三角函数的平移与伸缩变换-整理
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩之杨若古兰创作函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变更A kωϕ，，，来彼此转化．A ω，影响图象的外形，k ϕ，影响图象与x 轴交点的地位．由A 惹起的变换称振幅变换，由ω惹起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ惹起的变换称相位变换，由k 惹起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也能够将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍例1 将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到本来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最初把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到本来的2倍，得2sin y x=的图象；②将所得图象的横坐标缩小到本来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最初把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：不管哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到本来的12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．分析：应先通过引诱公式化为同名三角函数．解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数中的平移与伸缩变换
三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一，通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。
本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换，并说明它们对函数图像的影响。
一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。
在三角函数中，平移变换会改变函数的水平位置。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，平移变换可以表示为y = f(x ± b)，其中b为平移量。
1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下，可以写作y = sin(x ± b)。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。
与正弦函数类似，当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下，可以写作y = tan(x ± b)。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。
当b为正值时，图像向左平移；当b为负值时，图像向右平移。
平移量b的绝对值越大，图像平移的距离越远。
二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。
在三角函数中，伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。
具体而言，对于三角函数y = f(x)，伸缩变换可以表示为y = af(bx)，其中a为纵向伸缩因子，b为横向伸缩因子。
1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下，可以写作y = a sin(bx)。
纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅，a越大，则振幅越大；a越小，则振幅越小。
横向伸缩因子b决定了函数图像的周期，b越大，则周期越短；b越小，则周期越长。
2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。
三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩 【2 】函数sin()y A x kωϕ=++的图象与函数sin y x=的图象之间可以经由过程变化A kωϕ，，，来互相转化．Aω，影响图象的外形,k ϕ，影响图象与x 轴交点的地位．由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k引起的变换称高低平移变换,它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换办法如下：先平移后伸缩 sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象．xy sin =)3sin(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y 纵坐标不变 横坐标向左平移π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍例1 将sin y x =的图象如何变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 解：（办法一）①把sin y x=的图象沿x轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． （办法二）①把sin y x=的图象的纵坐标伸长到本来的2倍,得2sin y x=的图象;②将所得图象的横坐标缩小到本来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y 纵坐标不变 横坐标缩短为本来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移π/6 个单位横坐标不变 纵坐标伸长为本来的3倍解释：无论哪种变换都是针对字母x而言的．由sin 2y x=的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到本来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于庞杂的变换,可引进参数求解．例2 将sin 2y x =的图象如何变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 剖析：应先经由过程引诱公式化为同名三角函数． 解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭． 依据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-．所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．。
三角函数图象的平移和伸缩
3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象．y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ，，，k 来相互转 化． A ，影响图象的形状，，k 影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由引起的变 换称周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都 是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象．纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象．解：(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度，得y = sin x + π的图象；②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1，得y =sin2x +π的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin2x + π的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ，得y = 2sin2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象．得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ，把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ，得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π ．对于复杂的变换，可引进参数求解．例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象．分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意，有 2 x - 2a - π = 2 x - π ，得 a =-π ．24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象．解： 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ，。
三角函数的平移与伸缩
三角函数的平移与伸缩三角函数在数学中起着重要的作用，其中平移和伸缩是其常见的变化形式。
平移和伸缩能够改变三角函数的图像位置和形状，为解决实际问题和简化计算提供了便利。
本文将介绍三角函数的平移和伸缩，并且给出相应的示例，以便读者更好地理解和应用。
一、平移的概念和效果平移是指二维图形在平面上按照指定方向和距离进行移动的过程。
对于三角函数而言，平移会改变其图像的位置，但不会改变图像的形状。
具体来说，平移会使得三角函数的图像沿着 x 轴或 y 轴方向发生移动。
以正弦函数为例，正弦函数的一般公式为 y = A*sin(Bx+C)+D，其中A 表示振幅，B 表示周期的倒数，C 表示相位角，D 表示纵向偏移。
平移主要通过改变 C 和 D 的值来实现。
当 C > 0 时，正弦函数图像向右平移 C 个单位；当 C < 0 时，正弦函数图像向左平移 |C| 个单位。
当 D > 0 时，正弦函数图像向上平移 D个单位；当 D < 0 时，正弦函数图像向下平移 |D| 个单位。
二、伸缩的概念和效果伸缩是指图形在某个方向上改变尺寸大小的过程。
对于三角函数而言，伸缩会改变其图像的形状，但不会改变图像的位置。
具体来说，伸缩会使得三角函数的图像在 x 轴和 y 轴方向上发生相应的拉伸或压缩。
以正弦函数为例，伸缩主要通过改变 A 和 B 的值来实现。
当 A > 1 时，正弦函数图像在 y 轴方向上被拉伸；当 0 < A < 1 时，正弦函数图像在 y 轴方向上被压缩。
当 B > 1 时，正弦函数图像在 x 轴方向上被压缩；当 0 < B < 1 时，正弦函数图像在 x 轴方向上被拉伸。
三、实例展示假设我们来考虑平移和伸缩对三角函数图像的具体影响。
1. 平移的实例考虑正弦函数 y = sin(x) 和 y = sin(x-π/2)。
这两个函数的图像如下所示：(插入正弦函数 y=sin(x) 和 y=sin(x-π/2) 的图像)可以观察到，函数 y = sin(x-π/2) 的图像相较于 y = sin(x)，整体向右平移了π/2 个单位。
复习三角函数图象的平移和伸缩
三角函数图象的平移和伸缩函数s i n()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩sin y x =的图象 得sin()y x ϕ=+的图象得sin()y x ωϕ=+的图象 得sin()y A x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移 sin y x =的图象 得sin y A x =的图象 得sin()y A x ω=的图象得sin ()y A x x ωϕ=+的图象 得sin()y A x k ωϕ=++的图象．例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．xy sin =)3s in(π+=x y )32sin(π+=x y )32sin(3π+=x y)32sin(3π+=x y xy sin =xy 2sin =)32sin(π+=x y例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．练习1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度3．（07山东文）4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位 4．（06江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6、（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 （B ） 43（C ）32（D ） 37（2010福建）将函数()()ϑω+=x x f sin 的图像向左平移2个单位，若所得图像与原图重合，则ω的值不可能是（ ）（A ）423 （B ） 643 （C ） 832（D ） 12作业 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ）(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数3.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）（A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 34.将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( )(A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R)5.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ）(A)y=sin(x/2)(B)y=sin(x/2-π/2)(C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6) 6.将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=-（D ）1sin()220y x π=-7.5yAsin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点（ ）12(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8、将函数y=sin2x 的图象向左平移π/4个单位，再向上平移1个单位所得到函数解析式（ ） y=cos2x y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π/4) y=2(sinx)*(sinx)。
三角函数的伸缩变换与平移变换
三角函数的伸缩变换与平移变换1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个有趣的话题，那就是三角函数的伸缩变换和平移变换。
听起来是不是有点晦涩，但别担心，咱们慢慢来，轻松讲解。
想象一下，三角函数就像是一个调皮的小孩，它总是喜欢玩各种变形游戏，不信你看看，正弦、余弦、正切，它们都能搞出不少花样来。
咱们先来看看这些变换都是什么吧，别着急，咱们一步一步来。
2. 伸缩变换2.1 什么是伸缩变换首先，咱们得了解什么是伸缩变换。
简单来说，就是把图像放大或缩小。
这就像你在照镜子时，调节镜子的位置，让自己变得更高或更矮。
比如说，如果你有一个正弦函数 ( y = sin(x) )，如果把它的幅度加大，比如变成 ( y = 2sin(x) )，那么它的波峰就高了，波谷也低了，整个图像就像是喝了兴奋剂一样，蹭蹭往上蹿，变得活泼多了。
2.2 伸缩的感觉再说个例子，如果把它的幅度缩小，比如变成 ( y = 0.5sin(x) )，那么图像就像是被压扁了一样，波峰和波谷都不那么明显，感觉像是被子弹压得没有了气息。
不过，虽然看起来不那么张扬，但其实它的性格依然在，只是低调了很多。
所以啊，伸缩变换就像是给三角函数穿上了不同风格的衣服，让它在不同场合下都能发挥自己的魅力。
3. 平移变换3.1 平移的魔法接下来，我们再来说说平移变换。
这一招就像是把图像往左或往右移动，简直是个魔法师！比如，把正弦函数 ( y = sin(x) ) 往右移动 ( frac{pi{2 ) 的话，就变成了 ( y =sin(x frac{pi{2) )，这时候它就变成了余弦函数 ( y = cos(x) )。
是不是很神奇？就像是给小孩换了个地方玩耍，结果发现他变得更开心了。
3.2 左右平移的感受而且，平移不仅可以往右移动，也可以往左移动。
比如，往左移动 ( frac{pi{2 )，那么就是 ( y = sin(x + frac{pi{2) )，这又是一番风味。
三角函数角的变换总结
三角函数角的变换总结三角函数是数学中重要的一部分，它们能够描述直角三角形中的各种关系以及周期性现象。
三角函数角的变换是指将一个角按照一定的规律进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的角。
这些变换可以帮助我们更好地理解三角函数的性质、图像以及应用。
一、平移变换平移变换是指将角按照一定的规律在坐标平面上沿着横轴或者纵轴进行移动。
平移变换可以通过改变角的坐标来实现。
具体来说，设原始角为θ，平移后的角为θ+a。
对于三角函数来说，平移变换的规律如下：1. 正弦函数的平移变换：y = sin(θ+a) = sinθcosa + sinacosθ平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
2. 余弦函数的平移变换：y = cos(θ+a) = cosθcosa - sinasina平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
3. 正切函数的平移变换：y = tan(θ+a) = (tanθ + tana) / (1 - tanθtanα)平移量a的正负方向决定了平移的方向，平移量a的大小决定了平移的距离。
二、伸缩变换伸缩变换是指将角按照一定的规律进行拉伸或者收缩操作。
伸缩变换可以通过改变角度的系数来实现。
具体来说，设原始角为θ，伸缩后的角为kθ。
对于三角函数来说，伸缩变换的规律如下：1. 正弦函数的伸缩变换：y = sin(kθ) = sinθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。
2. 余弦函数的伸缩变换：y = cos(kθ) = cosθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像左右收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像左右拉伸。
3. 正切函数的伸缩变换：y = tan(kθ) = tanθ / k伸缩系数k大于1时，表示角度增加，图像上下收缩；伸缩系数k小于1时，表示角度减小，图像上下拉伸。
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三角函数的平移与伸缩变换-整理
练习：将2)5
42sin(2++=π
x y 做下列变换： （1）向右平移
2
π
个单位长度； （2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；
（4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y 例3、把)(x f y =作如下变换：
（1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3
π个单位长度；
（3）纵坐标变为原来的5
3
，横坐标不变；
（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),4
23sin(43π
+=x y 求).(x f y =
练习1：将)4
8sin(4π
π+=x y 作何变换可以得到.sin x y =
练习2：对于)53
6sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =
例4、把函数)2
||,0)(sin(π
ϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移
3
π
个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6
,1π
ϑω== B. 6
,1π
ϑω-
==
C. 3
,2π
ϑω=
= D. 3
,2π
ϑω-
==
练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间
)6
5,6(π
π-
上的图象，只要将
（1）x y sin =的图象经过怎样的变换？
（2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 【课堂练习】
1、为了得到函数)6
3sin(π
+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象
1-1
5π6
-π6y x o
（ ） A 、向左平移
6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18
π 2、为得到函数πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A 、向左平移5π
12个长度单位 B 、向右平移
5π
12个长度单位 C 、向左平移5π
6
个长度单位
D 、向右平移5π
6
个长度单位
3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝
⎭的图象（ ）
A 、向右平移π6个单位
B 、向右平移π3个单位
C 、向左平移π
3
个单位 D 、向
左平移
π
6
个单位 4、为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）
A 、向右平移6π个单位长度
B 、向右平移3π
个单位长度
C 、向左平移6π个单位长度
D 、向左平移3
π
个单位长度
5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π
个单位长度，再把
所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表
示的函数是（ ）
A 、sin(2)3y x π=-，x R ∈
B 、sin()26x y π
=+，x R ∈
C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈
D 、sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π
=+的图像（ ）
A 、向左平移4π个长度单位
B 、向右平移4π
个长度单位
C 、向左平移2π个长度单位
D 、向右平移2π
个长度单位
7、已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()c o s g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象 （ ）
A 、向左平移
8π个单位长度 B 、 向右平移8π
个单位长度 C 、 向左平移4π个单位长度 D 、 向右平移4π
个单位长度
8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π
-的图象，则ϕ等于（ ）
A ．6π
B ．56π C. 76π D.116π
专练：
1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.12cos +=x y
C.)4
2sin(1π
++=x y
D.22sin y x =
2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4f x x x R π
ϖϖ=+∈>的最小正周期为π，
为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π
个单位长度3．（09山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛
⎫=- ⎪3⎝
⎭的图象（ ）
A 、向右平移
π
6个单位 B 、向右平移
π
3个单位 C 、向左平移π
3个单位
D 、向左平移π
6
个单位
4．（10江苏卷）为了得到函数R x x
y ∈+=),6
3
sin(2π
的图像，只需把函数
R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点
A 、向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变） B 、向右平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵
坐标不变） C 、向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D 、向右平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图像，只需把函数
sin(2)6y x π
=+的图像
A 、向左平移4π个长度单位
B 、向右平移4π
个长度单位
C 、向左平移2π个长度单位
D 、向右平移2
π
个长度单位
6、（2010辽宁）设0ω>,函数sin()23
y x π
ω=++的图像向右平移43π个单位后与
原图像重合，则ω的最小值是
A 、23
B 、 43
C 、 3
2
D 、3。