重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第4节二次函数的图象与性质练习册
重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练习
第5节二次函数的综合应用(10年15卷13考，1道，12分)玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1二次函数综合题(10年12考，仅2010～2012年未考)1. (2013重庆A卷25题12分)如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标；(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC.求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．第1题图2. (2008重庆28题10分)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. (2014重庆B卷25题12分)如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC.(1)求A、B、C三点的坐标；(2)若点P为线段BC上的一点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．第3题图4. (2014重庆A卷25题12分)如图，抛物线y＝－x2－2x＋3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M为线段．．AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P 在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；(3)在(2)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．第4题图5. (2015重庆B卷26题12分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E .(1)求直线AD 的解析式；(2)如图①，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 周长的最大值；(3)点M 是抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，以A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是以AM 为边的矩形，若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点T 的坐标．第5题图拓展训练如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2－233x －2分别与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于C点，直线EF垂直平分线段BC，分别交BC于点E，y轴于点F，交x轴于D.(1)判定△ABC的形状；(2)在线段BC下方的抛物线上有一点P，当△BCP面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值；(3)如图②，过点E作EH⊥x轴于点H，将△EHD绕点E逆时针旋转一个角度α(0°≤α≤90°)，∠DEH的两边分别交线段BO，CO于点T，点K，当△KET为等腰三角形时，求此时KT的值．命题点2二次函数的实际应用(10年4考，2009～2012连续考查)6. (2009重庆25题10分)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：(1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？(2)由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m的值(保留一位小数)．(参考数据：34≈5.831，35≈5.916，37≈6.083，38≈6.164)7. (2012重庆25题10分)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6，且x取整数)之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y 2(吨)与月份x (7≤x ≤12，且x 取整数)之间满足二次函数关系式y 2＝ax 2＋c ，其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用z 1(元)与月份x 之间满足函数关系式：z 1＝12x ，该企业自身处理每吨污水的费用z 2(元)与月份x 之间满足函数关系式：z 2＝34x －112x 2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W (元)最多，并求出这个最多费用； (3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a %，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a －30)%.为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值．(参考数据：231≈15.2，419≈20.5，809≈28.4)第7题图 答案1. 解：(1)∵点A (－3，0)与点B 关于直线x ＝－1对称， ∴点B 的坐标为(1，0)；(2分) (2)∵a ＝1， ∴y ＝x 2＋bx ＋c ，∵抛物线过点(－3，0)，且对称轴为直线x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝－19－3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3，∴抛物线解析式为y ＝x 2＋2x －3， ∴点C 的坐标为(0，－3)，(4分) ①设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得S △BOC ＝12OB ²OC ＝12³1³3＝32，∴S △POC ＝4S △BOC ＝4³32＝6，(6分)当x >0时，S △POC ＝12OC ²x ＝12³3³x ＝6，∴x ＝4，∴y ＝42＋2³4－3＝21；(7分)当x <0时，S △POC ＝12OC ²(－x )＝12³3³(－x )＝6，∴x ＝－4，∴y ＝(－4)2＋2³(－4)－3＝5，(8分) ∴点P 的坐标为(4，21)或(－4，5)；(9分)②如解图，设点A 、C 所在直线的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，第1题解图把A (－3，0)、C (0，－3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m ＋n ＝0n ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－3，∴y ＝－x －3，设点Q 的坐标为(x ，－x －3)， 其中－3≤x ≤0，∵QD ⊥x 轴，且点D 在抛物线上， ∴点D 的坐标为(x ，x 2＋2x －3)，∴QD ＝－x －3－(x 2＋2x －3)＝－x 2－3x ＝－(x ＋32)2＋94，(11分)∵－3<－32<0，∴当x ＝－32时，QD 有最大值94，∴线段QD 长度的最大值为94.(12分)2. 解：(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与y 轴交于点C (0，4)且经过A (4，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12c ＝4，(2分) ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(3分)(2)设点Q 的坐标为(m ，0)，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ，如解图①. 由－12x 2＋x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，∴点B 的坐标为(－2，0)，(4分)第2题解图①∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2， ∵QE ∥AC ，∴∠BQE ＝∠BAC ，∠BEQ ＝∠BCA ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26， ∴EG ＝2m ＋43，(5分)∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ ²CO －12BQ ²EG ＝12(m ＋2)(4－2m ＋43) ＝－13m 2＋23m ＋83(6分)＝－13(m －1)2＋3.∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q (1，0)；(7分) (3)存在． 在△ODF 中， ①若DF ＝DO ， ∵A (4，0)，D (2，0)， ∴AD ＝OD ＝DF ＝2，又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4， ∴∠OAC ＝45°， ∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12x 2＋x ＋4＝2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为：P (1＋5，2)或P (1－5，2); (8分) ②若FO ＝FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，如解图②，第2题解图②由等腰三角形的性质得：OM ＝12OD ＝1，∴AM ＝3，∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F (1，3)， 由－12x 2＋x ＋4＝3，解得x 1＝1＋3，x 2＝1－3；此时，点P 的坐标为：P (1＋3，3)或P (1－3，3)；(9分) ③若OD ＝OF ，∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°， ∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，∴此时不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形；综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为：P (1＋5，2)或P (1－5，2)或P (1＋3，3)或P (1－3，3)．(10分) 3. 解：(1)当y ＝0时，即－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)，(2分) 当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)，(3分)∴点A 、B 、C 的坐标分别是A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)；(4分) (2)设△BCM 的面积为S ，点M 的坐标为(a ，－a 2＋2a ＋3)， 则OC ＝3，OB ＝3，ON ＝a ，MN ＝－a 2＋2a ＋3，BN ＝3－a ，根据题意，得S △BCM ＝S 四边形OCMN ＋S △MNB －S △COB ＝12(OC ＋MN )²ON ＋12MN ²NB －12OC ²OB ＝12[3＋(－a 2＋2a ＋3)]a ＋12(－a 2＋2a ＋3)(3－a )－ 12³3³3＝－32a 2＋92a ＝－32(a －32)2＋278，∴当a ＝32时，S △BCM 有最大值，(6分)此时，ON ＝a ＝32，BN ＝3－a ＝32，∵OC ＝OB ＝3，∠COB ＝90°， ∴∠PBN ＝45°， ∴PN ＝BN ＝32，根据勾股定理，得PB ＝PN 2＋BN 2＝322，∴△BPN 的周长＝PN ＋BN ＋PB ＝32＋32＋322＝3＋322；(8分)(3)抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3的对称轴为直线x ＝1，与x 轴交于点E (1，0)，如解图，第3题解图设Q (1，y )，根据勾股定理CN 2＝CO 2＋ON 2＝(32)2＋32＝454，过点Q 作QD ⊥y 轴于点D ，则D (0，y )，利用勾股定理可得：CQ 2＝CD 2＋DQ 2＝(y －3)2＋12＝y 2－6y ＋10， NQ 2＝QE 2＋EN 2＝y 2＋14，∵△CNQ 为直角三角形， ∴有以下三种情况：①当CN 2＋CQ 2＝NQ 2，即∠NCQ ＝90°时，454＋y 2－6y ＋10＝y 2＋14，解得y ＝72，∴Q (1，72)；②当CN 2＋NQ 2＝CQ 2，即∠CNQ ＝90°时，454＋y 2＋14＝y 2－6y ＋10，解得y ＝－14，∴Q (1，－14)；③当CQ 2＋NQ 2＝CN 2，即∠CQN ＝90°时，y 2－6y ＋10＋y 2＋14＝454，解得y ＝3±112，∴Q (1，3＋112)或(1，3－112)．综上所述，△CNQ 为直角三角形时，点Q 的坐标为(1，3＋112)或(1，3－112)或(1，－14)或(1, 72)．(12分)4. 解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3， 令x ＝0，得y ＝3，则C (0，3)，(1分)令y ＝0，得－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1， ∴A (－3，0)，B (1，0)；(3分)(2)由x ＝－－22³（－1）＝－1得，抛物线的对称轴为直线x ＝－1，(4分)设点M (x ，0)，P (x ，－x 2－2x ＋3)，其中－3＜x ＜－1，∵P 、Q 关于直线x ＝－1对称，设Q 的横坐标为a ，则a －(－1)＝－1－x ， ∴a ＝－2－x ，∴Q (－2－x ，－x 2－2x ＋3)，(5分)∴MP ＝－x 2－2x ＋3，PQ ＝－2－x －x ＝－2－2x ，∴C 矩形PMNQ ＝2(MP ＋PQ ) ＝2(－2－2x －x 2－2x ＋3) ＝－2x 2－8x ＋2 ＝－2(x ＋2)2＋10，∴当x ＝－2时，C 矩形MNPQ 取最大值．(6分) 此时，M (－2，0)， ∴AM ＝－2－(－3)＝1，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝b 0＝－3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3k ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋3， 将x ＝－2代入y ＝x ＋3，得y ＝1， ∴E (－2，1)， ∴EM ＝1，(7分)∴S △AEM ＝12AM ²ME ＝12³1³1＝12；(8分)第4题解图(3)由(2)知，当矩形PMNQ 的周长最大时，M 横坐标为x ＝－2，此时点Q (0，3)，与点C 重合， ∴OQ ＝3，将x ＝－1代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝4， ∴D (－1，4)，如解图，过点D 作DK ⊥y 轴于点K ，则DK ＝1，OK ＝4，∴QK ＝OK －OQ ＝4－3＝1， ∴△DKQ 是等腰直角三角形，DQ ＝2，(9分) ∴FG ＝22DQ ＝22³2＝4，(10分) 设F (m ，－m 2－2m ＋3)，G (m ，m ＋3)， ∵点G 在点F 的上方，∴FG ＝(m ＋3)－(－m 2－2m ＋3)＝m 2＋3m ，∵FG ＝4，∴m 2＋3m ＝4，解得m 1＝－4，m 2＝1，当m ＝－4时，－m 2－2m ＋3＝－(－4)2－2³(－4)＋3＝－5， 当m ＝1时，－m 2－2m ＋3＝－12－2³1＋3＝0， ∴F 点的坐标为(－4，－5)或(1，0)．(12分) 5. 解：(1)当y ＝0时，即0＝－x 2＋2x ＋3， 解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴A (－1，0)，B (3，0)． 当x ＝0时，y ＝3， ∴C (0，3)．(1分)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为x ＝1，顶点(1，4)， ∴点C 关于直线x ＝1的对称点D (2，3)．(2分)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，代入A (－1，0)，D (2，3)，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b 3＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1；(3分) (2)对于y ＝x ＋1，当x ＝0时，y ＝1， ∴OE ＝1＝OA ，∴△AOE 为等腰直角三角形． ∵FG ⊥AD ，FH ∥x 轴，∴∠FHG ＝∠EAO ，∠FGH ＝∠EOA ， ∴△FHG ∽△EAO ，∴△FGH 是等腰直角三角形， ∴FG ∶GH ∶FH ＝1∶1∶ 2.(4分) 设F (t ，－t 2＋2t ＋3)， 则点H 的纵坐标为－t 2＋2t ＋3， 代入y ＝x ＋1，得x ＝－t 2＋2t ＋2， ∴H (－t 2＋2t ＋2，－t 2＋2t ＋3)，∴FH ＝(－t 2＋2t ＋2)－t ＝－t 2＋t ＋2，(5分)∴C △FGH ＝FG ＋GH ＋FH ＝FH2＋FH2＋FH ＝(2＋1)FH＝(2＋1)(－t 2＋t ＋2)＝－(2＋1)(t －12)2＋94(2＋1)，(6分)∴当t ＝12时，C △FGH 最大＝94(2＋1)＝942＋94；(7分)(3)(ⅰ)当点P 在AM 上方时，如解图①，过点M 作MP ⊥AM 交y 轴于P 点，过P 点作AM 的平行线、过A 点作PM 的平行线，交点为点Q ，直线AQ 交y 轴于点T . 由作法知四边形AMPQ 为平行四边形，且∠AMP ＝90°， ∴四边形AMPQ 是符合题意的矩形． 作MR ⊥y 轴于点R ，设AM 交y 轴于点S . ∵A (－1，0)，M (1，4)， ∴RM ＝OA ＝1，又∵∠MRS ＝∠AOS ，∠MSR ＝∠ASO ， ∴△MRS ≌△AOS (AAS )， ∴SO ＝RS ＝12OR ＝2，∴SM ＝12＋22＝5＝SA .(8分) ∵∠MSR ＝∠PSM ，∠MRS ＝∠PMS ， ∴△PMS ∽△MRS ， ∴PS MS ＝MS RS ， ∴PS ＝MS 2RS ＝52.(9分)∵SM ＝SA ，∠PSM ＝∠TSA ，∠PMS ＝∠TAS ＝90°， ∴△PMS ≌△TAS (ASA )， ∴PM ＝AT ，PS ＝ST ＝52.∵OS ＝2， ∴OT ＝52－2＝12，∴T (0，－12)．在矩形AMPQ 中，PM ＝AQ ， ∴AQ ＝AT . ∵QT ⊥AM ，∴点Q 、T 关于AM 成轴对称， ∴T (0，－12)为所求的点；(10分)第5题解图(ⅱ)当点P 在AM 下方时，如解图②作矩形APQM ，延长QM 交y 轴于点T .同(ⅰ)可知MQ ＝AP ＝TM ，且AM ⊥QT ，则点Q 关于AM 的对称点为点T ，此时ST 与解图①中的SP 相等，即TS ＝52，又OS ＝2， ∴OT ＝OS ＋TS ＝92，∴T (0，92)．(11分)综上所述，点T 坐标为(0，－12)或(0，92)．(12分)拓展训练 解：(1)结论：△ABC 是直角三角形． 理由如下：对于抛物线y ＝12x 2－233x －2，令y ＝0，即12x 2－233x －2＝0，解得x ＝－233或23，∴A (－233，0)，B (23，0)，令x ＝0得y ＝－2， ∴C (0，－2)，∴OA ＝233，OC ＝2，OB ＝23，AB ＝833，∴AC ＝OA 2＋OC 2＝433，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝643，AB 2＝643，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴△ABC 是直角三角形；(2)如解图①，设P (m ，12m 2－233m －2)，解图①S △BCP ＝S △OCP ＋S △OBP －S △OBC ＝12³2m ＋12³23³(－12m 2＋233m ＋2)－12³2³23＝－32(m －3)2＋332，∴m ＝3，即P (3，－52)时，△PBC 的面积最大，最大为332.(3)①如解图②，解图②∵EF 垂直平分BC ，∴E (0＋232，－2＋02)即E (3，－1)，tan ∠EOH ＝HEOH ＝33， ∴∠EOH ＝30°，∠OEH ＝60°， 在Rt △BOC 中，tan ∠CBO ＝CO BO ＝33，∴∠CBO ＝30°，∵EF ⊥BC ，∴∠FEB ＝90°，∠EDB ＝60°， ∵EH ⊥OB ，∴∠DEH ＝30°，∠OED ＝30°， ∵EH ＝1，∠DEH ＝30°， ∴DH ＝33， 当点K 与点O 重合，点T 与点D 重合时，△EKT 为等腰三角形， 易知TE ＝TK ＝33²EB ＝233； ②如解图③中，当TE ＝KE 时，作KN ⊥CE 于N ，EQ ⊥OC 于Q ，则四边形OQEH 是矩形，解图③易知：HE ＝1，∠CKN ＝30°， ∵∠QEH ＝90°，∠KET ＝30°， ∴∠TEH ＝60°－∠QEK ， ∵KN ∥DE ，∴∠EKN ＝∠DEK ，又∠KET ＝∠DEH ， ∴∠DEK ＝∠TEH ， ∴∠EKN ＝∠TEH ，∵ET ＝EK ，∠KNE ＝∠EHT ＝90°， ∴△KEN ≌△ETH (AAS )， ∴KN ＝EH ＝1，在Rt △CNK 中，易知CN ＝33，CK ＝233， ∴EN ＝2－33， ∴TH ＝EN ＝2－33，∴OT ＝433－2，OK ＝2－233，∴KT 2＝OK 2＋OT 2＝443－83，∴KT ＝443－83； ③当TK ＝EK 时，∠ETK ＝∠TEK ＝30°，∴∠EKT ＝120°，而T 在OB 上，K 在OC 上，∴∠EKT 最大为90°<120°，∴EK ＝TK 不成立．KT 的值为233或443－8 3. 6. 解：(1)设p 与x 的函数关系为p ＝kx ＋b (k ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3.95k ＋b ＝4.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.1b ＝3.8， ∴p ＝ 0.1x ＋3.8，(2分)设月销售金额为w 万元，则w ＝py ＝(0.1x ＋3.8)(－50x ＋2600)(3分) 化简，得w ＝－5x 2＋70x ＋9880， ∴w ＝－5(x －7)2＋10125，∴当x ＝7时，w 取得最大值，最大值为10125万元，答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大值为10125万元，(4分) (2)去年12月份每台的售价为 －50³12＋2600＝2000元， 去年12月份月销售量为0.1³12＋3.8＝5万台，(5分)根据题意， 得2000(1－m %)³〔5(1－1.5m %)＋1.5〕³13%³3＝936，(8分) 令m %＝t ，原方程可化为7.5t 2－14t ＋5.3＝0， 解得t 1＝14＋3715，t 2＝14－3715，∴t 1≈1.339(舍去)，t 2≈0.528. 答：m 的值约为52.8.(10分)7. 解：(1)y 1＝12000x(1≤x ≤6，且x 取整数)，(1分)y 2＝x 2＋10000(7≤x ≤12，且x 取整数)；(2分)(2)当1≤x ≤6，x 取整数时，W ＝y 1²z 1＋(12000－y 1)²z 2＝12000x ²12x ＋(12000－12000x )²(34x －112x 2)＝－1000x 2＋10000x －3000.(3分) ∵a ＝－1000<0，x ＝－b2a ＝5，1≤x ≤6，∴当x ＝5时，W 最大＝22000(元)；(4分) 当7≤x ≤12，且x 取整数时，W ＝2³(12000－y 2)＋1.5y 2＝2³(12000－x 2－10000)＋1.5³(x 2＋10000) ＝－12x 2＋19000，(5分)∵a ＝－12<0，x ＝－b2a＝0，当7≤x ≤12时，W 随x 的增大而减小， ∴当x ＝7时，W 最大＝18975.5(元)， ∵22000>18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；(6分) (3)由题意得12000(1＋a %)³1.5³[1＋(a －30)%]³(1－50%)＝18000.(8分) 设t ＝a %，整理得10t 2＋17t －13＝0，解得t ＝－17±80920.∵809≈28.4，∴t 1≈0.57，t 2≈－2.27(舍去)， ∴a ≈57.答：a 的整数值为57.(10分)。
第三章4第3课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质练习题
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
1.把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位,平移后图象的函数表达式为(
A.y=x2+2
B.y=(x-1)2+1
C.y=(x-2)2+2
D.y=(x-1)2-3
C )
数学
2.二次函数y=-2(x+1)2-1的图象可能是( C
A
B
)
C
D
3.已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线y=-(x+1)2+2上,则下列结论正确的是(
2
∴该函数图象的对称轴为直线 x=1.
数学
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′,试判断点A′是否为该函数图象的顶点.
解:(2)点 A′是该函数图象的顶点.理由如下:
由(1),知 y=a(x-1) + ,
2
把(0,0)代入,得 a+ =0,解得 a=- ,
∴二次函数的表达式为 y=- (x-1) + ,故抛物线的顶点坐标为(1, ).
数学
12.设函数y=a(x-h) 2 +k(a,h,k是实数,a≠0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8.下列结论正确的是
( C
)
A.若h=4,则a<0
B.若h=5,则a>0
C.若h=6,则a<0
D.若h=7,则a>0
数学
解:(3)当-1<x<1时,y1>y2;当x=1时,y1=y2;当1<x<2时,y1<y2.
数学
11.如图所示,已知二次函数 y=a(x-h) + 的图象经过点 O(0,0),A(2,0).
初三数学复习 第三章 函数 第四节 二次函数的图象与性质(1)
第四节二次函数的图象与性质姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2019·荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．32．(2019·温州)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2 3．(2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( )4．(2019·河池)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是( )A ．ac ＜0B ．b 2－4ac ＞0C ．2a －b ＝0D ．a －b ＋c ＝05．(2019·梧州)已知m ＞0，关于x 的一元二次方程(x ＋1)(x －2)－m ＝0的解为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＜－1＜2＜x 2 B ．－1＜x 1＜2＜x 2 C ．－1＜x 1＜x 2＜2 D ．x 1＜－1＜x 2＜26．(2019·贵阳)在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y ＝12x ＋12上．若抛物线y ＝ax 2－x ＋1(a≠0)与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．a≤－2B ．a<98C ．1≤a<98或a≤－2D ．－2≤a<987．(2019·玉林)已知抛物线C ：y ＝12(x －1)2－1，顶点为D ，将C 沿水平方向向右(或向左)平移m 个单位，得到抛物线C 1，顶点为D 1，C 与C 1相交于点Q.若∠DQD 1＝60°，则m等于( )A．±4 3 B．±2 3C．－2或2 3 D．－4或4 38．(2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 2 3 4y 5 0 －4 －3 0下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．59．(2019·哈尔滨)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．10．(2019·凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位后经过点A(2，2)．11．(2019·广元)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是______．12．(2019·武汉)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是________．13．(2019·贺州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，下列说法中：①abc<0；②a－b＋c<0；③3a＋c＝0；④当－1<x<3时，y>0，正确的是________(填写序号)．14．(2019·长丰县二模)如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2＋2ax ＋2(a＜0)的图象上，点A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为________．15．(2019·宁波)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．16．(2019·黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(3，0)、点B(－1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点D(0，3)作直线MN∥x轴，点P在直线MN上且S△PAC＝S△DBC，直接写出点P的坐标．1．(2019·济宁)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是________．2．(2019·芜湖二十九中一模)设二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时取得最大值10，并且它的图象在x轴上所截得的线段长为4，求a、b、c的值．3．(2019·贺州)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A，B，C三点．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．参考答案基础训练1．C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A 8.B9．8 10.3 11.－6<M<612．x1＝－2，x2＝5 13.①③④14.(－2，2)15．解：(1)∵把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，解得a＝2，∴y＝x2＋2x＋3.∴顶点坐标为(－1，2)．(2)①当m＝2时，n＝11；②∵点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.16．解：(1)将点A(3，0)、点B(－1，0)分别代入y＝x2＋bx＋c，可得b ＝－2，c ＝－3， 则y ＝x 2－2x －3. (2)∵C(0，－3)， ∴S △DBC ＝12×6×1＝3，∴S △PAC ＝3.∵设P(x ，3)，直线CP 与x 轴交于点为Q ， ∴S △PAC ＝12×6×AQ，∴AQ＝1，∴Q(2，0)或Q(4，0)．设直线CQ 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入点Q 坐标， ∴直线CQ 为y ＝32x －3或y ＝34x －3.当y ＝3时，x ＝4或x ＝8， ∴P(4，3)或P(8，3)． 拔高训练 1．x<－3或x>12．解：∵设抛物线与x 轴的交点的横坐标为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝ca，∴|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝b 2－4aca 2＝4，① ∴x＝3时取得最大值10，∴－b2a ＝3，②4ac －b 24a ＝10，③ 联立①②③解之得： a ＝－52，b ＝15，c ＝－252.3．解：(1)∵OA＝OC ＝4OB ＝4，∴点A ，C 的坐标分别为(4，0)，(0，－4)．(2)抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －4)＝a(x 2－3x －4)， 将点C(0，－4)的坐标代入得－4a ＝－4，解得a ＝1， 则抛物线的解析式为y ＝x 2－3x －4. (3)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点A(4，0)，C(0，－4)的坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－4，则直线AC 的解析式为y ＝x －4.如解图，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H. ∵OA＝OC ＝4， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°. ∵PH∥y 轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°.设点P(x，x2－3x－4)，则点H(x，x－4)，PD＝HPsin∠PHD＝22(x－4－x2＋3x＋4)＝－22x2＋22x.∵－22＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为22，此时点P的坐标为(2，－6)．。
3.4二次函数的图象与性质(第3部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第三部分函数及其图象3.4 二次函数的图象与性质【一】知识点清单1、二次函数的图象与性质二次函数的定义；二次函数的图象；二次函数图象的画法；二次函数的性质；求抛物线的顶点和对称轴的方法；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式2、二次函数与一元二次方程抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；二次函数与不等式（组）【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖北省襄阳市-第9题-3分）已知二次函数y=x2﹣x+14m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5 D．m＞2【知识考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【思路分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．【解答过程】解：∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，∴△=（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）≥0，解得：m≤5，故选：A．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．2．（2018年甘肃省白银市/酒泉市/张掖市/武威市/定西市/陇南市-第10题-3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤【知识考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【思路分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答过程】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x=﹣=1，∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．【总结归纳】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．3．（2018年山东省潍坊市-第9题-3分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或6【知识考点】二次函数的最值．【思路分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答过程】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．【总结归纳】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．4．（2018年浙江省宁波市-第11题-4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A．B．C．D．【知识考点】二次函数的性质；一次函数的图象．【思路分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．【解答过程】解：由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，故选：D．【总结归纳】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．5．（2018年黑龙江省齐齐哈尔市-第10题-3分）抛物线C1：y1=mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x=2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞25；④若抛物线C2：y2=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是225≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【知识考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【思路分析】①利用抛物线对称轴方程可判定；②与y轴相交设x=0，问题可解；③当抛物线过A （﹣1，2）时，带入可以的到2n=3﹣5m，函数关系式中只含有参数m，由抛物线与x轴有两个公共点，则由一元二次方程根的判别式可求；④求出线段AB端点坐标，画图象研究临界点问题可解；⑤把不等式问题转化为函数图象问题，答案易得．【解答过程】解：抛物线对称轴为直线x=﹣故①正确；当x=0时，y=2n﹣1故②错误；把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式得：2=m+4m+2n﹣1整理得：2n=3﹣5m带入y1=mx2﹣4mx+2n﹣1整理的：y1=mx2﹣4mx+2﹣5m由已知，抛物线与x轴有两个交点则：b2﹣4ac=（﹣4m）2﹣4m（2﹣5m）＞0整理得：36m2﹣8m＞0m（9m﹣2）＞0∵m＞09m﹣2＞0即m＞故③错误；由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）当y2=ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a的值分别为a=2、a=a的取值范围是≤a＜2；故④正确；不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解可以看做是，抛物线y1=mx2﹣4mx+2n﹣1位于直线y=﹣1上方的部分，其此时x的取值范围包含在使y1=mx2﹣4mx+2n﹣1函数值范围之内故⑤正确；故选：B．【总结归纳】本题为二次函数综合性问题，考查了二次函数对称轴、与坐标轴交点、对称性、抛物线与x轴交点个数判定、与抛物线有关的临界点问题以及从函数的观点研究不等式．6．（2018年黑龙江省大庆市-第10题-3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和13；其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．【思路分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y=a•5•1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．【解答过程】解：抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∵y=a（x﹣1）2﹣4a，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；当x=4时，y=a•5•1=5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；∵点C（1，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a），∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a，c=﹣3a，∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确．故选：B．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．二、填空题1．（2018年贵州省黔东南州/黔西南州/黔南州-第18题-3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是．x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …【知识考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．【解答过程】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．2．（2018年江苏省淮安市-第14题-3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．【知识考点】二次函数图象与几何变换．【思路分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答过程】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．【总结归纳】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．（2018年贵州省遵义市-第17题-4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为．【知识考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，再求出AO，CO的长，进而利用勾股定理得出答案．【解答过程】解：连接AC，交对称轴于点P，则此时PC+PB最小，∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，∴DE=PC，DF=PB，∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴0=x2+2x﹣3解得：x1=﹣3，x2=1，x=0时，y=3，故CO=3，则AO=3，可得：AC=PB+PC=3，故DE+DF的最小值为：．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用轴对称求最短路线，正确得出P点位置是解题关键．4．（2018年四川省巴中市-第17题-3分）把抛物线y=x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为．【知识考点】二次函数图象与几何变换．【思路分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答过程】解：y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，其顶点坐标为（1，2）．向右平移2个单位长度后的顶点坐标为（3，2），得到的抛物线的解析式是y=（x﹣3）2+2，故答案为：y=（x﹣3）2+2【总结归纳】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．三、解答题1．（2018年辽宁省大连市-第22题-9分）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，28×2=96，49×1=49． 【发现】根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为 ；（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是 ． 【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n ，…，56×4，57×3，58×2，59×1． 猜想mn 的最大值为 ，并用你学过的知识加以证明． 【知识考点】配方法；二次函数的性质【思路分析】【发现】（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625； （2）观察题目给出的等式即可发现a 与b 的数量关系是a+b=50；【类比】由于m+n=60，将n=60﹣m 代入mn ，得mn=﹣m 2+60m=﹣（m ﹣30）2+900，利用二次函数的性质即可得出m=30时，mn 的最大值为900．【解答过程】解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625． 故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是a+b=50． 故答案为a+b=50；【类比】由题意，可得m+n=60， 将n=60﹣m 代入mn ，得mn=﹣m 2+60m=﹣（m ﹣30）2+900， ∴m=30时，mn 的最大值为900． 故答案为900．【总结归纳】本题考查了配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．2．（2018年浙江省宁波市-第22题-10分）已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线212y x bx c =-++平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【知识考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【思路分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可； （2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【解答过程】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x 2﹣x+；（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．【总结归纳】此题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．。
中考数学复习第三章函数讲义
第三章函数第一节函数及其图象【考点1】平面直角坐标系及点的坐标1. 在平面内两条且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系。
2. 建立了平面直角坐标系的平面称为坐标平面。
3.坐标平面内每一个点P都对应着一个坐标x和一个坐标y，我们称一对有序实数P(x，y)，即点P的坐标。
4. 平面直角坐标系中点的特征【考点2】函数的有关概念及其表达式1. 变量：某一变化的过程中可以取不同数值的量叫做变量。
2. 常量：某一变化的过程中保持相同数值的量叫做常量。
3. 函数：在某一变化的过程中有两个量x和y，如果对于x的每一个值，y都有的值与它对应，那么称y是x的函数，其中x是，y是因变量。
4. 函数的表示方法有：、、。
在解决一些与函数有关的问题时，有时可以同时用两种或两种以上的方法来表示函数。
5. 画函数图象的一般步骤：列表、、。
【考点3】函数自变量的取值范围与函数值【中考试题精编】 1. 在函数中3-x =y ，自变量x 的取值范围是 ( )A. x ≠3B. x ＞3C. x ＜3D. x ≥32. 王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料，如图是王芳离家的距离与时间的函数关系图象，若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（ ）A. B. C. D.3. 函数1-x 2=y 中，自变量的取值范围是 。
4. 在函数x x y +-=31中，自变量x 的取值范围是 .5. 根据图中的程序，当输入x=2时，输出结果是 。
第二节 一次函数【考点1】一次函数的概念如果y=kx+b (k,b 为常数，且 )，那么y 叫做x 的一次函数。
当b=0时，也就是y=kx(k ≠0)，这时称y 是x 的正比例函数。
【考点2】一次函数的图象和性质 的增大而减小【考点3】一次函数与一次方程和一次不等式的关系一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0) （1）当y=0时，一元一次方程kx+b=0(2) 当y ＞0或y ＜0时，一元一次不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0【提示】当一次函数中的一个变量的值确定时，可用一元一次方程确定另一个变量的值；当 已知一次函数中的一个变量取值的范围时，可用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值。
2018年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象解析版(精品文档)
2018年全国中考数学真题分类 二次函数概念、性质和图象（一）一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ． 【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=12y ax bx c =++xy -1BOCAx =1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性3. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。
高考总复习一轮数学精品课件 第三章 函数与基本初等函数 第四节 二次函数与幂函数
∈[2,3]上恒成立,故 a≤4.故选 D.
名师点析幂函数的图象与性质应用技巧
(1)由于幂函数解析式中只含有一个参数,因此只需一个条件,利用待定系
数法即可确定幂函数的解析式.
(2)对于幂函数的图象,可结合5个常见幂函数的图象特点进行分析判断.
(3)对于幂函数f(x)=xα,当α>0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当α<0时f(x)在
叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
注意幂函数与指数函数的区别
2.常用5个简单幂函数的图象与性质
函数
y=x
y=x2
定义域
R
R
值域
R
{y|y≥0} R
奇偶性 奇函数 偶函数
在R上 在(-∞,0)上单调
单调性 单调
递增
递减,在(0,+∞)
上单调递增
1
x2
y=x3
y=
R
{x|x≥0}
{y|y≥0}
奇函数
单调递减.
3.一般地,对于幂函数f(x)=
(m,n∈N*,m与n互质),当m为偶数时,f(x)为
偶函数;当m,n均为奇数时,f(x)为奇函数;当n为偶数时,f(x)为非奇非偶函数.
4.如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1-)2 -4 × (-2) ≤ 0,
由
> -1,
是(
)
答案 D
考向2.二次函数的单调性
典例突破
例4.(2023四川南山中学一模)已知函数f(x)=x2-2x在定义域[-1,n]上的值域
重庆市2018年中考数学一轮复习第三章函数第2节一次函数练习201804131150
第2节一次函数(必考，仅2014A卷未考，每年1～2道，4～8分)玩转重庆10年中考真题(2008～2017年)命题点1 一次函数解析式的确定(10年16考，仅2014、2013A卷未考，多与反比例函数、二次函数结合考查)1. (2013重庆B卷5题4分)已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(1，－2)，则正比例函数的解析式为()1 1A. y＝2xB. y＝－2xC. y＝xD. y＝－x2 22. (2014重庆B卷6题4分)若点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，则k的值是()A. 5B. 4C. 3D. 1命题点2一次函数的图象与性质(10年2考)3. (2013重庆B卷18题4分)如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P(1，1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为________．第3题图答案1. B12. D【解析】∵点(3，1)在一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象上，将点(3，1)代入一次函数解析式得1＝3k－2，解得k＝1.9 93. ( ，)【解析】如解图，过点P作x轴的平行线，交y轴于点M，交直线AB于点N；过4 4点P作x轴的垂线，垂足为点H.∵点P的坐标是(1，1)，∴PM＝PH＝1，∵CP⊥PD，∴∠CPM＋∠DPN＝90°，∵∠MCP＋∠CPM＝90°，∴∠MCP＝∠NPD.又∵CP＝PD，∠CMP＝∠PND，∴△CPM≌△PDN，∴DN＝PM＝1，∵四边形PHBN是矩形，∴BN＝PH＝1，∴BD＝2.∵BD＝2AD，∴AD＝1，∴AB＝AD＋BD＝3，∵点A在直线y＝x上，∴点A的坐标为(3，3)，点D的坐标为(3，2)，∴BH＝2，∴CM＝BH＝2，∴OC＝3，∴点C的坐标为(0，3)，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则13＝b k＝－1{2＝3k＋b){b＝3 )，解得 3 ，∴直线CD的解析式为y＝－x＋3，∵直线OA的解析式为y＝x，∴39 9交点Q的坐标为( ，)．4 4第3题解图2。
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第4节 二次函数的图象与性质课时1 二次函数图象与性质、抛物线与系数a 、b 、c 的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017长沙)抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (－3，4)C. (3，－4)D. (2，4)2. (2017金华)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是23. (2017连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a ＞0)过A (－2，y 1)、B (1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A . y 1＞0＞y 2B . y 2＞0＞y 1C . y 1＞y 2＞0D . y 2＞y 1＞04. (人教九上41页第6题改编)对于二次函数y ＝－3x 2－12x －3，下面说法错误的是( )A . 抛物线的对称轴是x ＝－2B . x ＝－2时，函数存在最大值9C . 当x ＞－2时，y 随x 增大而减小D . 抛物线与x 轴没有交点5. (2017眉山)若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2－ax ( )A . 有最大值a 4B . 有最大值－a4C . 有最小值a 4D . 有最小值－a46. (2017广州)a ≠0，函数y ＝a x与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )7. (2017重庆巴蜀月考)已知二次函数y ＝a 2x ＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论中正确的是( )A . abc ＞0B . b ＝2aC . a ＋c ＞D . 4a ＋2b ＋c ＞0第7题图 第9题图 第11题图8. (2017乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是( )A . 32 B . 2 C . 32或 2 D . －32或 29. (2017日照)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点坐标为(4，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a ＋b ＋c ＝0；③a －b ＋c <0；④抛物线的顶点坐标为(2，b )；⑤当x <2时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的是( )A . ①②③B . ③④⑤C . ①②④D . ①④⑤10. (2017广州)当x ＝________时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值________．11. (2017兰州)如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的P (4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则点Q 的坐标为________．课时2 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系(建议答题时间：20分钟)1. (2017重庆南开模拟)将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新的二次函数解析式为( )A . y ＝(x －3)2－1B . y ＝(x ＋1)2＋5C . y ＝(x ＋1)2－1D . y ＝(x －3)2＋52. (2017徐州)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A . b ＜1且b ≠0B . b ＞1C . 0＜b ＜1D . b ＜13. (2017苏州)二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为( )A . x 1＝0，x 2＝4B . x 1＝－2，x 2＝6C . x 1＝32，x 2＝52D . x 1＝－4，x 2＝04. (2017绵阳)将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是( )A . b ＞8B . b ＞－8C . b ≥8D . b ≥－85. (2017天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，顶点为M ，平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A . y ＝x 2＋2x ＋1B . y ＝x 2＋2x －1C . y ＝x 2－2x ＋1D . y ＝x 2－2x －16. (2017随州)对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论错误的是( )A . 它的图象与x 轴有两个交点B . 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3C . 它的图象的对称轴在y 轴的右侧D . x ＜m 时，y 随x 的增大而减小7. (2018原创)在－2，－1，0，1，2五个数字中，任取一个作为a ，使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ≥01－x ＞x ＋2无解，且函数y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋12a ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么a 的值为( )A . 0B . 0或－2C . 2或－2D . 0，2或－28. (2017青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________．9. 注重开放探究(2017上海)已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是________．(只需写一个)10. (2017武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是________．11. (2017鄂州)已知正方形ABCD中A(1，1)、B(1，2)、C(2，2)、D(2，1)，有一抛物线y ＝(x＋1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点，则m的取值范围是________．12. (2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上．若m<n，求x0的取值范围．答案第1课时 二次函数图象与性质，抛物线与系数a 、b 、c 的关系1. A2. B3. C 【解析】画出抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的草图如解图，根据图象可知，y 1＞0，y 2＞0，且y 1＞y 2.第3题解图4. D 【解析】由y ＝－3x 2－12x －3＝－3(x ＋2)2＋9，可知对称轴是x ＝－2，选项A 正确；抛物线的开口向下，顶点坐标是(－2，9)，当x ＝－2时，y 存在最大值9，选项B 正确；开口向下，当x ＞－2时，图象处于对称轴的右边，y 随x 增大而减小，选项C 正确；当y ＝0时，一元二次方程－3x 2－12x －3＝0有实数解，所以抛物线与x 轴有交点，选项D 错误．5. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0a ＜0，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－a 4，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－a4.6. D 【解析】如果a ＞0，则反比例函数y ＝ax 图象在第一、三象限，二次函数y ＝－ax 2＋a图象开口向下，排除A ；二次函数图象与y 轴交点(0，a )在y 轴正半轴，排除B ；如果a ＜0，则反比例函数y ＝a x 图象在第二、四象限，二次函数y ＝－ax 2＋a 图象开口向上，排除C ；故选D .7. D 【解析】观察函数图象，抛物线开口向下，则a ＜0.对称轴在y 轴右边，则a 、b 异号，∴b ＞0.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，则c ＞0，∴abc ＜0，选项A 错误；由抛物线的对称轴x ＝－b2a＝1，∴b ＝－2a ，选项B 错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，∴a ＋c ＜b ，选项C 错误；根据对称性可知，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，选项D 正确．8. D 【解析】因为二次函数的对称轴为x ＝m ，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究x 的范围与对称轴的位置关系，①当m ≥2时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时y 取得最小值－2，即－2＝22－2m ×2，解得m ＝32＜2(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m ·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又－1<m <2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.9. C 【解析】∵抛物线与x 轴交于(4，0)，对称轴为x ＝2，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0，0)．故①正确；∵抛物线经过原点，∴c ＝0.∵抛物线的对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，∴4a ＋b ＋c ＝0，故②正确；当x ＝－1时，抛物线的函数图象在x 轴上方，∴a (－1)2＋(－1)b ＋c >0，即a －b ＋c >0，故③错误；∵c ＝0，4a ＋b ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝－b 4x 2＋bx ＝－b 4(x －2)2＋b ，∴抛物线的顶点坐标为(2，b )，故④正确；由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为x ＝2，当x <2时，y 随x 的增大而减小．故⑤错误．综上所述，①②④正确． 10. 1，5 11.(－2，0)第2课时 抛物线的平移、解析式的确定、与方程(不等式)的关系1. C2. A3. A 【解析】∵二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，∴代入得a (－2)2＋1＝0，解得a ＝－14，∴所求方程为－14(x －2)2＋1＝0，解方程得x 1＝0，x 2＝4.4. D 【解析】将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的函数为y ＝(x －3)2－1，与一次函数联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（x －3）2－1y ＝2x ＋b ，整理得x 2－8x ＋8－b ＝0，∵两个函数图象有公共点，∴方程x 2－8x ＋8－b ＝0有解，则(－8)2－4(8－b )≥0，解得b ≥－8.5. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得，x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使点B 平移后的对应点落在y 轴上，需向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1.6. C 【解析】∵Δ＝(－2m )2－4×1×(－3)＝4m 2＋12＞0，∴图象与x 轴有两个交点，A 正确；令y ＝0得：x 2－2mx －3＝0，方程的解即抛物线与x 轴交点的横坐标，由A 知图象与x 轴有两个交点，故方程有两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为ca＝－31＝－3，B 正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x ＝－b 2a ＝－－2m 2＝m ，∵m 的值不能确定，故对称轴是否在y 轴的右侧不能确定，C 错误；∵a ＝1＞0，抛物线开口向上，∴对称轴的左侧的函数值y 随x 的增大而减小，由C 知抛物线对称轴为x ＝m ，∴当x ＜m 时，y 随x 的增大而减小，D 正确，故选C .7. B 【解析】解不等式x ＋a ≥0得x ≥－a ，解不等式1－x >x ＋2得x ＜－12，因为不等式组无解，故－a ≥－12，解得a ≤12；当a ≠0时，b 2－4ac ＝(a ＋2)2－4a (12a ＋1)＝0，解得a＝2或－2，当a ＝0时，函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点，所以当a ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点，但a ≤12，∴a ＝0或－2.8. m >9 9. y ＝x 2－1(答案不唯一)10. 13＜a ＜12或3＜a ＜－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x ＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(1a ，0)和(－a ，0)，即m＝1a 或m ＝－a ，又∵2＜m ＜3，则13＜a ＜12或－3＜a ＜－2. 11. 2≤m ≤8 【解析】∵将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位，得到抛物线y ＝(x ＋1)2－m ，由平移后抛物线与正方形ABCD 的边有交点，则当点B 在抛物线上时，m 取最小值，此时(1＋1)2－m ＝2，解得m ＝2，当点D 在抛物线上时，m 取最大值，此时(2＋1)2－m ＝1，解得m ＝8，综上所述，m 的取值范围是2≤m ≤8. 12. 解：(1)由题意知(1＋a )(1－a －1)＝－2， 即a (a ＋1)＝2， ∵y 1＝x 2－x －a (a ＋1)， ∴y 1＝x 2－x －2；(2)由题意知，函数y 1的图象与x 轴交于点(－a ，0)和(a ＋1，0)，当y 2的图象过点(－a ，0)时，得－a 2＋b ＝0；当y 2的图象过点(a ＋1，0)时，得a 2＋a ＋b ＝0；(3)由题意知，函数y 1的图象的对称轴为直线x ＝12，所以点Q (1，n )与点(0，n )关于直线x＝12对称．因为函数y 1的图象开口向上，所以当m ＜n 时，0＜x 0＜1.。