椭圆专题复习
高考数学专题复习_椭圆
高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连-方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，且2PQ =u u u r ，则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。
【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =u u u r u u u r（1）若k ≤（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ V 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
高三数学专题复习----椭圆
高三数学专题复习----椭圆一 基础知识（1）椭圆的第一定义第二定义，（2）椭圆的标准方程，（3）椭圆的性质，（4）椭圆和直线的位置关系二 例题1、方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( ) (A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29 2、已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝13、椭圆5x 2＋4y 2＝1的两条准线间的距离是（ ）（A ）52 （B ）10 （C ）15 （D ）3504、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）335、若椭圆19822=++y k x 的离心率是21，则k 的值等于 ( ) (A)－45 (B)45 (C)－45或4 (D)45或4 6、椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1 7、已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=18、椭圆22a x ＋22b y =1的两个焦点F 1, F 2三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是（ ）。
（A ）32 （B ）33 （C ）63 （D ）669、椭圆100x 2＋36y 2=1上的一点P 到它的右准线的距离是10，那么P 点到它的左焦点的距离是（ ）。
椭圆专题复习
椭圆专题复习一、考点解析 1． 椭圆的概念在平面内与两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a <c ，则集合P 为空集． 2． 椭圆的标准方程和几何性质1． 椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n .2． 求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e(0<e <1)．3． 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．4． 求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a ，b 或m ，n . 5． 讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 三、典型例题题型一 求椭圆的标准方程例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为____________；(2)(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__________． 答案 (1)x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1(2)x 216＋y 28＝1已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是____________．答案 x 210＋y 25＝1题型二 椭圆的几何性质例2 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．(2012·安徽)如图，F1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．e ＝12. a ＝10，b ＝53.题型三 直线与椭圆的位置关系例3 (2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 离心率为e ＝c a ＝32.|AB |的最大值为2.设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．|AB |＝43.b ＝22专项基础训练一、选择题1． (2012·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( ) A.14B.55C.12D.5－2 答案 B2． 已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对 答案 C3． 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 答案 A 4． 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为 ( )A.233B.263C.33D.3 答案 B二、填空题5． 已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为____________．答案336． 已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．答案1657. 如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且|OF |＝2，若MF ⊥OA ， 则椭圆的方程为__________．答案 x 24＋y 22＝1三、解答题8．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．9． (12分)(2012·安徽)如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上 半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c 于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．。
一轮复习专题48 椭圆、双曲线、抛物线(知识梳理)
专题48椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）一、椭圆(一)椭圆的基本定义和方程1、椭圆的定义：设1F 、2F 是定点，P 为动点，则满足a PF PF 2||||21=+(a 为定值且||221F F a >)的动点P 的轨迹称为椭圆，符号表示：a PF PF 2||||21=+(||221F F a >)。
注意：当||221F F a =时为线段21F F ，当||221F F a <时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质定义方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ac y x c y x 2)()(2222=-++++标准方程12222=+b y a x (0>>b a )12222=+b x a y (0>>b a )一般方程122=+ny mx (0>m ，0>n ，n m ≠)推导方程22222b x ab y +-=(0>>b a )22222a x ba x +-=(0>>b a )范围][a a x ，-∈，][b b y ，-∈][b b x ，-∈，][a a y ，-∈图形焦点坐标焦点在x 轴上)0(1，c F -，)0(2，c F 焦点在y 轴上)0(1c F -，，)0(2c F ，对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)顶点)0(1，a A -、)0(2，a A 、)0(1b B -，、)0(2b B ，)0(1a A ，、)0(2a A -，、)0(1，b B 、)0(2，b B -轴长轴21A A 的长为：a 2(a 为长半轴)短轴21B B 的长为：b 2(b 为短半轴)离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率ace =，)10(，∈e ，e 越大越扁，e 越小越圆焦距：cF F 221=222c b a +=3、椭圆12222=+by a x (0>>b a )的图像中线段的几何特征(如图)：(1)a PF PF 2||||21=+，e PM PF PM PF ==2211，c a PM PM 2212||||=+；(2)a BF BF ==||||21，c OF OF ==||||21，2221||||b a B A B A +=+；(3)c a F A F A -==||||2211，c a F A F A +==||||1221。
高考数学复习典型题型专题练习41 椭圆的标准方程与基本性质
第41讲 椭 圆第1课时 椭圆的标准方程与基本性质一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是()A. x 23＋y 24＝1 B. x 24＋y 23＝1C. x 24＋y 23＝1D. x 24＋y 2＝12. (2023·汕头二模)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线AB 过F 1与该椭圆交于A ，B 两点，当△F 2AB 为正三角形时，椭圆C 的离心率为()A. 34B. 33C. 23D. 223. (2023·苏州模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2m ＋y 2m －1＝1(m >1)的左、右焦点，点A是椭圆上的一个动点，若△AF 1F 2内切圆的半径的最大值是33，则椭圆的离心率为()A. 2－1B.12C. 22D. 3－14. 已知点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2＋(x ＋1)2＋y 2＝22，点A ，B 关于点D (0，－2)对称且|AB |＝2，则P A →·PB →的最大值为()A. 10B. 9C. 8D. 2二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5. (2023·佛山一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，且tan ∠BF 1F 2＝15，点P 在C 上，线段PF 1与BF 2交于点Q ，BQ →＝2QF 2→，则() A. 椭圆C 的离心率为14B. 椭圆C 上存在点K ，使得KF 1⊥KF 2C. 直线PF 1的斜率为155 D. PF 1平分∠BF 1F 26. (2023·福州检测)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，则()A. C 的离心率为22B. △PF 1F 2的周长为5C. ∠F 1PF 2<90°D. 1≤|PF 1|≤3三、填空题(精准计算，整洁表达)7. (2023·佛山二模)若椭圆x 2k －1＋y 23－k ＝1的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是________．8. (2023·株洲一模)已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 23＝1的两个焦点，M 为椭圆上一点，若△MF 1F 2为直角三角形，则S △MF 1F 2＝________.9. 已知正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，若正方形ABCD 的一条边经过椭圆E 的焦点F ，则E 的离心率是________．四、解答题(让规范成为一种习惯)10. 已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|.(1) 求此椭圆的方程；(2) 若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．11. 在△ABC 中，A (－1,0)，B (1,0)，|AC |＝22，线段AC 上的点M 满足∠MBC ＝∠MCB .(1) 记M 的轨迹为Γ，求Γ的方程；(2) 过B 的直线l 与Γ交于P ，Q 两点，且PB →＝3BQ →，求直线l 的斜率．。
专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。
椭圆专题复习
社区辅导数学资料——椭圆的标准方程及其性质 题型一. 定义及其应用例1、已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程变式练习16=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆变式练习2、过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；题型二. 椭圆的方程例2、中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；变式练习1、已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；变式练习2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程题型三、椭圆的离心率 例3、椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，求椭圆的离心率变式练习1.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，求k 的值。
变式练习2 ）离心率为（轴长三等分，则椭圆的若椭圆的两个焦点把长 无法确定 D. 32 C. 31 B. 61 A. 题型四、直线与椭圆例4 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．变式练习1、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．变式练习2、 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．课堂练习：1. 已知动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是 .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2.若方程m x -252+my +162=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.(-16，25) B.( 29，25) C.(-16，29) D.( 29，+∞) 3、已知M 是椭圆14922=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的焦点，则||||21MF MF ⋅的最大值是（ ）A 、4B 、6C 、9D 、124、椭圆22125x y m m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7)5、若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(－4, 0), (4, 0)，AC , AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为（A ）221(0)10036x y y +=≠（B ）221(0)10084x y y +=≠ （C ）221(0)10036x y x +=≠（D ）221(0)10084x y x +=≠ 6、点P 为椭圆22154x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是（A ）(±2, 1) （B ）(2, ±1) （C ）(2, 1) （D ）(±2, ±1) 7．椭圆 221123x y += 的焦点为 1F 和 2F ，点P 在椭圆上，如果线段 1PF 的中点在 y 轴上，那么 1PF 是 2PF 的 （ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍8．P 为椭圆22110064x y +=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为 .9．椭圆12222=+by a x (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 .10．已知直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=，对任意的k 值总有公共点，则m 的取值范围是___________11、已知圆22:(3)100A x y ++=，圆A 内一定点(3,0)B ，圆P 过B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程12、 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）则m 的值 13、已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围 ． 14、设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；.716),0()0,()0,()0(1.15112222=-->>=+e b AB F b B a A c F b a by a x ，则椭圆的离心率的距离为到直线、如果是两个顶点，、，的左焦点为、椭圆的标准方程有相同的离心率的椭圆，且与椭圆、求经过点1612)2,1(1722=+y x M18、 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．.)2(;)1(12045 1922121221点坐标求求，为左右焦点，，上的点，为椭圆已知、P S PF PF F F y x P F PF ∆⊥=+20、已知过点(2,0)作直线l 交椭圆2214y x +=于点,A B . (1)若AB 的中点C 在4(0)y x x =≠上，求直线l 的方程；(2)设椭圆中心为O ，问是否存在直线l ，使得OA OB ⊥？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，说明理由.21、已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。
专题复习椭圆的概念及其性质
椭圆的概念及其性质一、选择题1.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2.椭圆+=1的左焦点为F1,点P在椭圆上,若线段PF1的中点M在y轴上,则|PF 1|= ( )3.已知椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点是圆x2+y2-6x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A.(-3,0)B.(-4,0)C.(-10,0)D.(-5,0)3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:+=1的左焦点为F(-c,0),若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切,则a的值为( )A. B.1 C.2 D.44.(2016·武汉模拟)若m≠0,则椭圆+=1的离心率的取值范围是( )A. B. C.∪ D.∪C.必在圆x2+y2=1外D.必在圆x2+y2=1与圆x2+y2=2形成的圆环之间二、填空题6.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.7.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为.8.(2016·菏泽模拟)椭圆Г:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.9.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|PM|最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.10.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.。
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[解析]
如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为 O 为 F1F2 的中点， 所以 OM 为 △PF1F2 的中位线． 所以 OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠ MOF1＝90°. 因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|＝ |PF1|2－|PF2|2＝ 3|PF2|，
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5 2 5 解析：∵cos α＝ ⇒sin α＝ . 5 5 4 3 cos(α＋β)＝－ ⇒ sin(α＋β)＝ . 5 5 11 5 ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝ . 25 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2. r1 r2 2c 由正弦定理得 ＝ ＝ 11 5 2 5 3 5 25 5
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例 2.若 P 是圆 B： ( x 2) y 36 上一动点，
2 2
点 A 的坐标为（2,0） ，线段 AP 的垂直平分线交 直线 BP 于点 Q，求点 Q 的轨迹方程。
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变式 2.一个动圆与圆 Q1 : ( x 3) y 1
2 2
2
1,0)，F2(1,0)，设 E(x，y)，则 EF1 ＝(－1－x，－y)， EF ＝(1
EF2 －x，－y)， EF1 ·
8 2 1 2 ＝x －1＋y ＝x －1＋8－ x ＝ x ＋7(－ 9 9
2 2 2
1
3≤x≤3)，所以当 x＝0 时， EF · 3 时， EF 有最小值 7，当 x＝±
2
EF1 EF2
· 有最大值 8，故选 B.
知识结构
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[能力提升]
x2 y2 设 F1，F2 分别是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的 a b
左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，“若∠PF1F2＝α，∠PF2F1 4 5 ＝β，且 cos α＝ ，cos(α＋β)＝－ .”，则椭圆的离心率为 5 5 ________．
1 1 7 21 ＝6，因此△ABF2 的面积等于 |AB|×|F1F2|＝ × ×6＝ . 2 2 2 2
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4．解析：选 A
由题意可得 2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即
c 1 4c＝a－c＋a＋c＝2a，故 e＝ ＝ . a 2 5． 解析： 选B 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为 F1(－
r1＋r2 2c c 5 ∴ ＝ ⇒e＝a＝ . 7 21 5 3 5 25 5 答案： 7
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[破译玄机]
解决与焦点三角形有关的离心率问题的关键是利用正 弦定理与比例性质． |PF2| |PF1| |F1F2| 即sin α＝sin β＝ 变形结合定义求解． sinα＋β
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椭圆定义 标准方程
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当堂检测： 1． 解析：选 D c2＝25－k－(9－k)＝16，所以 c＝4，
所以两个曲线的焦距相等． 2．解析：选 A 依题意，设|PF2|＝m，则有|PF1|＝2m，
|F1F2| 5m 5 |F1F2|＝ 5m， 该椭圆的离心率是 e＝ ＝ ＝ . 3 |PF1|＋|PF2| 3m 3． 解析： 选A 2b2 7 依题意得|AB|＝ ＝ ， |F1F2|＝2 16－7 a 2
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[类题通法] 应用椭圆几何性质的 2 个技巧与 1 种方法 2 个技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要
结合图形进行
分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形． (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式． 例如－ a≤x≤a， －b≤y≤b,0＜e＜1， 在求椭圆的相关量的范围时， 要注意应用这些不等关系．
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3|PF2| 由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即 a＝ ， 2 3|PF2| 2c＝|F1F2|＝ 3|PF2|，即 c＝ ， 2 c 3|PF2| 2 3 则 e＝a＝ · ＝ . 2 3|PF2| 3 [答案] A
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变式 5.若椭圆的长轴长，短轴长和焦距成等差数列， 求该椭圆的离心率。
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x y 变式 3.在本例中，若把椭圆改为“ ， 1” 4 3
把“ F1 PF2 60 ”改为“ PF1 F2 90 ” ， 其余条件不变，求 F1 PF2 的面积。
2
2
结束结束结束 Nhomakorabea返回
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题型 3
椭圆的几何性质
2 2
x y 例 4．已知椭圆 2 2 a b
1(a b 0) 的左
焦点为 F1 (c,0), A(a,0), B(0, b) 是两个顶点， 如果 F1 到直线 AB 的距离为
b 7
，求椭圆的离心率 e.
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x2 y2 变式 4. 设 F1，F2 分别是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0) a b 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为 3 A． 3 1 C． 3 3 B． 6 1 D． 6 ( )
外切，与圆 Q2 : ( x 3) y 81内切，试
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求动圆圆心的轨迹方程。 本题作为课后作业！
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题型 2 椭圆的定义和应用
x y 例 3.设 P 是椭圆 1 上一点， F1 , F2 是椭圆的焦点， 25 75 4
若 F1 PF2 60 ，求 F1 PF2 得面积。
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椭圆
临朐实验中学高二数学组 徐光磊
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易错点总结：
1 求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程 x2 y2 为 2＋ 2＝1(a＞b＞0)． a b
对策：解决椭圆问题要
先定位；后定量！
x2 y2 2．注意椭圆的范围，在设椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)上点的坐标 a b 为 P(x，y)时，|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特 别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
PF1 PF2 与 F 1F 2 的关系
焦点在x 轴上 焦半径范围 焦点在y轴上 顶点
椭圆
几 何 性 质
焦点、焦距 离心率、范围 范围 长轴、短轴 对称性 焦点三角形