高考数学一轮复习 第二十三章 选修系列 23_1 几何证明选讲课件
【教师】高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题7选修系列第23讲几何证明选讲教师用书理
【关键字】教师专题7 选修系列4部分第23讲选修4－1：几何证明选讲题型一| 相似三角形的判定与性质图23－1(2016·江苏高考)如图23－1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点．求证：∠EDC＝∠ABD.[证明] 在△ADB和△ABC中，因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，所以△ADB∽△ABC， 5分于是∠ABD＝∠ C. 7分在Rt△BDC中，因为E是BC的中点，所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C. 9分所以∠EDC＝∠ABD. 10分【名师点评】判定两个三角形相似的几种方法：(1)两角对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比率且夹角相等，两三角形相似；(3)三边对应成比率，两三角形相似；(4)相似三角形的定义．1．如图23－2，在▱ABCD中，E是DC边的中点，AE交BD于O，S△DOE＝2，则求△AOB 的面积．图23－2[解] ∵在▱ABCD中，AB∥DE，∴△AOB∽△EOD，3分∴＝2. 5分∵E是CD的中点，∴DE＝CD＝AB， 7分则＝2，∴＝22＝4， 9分∴S△AOB＝4S△DOE＝4×9＝36(cm2). 10分2．如图23－3，BD，CE是△ABC的高．求证：ADE∽△ABC.图23－3[证明] ∵BD，CE是△ABC的高，∴∠AEC＝∠ADB＝90°. 2分又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△ADB， 5分∴＝. 7分又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC. 10分题型二| 与圆有关的比率线段问题如图23－4，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为经过圆心O的割线，若PA＝10，PB ＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于D，E，求AD·AE的值．图23－4[解] 连结CE，由切割线定理知，PA2＝PB·PC.1分∵PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，CB＝15. 2分又∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP，∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，4分∴＝＝. ① 5分又BC为直径，∴∠CAB为直角，∴AC2＋AB2＝BC2＝225，②6分由①②得AC＝6，AB＝3. 7分又AE平分∠BAC，∴∠EAB＝∠CAE，∠ABC＝∠E， 8分∴△ACE∽△ADB，∴＝.∴AD·AE＝AB·AC＝3·6＝90. 10分【名师点评】(1)圆中线段长度成比率的问题，要结合切割线定理、相交弦定理，构造比率关系．(2)利用相似关系求解线段长度要灵活地在三角形中对条件进行转化或等比替换．1．(2016·苏锡常镇二模)已知△ABC内接于⊙O，BE是⊙O的直径，AD是BC边上的高．求证：BA·AC＝BE·AD.图23－5[证明]连结AE.1分∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°. 3分∴∠BAE＝∠ADC. 5分又∵∠BEA＝∠ACD，∴△BEA∽△ACD. 8分∴BEBA＝ACAD，∴BA·AC＝BE·AD. 10分2．如图23－6，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD 交AB 的延长线于点D .连结CF 交AB 于点E .求证：DE 2＝DB ·DA .图23－6[证明] 连结OF .因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD ＝90°. 2分所以∠OFC ＋∠CFD ＝90°.因为OC ＝OF ，所以∠OCF ＝∠OFC . 5分因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF ＋∠CEO ＝90°.所以∠CFD ＝∠CEO ＝∠DEF ，所以DF ＝DE . 8分因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2＝DB ·DA .所以DE 2＝DB ·DA . 10分题型三| 圆内接四边形的判定及性质定理的应用如图23－7，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．图23－7(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．【导学号：】[解] (1)证明：连结DE ，根据题意知，在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB. 2分又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 3分因此∠ADE ＝∠ACB ，所以∠ADE ＋∠EDB ＝∠ACB ＋∠EDB ＝180°，所以C ，B ，D ，E 四点共圆. 5分(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12. 7分取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2. 10分【名师点评】 判定四点共圆的方法1．如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆．2．如果一个四边形的一组对角互补，那么这四个点共圆．3．如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆．4．如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且都在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．如图23－8，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.图23－8(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长．[解](1)证明：连结AM，由AB为圆O的直径可知∠AMB＝90°，2分又CE⊥AB于E，故∠AEF＝90°，所以∠AMB＋∠AEF＝180°.因此A，E，F，M四点共圆. 5分(2)连结AC，由A，E，F，M四点共圆，可知BF·BM＝BE·BA， 7分在Rt△ABC中，BC2＝BE·BA，又由MF＝4BF＝4知BF＝1，BM＝5，所以BC2＝5，BC＝ 5. 10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
高考数学第一轮章节复习课件 第十三章 几何证明选讲
2．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内 接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则 等于________.
解析：设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得
即
所以
于是
答案：
1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式” 转化为相似三角形中“比例式”．
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯
形对角线的交点O，且EF∥AD.
(1)求证：OE=OF；
(2)求
的值；
(3)求证：
（1）结合题目给出的条件，可利用平行线分线段成比例定 理证明.
（2）结合图形和（1）的结论进行合理的代换. （3）利用（2）的结论进行变形.
证明：(1)∵EF∥AD，AD∥BC， ∴EF∥AD∥BC. ∵EF∥BC， ∵EF∥AD∥BC，∴
解析：作图分析知∠DOB有两种情形，可计算得∠DOB＝ 115°或65°. 答案：115°或65°
3．如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm， 则BC的长为________．
解析：∵
为AD中点，M为BC的中点，又
EF∥BC⇒EF＝MC＝12，
∴BC＝2MC＝24.
答案：24 cm
第一节 相似三角形的判定及有关性 质
一、平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在 任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也__相_等___． 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平_分__第__三__边___． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 平__分__另__一__腰____．
相似三角形判定定理及性质定理是高考考查的重 点之一．除相似三角形的性质定理外，还要注意两个相似 形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，体积 比等于相似比的立方，这是相似形的性质，也是经常被考 查的知识点，此类问题的求解关键是合理、准确地找到相 似比．
高考数学一轮总复习 几何证明选讲精品课件(含高考真题)新人教版选修41
个三角形的三条边对应 成比例 ,那么这两个三角形相似.简述为:三边 对应 成比例 ,两三角形相似.
7
梳理自测
-8-
(2)两个直角三角形相似的判定定理
①如果两个直角三角形有一个锐角对应 相等 ,那么它们相似. ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 成比例 ,那么它们相
选修4系列
选修4—1 几何证明选讲
考纲要求
-3-
1.了解平行线截割定理,会证明并应用直角三角形射影定理. 2.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理. 3.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的判定定理与性质定理、切割 线定理.
梳理自测
-4-
1.平行线等分线段定理
定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 ,那么在其 他直线上截得的线段也 相等 .
与圆交点的两条线段长的 比例中项 .
(4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心
和这一点的连线平分两条切线的 夹角 .
12
梳理自测
-13-
基础自测
1.在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 上的点,且 DE∥BC,△ADE 的面积是 2cm2, 梯形 DBCE 的面积为 6cm2,求 DE∶BC 的值.
梳理自测
-7-
判定定理 2 对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个
三角形的两边对应 成比例 ,并且夹角相等,那么这两个三角形相似.简 述为:两边对应 成比例 且夹角相等,两三角形相似.
引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线
段 成比例 ,那么这条直线平行于三角形的第三边.
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
添加标题
添加标题
添加标题
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
高考数学一轮复习第二十三章选修系列23_1几何证明选讲课件
(江苏省专用)
第二十三章 选修系列
§23.1 几何证明选讲
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21A,10分)[选修4—1:几何证明选讲] 如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB; (2)AC2 =AP· AB.
解析 (1)证明:连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线. (5分) (2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2 3 ,BE= .12 x 2
解析 (1)证明:因为DE为☉O直径, 则∠BED+∠EDB=90°, 又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED. 又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA.
1 2
(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直 线OO'. (7分) 由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB∥CD. (10分) 评析 本题考查了直线和圆的位置关系;考查了四点共圆的充要条件.充分利用圆的性质是求解 的关键.
1
(1)证明:直线AB与☉O相切;
(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.
证明 (1)设E是AB的中点,连接OE. 因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°. (2分) 在Rt△AOE中,OE= AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB与☉O相切. (5分)
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二十三章 选修系列 23.2 矩阵与变换课件.pptx
,
2
所以A-1B=
1 0 0 1 2
1 2 0 6
= 1 . 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 3
7
B组 统一命题·省(区、市)卷题组
考点 矩阵与变换
(2013福建,21(1),7分)选修4—2:矩阵与变换
1 2
已知直线l:ax+y=1在矩阵A=
01 对 应的变换作用下变为直线l':x+by=1.
(1)求实数a,b的值;
,即 xy
所以2x0y0y,x,
x0 y,
y0
x. 2
因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 x02 + y02 =1,
82
从而 y2 + x2 =1,即x2+y2=8.
88
因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.
3
2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= 10 2,矩2阵B的逆矩阵B-1=
10, 求 12矩 2阵AB.
解析
设B=
a c
,db
则B-1B= 10 12 2 =ac db ,
1 0
10
即
a
1c
2=
2c
b1
, 2
2d
d
1 0
10
a
1 2
c
1,
故 b
1 2
d
解0,得
2c 0,
2d 1,
a 1,
b
1
,
c
4所以B=
0,
d
1 2
,
82
2
解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.
高三数学二轮复习课件几何证明选讲
• (7)相似三角形的判定定理：如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两 角对应相等，两三角形相似)；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角 相等，两个三角形相似)；如果一个三角形 的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三 边对应成比例，两个三角形相似)．
• 1．了解平行截割定理，会证明并应用直 角三角形射影定理；
• 2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线 的判定定理及性质定理；
• 3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性 质定理及判定定理、切割线定理，并会应 用相交弦定理；
• 4．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定 义．
• 几何证明选讲是选考内容，也是新课标新 增的内容，从各地高考试题看，几年来， 这部分的考查题型，大题、小题都有，但 难度不大，从能力要求上来看，主要考查 学生的读图、识图能力，分析问题和解决 问题的能力．
• (3)经过三角形一边的中点与另一边平行的 直线必经过三角形第三边的中点．
• (4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的 直线必经过梯形另一腰的中点．
• (5)平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比 例．
• (6)相似三角形的性质定理：相似三角形的 对应角相等．相似三角形的对应边成比 例．相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比都等于相似比；相 似三角形周长的比、外接圆的直径比、外 接圆的周长比都等于相似比；相似三角形 面积的比、外接圆的面积比都等于相似比 的平方．
• (2011·广东文，15)如右图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分 别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB， 则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ________．
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3.(2015江苏,21A,10分,0.582)[选修4—1:几何证明选讲] 如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆☉O的弦AE交BC于点D. 求证:△ABD∽△AEB.
证明 因为AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE为公共角,可知△ABD∽△AEB. 4.(2014江苏,21A,10分,0.60)如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上位于AB异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.
1 2
(2)因为OA=2OD,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.设O'是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直 线OO'. (7分) 由已知得O在线段AB的垂直平分线上,又O'在线段AB的垂直平分线上,所以OO'⊥AB. 同理可证,OO'⊥CD.所以AB∥CD. (10分) 评析 本题考查了直线和圆的位置关系;考查了四点共圆的充要条件.充分利用圆的性质是求解 的关键.
证明 本小题主要考查圆与相似三角形等基础知识,考查推理论证能力. (1)因为PC切半圆O于点C,所以∠PCA=∠CBA. 因为AB为半圆O的直径,所以∠ACB=90°. 因为AP⊥PC,所以∠APC=90°.因此∠PAC=∠CAB. (2)由(1)知,△APC∽△ACB,
AP= AC 故 ,即AC2=AP· AB. AC AB
DF= DE DG = , CF CD CB
所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆. (5分) (2)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB,连接GB.
由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC, 故Rt△BCG≌Rt△BFG, 因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,即
证明 因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC. 故∠OCB=∠B. 又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点, 故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D. 因此∠OCB=∠D.
5.(2013江苏,21A,10分,0.479)[选修4—1:几何证明选讲]如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C, AC经过圆心O,且BC=2OC. 求证:AC=2AD.
高考数学
(江苏省专用)
第二十三章 选修系列
§23.1 几何证明选讲
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21A,10分)[选修4—1:几何证明选讲] 如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB; (2)AC2 =AP· AB.
解析 (1)证明:连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线. (5分) (2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2 3 ,BE= .12 x 2
解析 (1)证明:因为DE为☉O直径, 则∠BED+∠EDB=90°, 又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED. 又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED, 所以∠CBD=∠DBA.
证明 连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,所以∠ADO=∠ACB=90°. 又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB. 所以 = .
BC OD AC AD
又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.
B组
考点 几何证明
统一命题·省(区、市)卷题组
1.(2016课标全国Ⅰ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心2 , OA为半径作圆.
2.(2016江苏,21A,10分)[选修4—1:几何证明选讲] 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点. 求证:∠EDC=∠ABD.
证明 在△ADB和△ABC中, 因为∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A为公共角, 所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C. 在Rt△BDC中,因为E是BC的中点, 所以ED=EC,从而∠EDC=∠C. 所以∠EDC=∠ABD.
4 2 由射影定理可得,AE2=CE· BE,所以x2= ,即 12 x x 2+x -12=0.
可得x= 3 ,所以∠ACB=60°. (10分)
4.(2015陕西,22,10分)(选修4—1:几何证明选讲) 如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C. (1)证明:∠CBD=∠DBA; (2)若AD=3DC,BC= 2 ,求☉O的直径.
1 1 1= . (10分) S=2S△GCB=2× 1 × × 2 2 2
评析 本题考查了三角形相似和四点共圆的判定方法.
3.(2015课标Ⅰ,22,10分,0.384)(选修4—1:几何证明选讲) 如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的2)若OA= 3 CE,求∠ACB的大小.
2.(2016课标全国Ⅱ,22,10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂 足为F. (1)证明:B,C,G,F四点共圆; (2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
解析 (1)证明:因为DF⊥EC,所以△DEF∽△CDF,则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,
1
(1)证明:直线AB与☉O相切;
(2)点C,D在☉O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.
证明 (1)设E是AB的中点,连接OE. 因为OA=OB,∠AOB=120°,所以OE⊥AB,∠AOE=60°. (2分) 在Rt△AOE中,OE= AO,即O到直线AB的距离等于☉O半径,所以直线AB与☉O相切. (5分)