2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，C=A∩B，则C的子集的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．42．复数z满足（1﹣i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）A．B．﹣C．1 D．03．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（）A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β4．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.75．设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b6．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．907．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣3 B．C．D．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣69．已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．两个函数的图象均关于直线x=﹣对称C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象10．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，若，则=．14．在△ABC 中，，则tanC= ．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c•cosB=2a +b ，若△ABC 的面积为S=c ，则ab 的最小值为 ． 16．椭圆C ：+=1的上、下顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是 ．三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）17．已知f （x ）=2sinx ，集合M={x ||f （x ）|=2，x ＞0}，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证T n ＜．18．已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当n ∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n ∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n ≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据： （Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a ，b 的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．19．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点．将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连结EF，A'B．（1）求异面直线A'D与EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣A'EF的体积．20．如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）的最大值为a，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，C=A∩B，则C的子集的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】交集及其运算．【分析】先利用交集定义求出集合C，由此能求出C的子集的个数．【解答】解：∵集合，∴C=A∩B={（x，y）|}={（，）}，∴C的子集的个数是：21=2．故选：C．2．复数z满足（1﹣i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）A．B．﹣C．1 D．0【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）=|1+i|，∴（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴=+i则复数z的实部与虚部之和=+=．故选：A．3．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（）A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，故不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，∵c⊂α，∴α⊥β，不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，不正确；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，n⊥β，∴α∥β，正确，故选：D．4．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 8045 3661 9597 7424，共12组随机数，∴所求概率为0.6．故选：B．5．设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b【考点】指数函数单调性的应用．【分析】利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．【解答】解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选C．6．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C7．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣3 B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，由解得，E（，﹣）；此时z=x﹣2y有最大值+2×=；故选：C．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（﹣log35）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（﹣log35）=﹣f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m 为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4故选B9．已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称B．两个函数的图象均关于直线x=﹣对称C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数D．可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得A、B、D不正确，C 正确．【解答】解：∵函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，故A不正确．由于函数①的图象不可能关于直线x=﹣成轴对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于将函数②的图象向左平移个单位得到函数y=sin2（x+），而y=sin2（x+）≠sin（x+），故D不正确．故选C．10．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．11．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．πB．3πC．4πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．12．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象．【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故①正确；作函数的大致图象，从而判断②的正误；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；即可判断③的正误；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可．【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；函数的大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”；∴②不正确；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故③正确；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，若，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出向量的坐标，根据条件得到，从而可求出x=1，进而求出向量的坐标，从而求得该向量的长度．【解答】解：∵，且；∴=﹣x2+2x﹣1=0；∴x=1；∴；∴．故答案为：．14．在△ABC中，，则tanC=﹣1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用三角形内角和定理，将tanC=﹣tan（A+B）再结合两角和与差求解即可．【解答】解：在△ABC中，＞0，∴sinB=．那么tanB==．则tanC=﹣tan（A+B）==．故答案为：﹣1．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为12．【考点】正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c，求得c=ab．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．16．椭圆C： +=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是[] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则．即直线PA2斜率，直线PA1斜率．；∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）17．已知f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．【解答】解：（1）f （x ）=2sin x ，集合M={x ||f （x ）|=2，x ＞0}，则：解得：x=2k +1（k ∈Z ），把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n }， 所以：a n =2n ﹣1． 证明：（2）记b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，=所以：T n =b 1+b 2+…+b n ++…+）=18．已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当n ∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n ∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n ∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n ≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据： （Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a ，b 的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，由此能求出a，b 的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．（Ⅱ）利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优”的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．【解答】解：（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…游客人数的平均数为=120（百人）．…（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，…其中游客等级均为“优”的有（1，4），（1，5），（4，5），共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为．…19．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点．将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连结EF，A'B．（1）求异面直线A'D与EF所成角的大小；（2）求三棱锥D﹣A'EF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，由线面垂直的判定可得A'D⊥平面A'EF．从而得到A'D⊥EF；（2）已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，可得A'E2+A'F2=EF2，则A'E⊥A'F，求出三角形A′EF的面积，结合（1）可知三棱锥D ﹣A'EF的高A'D=2，代入棱锥体积公式求得三棱锥D﹣A'EF的体积．【解答】解：（1）在正方形ABCD中，∵AD⊥AE，CD⊥CF，∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F⊂平面A'EF，∴A'D⊥平面A'EF．而EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF，∴异面直线A'D与EF所成角的大小为90°；（2）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴在Rt△BEF中，BE=BF=1，得，而A'E=A'F=1，∴A'E2+A'F2=EF2，则A'E⊥A'F，∴，由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，∴．20．如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，求出k1+k2，k3，即可得出结论．【解答】解：（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y2=4x，准线l的方程为x=﹣1．（2）由条件可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0．由抛物线准线l：x=﹣1，可知M（﹣1，﹣2k），又Q（1，2），所以，把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又Q（1，2），故．因为A，F，B三点共线，所以k AF=k BF=k，即，所以，即存在常数λ=2，使得k1+k2=2k3成立．21．设函数（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）的最大值为a，求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用a=1，化简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程．（2）求出函数的导数，利用导数为0，得到极值点，然后①当a≥1时，②当，③当，④当，⑤当，分别求解函数的单调性推出最值，解得a的取值范围．第（2）问另解：f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，转化a的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可．【解答】解：（1）当a=1时，，则f（1）=0，可得，所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey﹣1=0…（2）=令f'（x）=0得或x2=2…①当a≥1时，f（x）在[0，2]递减，在[2，+∞）递增当x→+∞时，f（x）→0f（x）max=f（0）=a②当即时，f（x）在[0，2]和递减，f（x）在递增解得0≤a≤1，所以③当即时，f（x）在[0，+∞）递减，f（x）max=f（0）=a④当即时，f（x）在和[2，+∞）递减，在递增，，解得，所以⑤当即a≤0时，f（x）在[0，2]递增，f（x）≥f（0）=a不合题意…综上所述：a的取值范围为…第（2）问另解：∵f（0）=a∴f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a 对于x≥0恒成立，可化为对于x≥0恒成立，…令，则于是g（x）在[0，2]上递增，在（2，+∞）上递减，∴，∴a的取值范围是．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x 即曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（2）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）到直线l距离d==．当sin（θ+α）=0时到直线l距离的最小值为0．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．2017年3月11日。