2021年三角函数的平移与伸缩变换_整理之欧阳学文创编

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三角函数的平移与伸缩变换_整理

三角函数的平移与伸缩变换_整理

函数)sin(A ϕω+=x y 的图像(1)物理意义:sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0),x ∈[0,+ ∞)表示一个振动量时,A 称为振幅,T =ωπ2,1f T=称为频率,x ωϕ+称为相位,ϕ称为初相。

(2)函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系:① 函数sin y x =的图像纵坐标不变,横坐标向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像;② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图像;③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像;④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。

要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。

ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地,函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ〉0时)或向______(当ϕ〈0时)平移ϕ个单位长度得到的 注意:左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ,的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍(纵坐标不变)。

A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =,)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩:先伸缩后平移:【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.练习:将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换: (1)向右平移2π个单位长度; (2)纵坐标不变,横坐标变为原来的31;(3)横坐标不变,纵坐标变为原来的43;(4)向上平移1。

三角函数中的平移与伸缩变换

三角函数中的平移与伸缩变换

三角函数中的平移与伸缩变换三角函数是数学中的重要概念之一,通过平移和伸缩变换可以对三角函数图像进行调整和变化。

本文将探讨三角函数中的平移与伸缩变换,并说明它们对函数图像的影响。

一、平移变换平移变换是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的过程。

在三角函数中,平移变换会改变函数的水平位置。

具体而言,对于三角函数y = f(x),平移变换可以表示为y = f(x ± b),其中b为平移量。

1. 正弦函数的平移变换正弦函数y = sin(x)在平移变换下,可以写作y = sin(x ± b)。

当b为正值时,图像向左平移;当b为负值时,图像向右平移。

平移量b的绝对值越大,图像平移的距离越远。

2. 余弦函数的平移变换余弦函数y = cos(x)的平移变换形式为y = cos(x ± b)。

与正弦函数类似,当b为正值时,图像向左平移;当b为负值时,图像向右平移。

平移量b的绝对值越大,图像平移的距离越远。

3. 正切函数的平移变换正切函数y = tan(x)在平移变换下,可以写作y = tan(x ± b)。

与正弦函数和余弦函数不同,正切函数的平移变换会导致图像的水平拉伸与压缩。

当b为正值时,图像向左平移;当b为负值时,图像向右平移。

平移量b的绝对值越大,图像平移的距离越远。

二、伸缩变换伸缩变换是指将函数图像在x轴或y轴上进行拉伸或压缩的过程。

在三角函数中,伸缩变换会改变函数图像的形状和振幅。

具体而言,对于三角函数y = f(x),伸缩变换可以表示为y = af(bx),其中a为纵向伸缩因子,b为横向伸缩因子。

1. 正弦函数的伸缩变换正弦函数y = sin(x)在伸缩变换下,可以写作y = a sin(bx)。

纵向伸缩因子a决定了函数图像的振幅,a越大,则振幅越大;a越小,则振幅越小。

横向伸缩因子b决定了函数图像的周期,b越大,则周期越短;b越小,则周期越长。

2. 余弦函数的伸缩变换余弦函数y = cos(x)的伸缩变换形式为y = a cos(bx)。

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩

3得 y =A sin(x +)的图象⎯向⎯上平(⎯移kk⎯个)或单向⎯位下长⎯(k度⎯)→ 得 y = A sin(x +)+k 的图象.y = sin x纵坐标不变横坐标向左平移 π/3 个单位 纵坐标不变 横坐标缩短 为原来的1/2y = sin(x + )y = sin(2 x + )横坐标不变纵坐标伸长为原 来的3倍先伸缩后平移纵坐标伸长(A 1)或缩短(0A 1)y =sin x 的图象 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→y = 3sin(2x +三角函数图象的平移和伸缩函数y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A ,,,k 来相互转 化. A ,影响图象的形状,,k 影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由引起的变 换称周期变换,它们都是伸缩变换;由引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都 是平移变换.既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 向左(>0)或向右(0)y = sin x 的图象⎯⎯平⎯移⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = sin(x +)的图象横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)到原来的1(纵坐标不变)得 y = sin(x +)的图象 纵坐标伸长(A 1)或缩短(0<A <1) 为原来的A 倍(横坐标不变)横坐标伸长(01)或缩短(1)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 到原来的1(纵坐标不变)向左(0)或向右(0)得 y = A sin(x ) 的图象 ⎯⎯⎯平移⎯个⎯单位⎯⎯→得 y = A sin x (x +)的图象⎯⎯平⎯移k ⎯个单⎯位长⎯度⎯→得 y = A sin(x +)+k 的图象.纵坐标不变 y = sin x横坐标缩短 为原来的1/2 纵坐标不变 横坐标向左平移 π/6 个单位横坐标不变y = 3sin(2x + )纵坐标伸长为原 3来的3倍例1 将y = sin x 的图象怎样变换得到函数y = 2sin2x + π+1的图象.解:(方法一)①把y = sin x 的图象沿x 轴向左平移π个单位长度,得y = sin x + π的图象;②将所得 图象的横坐标缩小到原来的1,得y =sin2x +π的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 y = 2sin2x + π的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象.方法二)①把y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得y = 2sin x 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的1 ,得y = 2sin2x 的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π个单位长度得y = 2sin2x + π的2 8 8 图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到y = 2sin2x + π+1的图象.得 y = A sin x 的图象y = sin2 xy = sin(2x + )说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由y =sin2x 的图象向左平移8π个单位长度得到的函数图象 的解析式是y = sin 2 x + π 而不是y = sin 2x + π ,把y = sin x + π 的图象的横坐标缩小到原来的1 ,得到 的函数图象的解析式是y = sin 2x + π 而不是y = sin 2 x + π .对于复杂的变换,可引进参数求解.例2 将y =sin2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos 2x - π的图象.分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数.=cos 2x -2a - π = cos 2 -2 - 2根据题意,有 2 x - 2a - π = 2 x - π ,得 a =-π .24 8 所以将y = sin 2x 的图象向左平移π 个单位长度可得到函数y = cos 2x - π 的图象.解: 有y = cos2( x - a ) - π y = sin2 x = cos在y =中以 x - a 代 x ,。

三角函数的基本变换平移伸缩和反射

三角函数的基本变换平移伸缩和反射

三角函数的基本变换平移伸缩和反射三角函数的基本变换:平移、伸缩和反射三角函数是数学中非常重要且广泛应用的概念之一。

它们在几何、物理、工程学等领域中起着关键作用。

在学习三角函数时,我们经常会遇到一些基本的函数变换,比如平移、伸缩和反射。

本文将介绍三角函数的这些基本变换,帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、平移变换平移是指图形在平面内沿着某个方向移动一段距离。

在三角函数中,平移变换是指将函数图像沿着横轴或纵轴方向移动,改变函数的位置。

对于正弦函数sin(x)来说,平移变换可以表示为sin(x-a),其中a为平移的距离和方向。

当a为正数时,函数图像向右平移 |a| 个单位;当a为负数时,函数图像向左平移 |a| 个单位。

对于余弦函数cos(x)来说,平移变换可以表示为cos(x-a),同样地,当a为正数时,函数图像向右平移 |a| 个单位;当a为负数时,函数图像向左平移 |a| 个单位。

二、伸缩变换伸缩是指图形的尺寸在某个方向上改变。

在三角函数中,伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩,改变函数的振幅和周期。

对于正弦函数sin(x)来说,伸缩变换可以表示为a*sin(x),其中a为正实数。

当a大于1时,函数图像在纵轴方向上被拉伸;当0 < a < 1时,函数图像在纵轴方向上被压缩。

对于余弦函数cos(x)来说,伸缩变换可以表示为a*cos(x),同样地,当a大于1时,函数图像在纵轴方向上被拉伸;当0 < a < 1时,函数图像在纵轴方向上被压缩。

伸缩变换还可以改变函数的周期。

对于正弦函数和余弦函数来说,原本的周期是2π。

通过伸缩变换,可以改变函数的周期为2π/a,其中a为正实数。

三、反射变换反射变换是指图形关于某个轴线对称。

在三角函数中,反射变换是指将函数图像关于横轴或纵轴进行翻转,改变函数的正负号。

对于正弦函数sin(x)来说,反射变换可以表示为-sin(x)。

三角函数的平移与伸缩变换-整理

三角函数的平移与伸缩变换-整理

)(A > 0,3> 0) ,x € [0,+ s)表示一个振动量时,A1图像的纵坐标不变,横坐标变为原来的-,得到函数)图像的横坐标不变, 纵坐标向上(k 0)或向下(k 0),要特别注意,若由y sin x 得到y sin x 的图像,则向左或向右平移应平 移|—|个单位。

对y sin (x )图像的影响一般地,函数y sin (x )的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向 ____ 当>0时)或向 ______ 当 <0时)平移| |个单位长度得到的 注意:左右平移时可以简述成“ _____________ ”_ 对y sin x 图像的影响函数y sin x x R ( 0且 1),的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的1横坐标 ______ 1)或 _____ 0 1)到原来的一倍(纵坐标不变)。

A 对y A sin x 的影响函数y A sinx , x R(A 0且 A 1)的图像可以看成是把正弦函数上所有的点 的纵坐标 ______ (A 1)或 ________ _0 A 1)到原来的A 倍得到的函数 y A sin( x)的图像2 称为振幅,T = 一-称为频率,x 称为相位,称为初相。

T(2)函数 y Asin( x)k 的图像与ysin x 图像间的关系:① 函数y sin x 的图像纵坐标不变, 横坐标向左(>0 )或向右(<0 )平移||个(1)物理意义:y Asin ( x② 函数y sin xy sin x的图像;③ 函数ysin xy As in( x)的图像;④ 函数y Asin( x得到 y Asi n x图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数k 的图像。

单位得y sin x 的图像;由y si nx到y A si n( x )的图像变换先平移后伸缩:先伸缩后平移:【典型例题】例1 将y sin x的图象怎样变换得到函数y 2sin 2x n1的图象.4练习:将y cosx的图象怎样变换得到函数y cos 2x」的图象.44例2、把y 3cos(2x )作如下变换:(1)向右平移一个单位长度;21(2)纵坐标不变,横坐标变为原来的-;33(3)横坐标不变,纵坐标变为原来的;4(4)________________________________________________ 向上平移1.5个单位长度,则所得函数解析式为_____________________________ .4练习:将y 2sin(2x ) 2做下列变换:(1)向右平移—个单位长度;2(2)横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变;(3)纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变;(4)沿y轴正方向平移1个单位,最后得到的函数y f(x) ________________ . 例3、把y f (x)作如下变换:(1)横坐标伸长为原来的1.5倍,纵坐标不变;(2)向左平移—个单位长度;33(3)纵坐标变为原来的-,横坐标不变;53 3(4)沿y轴负方向平移2个单位,最后得到函数y —sin(—x -),求y f (x).练习1 :将y4sin( x8 才)作何变换可以得到y sinx. 练习2:对于y 3sin(63|x)作何变换可以得到y si nx.例4、把函数y sin( x )(0,112)的图象向左平移 A. 1,B.61, -6C.2,—D.2, —33练习:7、 右图是函数 y Asin( x )(x R)在区间5(-,—)上的图象,只要将 6 6(1) y si nx 的图象经过怎样的变换?(2) y cos2x 的图象经过怎样的变换?【课堂练习】1、为了得到函数y sin(3x —)的图象,只需把函数y sin 3x 的图象曲线的一部分图象如图所示,则() 3个单位长度,所得3、要得到函数y sinx 的图象,只需将函数y cos x —的图象( )A 、向右平移-个单位B 、向右平移-个单位C 、向左平移-个单位D 、向 左平移-个单位4、为了得到函数y sin(2x )的图象,可以将函数y cos2x 的图象( )6A 、向右平移-个单位长度B 、向右平移-个单位长度63C 、向左平移-个单位长度D 、向左平移-个单位长度636、为了得到函数y sin(2x —)的图像,只需把函数y sin(2x —)的图像()g(x) cos x 的图象,只要将y f (x)的图象 ( )A 、向左平移6B 向左平移18C 向右平移云D 、向右平移182、为得到函数yncos 2x3的图像'只需将函数ysin 2x 的图像(A 、向左平移55个长度单位12C 、向左平移 乞个长度单位6B 、向右平移55个长度单位12D 、向右平移55个长度单位65、把函数y sin x ( x所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是()A 、y sin(2 x) , x R 3C 、 y sin(2x ) , x R 3 R )的图象上所有点向左平行移动个单位长度,再把312倍(纵坐标不变),得到的图象所表xB 、y sin( ) , x R2 6 2D 、 y sin(2x ) , x R3A 、向左平移-个长度单位4 C 、向左平移-个长度单位27、已知函数 f (x) sin( x )(x R,4B 、向右平移-个长度单位4 D 、向右平移-个长度单位20)的最小正周期为,为了得到函数A 、 向左平移-个单位长度8B 、 向右平移一个单位长度8C 、 向左平移一个单位长度4D 、 向右平移一个单位长度48.将函数 y=s inx 的图象向左平移 (0V 2)的单位后,得到函数y=sin (x -)的图象,则等于()A.—B. 5C. 7D.116 6 6 6专练:1. (2009山东卷理)将函数y sin2x 的图象向左平移;个单位,再向上平移1个 单位,所得图象的函数解析式是( ).A. y cos2xB. y cos2x 1C. y 1 sin (2x )4D. y 2sin 2 x2. (2009天津卷理)已知函数f (x ) sin ( x -)(x R, 0)的最小正周期为4 为了得到函数g (x ) cos x 的图象,只要将y f (x )的图象A 、向右平移—个单位B 、向右平移—个单位C 、向左平移—个单位D 、向左平移—个单位4( ( 10江苏卷)为了得到函数y 2sin (Z ),x R 的图像,只需把函数3 6y 2 si nx,x R 的图像上所有的点A 、向左平移-个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍(纵坐63标不变)A 向左平移一个单位长度8 C 向左平移一个单位长度4B 向右平移一个单位长度8 D 向右平移一个单位长度43.(09山东)要得到函数y sin x 的图象,只需将函数y cos x 的图象()B、向右平移—个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的-倍(纵坐6 3标不变)C、向左平移-个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D、向右平移-个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵6坐标不变)5、(2010全国卷2理数)(7)为了得到函数y sin(2x -)的图像,只需把函3数y sin(2x -)的图像A、向左平移一个长度单位4C、向左平移一个长度单位26、( 2010辽宁)设0,函数y sin(原图像重合,则的最小值是A、-3 B、-3B、向右平移一个长度单位4D、向右平移-个长度单位2x -) 2的图像向右平移—个单位后与3 3C、-D、 32。

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩函数 y Asi n ( x) k的图象与函数 y sin x 的图象之间可以通过变化 A,,,k来相互转化. A,影响图象的形状,,k影响图象与x 轴交点的位置.由 A 引起的变换称振幅变换,由引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换.既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移.变换方法如下:先平移后伸缩y sin x 的图象向左 ( >0) 或向右 (0)平移个单位长度得 y sin( x) 的图象横坐标伸长 (0<<1) 或缩短 ( >1)到原来的1(纵坐标不变 )得 y sin(x) 的图象纵坐标伸长 ( A 1) 或缩短 (0< A <1)为原来的 A倍 (横坐标不变 )得 y Asin(x) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 y Asin( x) k 的图象.y sin x纵坐标不变横坐标向左平移π/3个单位纵坐标不变横坐标缩短为原来的 1/2横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍先伸缩后平移y sin x 的图象纵坐标伸长 ( A 1)或缩短 (0 A 1)为原来的 A倍( 横坐标不变 )y sin(x)3y sin(2x)3y 3sin(2x)3得 yAsin x 的图象 横坐标伸长 (0 1) 或缩短 ( 1)到原来的 1(纵坐标不变 )得 yAsin( x) 的图象向左 ( 0)或向右 ( 0)平移个单位得 yAsin x( x ) 的图象向上 ( k 0) 或向下 ( k 0)平移 k 个单位长度得 yA sin( x ) k 的图象.纵坐标不变y sin x横坐标缩短为原来的 1/2纵坐标不变横坐标向左平移π /6个单位横坐标不变纵坐标伸长为原来的 3倍y sin 2xy sin(2x)3y 3sin(2x ) 3例 1 将 y sin x 的图象怎样变换得到函数y 2sin2 xπ1 的图象.4解:(方法一)①把y sin x 的图象沿 x 轴向左平移π个单位长度,得y sin xπ的图象;②将所得44图象的横坐标缩小到原来的1,得 y sin 2xπ的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2 倍,得24y 2sin 2xπ的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移 1 个单位长度得到y2sin 2xπ 1 的图象.44(方法二)①把 ysin x 的图象的纵坐标伸长到原来的2 倍,得 y 2sin x 的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的1,得 y 2sin2 x 的图象; ③将所得图象沿 x 轴向左平移 π个单位长度得 y 2sin 2 x π 的 2 88 图象;④最后把图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y π 1 的图象.2sin 2 x4说明: 无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由 ysin 2x 的图象向左平移π个单位长度得到的函数图象8的解析式是 y sin 2xπ而不是 ysin 2 xπ ,把 ysin xπ的图象的横坐标缩小到原来的1,得到884 2的函数图象的解析式是y sin 2xπ而不是y sin 2 x π .44 对于复杂的变换,可引进参数求解.例 2将 y sin 2 x 的图象怎样变换得到函数y cos 2 xπ的图象.4分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数.解: y sin 2 x cos π2x cos 2x π ,22在 y cos 2xπ中以 x a 代 x ,有 y cos 2( x a)πcos 2x2a π .222 根据题意,有 2 x 2a π 2x π,得 a π.2 4 8所以将 y sin 2 x 的图象向左平移π个单位长度可得到函数y cos 2xπ 的图象.84。

高一三角函数图象的平移和伸缩

高一三角函数图象的平移和伸缩

三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ,,,来相互转化.A ω,影响图象的形状,k ϕ,影响图象与x 轴交点的位置.由A 引起的变换称振幅变换,由ω引起的变换称周期变换,它们都是伸缩变换;由ϕ引起的变换称相位变换,由k 引起的变换称上下平移变换,它们都是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移.变换方法如下:先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ϕ=++的图象.先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象. 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象. 解:(方法一)①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度,得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.(方法二)①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍,得2sin y x =的图象;②将所得图象的横坐标缩小到原来的12,得2sin 2y x =的图象;③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象;④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象. 说明:无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原来的12,得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于复杂的变换,可引进参数求解.例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 分析:应先通过诱导公式化为同名三角函数. 解:ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ,有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. 根据题意,有ππ22224x a x --=-,得π8a =-. 所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 练习1、将函数y=3sin (2x+θ)的图象F 1按向量平移得到图象F 2,若图象F 2关于直线对称,则θ的一个可能取值是( )A 、B 、C 、D 、 2、将函数的图象按向量平移,得到y=f (x )的图象,则f (x )=( )A 、B 、C 、D 、sin (2x )+3 3、要得到函数y=cos()24x π-的图象,只需将y=sin 2x 的图象( ) A .向左平移2π个单位 B.同右平移2π个单位 C .向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 4、若函数y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位,沿y 轴向下平移1个单位,得到函数1y= sinx 2的图象则y=f(x)是( ) A . 1y=sin(2)122x π++ B. 1y=sin(2)122x π-+ C. 1y=sin(2)124x π++ D. 1sin(2)124y x π=-+ 5.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ) A .向左平移5π12个长度单位B .向右平移5π12个长度单位 C .向左平移5π6个长度单位 D .向右平移5π6个长度单位6.要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象( D )A .向右平移π6个单位 B .向右平移π3个单位C .向左平移π3个单位 D .向左平移π6个单位7.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( B )(A)向右平移6π个单位长度 (B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3π个单位长度8.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象,只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度9.把曲线yc os x +2y -1=0先沿x 轴向右平移2π个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是(C ) A .(1-y )sin x +2y -3=0 B .(y -1)sin x +2y -3=0 C .(y +1)sin x +2y +1=0D .-(y +1)sin x +2y +1=0。

三角函数的平移与伸缩变换_整理之欧阳美创编

三角函数的平移与伸缩变换_整理之欧阳美创编

函数)sin(A ϕω+=x y 的图像(1)物理意义:sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0),x∈[0,+ ∞)表示一个振动量时,A 称为振幅,T = ωπ2,1fT=称为频率,x ωϕ+称为相位,ϕ称为初相。

(2)函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系:① 函数sin y x =的图像纵坐标不变,横坐标向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像;② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图像;③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像;④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。

要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。

ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地,函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ>0时)或向______(当ϕ<0时)平移ϕ个单位长度得到的注意:左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ,的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍(纵坐标不变)。

A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =,)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩: 先伸缩后平移: 【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.练习:将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换: (1)向右平移2π个单位长度;(2)纵坐标不变,横坐标变为原来的31;(3)横坐标不变,纵坐标变为原来的43;(4)向上平移1.5个单位长度,则所得函数解析式为________. 练习:将2)542sin(2++=πx y 做下列变换: (1)向右平移2π个单位长度;(2)横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变;(3)纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变; (4)沿y 轴正方向平移1个单位,最后得到的函数._________)(==x f y例3、把)(x f y =作如下变换:(1)横坐标伸长为原来的1.5倍,纵坐标不变; (2)向左平移3π个单位长度;(3)纵坐标变为原来的53,横坐标不变;(4)沿y 轴负方向平移2个单位,最后得到函数),423sin(43π+=x y 求).(x f y =练习1:将)48sin(4ππ+=x y 作何变换可以得到.sin x y =练习2:对于)536sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =例4、把函数)2||,0)(sin(πϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移3π个单位长度,所得曲线的一部分图象如图所示,则( ) A.6,1πϑω== B.6,1πϑω-==C.3,2πϑω== D.3,2πϑω-==练习:7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间)65,6(ππ-上的图象,只要将(1)x y sin =的图象经过怎样的变换? (2)x y 2cos =的图象经过怎样的变换? 【课堂练习】1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象( )xA 、向左平移6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18π2、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( )A 、向左平移5π12个长度单位B 、向右平移5π12个长度单位 C 、向左平移5π6个长度单位 D 、向右平移5π6个长度单位3、要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( )A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4、为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象()A 、向右平移6π个单位长度B 、向右平移3π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度 D 、向左平移3π个单位长度5、把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )A 、sin(2)3y x π=-,x R ∈ B 、sin()26x y π=+,x R ∈ C 、sin(2)3y x π=+,x R ∈ D 、sin(2)32y x π=+,x R ∈6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位7、已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象,只要将()y f x =的图象( )A 、向左平移8π个单位长度B 、 向右平移8π个单位长度C 、 向左平移4π个单位长度 D 、 向右平移4π个单位长度8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ<2π)的单位后,得到函数y=sin ()6x π-的图象,则ϕ等于( )A .6π B .56π C.76π D.116π专练:1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.12cos +=x y C.)42sin(1π++=x yD.22sin y x =2.(2009天津卷理)已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象,只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度D 向右平移4π个单位长度3.(09山东)要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( )A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4.(10江苏卷)为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点A 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)5、(2010全国卷2理数)(7)为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位6、(2010辽宁)设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是A 、23B 、43C 、 32D 、3。

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函数)sin(A ϕω+=x y 的图像欧阳光明(2021.03.07)(1)物理意义:sin()y A x ωϕ=+(A >0,ω>0),x ∈[0,+ ∞)表示一个振动量时,A 称为振幅,T =ωπ2,1f T=称为频率,x ωϕ+称为相位,ϕ称为初相。

(2)函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系:① 函数sin y x =的图像纵坐标不变,横坐标向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像;② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图像;③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像;④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变,纵坐标向上(0k >)或向下(0k <),得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。

要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位。

ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响一般地,函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ>0时)或向______(当ϕ<0时)平移ϕ个单位长度得到的注意:左右平移时可以简述成“______________”ω对x y ωsin =图像的影响函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ,的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω1倍(纵坐标不变)。

A 对x y sin A =的影响函数x y sin A =,)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩: 先伸缩后平移: 【典型例题】例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.练习:将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.例2、把)342cos(3π+=x y 作如下变换: (1)向右平移2π个单位长度;(2)纵坐标不变,横坐标变为原来的31;(3)横坐标不变,纵坐标变为原来的43;(4)向上平移1.5个单位长度,则所得函数解析式为________. 练习:将2)542sin(2++=πx y 做下列变换: (1)向右平移2π个单位长度;(2)横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变; (3)纵坐标伸长为原来的4倍,横坐标不变;(4)沿y 轴正方向平移1个单位,最后得到的函数._________)(==x f y例3、把)(x f y =作如下变换:(1)横坐标伸长为原来的1.5倍,纵坐标不变; (2)向左平移3π个单位长度;(3)纵坐标变为原来的53,横坐标不变;(4)沿y 轴负方向平移2个单位,最后得到函数),423sin(43π+=x y 求).(x f y =练习1:将)48sin(4ππ+=x y 作何变换可以得到.sin x y =练习2:对于)536sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =例4、把函数)2||,0)(sin(πϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移3π个单位长度,所得曲线的一部分图象如图所示,则( )A.6,1πϑω== B.6,1πϑω-==C.3,2πϑω== D.3,2πϑω-==练习:7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间)65,6(ππ-上的图象,只要将(1)x y sin =的图象经过怎样的变换? (2)x y 2cos =的图象经过怎样的变换? 【课堂练习】1、为了得到函数)63sin(π+=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象( )A 、向左平移6πB 、向左平移18πC 、向右平移6πD 、向右平移18π 2、为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像x( )A 、向左平移5π12个长度单位B 、向右平移5π12个长度单位 C 、向左平移5π6个长度单位 D 、向右平移5π6个长度单位3、要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象( ) A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4、为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象()A 、向右平移6π个单位长度B 、向右平移3π个单位长度C 、向左平移6π个单位长度D 、向左平移3π个单位长度5、把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )A 、sin(2)3y x π=-,x R ∈ B 、sin()26x y π=+,x R ∈C 、sin(2)3y x π=+,x R ∈ D 、sin(2)32y x π=+,x R ∈ 6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( )A 、向左平移4π个长度单位B 、向右平移4π个长度单位C 、向左平移2π个长度单位D 、向右平移2π个长度单位7、已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象,只要将()y f x =的图象( )A 、向左平移8π个单位长度B 、 向右平移8π个单位长度C 、 向左平移4π个单位长度D 、 向右平移4π个单位长度8.将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ<2π)的单位后,得到函数y=sin ()6x π-的图象,则ϕ等于( )A .6πB .56π C.76π D.116π专练:1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.12cos +=x yC.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =2.(2009天津卷理)已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象,只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度C 向左平移4π个单位长度D 向右平移4π个单位长度3.(09山东)要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象( )A 、向右平移π6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3个单位D 、向左平移π6个单位4.(10江苏卷)为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点A 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)B 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍(纵坐标不变)C 、向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D 、向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)5、(2010全国卷2理数)(7)为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像A 、向左平移4π个长度单位 B 、向右平移4π个长度单位 C 、向左平移2π个长度单位 D 、向右平移2π个长度单位6、(2010辽宁)设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合,则ω的最小值是A 、23B 、43C 、 32D 、3。

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