(整理)数学定积分知识总结
考研定积分知识点总结
一、定积分的定义和性质1. 定积分的概念定积分是微积分学中的重要概念，它是对函数在一个区间上的积分值进行求解的操作。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上是连续的，则我们可以通过定积分的形式来求解函数f(x)在区间[a,b]上的积分值，即∫(a to b) f(x)dx。
这里，∫表示积分符号，a和b分别表示区间的起点和终点，f(x)表示要求解的函数，dx表示积分变量，并代表着在区间[a,b]上x的变化范围。
因此，定积分的求解可以看做是对函数在一个区间上的积分值进行求解的过程。
2. 定积分的性质定积分具有一系列的性质，这些性质在定积分的求解中起着重要的作用。
主要的性质包括线性性、可加性、积性、保号性、保序性等。
具体来说，线性性指的是定积分的线性组合仍然可以进行积分求解；可加性指的是如果一个区间可以分解成若干个子区间，那么对应的积分值也可以进行求和；积性指的是如果一个函数是另一个函数的乘积，那么对应的积分值也可以进行相乘；保号性指的是如果函数在区间上恒大于等于零（小于等于零），那么对应的积分值也恒大于等于零（小于等于零）；保序性指的是如果函数在区间上恒大于等于另一个函数（小于等于另一个函数），那么对应的积分值也恒大于等于（小于等于）另一个函数在相同区间上的积分值。
这些性质在定积分的具体求解中是非常有用的，可以帮助我们简化求解的过程，提高计算的效率。
二、定积分的计算1. 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括定积分的定义法、不定积分法、分部积分法、换元积分法和定积分的几何意义。
其中，定积分的定义法是直接根据定积分的定义进行求解；不定积分法是将定积分转化成不定积分，通过求解不定积分再将得到的结果代入原来的定积分式中，从而得到最终的定积分值；分部积分法是将被积函数进行分解，然后利用分部积分公式对各项进行积分求解；换元积分法是通过变量代换的方法将被积函数进行转化，然后再进行积分求解；定积分的几何意义则是利用定积分代表曲线下面积的特性来进行求解。
数学定积分知识总结
定积分1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:01()lim ()nbk k a k f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b =介于之间与x 轴所围的面积的代数和;3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()ba f x dx ⎰是x 在区间[],ab 中的该经济总量．4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰;（2）[]()()()()b bbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰;（3）()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()bcbaac f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰;（5）00()2()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.1．公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则()()()baf x dx F b F a =-⎰.2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰．3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有()()()()()()bbaabu x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰.1.=⎰__42a π_____； 2. 定积分112121x e dx x⎰ = ___e e -_____；3. 若广义积分2011k dx x +∞=+⎰ ， 其中k 为常数，则k = __π2_____；4. 定积分1321sin x xdx -=⎰__0____ ； 5.1211xdx x -=+⎰___0___； 6. 30(sin )xt t dt '=⎰__3sin x x _____ ；7. 广义积分211dx x +∞=⎰__1_____ ； 8. ()bad f x dx dx =⎰ __0______； 9. 设 )(x f 在 [,]a b 上连续，则()()bbaaf x dx f t dt -=⎰⎰ __0_____ ；10. 若函数 )(x f 在 [,]a b 上连续，)(x h 可导，则()()h x ad f t dt dx=⎰_)()]([x h x h f '⋅_____ ；11. 当 =x _0___ 时，⎰-=xt dt te x F 02)( 有极值；12. 设 0()xt f x te dt =⎰ ，则 (0)f ''= __1_______ ；13. 若2kxedx +∞-=⎰ ，则 k = ___21_______ ；14.21(ln )edx x x +∞=⎰_1_______ ； 15. 2131x x e dx -=⎰__0_________ ；二1.arctan xxdx =⎰ ( B )(A)1112-+x(B) 21arctan ln(1)2x x x -+ (C) 1112++x (D) 211x + 2. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 ( A )(A)53201x dx x +⎰(B)1-⎰ (C)4322(5)xdx x -⎰ (D)11ln eedx x x ⎰ 3. 设 )(x f 为连续函数，则()xaf t dt ⎰为 ( C )(A) ()f t 的一个原函数 (B) ()f t 的所有原函数 (C) )(x f 的一个原函数 (D) )(x f 的所有原函数4.11()()22xf t dt f x =-⎰，且 (0)1f =，则 ()f x = ( A ) (A) 2x e (B)12x e (C) 2x e (D) 212x e 5.1211dx x -=⎰ ( D ) (A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散三、1．求下列各函数的导数:（1）211()1xF x dt t =+⎰解：.1111)(212x dt t dx d x F x +=+='⎰ （2）02()cos xF x t tdt =⋅⎰ 求'()F π解：.cos )('.cos cos )cos (cos )(222020202ππππ-===-=-=='⎰⎰⎰F x x tdt t dx d tdt t dx d tdt t dx d x F x x x （3）22()1tx xte F x dt t =+⎰解：⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=x tx t x t x t x x t dt tte dx d dt t te dx d dt t te dt t te dx d dt t te dx d x F 020********)11(1)('222 2223222221)(121)()(122x xe x e x x xe x dx d x e x xx x x +-+=+-⋅+= 2．求下列各极限: （1）203sin limxx tdt x →⎰解：).(3lim 3sin lim )()sin (limsin lim312202203020320上代换倒数第二步用等价无穷===''=→→→→⎰⎰xx x x x tdt xtdt x x xx xx （2）02(2)limxt t x e e dtx-→+-⎰解：.02lim )2()2(lim 22lim )())2((lim)2(lim0002002=-=''-+=-+=''-+=-+-→-→-→-→-→⎰⎰xx x x x x x x x xt t x xt t x e e x e e x e e x dt e e xdte e 3．求下列各定积分:（1）1(1)x dx -⎰10221|)(x x -= （2）120(3)x x dx +⎰103313ln 1|)3(x x+=（3）20cos 2xdx π⎰2021|2sin πx = （4）1310x e dx -⎰=10331103|)(x x e e dx e e =⎰ （5）212x dx -⎰⎰⎰+-=-200122xdx xdx （6）0cos x dx π⎰⎰⎰-=πππ22cos cos 0xdx xdx（7）2adx ⎰a ax x a ax dx x x a a 0221340|)()2(2321+-=+-=⎰（8）21201x dx x +⎰⎰+-=102)111(dx x （9）4⎰ 解：令t =x 2,则d t =2x d x ,当t =0时,x =0;当t =4时,x =2.于是.|))1ln((2)111(2121120202040x x dx x dx x x dt t +-=+-=+=+⎰⎰⎰（10）20ax ⎰解：令x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =2π.于是.|)4sin ()4cos 1(24cos 1)2(sin )2sin ()cos (sin cos sin cos sin sin 16041880402402214242242222202224242424242222πππππππππa a a a a at t dt t dt tdt t dt t a dtt t a tdt t a tdta t a a t a dx x a x =-=-=-=====⋅-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（11）101dx x+⎰解：令x =t 2,则d x =2t d t ,当x =0时,t =0;当x =1时,t =1.于是).1(2|)arctan (2)111(212211410102102210210π-=-=+-=+=⋅+=+⎰⎰⎰⎰t t dt tdtt t tdt t tdx x x（12）21dx x⎰解：令x =sec t ,则d x =tan t sect t d t ,当x =1时,t =0;当x =2时,t =3π.于是.|)(tan )1(sec tan sec tan sec 1sec 133330121212212ππππt t dt t tdt tdtt tt dx xx -=-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰（13）2210x e dx -⎰20122121221|)12(--=-=⎰x x e x d e （14）0cos3xdx π⎰ππ031031|3sin )3(3cos x x xd ==⎰（15）20cos 2xdx π⎰ππ0210)sin (2cos 1x x dx x +=+=⎰ （16）212ln e xdx x+⎰=⎰⎰+=2200ln 2e e dx x x dx x22220221000|)(ln |ln 2)(ln ln 12e e e e x x x xd dx x +=+=⎰⎰. （17）210x xe dx ⎰101221|22x x e dx e ==⎰（18）120x ⎰⎰-=133311dx x.|)1()1()1(110394103331133312321x x d x dx x --=---=-=⎰⎰（19）1201x xe dx e +⎰ .|)arctan()(1110102x x x e de e =+=⎰ （20）12⎰⎰-=2121)(arcsin )(arcsin 2x d x2121|)(arcsin 331-=x四、解答题1．求0()(4)xF x t t dt =-⎰在区间[]1,5-上的最大值与最小值;解:)4()(-='x x x F ,令0)(='x F ,得x =0,x =4.由此可得在),4[]0,(+∞-∞ 上F(x)单调增加,在[0,4]单调减少. 由此可知,在[-1,5]中,F(x)在x =0处取极大值,极大值为F(0)=0;在x =4处取极小值,极小值为F(4)=.|)2()4()4(332402331424-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t又F(-1)=.|)2()4()4(371023311240-=-=-=---⎰⎰t t dt t t dt t tF(5)=.|)2()4()4(325502331525-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t故在[-1,5]上的最大值为F(0)=0,最小值为F(4)=.332- 2．设20()(1)xf t dt x x =+⎰, 求(0),'(0)f f ;解:两边求导得26)(,23)1(2))1(()(222+='+=++='+=x x f x x x x x x x x f ,故.2)0(,0)0(='=f f。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的计算知识点总结
定积分的计算知识点总结一、定积分的定义。
1. 概念。
- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x_0将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δ x=(b - a)/(n)。
在每个小区间[x_i - 1,x_i]上取一点ξ_i(i =1,2,·s,n)，作和式S_n=∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
当nto∞时，如果S_n的极限存在，则称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_a^bf(x)dx，即∫_a^bf(x)dx=limlimits_n→∞∑_i = 1^nf(ξ_i)Δ x。
- 这里a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式。
2. 几何意义。
- 当f(x)≥slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0时，∫_a^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x 轴所围成的曲边梯形面积的相反数。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，∫_a^bf(x)dx表示位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质。
1. 线性性质。
- ∫_a^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_a^bf(x)dx + k_2∫_a^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
2. 区间可加性。
- ∫_a^bf(x)dx=∫_a^cf(x)dx+∫_c^bf(x)dx，其中a < c < b。
3. 比较性质。
- 如果在区间[a,b]上f(x)≥slant g(x)，那么∫_a^bf(x)dx≥slant∫_a^bg(x)dx。
- 特别地，<=ft∫_a^bf(x)dxright≤slant∫_a^b<=ftf(x)rightdx。
定积分知识点总结专科
定积分知识点总结专科一、定积分的基本概念1. 定积分的引入定积分是对曲线下面积的求解方法。
在平面直角坐标系中，给定曲线的函数关系y=f(x)，我们希望计算在区间[a, b]上曲线与x轴之间的面积。
为了简化计算，我们将区间[a, b]分成无穷小的小区间，然后计算每个小区间中与x轴之间的面积，再把所有小区间的面积相加起来，就得到了曲线在区间[a, b]上的面积。
这种方法就是定积分的基本思想。
2. 定积分的定义设函数y=f(x)在区间[a, b]上有定义，且区间[a, b]上的分割为[a=x0, x1, x2, ..., xn-1, xn=b]，则对应的小区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]，每个小区间的长度为Δxi=xi-xi-1。
在每个小区间上取任意点ξi，用函数值f(ξi)乘以小区间长度Δxi，再把所有小区间的面积相加，得到Σf(ξi)Δxi。
当Δxi→0时，如果极限存在，就称曲线在区间[a, b]上的面积为定积分，用符号∫abf(x)dx表示，即∫abf(x)dx=lim(Δxi→0)Σf(ξi)Δxi。
其中f(x)是被积函数，x是积分变量，a、b是积分上下限，ξi是小区间[i-1, i]上的任意点。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与x轴之间的面积，例如，对于非负函数y=f(x)在区间[a, b]上的定积分∫abf(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所包围的平面图形的面积。
4. 定积分的物理意义定积分的物理意义通常是表示物体的质量、体积或者其它物理量，例如，对于密度为ρ(x)的连续介质在区间[a, b]上的定积分∫abρ(x)dx表示介质在区间[a, b]上的质量。
5. 定积分的符号定积分的符号是∫，这个符号来源于拉丁字母"summa"的缩写，表示对函数在一定区间内的求和。
6. 定积分的性质- 定积分的存在性只有当函数y=f(x)在区间[a, b]上是有界的（即不是无穷大）时，定积分才有意义。
(完整版)定积分知识点汇总
(完整版)定积分知识点汇总定积分是高中数学教学的重点难点之一，也是高数的基础知识。
我们通过汇总定积分的相关知识点，帮助同学们更好地掌握定积分的相关知识，以便在考试中取得好的成绩。
一、定积分的定义定积分是对函数在一定区间上的积分，也就是函数在此区间上的面积。
1. 定积分与区间的选取无关，即如果函数在 $[a,b]$ 上是可积的，则定积分$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$ 的值是唯一的。
2. 定积分具有可加性，即对于任意的 $c \in [a,b]$，有 $\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = \int_a^c f(x) \mathrm{d}x + \int_c^b f(x) \mathrm{d}x$。
三、定积分的求解方法1. 函数曲线与坐标轴相交的情况：对于函数曲线与 $x$ 轴相交的区间，可以根据定义式直接求出该区间内的面积。
对于函数曲线与 $y$ 轴相交的区间，则要将积分区间平移后，再根据定义式计算面积。
2. 利用基本积分法和牛顿-莱布尼茨公式：可以利用基本积分法求出一个函数的原函数，然后利用牛顿-莱布尼茨公式，即$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$，其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。
3. 利用换元积分法：换元积分法是利用一些特殊的代换，将积分式转化为某些基本形式的积分。
常见的代换包括：$u=g(x), x=h(u)$ 和 $\mathrm{d}u = f(x) \mathrm{d}x$。
分部积分法是将原积分式做一个变形，转化成两个积分乘积的形式，从而更容易求解。
5. 利用定积分的对称性：如积分区间对于 $0$ 对称，或者函数具有四象限对称性等，可以根据对称性减少计算量。
1. 几何应用：用定积分可以求解函数曲线与坐标轴围成的图形的面积、体积和质心等几何特征。
利用定积分可以求解质点运动的速度、加速度、位移和质量等物理量。
定积分知识点总结等价
定积分知识点总结等价在本文中，我们将对定积分的基本概念、性质和求解方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用定积分。
一、定积分的基本概念定积分可以看作是一个区间上面积的度量，它描述了函数在一定区间上的总体变化情况。
在数学上，定积分可以理解为函数在指定区间内的面积或者是曲线的弧长，在物理上可以表示为质量、能量、熵等的总量。
1.1 定积分的定义设f(x)在区间[a, b]上有定义，且[a, b]是有限闭区间，将[a, b]上的分割记作Δ，记Δ的任一分点为x0, x1, ..., xn，对应的区间为[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]。
则对应的分割Δ表示为：Δ = {x0, x1, ..., xn}Δ的长度记作δxi = xi - xi-1，假设Δ长度的最大值为δ = max{δxi}。
我们将区间[a, b]分成n个小区间，当n趋于无穷大时，（也就是每个小区间的长度趋于0），则这个过程称为区间[a, b]的分割，也称之为区间[a, b]的划分。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用如下的极限形式定义：∫（a->b）f(x)dx = lim（Δ->0）Σ（i=1->n）f(xi*)δxi其中，xi*是区间[xi-1, xi]上的任意一点。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是非常直观的，它表示了曲线与坐标轴以及两条直线之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是非负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a, x=b之间的面积。
当函数f(x)在区间[a, b]上是有正有负的时候，定积分表示了曲线y=f(x)与x轴之间的面积，其中函数f(x)在区间[a, b]上的正值与负值部分面积互相抵消，最终得到曲线与x轴之间的面积。
1.3 定积分的物理意义在物理上，定积分可以用来描述某一物理量在一定的时间或空间范围内的总量。
例如，对于质量密度为ρ(x)的一根杆在区间[a, b]上的质量总量可以表示为：m = ∫（a->b）ρ(x)dx这里ρ(x)dx表示了杆上长度为dx的小段的质量。
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
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定积分1. 概念: 定积分源自于求曲边梯形的面积, 它的计算形式为:01()l i m ()nbk k ak f x dx f x λξ→==∆∑⎰, 结果是一个数值, 其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限）．2. 几何意义: 是曲线[](),y f x a b=介于之间与x 轴所围的面积的代数和; 3. 经济意义: 若()f x 是某经济量关于x 的变化率（边际问题）, 则()ba f x dx ⎰是x 在区间[],ab 中的该经济总量．4. 性质: 本章共列了定积分的八条性质, 其中以下几条在计算定积分中经常用到.（1）()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰; （2）[]()()()()bbbaaaf xg x d x f x d xg x d x±=±⎰⎰⎰; （3）()()b b a akf x dx k f x dx =⎰⎰; （4）()()()bc b aacf x d x f x d xf x d x=+⎰⎰⎰; （5）00()2()aaaf x f x dx f x dx f x -⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰为奇函数时（）（）为偶函数时.1．公式: 若()f x 在[],a b 上连续, ()F x 是()f x 的一个原函数, 则()()()baf x d x F b F a =-⎰. 2．换元法: 若()f x 在[],a b 连续, ()x t ϕ=在[],c d 上有连续的导数'()t ϕ, 且()t ϕ单调, 则有 ()()(())'()bdx t acf x dxf t t dt ϕϕϕ=⋅⎰⎰．3. 分部积分法: 若()u x 与()v x 在[],a b 上有连续的导数, 则有()()()()()()bba ab u x dv x u x v x v x du x a =⋅-⎰⎰. 1.=⎰__42a π_____；2. 定积分112121x e dx x⎰ = ___e e -_____；3. 若广义积分2011k dx x +∞=+⎰ ， 其中k 为常数，则k = __π2_____； 4. 定积分1321sin xxdx -=⎰__0____ ；5.1211xdx x -=+⎰___0___； 6. 30(sin )xt t dt '=⎰__3sin x x _____ ；7. 广义积分211dx x+∞=⎰__1_____ ； 8. ()bad f x dx dx =⎰ __0______；9. 设 )(x f 在 [,]a b 上连续，则()()bbaaf x dx f t dt -=⎰⎰ __0_____ ；10. 若函数 )(x f 在 [,]a b 上连续，)(x h 可导，则()()h x ad f t dt dx=⎰_)()]([x h x h f '⋅_____ ；11. 当 =x _0___ 时，⎰-=xt dt te x F 02)( 有极值；12. 设 0()xt f x te dt =⎰ ，则 (0)f ''= __1_______ ；13. 若2kx e dx +∞-=⎰ ，则 k = ___21_______ ； 14.21(ln )edx x x +∞=⎰_1_______ ；15. 2131xx e dx -=⎰__0_________ ；二1.arctan xxdx =⎰ ( B )(A)1112-+x(B) 21arctan ln(1)2x x x -+ (C) 1112++x (D) 211x+ 2. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 ( A )(A)53201x dx x +⎰(B)1-⎰ (C)4322(5)xdx x -⎰ (D)11ln eedx x x ⎰ 3. 设 )(x f 为连续函数，则()xaf t dt ⎰为 ( C )(A) ()f t 的一个原函数 (B) ()f t 的所有原函数 (C) )(x f 的一个原函数 (D) )(x f 的所有原函数4.11()()22xf t dt f x =-⎰，且 (0)1f =，则 ()f x = ( A ) (A) 2x e (B)12x e (C) 2x e (D) 212x e 5.1211dx x -=⎰ ( D ) (A) -2 (B) 2 (C) 0 (D) 发散三、1．求下列各函数的导数:（1）211()1xF x dt t =+⎰解：.1111)(212xdt t dx d x F x +=+='⎰ （2）02()cos xF x t tdt =⋅⎰ 求'()F π解：.cos )('.cos cos )cos (cos )(222020202ππππ-===-=-=='⎰⎰⎰F x x tdt t dx d tdt t dx d tdt t dx d x F x x x （3）22()1tx xte F x dt t =+⎰解：⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+++=+=x tx t x t x t x x t dt t te dx d dt t te dx d dt t te dt t te dx d dt t te dx d x F 02020202211)11(1)('222 2223222221)(121)()(122x xe x e x x xe x dx d x e x xx x x +-+=+-⋅+= 2．求下列各极限:（1）203sin limxx tdt x→⎰解：).(3lim 3sin lim )()sin (limsin lim312202203020320上代换倒数第二步用等价无穷===''=→→→→⎰⎰xx x x x tdt xtdt x x xx x x （2）02(2)limxt t x e e dtx-→+-⎰解：.02lim )2()2(lim 22lim )())2((lim)2(lim0002002=-=''-+=-+=''-+=-+-→-→-→-→-→⎰⎰xx x x x x x x x xt t x xt t x e e x e e x e e x dt e e x dte e 3．求下列各定积分:（1）1(1)x dx -⎰10221|)(x x -= （2）120(3)x x dx +⎰103313ln 1|)3(x x+=（3）20cos 2xdx π⎰2021|2sin πx = （4）1310x e dx -⎰=10331103|)(x x e e dx e e =⎰（5）212x dx -⎰⎰⎰+-=-200122xdx xdx （6）0cos x dx π⎰⎰⎰-=πππ22cos cos 0xdx xdx（7）2adx ⎰a ax x a ax dx x x a a 0221340|)()2(2321+-=+-=⎰（8）21201x dx x +⎰⎰+-=102)111(dx x （9）4⎰ 解：令t =x 2,则d t =2x d x ,当t =0时,x =0;当t =4时,x =2.于是.|))1ln((2)111(2121120202040x x dx x dx x x dt t +-=+-=+=+⎰⎰⎰（10）20ax ⎰解：令x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =2π.于是.|)4sin ()4cos 1(24cos 1)2(sin )2sin ()cos (sin cos sin cos sin sin 16041880402402214242242222202224242424242222πππππππππa a a a a at t dt t dt tdt t dt t a dtt t a tdt t a tdta t a a t a dx x a x=-=-=-=====⋅-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（11）0⎰解：令x =t 2,则d x =2t d t ,当x =0时,t =0;当x =1时,t =1.于是).1(2|)arctan (2)111(212211410102102210210π-=-=+-=+=⋅+=+⎰⎰⎰⎰t t dt tdtt t tdt t tdx x x（12）21dx x⎰解：令x =sec t ,则d x =tan t sect t d t ,当x =1时,t =0;当x =2时,t =3π.于是.|)(tan )1(sec tan sec tan sec 1sec 133330121212212ππππt t dt t tdt tdtt tt dx xx -=-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰（13）221x edx -⎰2122121221|)12(--=-=⎰x x ex d e（14）0cos3xdx π⎰ππ031031|3sin )3(3cos x x xd ==⎰（15）20cos 2xdx π⎰ππ0210)sin (2cos 1x x dx x +=+=⎰ （16）212ln e xdx x+⎰=⎰⎰+=2200ln 2e e dx x x dx x22220221000|)(ln |ln 2)(ln ln 12e e e e x x x xd dx x +=+=⎰⎰. （17）210x xe dx ⎰101221|22x x e dx e ==⎰（18）120x ⎰⎰-=133311dx x.|)1()1()1(113941033311033312321x x d x dx x --=---=-=⎰⎰（19）1201x xe dx e +⎰ .|)arctan()(1110102x x x e de e =+=⎰ （20）12⎰⎰-=2121)(arcsin )(arcsin 2x d x2121|)(arcsin 331-=x 四、解答题1．求0()(4)xF x t t dt =-⎰在区间[]1,5-上的最大值与最小值;解:)4()(-='x x x F ,令0)(='x F ,得x =0,x =4.由此可得在),4[]0,(+∞-∞ 上F(x)单调增加,在[0,4]单调减少. 由此可知,在[-1,5]中,F(x)在x =0处取极大值,极大值为F(0)=0;在x =4处取极小值,极小值为F(4)=.|)2()4()4(332402331424-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t又F(-1)=.|)2()4()4(37102331124-=-=-=---⎰⎰t t dt t t dt t tF(5)=.|)2()4()4(325502331525-=-=-=-⎰⎰t t dt t t dt t t故在[-1,5]上的最大值为F(0)=0,最小值为F(4)=.332- 2．设20()(1)xf t dt x x =+⎰, 求(0),'(0)f f ;解:两边求导得26)(,23)1(2))1(()(222+='+=++='+=x x f x x x x x x x x f ,故.2)0(,0)0(='=f f。