每个人与除自己以外的(x-1) 人均握一次手，而握手又是相互的，故共握手x(x-1)/2次，因而可列方程：∴x-x-420=0 解得：x1=21,x2=-20但x2=-20不符合题意，故x=21答：参加会议的有21人．。
22.2降次——解一元二次方程(共8课时)
22.2降次——解一元二次方程（共8课时）第一课时：配方法（1）一、教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．二、教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．三、教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．回答解题过程中的依据．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课教学过程设计做一做1．一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？（课件：盒子的棱长）2．对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）2x-=；（2）2692(21)5x x++=．学生独立分析问题，在必要的时候进行讨论．经过分析发现（1）和问题1中的方程形式类似，可以利用平方根的定义直接得到21x-=对于（2），发现方程左边是一个完全平方式，可以化为（1）的形式，然后利用（1）的方法解决．鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可．引导学生归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．即，如果方程能化成2xp=或2()(0)m x n p p +=≥的形式，那么可得x =m x n+=课堂练习解下列方程．学生独立思考、独立板书解题1．x 2-3=0 2．4x 2-9=0 3. 4x 2+4x+1=1 4. x 2-6x+9=03、应用拓展市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ， 则：10（1+x ）2=14.4 （1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=〒1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%．课堂小结问题：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接法．2．直接法适用于ax 2+c=0(a ＞0，c ＜0)型的一元二次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=的．作业31页练习1、2第二课时：配方法（2）教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程一、复习回顾、引入新课用开平方法解下列方程：(1)x2=441； (2)196x2-49=0；我们知道，形如x2-A=0的方程，可变形为x2=A(A≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．二、探究新知、归纳配方法一般过程．学生通过思考，自己列出方程，然后讨论解方程的方法．问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为x m，则长为（x＋6）m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程x（x＋6）＝16，整理得到x2+6x－16＝0，对于如何解方程x2+6x－16＝0可以进行讨论，根据问题1和问题2以及归纳的经验可以想到，只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x＋3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x＋9=16＋9，即（x＋3）2＝25，问题解决．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程探究二：利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（课件：配方）学生首先独立思考，自主探索，然后交流配方时的规律． （1）x 2－8x + 1 = 0； （2）2213x x+=；（3）23640x x -+=．（1）中经过移项可以化为281x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2228414x x -+=-+，得到（x －4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即23122x x -=-，方程两边都加上23()4，方程可以化为231()416x -=；（3）按照（2）的方式进行处理．在学生解决问题的过程中，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理），然后让学生分析利用配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式2a xb xc ++=；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、应用提高、拓展创新，培养学生应用意识．绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长应是多少米？师生活动设计：学生在独立思考的基础上解决问题，在必要时教师进行适当引导，遇到问题时可以让学生讨论解决．…解答‟设绿地的宽是x 米，则长是（x ＋10）米，根据题意得x （x +10）＝900．整理得210900x x +=，配方得2(5)925x +=．解得1255x x =-+=--由于绿地的边长不可能是负数，因此绿地的宽只能是5-+的长是5+四、课堂练习解方程x 2-4x-3=0． 解方程2x 2+3=7x ．五、归纳总结、布臵作业1、 在解决问题的过程中你采取了什么方法？2、应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是： (1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数； (3)方程两边各加上一次项系数一半的平方； 作业：习题22．2第1～3题．第三课时：用公式法解一元二次方程。
降次——解一元二次方程的教案.
22.2降次——解一元二次方程（教师用）一、教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．二、教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．三、重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2 2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．四、教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？CQA老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x2=8根据平方根的意义，得x=±即x1x2=可以验证，p2p）． 221x²2x=8 21x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负值． 2所以PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±即方程的两根为t1例题示范一：变式1：解方程x-25=0变式2：解方程4x-100=0变式3：解方程4x-7=0变式4：解方程(2x-1)2-25=0总结：如果方程能转化成形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0），那么可得x=±p或mx+n=±p 注：（1）直接降次实际上就是直接开平方，方程的左边是一个完全平方式，右边是一个非负数时，可以运用此方法。
22.2.1 降次--解一元二次方程(配方法)
课题
22.2 降次—解一元二次方程（配方法）
课时
第1课时
课 型
新授
主备人
王金涛
学习目标
1、理解配方法的意义，知道用配方法解一元二次方程的一般步骤。
2、会用配方法解一元二次方程。
学习重点
会用配方法解一元二次方程。
学习难点
如何配方？
学习过程
一、复习
、你的收获？2、还有哪些注意的地方？
六、达标
学生感悟
(教师修订)
年级：九年级学科：数学命题人：王金涛审核人：叶书生
东 辛 店 中 学 验 标 题
（满分：50+10时间：10分钟 成绩：）
必做题：（共5题，每题10分）
1、填空：
（1） （2）
2、要使方程 左边配成完全平方式，在方程两边应该都加上（ ）
（2）填空：
① ②
（3）在解方程 时，共几步？哪几步？
（4）什么叫配方法？请在课本中画出。
四、师生互动，探究新知
1、以小组为单位交流讨论在自学过程和思考题中的疑惑问题（3分钟）。
2、小组内不明白的问题，把问题写在后黑板相应的位置。
3、师生共同解决疑惑问题。
4、解方程：
（1） （2）
5、练习：课本第34页，练习中的第2题中的（2）、（4）、（6）
（2）解下列方程
① ② ③
（3）要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且面积为16 ，场地的长和宽应各是多少？
二、把学习目标读两遍
三、自学指导
1、自学内容：课本32页至33页例1之上。
2、自学时间：5分钟
3、自学方法：请同学认真自学课本，不明白的地方请画出，可交流讨论也可问老师，然后完成下列思考题。
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教案说明
课题：22.2 降次----解一元二次方程（第2课时）
单位：河南省安阳市梅园中学
姓名：张立界
日期：2012年9月16日
22.2 降次----解一元二次方程（第2课时）
教案说明
河南省安阳市梅园中学张立界
一、教材分析
本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程（第2课时）.
一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法，是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上，讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础，可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法，进而引出判别式及根与系数的关系，为以后学习二次函数打下良好基础.
二、目标分析
1.知识与技能
理解配方法的算理，会用配方法解一元二次方程.
2.过程与方法
通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，让学生体会转化的数学思想方法，锻炼学生的抽象概括能力.
3.情感态度价值观
通过使用导学案，培养学生的探究精神和自学能力，形成良好的学习习惯.通过“每天四道题，天天爱学习”的训练，化整为零，化难为易，增加数学的趣味性，让学生在解题中感受到成功的喜悦.
三、教法分析
本课采用“自主、探索、导引”教学思路，学生先学后教，先练后讲，把学习的主动权还给学生，突出学生的主体地位.“导学案”的设计，由易到难，由简到繁，层层推进，让学生逐步学会学习.根据时间安排，导学案可让学生提前预习时完成，节约课堂时间，让学生在课堂上讲思路、讲解法，可进一步提升学生学习能力.
四、教学问题诊断
学生的知识储备：学生已了解平方根和算术平方根概念，已掌握完全平方公
式，会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念，上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识.
学生的能力水平：学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想，具备了学习本课时的能力.
学生的习惯养成：学生从七年级开始就使用这种学习思路，前一天的预习，
当天的思考、讨论、讲解，养成了自主、合作、探究的学习方法，具备了初步的学习能力，有了较好的自学习惯。
五、教学过程设计
根据本节课的教学目标，我设计了四个模块.
模块一：每天四道题，天天爱学习.
模块二：展示学习目标
模块三：使用导学案
模块四：当堂检测
模块一：【复习】每天四道题，天天爱学习.
这四道题是复习上节学过的内容，题目简单易做，让学生在解题中体验成功，激发求知欲望.本模块给学生大约4分钟时间解答，教师巡视全班，适当给解题有困难的学生加以指导.先做完的举手示意，教师当堂批改.一般解题时间不超过5分钟，然后学生讲解解题简要思路，教师适当补充，总体时间控制在8分钟以内。
模块二：【目标】展示学习目标
有了目标就有了方向，让学生带着任务学习，增加学习的针对性，提高学习效率.展示目标时间大约1分钟，或让学生读学习目标.目的是让学生自主学习以前明白学习任务.
模块三：【新授】使用导学案
◎自主探索导引
1.自学P31问题2
让学生通过自学回顾矩形面积公式，可用文字或字母表示.让学生用“场地长为x m”来列方程，是为了发散思维，尝试多种解法.
2.P32思考，怎样解方程x2+6x-16=0？
通过对比前面的解法，使方程一边可以配成完全平方，于是产生后面的移项，引导学生认识到这些做法是根据解方程的需要有依据的产生的，并在理解的基础上记忆这些做法.
3.P33思考，为什么在方程x2+6x=16两边加上9，加其他数可以吗？为什么？
通过思考这个问题，让学生认识到：当二次项系数是1时，“方程两边加上
一次项系数一半的平方”是配方的需要.
4.配方法概念：
设计“配方法概念”是为了指导学生学会阅读教材，并合理利用教材.关键词填空是为了帮助学生对概念的理解与掌握.
5.自学例题1
例1的三个方程中，第一个是二次项系数是1的类型，后两个是二次项系数不是1的类型.后一类比较复杂，一般要先化为前一类型再配方.第(3)小题还有另一个作用，具体说明了有些一元二次方程无实数根.原因是在实数范围内，任何平方都不会是负数.通过归纳解一元二次方程的一般步骤，让学生深入理解用配方法解一元二次方程的算理.
6.请尝试解答P34练习第2题.
练习的6个小题，有3种类型.第(1)(2)小题可直接移项配方.第(3)(4)小题移项后，需要把二次项系数先化为1，再配方. 第(5)(6)小题需要把原方程适当变形为一般形式，再配方；或变形后，直接把二次项、一次项移到方程左边，常数项移到方程右边，再配方.难度逐渐加大，可分批让学生板演，让学生暴露解方程中的问题，师生共同解决.
7.思维拓展例2、求证:无论y取何值时，代数式-3y2+8y-6恒小于0.
设计此问题是为了给学有余力的学生一个发散思维的平台，灵活利用配方解决“恒等”类问题.根据课堂时间，也可以布置成课后思考题.
◎知识方法归纳
知识方法归纳是本节课的小结，强调概念，归纳学习方法与规律，提醒本节课学习中的注意事项.最好让学生自己总结，教师适当补充，全面发挥学生的主体作用.
模块四：【反馈】当堂检测
当堂检测是为了及时了解学生本节课的学习情况，为教师布置作业，课后个别辅导，下一节的设计提供参考.同时，也检验了教师设计本节课的教学效果，以便及时调整教学设计.
六、教学反思
通过每天四道题的训练，以训练代替复习，效果很好，学生能提前进入学习状态，及时通过核心题型复习上节或以前内容，学生很乐意接受.学习目标的展示，导学案的设计，培养了学生的自主探究能力，坚持不懈，学生会养成良好的学习习惯和思考习惯.通过作业的批改，发现学生配方中的错误，要及时个别辅导，共同问题要设计在下一节的“每天四道题”中，及时纠正，强化练习.
七、板书设计：
八、分层作业：
◎基础优化练习
第1—7题
基础优化练习部分要求全体学生都做，第3、5题考察了配方的灵活应用，第6题和当堂检测的第3题相似，渗透了整体思想的应用，第7题要规范书写格式.
◎综合应用拓展
第8、9题做为选做题，对数学学有专长或对数学特别感兴趣的学生可以试做，也可以同学之间共同讨论解决.。