高一数学第三章(第15课时)数列复习小结1

课 题：数列复习小结（一） 教学目的：
1．系统掌握数列的有关概念和公式
2．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系．
3．能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ． 授课类型：复习课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、
等比数列等差数列
表示方法
图像与函数的关系
前n 项和通项定义数列
正整数集上函数及性质
数列知识结构
二、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．
三、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 四、等差数列
1相关公式：
（1） 定义：),1(1为常数d n d a a n n ≥=-+
（2）通项公式：d n a a n )1(1-+=
（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2
)
(11-+
=+=
（4）通项公式推广：d m n a a m n )(-+=
2.等差数列}{n a 的一些性质
（1）对于任意正整数n ，都有121a a a a n n -=-+
（2）}{n a 的通项公式)2()(2112a a n a a a n -+-=
（3）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么
s r q p a a a a +=+
（4）对于任意的正整数r q p ,,，如果q r p 2=+，则q r p a a a 2=+ （5）对于任意的正整数n>1，有112-++=n n n a a a
（6）对于任意的非零实数b ，数列}{n ba 是等差数列，则}{n a 是等差数列
（7）已知}{n b 是等差数列，则}{n n b a ±也是等差数列
（8）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等差数列
（9）n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差数列，即)(323m m m S S S -=
（10）若)(n m S S n m ≠=，则0=+n n S
（11）若p S q S q p ==,，则)(q p S q p +-=+
（12）bn an
S n +=2
，反之也成立
五、等比数列 1相关公式：
（1）定义：
)0,1(1≠≥=+q n q a a n
n
（2）通项公式：1
1-=n n q
a a
（3）前n 项和公式：⎪
⎩⎪
⎨⎧≠--==1q 1)1(1q 11q
q a na S n n
（4）通项公式推广：m
n m n q a a -=
2.等比数列}{n a 的一些性质
（1）对于任意的正整数n ，均有
1
2
1a a a a n
n =
+
（2）对于任意的正整数s r q p ,,,,如果s r q p +=+，则s r q p a a a a =
（3）对于任意的正整数r q p ,,，如果r p q +=2，则2
q r p a a a =
（4）对于任意的正整数n>1,有112
+-=n n n a a a
（5）对于任意的非零实数b ，}{n ba 也是等比数列
（6）已知}{n b 是等比数列，则}{n n b a 也是等比数列
（7）如果0>n a ，则}{log n a
a 是等差数列
（8）数列}{log
n a
a 是等差数列，则}{n a 是等比数列
（9）}{},{},{},{},{23133122---n n n n n a a a a a 等都是等比数列
(10)n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，
①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列
六、数列前n 项和 （1）重要公式：
2
)
1(321+=
+++n n n ；
6
)
12)(1(3212
2
2
2
++=
+++n n n n
；
2
3
33)]1(2
1[
21+=++n n n
（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+
（3）等比数列中，n m
m m n n n m S q S S q S S +=+=+
（4）裂项求和：
1
11)
1(1+-
=
+n n
n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅）
七、例题讲解
例1 一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项．
选题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式． 解：设等差数列为｛a n ｝，公差为d ，等比数列为｛b n ｝,公比为q .
由已知得：a 1=b 1=1,813692
)
(99919=⇒=+=
a a a S
又b 9＝ａ9，∴ｑ8
＝81，∴ｑ2
＝３，
∴b 7＝ｂ1ｑ6
＝27，即等比数列的第7项为27．
说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错． 例2 已知数列}{n a 的前n 项和1+n S =4n a +2(n ∈N ＋)，a 1=1. (1)设n b =1+n a -2n a ,求证：数列}{n b 为等比数列，
(2)设C n =
n
n a 2
,求证：}{n C 是等差数列．
选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力． 证明：(1) 1+n S =4n a +2, 2+n S =41+n a +2,相减得2+n a =41+n a -4n a , ),2(22112n n n n a a a a -=-∴+++,21n n n a a b -=+又.21n n b b =∴+
,1,2411212=+=+=a a a a S 又,32,51212=-==∴a a b a
∴}{n b 是以3为首项，2为公比的等比数列，∴n b =3×２1
-n .
(2) ∵,2
n
n n a C =
n
n n n n n a a C C 2
2
1
11-
=
-∴+++1
12
2++-=
n n
n a a 1
2
+=
n n b 4
32
231
1
=
⨯=
+-n n
2
12
11=
=
a C
∴}{n C 是以
2
1为首项，4
3为公差的等差数列．
说明：一个表达式中既含有n a 又含有Ｓｎ，一般要利用
n a ＝n S －1-n S （ｎ≥２），消去n S 或n a ，这里是消去了n S ． 八、课后作业：
1. 已知数列｛n a ｝的前n 项和n S ，满足：log 2（n S +1）=n+1．求此数列的通项公式n a ．
解：由log 2（n S +1）=n+1，得n S =21
+n -1
当n=1时，a 1=S 1=22
-1=3； 当n ≥2时，n a ＝n S －1-n S =2
1
+n -1-（2n -1）=2n
．
2. 在数列｛n a ｝中，a 1=0，1+n a +n S =n 2
+2n （n ∈N+）．求数列｛n a ｝的通项公式．
解：由于1+n a +n S =n 2
+2n ，1+n a ＝1+n S －n S ，
则1+n a +n S ＝1+n S －n S +n S ＝1+n S ，即1+n S = n 2
+2n ．
九、板书设计（略） 十、课后记：。