等比数列的前n项和优质课比赛课件
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等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
2.5等比数列的前n项和 (课件)
n lg1.6 0.2 5年 lg1.1 0.041
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2. Sn
a1(1 qn ) 1q
a是11 等aqnq比(q数 1)
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
3.对于等差、等比数列的求和问题，可 直接套公式求解，对于某些非等差、等 比数列的求和问题，我们希望有一些求 和的方法，这又是一个需要探究的课题.
知识探究（一）：特殊数列的求和方法
思考1：如何求数列
1
1 2
,
4
1 2n
的各项之和？其和为多少？
3n2 n 2 1
2
2n
思考2：上述求和方法叫做分组求和法， 一般地，什么类型的数列可用分组求和 法求和？
由几个等差、等比数列合成的数列.
思考3：如何求数列
1 2
,
1 6
,
1 12
,
的各项之和？其和为多少？
n
n1
,n2 1 n
思考4：上述求和方法叫做裂项求和法， 一般地，什么类型的数列可用裂项求和 法求和？
每一项都能拆分为两项的差，累加后能 抵消若干项.
思考5：如何求数列2，4a，6a2，…，
2nan－1（a≠0） 的各项之和？其和为多
少？ 当a＝1时，Sn n(n 1)
当a≠1时， Sn
2(11
an a2
nan ) 1a
思考6：上述求和方法叫做错位相减法， 一般地，什么类型的数列可用错位相减 法求和？
由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2. Sn
a1(1 qn ) 1q
a是11 等aqnq比(q数 1)
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
3.对于等差、等比数列的求和问题，可 直接套公式求解，对于某些非等差、等 比数列的求和问题，我们希望有一些求 和的方法，这又是一个需要探究的课题.
知识探究（一）：特殊数列的求和方法
思考1：如何求数列
1
1 2
,
4
1 2n
的各项之和？其和为多少？
3n2 n 2 1
2
2n
思考2：上述求和方法叫做分组求和法， 一般地，什么类型的数列可用分组求和 法求和？
由几个等差、等比数列合成的数列.
思考3：如何求数列
1 2
,
1 6
,
1 12
,
的各项之和？其和为多少？
n
n1
,n2 1 n
思考4：上述求和方法叫做裂项求和法， 一般地，什么类型的数列可用裂项求和 法求和？
每一项都能拆分为两项的差，累加后能 抵消若干项.
思考5：如何求数列2，4a，6a2，…，
2nan－1（a≠0） 的各项之和？其和为多
少？ 当a＝1时，Sn n(n 1)
当a≠1时， Sn
2(11
an a2
nan ) 1a
思考6：上述求和方法叫做错位相减法， 一般地，什么类型的数列可用错位相减 法求和？
由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
高中数学必修五-等比数列的前n项和名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
第二章 数列
§2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课前预习目的
课堂互动探究
课前预习目的
梳理知识 扎实基础
自学导引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.
课前热身 等比数列前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝ ____________＝____________.当q＝1时，Sn＝__________.
解法2：设首项为a1，∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2.
∴S8＝
a11－q8 1－q
＝
a11－q4 1－q
·(1＋q4)＝S4(1＋q4)＝1×(1＋24)
＝17.
规律技巧 在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn 中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时， 均可以列方程组求解.
答案)已知q＝2，S4＝1，求S8； (2)a3＝－12，S3＝－9, 求公比q.
解 (1)S4＝a111－－qq4＝a111－－224＝15a1＝1，∴a1＝115.
∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
(2)由a3＝－12，S3＝－9，得
【正解】 (1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a≠0时，1，a，a2，…an是等比数列，此时公比q＝ a，共有n＋1项． ∴当a≠1时，Sn＝1×11－－aan＋1＝1－1－ana＋1. 当a＝1时，Sn＝n＋1. 又当a＝0时，Sn＝1－1－ana＋1也成立．
n＋1 a＝1，
∴Sn＝1－an＋1 1－a
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本运算
典例剖析
§2.5 等比数列的前n项和
第一课时 等比数列的前n项和
课前预习目的
课堂互动探究
课前预习目的
梳理知识 扎实基础
自学导引 1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程． 2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.
课前热身 等比数列前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝ ____________＝____________.当q＝1时，Sn＝__________.
解法2：设首项为a1，∵S4＝a111－－qq4＝1，且q＝2.
∴S8＝
a11－q8 1－q
＝
a11－q4 1－q
·(1＋q4)＝S4(1＋q4)＝1×(1＋24)
＝17.
规律技巧 在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn 中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时， 均可以列方程组求解.
答案)已知q＝2，S4＝1，求S8； (2)a3＝－12，S3＝－9, 求公比q.
解 (1)S4＝a111－－qq4＝a111－－224＝15a1＝1，∴a1＝115.
∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
(2)由a3＝－12，S3＝－9，得
【正解】 (1)当a＝0时，Sn＝1. (2)当a≠0时，1，a，a2，…an是等比数列，此时公比q＝ a，共有n＋1项． ∴当a≠1时，Sn＝1×11－－aan＋1＝1－1－ana＋1. 当a＝1时，Sn＝n＋1. 又当a＝0时，Sn＝1－1－ana＋1也成立．
n＋1 a＝1，
∴Sn＝1－an＋1 1－a
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
一 基本运算
典例剖析
等比数列前n项和课件
26 1
1
210
2
2
n
3
例2：求和 1+ a + a2 + a3 + + an-1.(a 0)
解: 当a 1时，1 a a2 a3 an1 n
当a 1时，1 a a2 a3 an1 1 an 1 a
变式练习:
求和：（1
1) x
(2
1 x2
)
(3
1 x3
)
(n
1 xn
)
(n N ,且x 0)
由②- ①得：
S64 264 1
等比数列的求和公式
一般地，等比数列的前n项和
=? Sn a1 a2 a3 an1 an
=? 即 Sn
a1
a1q
a1q 2
a1q n2
a1q n1
“请你用错位相减法或者其他方法在
这两个式子中任选一个进行研究．”
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列：a1, a2 , a3 , an
问题： 如何来求麦
子的总量？
即求：1,22 ,23,24 263 的和?
由刚才的分析可知：实际上就是一个以1为 首项，2为公比的等比数列的前64项的求和 问题，即：
S64 1 2 22 23 …… 262 263
①
把上式左右两边同乘以2得：
2S64 2 22 23 …… 263 264 ②
归纳小结:
1.等比数列前n项求和公式. 2.数列求和的错位相减法.提取q 法,和比定理法. 3.对含字母的等比数列要注意考察q是否为1.
作业:
必做题: 50页 练习A 1. 2 . 选做题：求和： x 2x2 3x3 nxn (x 0)
等比数列的前n项和优质课比赛课件
Part Six
确定教学目标 和内容：根据 比赛要求和学 生需求，明确 教学目标和内 容，确保课件 内容与教学目
标相符合。
精选课件素材： 选择高质量的 图片、图表、 动画等素材， 增强课件的视 觉效果和吸引
力。
注重逻辑性和 条理性：合理 安排课件的逻 辑框架和内容 顺序，确保课 件条理清晰、
易于理解。
案例选择：选取具 有代表性的等比数 列前n项和题目
分析过程：逐步推 导，展示解题思路
讲解方法：采用引 导启发式教学，鼓 励学生参与讨论
案例总结：总结解 题技巧，提炼数学 思想
案例背景：介绍比赛的背景、目的和意义 案例过程：详细描述比赛的流程、参赛选手的表现以及评委的点评 案例分析：对比赛案例进行深入分析，包括选手的优点、不足以及改进建议 案例反思：总结比赛的收获和教训，提出对未来比赛的建议和展望
交互性：课件是否具有良好的 交互性，能够引导学生积极参 与和思考，提高课堂互动效果。
教学资源：课件是否提供了丰 富的教学资源，如习题、案例、 视频等，方便学生进行自主学 习和巩固练习。
内容完整性：确保课件内容完整， 覆盖等比数列的前n项和的各个方 面。
逻辑性：课件内容的逻辑应清晰， 逐步深入，方便学生理解。
简洁明了：课件的 界面应简洁明了， 布局合理，方便教 师和学生使用。
课件制作软件：PowerPoint、演示等 制作技巧：使用动画效果、插入图片和视频、设置背景音乐等 配色方案：选择与主题相符合的颜色，使课件更加美观 字体选择：使用清晰易读的字体，确保课件内容易于理解
突出重点：确保课件内容与教学目标紧密 相关，避免冗余信息干扰。
等比数列的通项公式是 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
《等比数列的前n项和》优质课比赛一等奖PPT课件
1 210
63 1024
2
【解法2】 a5 a9 a10
S10 S4
1 2
(1
1 210
)
1 2
(1
1 24
)
1 1
1
2
2
1 24
1 210
63 1024
练习课本28页1题
例3 五州电扇厂去年实现利税300万元，计 划在以后5年中每年比上年利税增长10%，问 从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利 税是多少(结果精确到万元)
思路一
S30 1 2 22 23 ... 229 1 2(1 2 22 23 ... 228 )
解 方
1 2(S30 229 ) ,
程 法
移项得：S30 2S30 1 230
解 得：S30 230 1
思路二
乘公比错位相减法
观察得：
解：每年的利税组成一个首相 a1 300,公比q 110%
的等比数列。从今年起，第5年的利税为
a6 a1q5 300 (110%)5 3001.15 483
这5年的总利税为
S a2 (q5 1) 3001.1 1.15 1 2015万元
q 1
1.1 1
回顾
情境引入
高老庄集团
周转不 灵……
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出这4猴分子入会３不万会元又；在……耍哇我，？发
……
了……
猴哥,能不能帮帮 我……
No problem！第一 天给你１万，每天给 你投资比前一天多１ 万元， 连续一个月 (30天)，但有一个条
等比数列的前n项和(优质课比赛)ppt课件
10
课堂小结
1、等比数列的前n项和公式； 2、前n项和的推导方法我们称之为错位相减法； 3、由 Sn .an ,q , a1 , n 知三而可求二。
最新课件
11
知能巩固
1.已知a1
27,
a9
1 ,(q 243
0),求S8
2.若等比数列1，1，1，...前n项和是63，求n
248
64
3.已知a1
a3
通项公式: an=a1• q n-1
最新课件
5
例题分析
例1 求等比数列 1 , 1 , 1 , 的前8项的和. 248
解:
a1
1,q1,n8 22
S8
1 2
1
1 2
8
1 1
2
Sn
a1(1 qn ) 1q
255 . 256
最新课件
6
S 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 a n 的 n
等比数列的前n项和
最新课件
1
等差数列
等比数列
定义
an－an-1=d(n≥2)
an q a n1
(n≥2)
通项 公式 中项
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A= a b 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
m+n=p+q
前n项和
am+an=ap+aq
10,
a4
a6
5 4
,
求S5
最新课件
12
作业: 课本P66 练习1、２、３
最新课件
13
谢谢大家
最新课件
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1 2
), q (
1 2
), n (
8)
1 [1 (1 )8 ]
S8
2
2 1 1
2
1 (1)8 2
255 256
例２、已知等比数列 {an }的前4项和是 S4 40 ，公比
q 3 ，求首项 a1
解： 请学生填空
S4 40, q 3, n 4
需注意什么?
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
，q
1，或
Sn
a1 anq 1 q
，q
1，
na1，q 1.
na1，q 1.
和
知三求二
思考
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增。 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一ຫໍສະໝຸດ 幅美丽的夜景的同时，也留 给了大家一个数学问题，你 能用今天所学的知识求出这 首古诗的答案吗？
①
2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ，
②
② －① 得S64= 264－1.
错位相减
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时， 国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒 全拿来，也满足不了那位宰相的要求.
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？ 第第 第 第 第
1 2 3 4 ……64 格格 格 格 格
(1(1 q)qS)nSnaa1 1aan1qq. n
当当qq11时时, sSnn nnaa11,
当当qq11时时, sSnna1a(1111qqaqnn)q .
例1、 求下列等比数列前８项和：
1,1,1, 1 2 4 8 16
解： 请学生填空
a1 (
等比数列的前n项和
想一想
和S设n 等a比1数列a2an公 比a为n ，q如，何它用的a前1,nq项, n
或 an来表示S n ？
问题讲解
错位相减法1 错位相减法2
等等比比数数列列{{aan}n,}公,公比比为为qq,它,它的的前前n n项项和和
SSnn aa11a1aq2a1qa23a1qann21 a1aqnn，1 qqSSnn a1aq2a1qa23a1qann21a1qann1aa1qnqn ，
第一层 n=1 第二层 n=2
… ……
思考
…… ……
第七层 n=7
……
数学建模：
已知等比数列{an}，公比q=2，n=7, S7=381,求a1
Thank you！
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1 21 22 23 L 263
1 (1 264 ) 264 1 1 2
= 18446744073709551615(粒).
算
一
算
如果按1000颗麦粒 40克计算，这里大约有 700_0_亿_吨__麦粒；如果按人 均每天吃_10_0_0_克__粮食计 算,此棋盘上的粮食可 供全世界___7_0_亿人吃 上__27_4__年.
解：(1) a1 3, q 2, n 6
S6
31 26 1 2
3 26 1
189
(2) S5 242 , q 3, n 5
S5
a1 1 35 13
242
a1 2
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q
n
Sn
(1)
3
2
6
189
(2)
2
3
5
242
在等比数列的通项公式和前n 项和公式中涉及到a1、q、 n、Sn这四个量,知三可求一.体现方程的思想
回顾反思 我们学到了什么？
1.等比数列的前n项和公式； 2.公式的推导方法； 3.公式的简单应用——知三求二.
q≠1,q=1 分类讨论
有了这样一个公式, 我们可以解决哪些问题?
S4
a1(1 qn 1 q
)
a1 1 34 13
40
a1 1
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q
n
Sn
(1)
3
2
6
?
(2)
?
3
5
242
练习: 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号
a1
q
n
Sn
(1)
3
2
6
189
(2)
2
3
5
242
等比数列的前n项和
每个格子里放
…
的麦粒数都是
人陛你什赏几直前放搞下到一想么赐的粒第个定的赏子得样？6格麦24.倍小子个到的就，里格
OK
?
请问:国王需准备多少麦粒才能满足发明者的要求? 他能兑现自己的诺言吗?
上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和.
令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263，