21.2降次--解一元二次方程(第一课时)
21.2降次---解一元二次方程课件(共6份)
降次
知1－导
知识点
1
形如x²=p(p≥0)型方程的解法
问 题（一）
一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，
李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正
方体形状的盒子的全部外表面，你能算 出盒子的棱长吗？
知1－导
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表 面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出 方程 10×6x2=1500. ① 整理，得 x2=25 . 根据平方根的意义，得 x=±5 ， 即 x1=5, x2=－5.
)
D．x2＋x＋1＝0
知1－练
4
解下列方程： （1）2x² -8=0 （2）9x² -5=3 （3）9x² +5=1
知2－导
知识点
探究
2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法
对照上面解方程(Ⅰ)的过程，你认为应怎样解 方程(x＋3)2＝5? 在解方程(Ⅰ)时，由方程x2＝25得x＝±5. 由此想到：由方程 得 (x＋3)2＝5，② x＋3＝± 5 ， 即 x＋3＝ 5 ，或x＋3＝－ 5 ，③ 于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ 5 ，x2＝－3－ 5 .
知2－讲
总
结
解形如(mx+n)² =p(p≥0，m≠0)的方程时，先 将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一 次方程，再求解.
知2－练
1 已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根
D．有两个实数根
知2－练
知2－导
归
纳
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
九年级上册数学21.2 解一元二次方程 直接开平方法
21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴b a＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。
章丘市九中九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1第1课时直接开平方法
导入新课
复习引入
1.如果 x2=a , 那么x叫做a的平方根. 2.如果 x2=a(a ≥0) , 那么x= a . 3.如果 x2=64 , 那么x=±8 . 4.任何数都可以作为被开方数吗 ？
负数不可以作为被开方数.
讲授新课
一 直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程 问题 : 一桶油漆可刷的面积为1500dm2 , 李林用 这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的 全部外表面 , 你能算出盒子的棱长吗 ？ 解 : 设一个盒子的棱长为x dm , 那 么一个正方体的表面积为6x2dm2 , 可 列出方程 10×6x2=1500 ,
x(x3+3)2=55, , ② 得 x3 5， 或 x3 5.③
于是 , 方程(x+3)2=5的两个根为 x1 3 5,x2 3 5
解题归纳
上面的解法中 , 由方程②得到③ , 实质上 是把一个一元二次方程〞降次” , 转化为两个一 元一次方程 , 这样就把方程②转化为我们会解的 方程了.
典例精析
例2 解以下方程 : 〔1〕(x＋1)2= 2 ; 解析 : 第1小题中只要将(x＋1)看成是一个整体 , 就可以运用直接开平方式求解.
解 : 〔1〕∵x+1是2的平方根 ,
∴x+1= 2 .
即x1=-1+ 2 ，x2=-1- 2 .
〔2〕(x－1)2－4 = 0 ;
解析 : 第2小题先将－4移到方程的右边 , 再同 第1小题一样地解.
第二十一章 一元二次方程
配方式
第1课时 直接开平方式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点〕 2.运用开平方式解形如x2=p或(x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点〕
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
-将现实问题抽象为一元二次方程，并运用所学知识解决。
举例解释：
-配方法中的移项和加、减同一个数以形成完全平方的过程，如将x²-6x+9转化为(x-3)²；
-在公式法中，对于方程2x²-5x+2=0，学生需要计算判别式Δ=(-5)²-4*2*2=25-16=9，并理解Δ>0时方程有两个不同实数根；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的四种解法：直接开平、配方法、公式法和因式分解法。对于难点部分，如配方法和公式法，我会通过具体方程的求解过程来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过图形的折叠和剪裁，学生可以直观地理解配方法中的完全平方概念。
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案
一、教学内容
人教版初中数学九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2降次-解一元二次方程教案：
1.掌握一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）；
2.了解求解一元二次方程的四种方法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法；
我也观察到，在总结回顾环节，有些学生对所学知识的掌握并不牢固，可能需要更多的复习和练习。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些巩固性的练习，特别是针对那些难度较大的解法，以确保学生能够扎实掌握。
最后，我认识到，教学过程中要不断关注学生的反馈，根据他们的学习情况调整教学策略。在今后的教学中，我会更加注重因材施教，针对不同学生的学习能力和兴趣，设计更加个性化的教学活动。同时，我也会鼓励学生提出自己的疑问，并及时给予解答，帮助他们克服学习中的困难。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
21.2.2公式法解一元二次方程(一)
21.2.2公式法解一元二次方程（1）主备人：符后丽 审核：数学备课组 课型：新授课学习目标：1、 掌握用求根公式法解一元二次方程的一般步骤，会用公式法解一元二次方程。
2、 经历求根公式的推导过程，进一步发展逻辑思维能力，体验数学的简洁美。
3、 进一步体会分类、类比、转化、降次的数学思想方法。
学习重点：公式法解一元二次方程学习难点：求根公式的推导过程学习过程：一 复习回顾1、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= 。
2、在方程x x 8172=+中，a= ，b= ，c= 。
3、用配方法解下列方程。
（1）0142=+-x x （2）x x 2132=-二 新知探究1、（探索与思考）用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax2、总结与归纳：（1）由上可知，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是由系数a 、b 、c 而定，因此，用公式法解一元二次方程的基本步骤是：第一步： 第二步： 第三步：(2) 由上可知，一元二次方程解的个数情况是由ac b 42-决定的。
当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，有 个 实数根；（=1x =2x ） 当ac b 42- 时，一元二次方程没有实数根；3、例题讲解（1）0742=--x x （2）012222=+-x x（3）1352+=-x x x （4）x x 8172=+三 巩固练习解下列方程（1）062=-+x x （2）04132=--x x（3）02632=--x x （4）0642=-x x（5）114842+=++x x x （6）x x x 85)42(-=-四 变式训练1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为 ，用求根公式的前提是 。
2、在方程02752=+-x x 中，a= ，b= ，c= ，=-ac b 42 ，方程的两根为=1x ，=2x 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
22．2降次--解一元二次方程（第一课时）
22.2.1 配方法(1)
◆随堂检测
1、方程32x +9=0的根为（ ）
A 、3
B 、-3
C 、±3
D 、无实数根
2、下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A 、210x +=
B 、2(21)0x +=
C 、2(21)30x ++=
D 、21()2x a a
-=3、若22
4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ）
A 、p=4，q=2
B 、p=4，q=-2
C 、p=-4，q=2
D 、p=-4，q=-2
4、若28160x -=，则x 的值是_________．
5、解一元二次方程是22(3)72x -=．
6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ．◆典例分析
已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求22
2x y x y -+的值．分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0，
∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0，
∴x=-2，且y=3，
∴原式=2681313
--=-．◆课下作业
●拓展提高
1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________．
2、方程b a x =-2
)(（b ＞0）的根是（ ）
A 、b a ±
B 、)(b a +±
C 、b a +±
D 、b a -±
3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2
4、若2
2(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________．
5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0．
6、如果x 2-4x+y 2，求()z xy 的值．●体验中考
1、（2008年，丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=，
则另一个一次方程是_____________.
2、（2009年，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．2(1)6x +=
B ．2(1)6x -=
C ．2(2)9x +=
D ．2(2)9x -=
参考答案：
◆随堂检测
1、D 依据方程的根的定义可判断此方程无实数根，故选D ．
2、B D 选项中当0a <时方程无实数根，只有B 正确．
3、B 依据完全平方公式可得B 正确．
4、．
5、解：方程两边同除以2，得2(3)36x -=，
∴36x -=±，∴129,3x x ==-．
6、解：当n≥0时，，∴x 1-m ，x 2-m ．当n<0时，方程无解．◆课下作业
●拓展提高
1、0≤ 原方程可化为23
c x =-，∴0c ≤．
2、A 原方程可化为x a -=，∴x a =±．
3、根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2．
4、10或-4 若22(3)49x m x +-+是完全平方式，则37m -=±，
∴1210,4m m ==-．
5、（1）121,1x x =-=-；（2）1251,33
x x ==．
6、解：原方程可化为（x-2）2+（y+3）2，
∴x=2，y=-3，z=-2，∴2()(6)z xy -=-=
136．●体验中考
1、6x += 原方程可化为6x +=6x +=．
2、B 原方程可化为22160x x -+-=，∴2(1)6x -=.故选B.。