第七讲2 3 .2-3 一级密封价格拍卖

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3.2－3 一级密封价格拍卖（招标）
当一件物品对买者的价值，卖者不清楚时，卖者常采取拍卖的 方式。
在一级密封拍卖（招标）中，所有买者（投标者）将自己的出 价写下来，装入信封。拍卖人同时打开所有密封信封，出价最高者 按照出价成交。
vi 0, 1 均匀分布函数，标的物 对投标人 i的价值
bi是投标人 i的出价； bi bi (vi ); 0 bi vi ;
首先考虑两个投标人 i， j
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3.2－3 一级密封价格拍卖（招标）
vi 0, 1 均匀分布函数，标的物 对投标人 i的价值
bi是投标人 i的出价； bi bi (vi ); 0 bi vi ;
首先考虑两个投标人 i， j
投标人i的效用函数：
vi bi ,
ui (bi , b j , vi )
我知道有两个博弈对手，他们手中的牌是1至10，均匀分布； 我出5的时候，他们共同都小于5的概率是1 1 ,于是，
22 我的期望效用为
Eui (bi ,bi , vi ) (vi bi )bi2
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我们再来看：
我知道有n个博弈对手，他们手中的牌是1至10，均匀分布；
我出5的时候，他们共同都小于5的概率是 1 n1,于是， 2
1
1
vi
bi
投标人i的期望效用函数：
0
0
Eui (bi , bj , vi ) (vi bi ) prob(bj bi )
Eui (bi , bj , vi ) (vi bi )bi Euj (bj , bi , v j ) (v j bj )bj
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我们再来看：
vi 0, 1 均匀分布函数，标的物 对投标人 i的价值
bi是投标人 i的出价； bi bi (vi ); 0 bi vi ;
首先考虑两个投标人 i， j 两个投标人是同质的。
1
1
vi
bi
投标人i的期望效用函数：
0
0
Eui (bi , bj , vi ) (vi bi )bi
如果考虑n个投标人，且是同质的
1
1
vi
bi
投标人i的期望效用函数：
0Leabharlann 0Eui (bi ,bi , vi ) (vi bi )bin1
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我们再来看：
可以这样理解： 我知道有一个博弈对手，他手中的牌是1至10，均匀分布； 我出5的时候，他小于5的概率是1 ,于是，我的期望效用为
2
Eui (bi , bi , vi ) (vi bi )bi
0 bi*
vi (n 1) n
n , bi* vi
表明这个博弈的贝叶斯均衡结果：投标人越多，卖者出 的价格越接近标的物对自己的真实价值，卖者可以得到 买者价值的全部。
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4
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一阶条件：
ui bi
vi
2bi
0
bi
vi 2
同理 u j bi
vj
2bj
0
bj
vj 2
表明这个博弈的贝叶斯均衡结果：每个投标人的出价是 其实际价值的一半；卖者仅得到买者价值的一半；对比 之下，如果是完全信息结果，买者之间的竞争将使得卖 者几乎得到买者价值的全部。
假如标的物对i的价值为 vi 1
投标价一定选择
11 1
bi
vi 2
1 2
Eui (bi , bj , vi )
(vi
bi )bi
(1
) 2
2
4
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我们再来看：
vi 0, 1 均匀分布函数，标的物 对投标人 i的价值
bi是投标人 i的出价； bi bi (vi ); 0 bi vi ;
二人投标人 i和j的博弈模型：
MaxEui (bi , bj , vi ) (vi bi )bi
MaxEuj (bj , bi , v j ) (v j bj )bj
一阶条件：
ui bi
vi
2bi
0
bi
vi 2
同理 u j b j
vj
2bj
0
bj
vj 2
当标的物对两人的价值均为v时，b* v 2
我的期望效用为
Eui (bi , bi , vi ) (vi bi ) prob(bj bi ) ji
(vi bi )bin1
一阶条件：
Eui bi
vi (n 1)bin2 nbin1
0 bi*
vi (n 1) n
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一阶条件：
Eui bi
vi (n 1)bin2 nbin1
1 2 (vi 0,
bi
),
if bi bj if bi bj if bi bj
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3.2－3 一级密封价格拍卖（招标）
vi 0, 1 均匀分布函数，标的物 对投标人 i的价值
bi是投标人 i的出价； bi bi (vi ); 0 bi vi ;
首先考虑两个投标人 i， j 两个投标人是同质的。