等比数列前n项和的性质ppt课件
等比数列前n项和性质
课前小测验CDD等比数列前n项和性质人生的奔跑，不在于瞬间的爆发，而在于途中的坚持。等比数列和的性质若Sn是等比数列{an}的前n项和，则数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……也构成等比数列。例：等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项和为？类：正项等比数列中，S2=7，S6=91则S4？等比数列之奇偶项和在等比数列中，若项数为偶数(设2n)，则S偶：S奇=q例：已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，奇数项和是85，偶数项和是170，这个数列的项数是？错位相减法的运用若数列{an}是等差数列、{bn}是等比数列，则数列{anbn}的前n项和可以用错位相减法进行求和。例：求数列{ }的前n项和Sn。例：求和Sn=x+2x2+3x3+……+nxn1(21)2nn-小心啦！本题可没有说x是否一定不为0或不为1。总结二等比数列也有类似等差数列的等距和性质、奇偶项和的性质，而且，同样运用的是整体思想。常见的数列求和方法有四种：倒序相加法、错位相减法、拆项（分组求和）法、裂项相消法等。请注意领会各种方法的适用特征。
等比数列及其前n项和
1
等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq1－q.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【微点提醒】
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a(1－an)1－a.( )
2
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )
高一数学复习考点知识讲解课件58---等比数列的性质
1 / 20 高一数学复习考点知识讲解课件
等比数列的性质 考点知识
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 导语
在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引申到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质．
一、由等比数列构造新等比数列
问题1结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
提示
等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数2 / 20 列就叫作等比数列
符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) anan－1＝q(n≥2，n∈N*)
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1
类比 差⇒商；和⇒积，积⇒乘方
性
质 等差数列首项a1，公差d 等比数列首项a1，公比q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q公比的等比数列
等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是以公比为qm的等比数列
等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
知识梳理
1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
等比数列的前n项和数列总结
等比数列的前n项和
一、等比数列的前n项和公式
1．乘法运算公式法
∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)
＝a1·1－q1＋q＋q2＋…＋qn－11－q＝a11－qn1－q，
∴Sn＝a11－qn1－q.
2．方程法
∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)
＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，
∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.
∴Sn＝a11－qn1－q.
3．等比性质法
∵{an}是等比数列，∴a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.
∴a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，
即Sn－a1Sn－an＝q于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.
二、等比数列前n项和公式的理解
(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．
等比数列前n项和性质
（1）在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．
（2）当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S偶S奇＝q.
（3）若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列{an}为等比数列．
等比数列前n项和的性质及应用
等比数列前n项和的性质及应用
项和的性质：的前公比为等比数列nanq
AAqSannn等比数列
间隔相等、连续等长的片段和也成等比数列即：,232,,snnnnnssss成等比数列。
注：当1-q且n为偶数时，,232,,snnnnnssss不是等比数列。
③“相关和”性质：.mnnnmnSqSSqa的等比数列，则是公比为若数列
【典型题一】等比数列n项和性质的应用
的值求中，、在等比数列例462,91,7a1sssn
6936s,3sa1sssnnn则，若项和为的前：设等比数列变式
变式2：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于( )
A．80B.30C.20D.26
解析： ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列
∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)
∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6
又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)
∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)
又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)
∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14) S4n＝30
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》 讲义
一、等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32， 就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 q^｛n-1}＼） ，其中 ＼（a_1\） 为首项，＼（n\） 为项数。
通项公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
三、等比数列的前 n 项和公式推导
我们先来考虑一个简单的等比数列：＼（a_1\） ，＼（a_1q\） ，＼（a_1q^2\） ， ，＼（a_1q^｛n-1}＼） 。
设其前 n 项和为 ＼（S_n\） ，则 ＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2
＋ ＋ a_1q^｛n-1}＼） ①
两边同乘以公比 q ，得到 ＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋
＋ a_1q^｛n}＼） ②
用① ②，可得： ＼
＼begin{align}
S_n qS_n&＝a_1 a_1q^n\＼
S_n(1 q)＆＝a_1(1 q^n)
＼end{align}
＼
当 ＼（q≠1\） 时，＼（S_n ＝ ＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼） ；当
＼（q ＝ 1\） 时，＼（S_n ＝ na_1\） 。
这就是等比数列的前 n 项和公式。
四、等比数列前 n 项和公式的应用
（一）已知首项、公比和项数求前 n 项和
例 1：在等比数列中，首项 ＼（a_1 ＝ 2\） ，公比 ＼（q ＝ 3\） ，求前 5 项的和 ＼（S_5\） 。
因为 ＼（q≠1\） ，所以 ＼（S_5 ＝ ＼frac{a_1(1 q^5)｝｛1 q} ＝
＼frac{2×（1 3^5)｝｛1 3} ＝ 242\） 。
3 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
4．等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0
当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
5．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，an＝a1q·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
专题6.3 等比数列及其前n项和(讲)(解析版)
专题6.3 等比数列及其前n项和
1.理解等比数列的概念．
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4.了解等比数列与指数函数的关系．
知识点一 等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数)，或an＋1an＝q(n∈N*，q为非零常数)．
知识点二 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq1－q.
知识点三 等比数列及前n项和的性质
(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm．
(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn．
【必会结论】等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a2k.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．
等比数列课件
等比数列课件
一、等比数列定义
等比数列是一种特殊的数列，它的每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数。这个常数被称为公比。定义一个等比数列需要给出它的首项和公比，通常用符号表示为{an}，其中a1是首项，q是公比。
二、等比数列通项公式
等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中n是项数，a1是首项，q是公比。这个公式表明，等比数列的任意一项都是首项乘以公比的n-1次方。
三、等比数列的性质
1. 等比数列的任意两项之积等于这两项之和，即a(n+2)/a(n+1) = a(n+1)/a(n)。
2. 等比数列的各项之和等于首项乘以公比减去1，即Σan = a1 * q - 1。
3. 等比数列的各项之积等于首项乘以公比的n次方减去1，即Πan = a1 * q^n
- 1。
四、等比数列的图像表示
等比数列的图像是一条递减或递增的曲线，它的图像可以用来直观地了解等比数列的性质和特点。在图像中，公比q的大小决定了曲线的陡峭程度，而首项a1的大小决定了曲线在y轴上的位置。
五、等比数列的应用
等比数列在实际生活中有着广泛的应用，例如在金融、经济、工程等领域都可以找到它的踪迹。例如，在银行利率计算中，等比数列可以用来计算复利；在股票价格计算中，等比数列可以用来计算股息等等。
六、等比数列的例题讲解 例题1：一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
解：根据等比数列的性质，该数列的前5项之和为Σan = a1 * q - 1 = 2 * 3^5 -
1 = 242。
例题2：一个等比数列的各项之和为10，前三项之积为91，求该数列的公比。
解：根据等比数列的性质，该数列的公比q满足方程：Σan = a1 * q - 1 = 10 和
Πan = a1 * q^3 - 1 = 91。解得q = 3或-3/2。
七、课后练习与答案
1. 计算下列等比数列的前5项之和：
高中数学选择性必修修二第4章 4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)
4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)
素养目标 学科素养
1.掌握等比数列前n项和的性质．(重点)
2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题. 1.逻辑推理；
2．数学运算
情境导学
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．
其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？
1．等比数列前n项和的性质
(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．
(2)如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
(3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S偶S奇＝q.
2．分组求和
某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 2 / 20
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)若等比数列{an}的前n项和Sn＝2×13n＋m，则m＝－2.(√)
(2)若数列{an}是公比q≠1的等比数列，则其前n项和公式可表示为－Aqn＋A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)．(√)
2．若an＝2n－n，则{an}的前n项和为2n＋1－2－错误!.
3．数列112，314，518，…，(2n－1)＋12n，…的前n项和为n2＋1－12n.
1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6等于( )
A．140 B．120
C．210 D．520
A 解析：∵S2＝20，S4－S2＝40，且(S4－S2)2＝S2×(S6－S4)，∴S6－S4＝80.