如何利用平移变换解决问题(一)
《利用平移解决问题》教学设计
《利用平移解决问题》教学设计一、教学目标(一)知识与技能学生掌握运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题的策略，发展学生的空间观念。
(二)过程与方法通过学生经历自主探究的过程，运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题，加深对“平移”这种图形变换方式的理解。
(三)情感态度和价值观体会数学知识之间的密切联系，感受数学美。
二、教学重难点教学重点：运用平移的方法解决简单不规则图形的面积问题。
教学难点：在解决问题的过程中，加深对平移的理解。
三、教学准备方格纸、课件。
四、教学过程(一)复习导入1.教师：同学们，前几天的课上我们一直在借助方格图研究数学问题。
2.出示：教师：你能知道这两个平面图形的面积是多少吗?说说你是怎么想的。
同学们通过观察图形特点，从方格图中获取信息，求出这两个图形的面积。
【设计意图】回顾旧知识，唤醒学生的记忆，帮助后面更好地学习。
(二)探索新知1.提出问题。
教师：现在在方格纸上又出现了一个新的图形，你能够知道他的面积是多少吗?2.提出要求，独立解决。
教师：请你自己求一求这个图形的面积，可以在图上标一标，写一写，画一画。
学生自己活动，教师巡视，了解学生解决问题的基本思路和方法，选取典型案例。
3.讨论交流。
教师：这里有几位同学解决问题的方法，我们一起来看看。
预设1：数方格的方法。
数一数这个图形有占多少个方格，当数到不是整个格时，要拼一拼。
预设2：算一算的方法。
在前面拼一拼的基础上算一算：1×1=1(cm2)，4×6=24(cm2)。
预设3：利用平移的方法。
把不规则的图形转化成规则的图形，直接求长方形的面积。
4×6=24(cm2)4.对比辨析，加深理解。
教师：在解决这个问题的时候，你最喜欢哪种方法?你是怎样想的?说明：利用图形在平移的过程中，大小不会改变的特性，运用割补的方法，将不规则的图形先分割，再平移，最后补成一个规则的图形，求出面积。
【设计意图】通过学会生的自主探究、讨论帮助学生运用“平移”的知识解决问题，引导学生关注转化前、后的图形特征，感悟知识间的联系，渗透“等积变形”的策略，既加深了“平移”这种图形变换方式的理解，又为后续的学习平面图形面积奠定了基础。
椭圆中的平移问题方法总结及典型例题
椭圆中的平移问题方法总结及典型例题概述椭圆是在平面上固定的点到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
在椭圆中，进行平移操作可以改变图形的位置，但保持形状和大小不变。
本文将总结椭圆中的平移问题的解决方法，并提供一些典型例题。
方法总结方法一：矩阵变换通过矩阵变换可以实现椭圆的平移。
设原椭圆的方程为$(x/a)^2+(y/b)^2=1$，平移后的椭圆的中心为$(h, k)$，则平移后的椭圆的方程为$((x-h)/a)^2+((y-k)/b)^2=1$。
通过这种方法，我们可以将椭圆沿着平移向量$(h, k)$进行平移。
方法二：参数方程变换椭圆的参数方程为$x = a\cos(\theta)$，$y = b\sin(\theta)$。
对于原椭圆，我们可以将参数$\theta$的范围设定为$[0, 2\pi)$。
在进行平移操作时，我们只需要将参数方程中的参数$\theta$替换为$\theta - \phi$，其中$\phi$为平移角度。
典型例题例题一已知椭圆的方程为$(x/2)^2+(y/3)^2=1$，求将该椭圆平移$(4, 2)$后的椭圆方程。
解答：根据方法一的矩阵变换，将原椭圆的中心平移$(4, 2)$后得到新椭圆的方程为$((x-4)/2)^2+((y-2)/3)^2=1$。
例题二已知椭圆的参数方程为$x = 2\cos(\theta)$，$y = 3\sin(\theta)$，求将该椭圆逆时针平移$\pi/4$弧度后的椭圆的参数方程。
解答：根据方法二的参数方程变换，将原椭圆的参数$\theta$替换为$\theta - \pi/4$得到新椭圆的参数方程为$x = 2\cos(\theta - \pi/4)$，$y = 3\sin(\theta - \pi/4)$。
结论通过矩阵变换和参数方程变换，我们可以解决椭圆中的平移问题。
矩阵变换适合处理椭圆的方程形式，而参数方程变换适合处理椭圆的参数形式。
平移知识点总结
平移知识点总结平移是中学数学中一个非常重要的概念，它是几何变换中的一种。
在数学课堂上，学生需要掌握平移的基本概念、性质、方法和应用等知识点，以便能够解决各种几何问题。
在本文中，我们将对平移的相关知识进行总结，并分析其重要性和实际应用。
一、平移的基本概念平移是指将一个图形沿着直线方向上移动一定的距离，使其保持形状、大小和方向不变。
平移是一种基本的几何变换，也是一种基本的运动变换。
平移的基本概念包括：平移距离、平移向量、平移向量的表示方法、平移变换的性质等。
1. 平移距离平移距离指的是图形沿着直线方向上移动的距离，通常用正数表示。
如果平移距离为正数，则表示将图形向右移动；如果平移距离为负数，则表示将图形向左移动。
2. 平移向量平移向量是指将一个向量作为平移的方向和距离，从而确定平移的方式。
平移向量的表达式是一个二维向量，其中第一项表示水平方向上的平移距离，第二项表示垂直方向上的平移距离。
如果平移向量的二维向量表示为(a,b)，则表示将图形向右移动a个单位，向上移动b个单位。
3. 平移向量的表示方法平移向量可以通过坐标系中两个点的坐标差来表示。
假设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)分别表示图形的初始位置和平移后的位置，则平移向量的坐标表示为(x2-x1,y2-y1)。
4. 平移变换的性质平移变换具有以下性质：(1) 保形性：平移变换不改变图形的形状。
(2) 保角性：平移变换不改变图形的内角度数。
(3) 保距性：平移变换保持图形上任何两点之间的距离不变。
(4) 可逆性：平移变换是可逆的，即可以通过对称平移变回原来的位置。
二、平移的方法和应用平移变换的方法和应用非常广泛，可用于解决各种几何问题，如图形的位置关系、重心的位置、对称点的位置、垂足的位置等。
1. 平移的方法平移的方法有以下两种：(1) 点法平移法：通过将平移向量作为一个点来确定图形的位置。
(2) 向量法平移法：通过将平移向量作为向量来确定图形的位置。
有趣的几何变换问题解决关于几何变换的有趣问题
有趣的几何变换问题解决关于几何变换的有趣问题几何变换是数学中的一个重要概念，它描述了图形在平面或空间中的位置、形态、方向等属性随时间或其他变量的变化过程。
在几何学中，有许多有趣的问题与几何变换相关。
本文将探讨一些有趣的几何变换问题，并解决这些问题。
1. 平移变换平移变换是最基本的几何变换之一，它描述了图形在平面或空间中沿着特定的向量移动的过程。
我们现在来考虑一个有趣的问题：如何用平移将一个正方形变成一个长方形？解决方案：设正方形的四个顶点分别为A、B、C、D，边长为a。
我们可以将正方形向右平移一个距离为a的向量，然后将右下角的顶点D沿着与原来的底边平行的方向平移一个距离为2a的向量。
这样，我们就完成了从正方形到长方形的变换。
通过这个简单的平移变换，我们将一个图形的形状完全改变了。
2. 旋转变换旋转变换是几何变换中常见的一种，它描述了图形围绕一个中心点旋转的过程。
现在我们来解决一个有趣的问题：如何用旋转将一个长方形变成一个菱形？解决方案：设长方形的四个顶点分别为A、B、C、D，其中AB为底边，CD为顶边。
我们可以选择将长方形绕中心点O逆时针旋转45°，然后将旋转后的长方形顶点B和D分别沿着原来的底边AB和顶边CD 平移一个距离为AB的向量。
这样，我们就完成了从长方形到菱形的变换。
通过旋转变换和平移变换的组合，我们成功改变了图形的形状。
3. 缩放变换缩放变换是一种改变图形尺寸的几何变换，它描述了图形在平面或空间中被放大或缩小的过程。
我们现在来解决一个有趣的问题：如何用缩放将一个三角形变成一个等腰三角形？解决方案：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中AB为底边，AC为等腰边。
我们可以选择以顶点A为中心，将三角形沿着底边AB缩放为原来的2倍，然后再以顶点A为中心，将缩放后的三角形沿着等腰边AC缩放为原来的2倍。
这样，我们就完成了从三角形到等腰三角形的变换。
通过缩放变换，我们改变了图形尺寸，并且保持了图形的形状特征。
几何形的变换
几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。
这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。
一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。
在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。
平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。
例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。
首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。
二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。
旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。
旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。
例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。
三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。
翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。
例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。
四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。
放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。
放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。
例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。
综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。
这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。
通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。
函数图象的平移变换
在函数图象上，每一个点$(x, y)$在平 移后变为$(x + a, y)$，即横坐标增加 $a$，纵坐标不变。
右平移变换的性质
1
函数值不变：对于任意$x$，有$f(x - a) = f(x)$， 即函数值在平移前后保持不变。
2
平移不改变函数的单调性、奇偶性等性质。
3
平移不改变函数的值域和定义域。
平移变换用于验证数学模型
通过平移变换，我们可以验证数学模型的正确性和可靠性，从而更 好地应用于实际问题。
平移变换用于优化数学模型
通过平移变换，我们可以优化数学模型的参数和结构，从而提高模 型的预测精度和可靠性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平移变换可用于研究函数的 极值
通过平移函数图像，可以更直观地观察函数的极值 点，从而确定极值的位置和大小。
平移变换有助于研究函数 的单调性
通过平移函数图像，可以观察函数在不同区 间内的单调性，从而分析函数的单调性。
平移变换在解决实际问题中的应用
01
平移变换用于解决 物理问题
在物理问题中，平移变换常用于 描述物体在空间中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动规律， 如位移、速度和加速度等。
左平移变换的数学表达式
$y = f(x + a)$，其中$a$为正数。
左平移变换的性质
01
平移不改变函数的值域和定义域。
02
平移不改变函数的单调性、奇偶性和周期性。
平移不改变函数的对称性。
03
左平移变换的应用
解决函数图象问题
通过左平移变换，可以将函数图象进行平移，从而更直观地观察函 数的性质和变化规律。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如物理中的振动和波动问题，可以通过左 平移变换来描述时间的推移和物理量的变化。
函数的平移伸缩与翻转变换
函数的平移伸缩与翻转变换函数的平移、伸缩与翻转变换是数学中常见的概念，可以用来描述函数图像在坐标平面上的变化。
在数学和物理等领域中，函数的变换是解决问题和求解方程的重要工具。
本文将介绍函数的平移、伸缩与翻转变换的定义、原理和常见应用。
一、平移变换函数的平移变换是指将函数的图像沿着坐标轴平行移动的操作。
平移变换可以使函数图像向左、向右、向上或向下平移。
1. 向左平移：函数图像沿x轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向左平移a个单位后的新函数为f(x + a)。
2. 向右平移：函数图像沿x轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向右平移a个单位后的新函数为f(x - a)。
3. 向上平移：函数图像沿y轴的正方向移动。
设原函数为f(x)，向上平移b个单位后的新函数为f(x) + b。
4. 向下平移：函数图像沿y轴的负方向移动。
设原函数为f(x)，向下平移b个单位后的新函数为f(x) - b。
二、伸缩变换函数的伸缩变换是指对函数图像进行扩大或收缩的操作。
伸缩变换可以使函数图像在x轴和y轴方向上发生变化。
1. 水平伸缩：函数图像在x轴方向上进行横向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，横向拉伸k倍后的新函数为f(kx)。
2. 纵向伸缩：函数图像在y轴方向上进行纵向拉伸或压缩。
设原函数为f(x)，纵向拉伸k倍后的新函数为k * f(x)。
3. 水平压缩：函数图像在x轴方向上进行横向压缩。
设原函数为f(x)，横向压缩k倍后的新函数为f(x/k)。
4. 纵向压缩：函数图像在y轴方向上进行纵向压缩。
设原函数为f(x)，纵向压缩k倍后的新函数为f(x) / k。
三、翻转变换函数的翻转变换是指通过轴对称来改变函数图像的位置。
翻转变换可以使函数图像关于x轴或y轴对称。
1. 关于x轴对称：函数图像沿x轴翻转。
设原函数为f(x)，关于x 轴对称后的新函数为-f(x)。
2. 关于y轴对称：函数图像沿y轴翻转。
设原函数为f(x)，关于y 轴对称后的新函数为f(-x)。
平移构造全等
平移构造全等摘要：一、平移的定义和性质1.平移的定义2.平移的性质二、平移构造全等的方法1.利用平移不改变图形形状和大小2.利用平移形成的全等三角形对应边相等3.利用平移形成的全等三角形对应角相等三、平移在几何问题中的应用1.证明两个图形全等2.解决角度和边长问题四、总结与展望1.总结平移构造全等的要点2.展望平移在几何问题中的更多应用正文：一、平移的定义和性质平移是平面内一个图形沿着给定方向和距离的移动。
平移后，图形的位置改变，但形状和大小保持不变。
平移具有以下性质：1.对应点、线段和角分别平移到相同的位置；2.对应边平行且相等；3.对应角相等；4.平移前后图形全等。
二、平移构造全等的方法1.利用平移不改变图形形状和大小：平移可以将一个图形变换成另一个图形，通过平移可以证明两个图形全等。
2.利用平移形成的全等三角形对应边相等：在解决几何问题时，可以先通过平移将问题图形变换成已知条件中的全等三角形，从而得到对应边相等的结论。
3.利用平移形成的全等三角形对应角相等：在解决几何问题时，可以先通过平移将问题图形变换成已知条件中的全等三角形，从而得到对应角相等的结论。
三、平移在几何问题中的应用1.证明两个图形全等：通过平移，可以将问题图形变换成已知条件中的全等三角形或其他全等图形，从而证明两个图形全等。
2.解决角度和边长问题：通过平移，可以得到对应边相等或对应角相等的结论，从而解决角度和边长问题。
四、总结与展望平移是一种重要的几何变换，可以用来构造全等三角形，解决几何问题。
通过熟练掌握平移的定义和性质，以及平移构造全等的方法，可以有效解决各种几何问题。
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如何利用平移变换解决问题（一）一、教学目标：1、知识与技能：使学生能够利用平移变换解决有关的问题2、过程与方法：在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力3、情感态度价值观：（1）体验数学知识是通过观察猜想和验证的过程，欣赏数学图形之美（2）体验数学的学习是一个观察、猜想、归纳、验证的过程二、重点与难点1、重点： 平移变换的正确使用2、难点： 能对复杂图形进行恰当的平移变换是难点三、教学用具：计算机四、教学过程（一）课题引入（二）分析问题和解决问题1、运用平移解决周长计算问题例1、如图1-1，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位．（1）在格点中画出图形ABCD 先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形；（2）请写出平移前后两图形对应点之间的距离．分析：（1）将点A 、B 、C 、D 按平移条件找出它的对应点A ′、B ′、C ′、D ′，顺次连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，即得到平移后的图形.（2）两对应点之间的距离等于两直角边分别为2、6的直角三角形的斜边长，即为：102403646222==+=+．解：（1）如图1-2所示，图形A ′B ′C ′D ′为所求；（2）102个单位.点拨：平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．2、运用平移解决面积计算问题例8、如图所示，已知Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC 沿CB 方向平A DBC 图1-1移到△A ′B ′C ′的位置．（1）若平移的距离为3，求△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积；（2）若平移的距离为x （0≤x ≤4），△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积为y ，写出面积y 与平移距离x 的关系式．分析：观察图形可知，△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分是△BC ′O,根据平移的特征可知 △BC ′O 是一个等腰直角三角形，BC ′就是直角边，所以求出BC ′的长后便可表示△BC ′O 的面积．解：因为Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=4,AC=4,所以∠A=∠ABC=οοο45)90180(21=-， 因为△A ′B ′C ′是由△ABC 平移得到的，所以∠A ′C ′B ′=∠C=90°又∠ABC=45°，所以BC ′=C ′O(1)若平移的距离为3，则CC ′=3，BC ′=C ′O=BC- CC ′=1，所以重叠部分的面积为S △BC ′O =211121=⨯⨯, (2) 若平移的距离为x ，则CC ′=x ，BC ′=C ′O=BC- CC ′=4-x ，所以重叠部分的面积为：y=S △BC ′O =8421)816(21)4(21222+-=+-=-x x x x x （0≤x ≤4）． 教师总结：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等；图形的形状与大小不变.利用平移的特征能很快地确定平移后两图形重叠部分是个等腰直角三角形，从而解决问题．（四）课堂总结请大家结合本节课的学习，谈谈你的收获和体会？五、教学反思“数学课程标准”指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
下面我对在实践本节课中出现的不足及今后的改进方法进行总结：本节课是在初三总复习中所上的一节专题复习课，问题设计对于学生来讲并不太难，下面我就针对本节课的优点以及教学中的不足进行一下分析。
（一）成功的地方1.本节课让老师和学生积极互动起来，给学生足够的空间进行讨论，课堂气氛比较活跃，教学效果比较好。
教师的角色发生了转变：学生是数学学习的主体，教师是教学过程中的组织者和引导者，是学生学习过程中的学习伙伴。
2小组合作学习基本上达到了全员参与，两个人或四个人一个小组讨论起来更具有时效性，尤其对于基础较弱的同学而言，组长基本上可以帮他讲明白，可以说是受益匪浅。
（二）不足的地方1.上课时有些问题问得不太具体，学生不知道应该从哪些方面来回答。
2.学生有独立思考的环节，还进行了了小组讨论，最后在进行全班交流时，个别时候老师讲的有点细，学生已经讲明白的问题老师就可以不重复了，这样还可以节省时间，提高课堂效率。
（三）改进的方法1.我们现在采取小组合作的教学模式，问题设计对于学生很重要，一份好的问题设计可以激发好孩子的进一步思考，可以在学习方法上对学生进行指导。
在上课前可以和老师们讨论应该怎样设计问题，或者上网查找资料，争取把问题设计好。
2.在教学过程中，两个人或四个人一个小组进行讨论比较有实效性，一个学生（组长）完全可以给另一个学生（组员）讲明白，因此学生能够讲明白的问题老师就不要重复去讲，要相信学生的能力。
【解题密码】例1、如图1-1，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位．（1）在格点中画出图形ABCD 先向右平移6个单位，再向上平移2个单位后的图形；（2）请写出平移前后两图形对应点之间的距离．分析：（1）将点A 、B 、C 、D 按平移条件找出它的对应点A ′、B ′、C ′、D ′，顺次连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，即得到平移后的图形.（2）两对应点之间的距离等于两直角边分别为2、6的直角三角形的斜边长，即为：102403646222==+=+．A DBC 图1-1解：（1）如图1-2所示，图形A ′B ′C ′D ′为所求；（2）102个单位.点拨：平移图形时，找关键点的对应点是关键的一步．例2、如图8-1所示，已知Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC 沿CB 方向平 移到△A ′B ′C ′的位置．（1）若平移的距离为3，求△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积；（2）若平移的距离为x （0≤x ≤4），△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分的面积为y ，写出面积y 与平移距离x 的关系式．分析：观察图形可知，△ABC 与△A ′B ′C ′重叠部分是△BC ′O,根据平移的特征可知△BC ′O 是一个等腰直角三角形，BC ′就是直角边，所以求出BC ′的长后便可表示△BC ′O 的面积．解：因为Rt △ABC 中，∠C=90°,BC=4,AC=4,所以∠A=∠ABC=οοο45)90180(21=-， 因为△A ′B ′C ′是由△ABC 平移得到的，所以∠A ′C ′B ′=∠C=90°又∠ABC=45°，所以BC ′=C ′O(1)若平移的距离为3，则CC ′=3，BC ′=C ′O=BC- CC ′=1，所以重叠部分的面积为S △BC ′O =211121=⨯⨯, (2) 若平移的距离为x ，则CC ′=x ，BC ′=C ′O=BC- CC ′=4-x ，所以重叠部分的面积为：y=S △BC ′O =8421)816(21)4(21222+-=+-=-x x x x x （0≤x ≤4）． 点拨：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等；图形的形状与大小不变.利用平移的特征能很快地确定平移后两图形重叠部分是个等腰直角三角形，从而解决问题．例2、如图2—1，多边形的相邻两边互相垂直，则这个多边形的周长为（ ）.（A ）21 （B ）26 （C ）37 （D ）42⇒图2-1 图2-2分析：图中只给出了一个底边的长和高，所以要从现有的条件入手.我们可以利用平移的知识来解决：把所有的短横线移动到最上方的那条横线上，再把所有的竖线移动到两条竖线上，这样可以重新拼成一个长方形（如右图2—2），可得多边形的周长为2×（16＋5）=42．G FE D A C B 答案：选（D ）．点拨：本题通过平移将未知线段的和转化到已知线段上去解决，使问题变得简单．例3、已知正方形ABCD 的边长为10cm.E 、F 分别为AB 、CD 边的中点，以BC 为直径作半圆，再以EF 为直径作半圆与AD 切于点G ，则阴影部分的面积为_______cm 2．图3-1 图3-2分析：图中的阴影部分是一个不规则的图形，要想直接去求它的面积很困难，但是如果想到平移阴影部分的半圆，把它移到和下方的半圆重合，从而把阴影部分面积转化为一个矩形（正方形面积的一半）来解决，问题就变得简单多了．答案：50cm 2．点拨：在求阴影部分面积时，我们可以根据条件，考虑利用平移变换把要求的不规则图形转换为规则图形来解决．例4、如图4—1，某小区有一块长42米、宽20米的矩形草坪，现要在草坪中间铺设一横两纵三条等宽的甬道，若铺设后草坪的面积为760米2，求甬道的宽．图4-1 图4-2分析：常规方法可设甬道的宽为x 米，根据总面积减去空白部分的面积为760米2，可列方程：24220220422760x x x ⨯-⨯-+=，然后进行求解、检验、作答，但这样考虑很容易出现列式错误，如果利用平移变换来解决，将六块草坪通过平移变换拼接到一起变成一块新的矩形来考虑面积，问题就能变得简单（如图4-2）．解：设甬道的宽为x 米，则拼接后的整个草坪的长为(422)x -米，宽为(20)x -米，可列方程：(422)(20)760x x --=解得：11x =，241x =经检验241x =不符题意舍去，答：甬道的宽为 1 米．点拨：本题利用平移变换，把分散的图形集中到一块拼接成一个容易计算面积的规则图形.，使问题变得简单，若本题的纵向两个甬道改为水平宽度处处相等的曲边形，如图4—3，此时甬道的宽度又是多少呢？图4—3当图形的形状不规则时，方法一不可行，而平移方法依然有效。
由此可知利用平移变换解决问题有时不仅简便，而且还是必要的方法．例5、、工人师傅手中有一个如图5-1所示的零件，他为求出此零件的表面积。
采取了如下的方法：第一步：连结两圆的圆心O 1O 2；第二步：作大圆的弦AB ，使得弦AB 与⊙O 2的相切，且AB//O 1O 2；第三步：测量弦AB 的长为12；据此他就求出了此零件的表面积，你知道他是怎样求的吗？表面积是多少？图5-1 图5-2 图5-3分析：要求出表面积，应该要用大圆面积减去小圆面积，但是现在不知道两圆的半径分别为多少，感觉缺少条件，但是如果我们将小圆进行平移，使得两圆圆心重合，这时利用垂径定理构造出直角三角形，并由勾股定理将两圆半径的平方差进行整体代换，即用已知弦长的一半的平方来表示，从而巧妙地求出表面积来．解答：将⊙O 2沿直线O 1O 2平移，使得点O 2和点O 1重合，如图5-3所示，作OC ⊥AB 于C ，连结OA则162AC BC AB === 在R t △AO 1C 中，有：22121AC C O A O =-则=阴影S πππ3622121==-AC C O A O ）（ 点拨：利用平移变换将图形转移到特殊位置，用整体代换的方法，能巧妙地解决问题．例6、如图6-1，小镇A 和B 在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河两岸1l 、2l 平行,桥MN 与河岸垂直，A 到离它较近的河岸的距离大于河宽）．图6-1 图6-2 图6-3分析：，这个问题要求的“路径AMNB 最短”实际是就是“AM +BN ”最短，因为本题中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．怎样保证“AM +BN ”最短呢？如果不是中间有条河隔着，直接连接AB 就可以了！由于河两岸平行,故桥长MN 是一个定值,无论桥架在何处,MN 是必经路线,要使从A 到B 的折线最短,只需AM+BN 最短即可.为此我们不妨将桥MN 平移到A A '处,且M 与A 重合,则N 与A '重合,由平移性质知AM=N A '.由“两点之间,线段最短”的性质知,要使AM+BN 最短(即N A '+BN 最短),只要点N 在线段B A '上即可．解：（1）过点A 作AC ⊥1l 于点C ；（2）在线段AC 上截取A A '=桥长；（3）连结B A '交2l 于点N ；（4）过点N 作MN ⊥1l 于点M.则MN 即为所求的架设桥的地点．点拨：平移现象在日常生活中随处可见，如传送带上的产品、电梯中人的升降等，在筑路、修桥、装修等活动当中经常利用平移知识来设计方案，在解决此类问题时，要把平移和实际问题结合起来，通过推理、计算或画图来解决。