(3)利用导函数求切线方程
导数求切线方程专题训练
高二数学A层学案导数求切线方程专题训练
一、典型例题
（一）已知曲线方程和切点坐标，求切线方程例1、求y = 4x3在点P 16,8处的切线方程.
［反思总结】__________________________________________________________________
（二）已知曲线方程和切点斜率，求切线方程例2、已知y = f x，求与直线y - -2x -4垂直的切线方程.
［反思总结】__________________________________________________________________ （三）已知曲线方程和曲线外一点，求切线方程例3、过原点做曲线y =e x的切线，求切线斜率和切线方程.
［反思总结】__________________________________________________________________ （四）已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程
例4、求曲线y =3x -X3过点A2,-2的切线方程.
［反思总结】__________________________________________________________________
二、当堂检测
1.求过曲线y = -X3- x上过点1,0的切线方程.
2.求经过原点且与曲线"汽相切的曲线方程.
3.求过曲线y E x3• )2上一点0,0的切线方程.
4.若直线ex y -e -^0与曲线y =1 -ae x相切，求a的值.
2
x
5.已知函数f x；=—-1a>0在x=1处的切线为丨，求丨与两坐标轴围成的S的最小值.
a。
用导数求切线方程的四种类型知识讲解
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
已知切点 如何用导数求函数的切线方程
已知切点如何用导数求函数的切线方程
1、函数的切线方程的概念
切线是指某个函数f(x)在x0处的切点处，通过这个点的切线方程。
它是与该点的切线，即一般式为 ax+by+c=0的直线方程，它的斜率可通过x0的的某一处的切点来确定。
切线的斜率，即该直线的斜率，可用导数的定义来确定。
2、使用导数求函数切线方程的方法
(1)在给定的函数f(x)中，确定f(x)在x0处有切点；
(2)计算f'(xo),即在x0处函数的导数，则获得切线斜率k=f'(x0)；
(3)由已知点(x0,f(x0))，通过斜率k求出函数的切线方程：y-
f(x0)=f'(x0)(x-x0)，或y=f'(x0)x-f'(x0)x0+f(x0)。
3、函数的切线方程求解步骤
(1)确定切点处的函数坐标x0和f(x0);
(2)计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；
(3)用求得的斜率求出函数的切线方程，即y-f(x0)=f'(x0)*(x-x0)；
(4)可以将此切线方程展开求出其系数，即y=kx+c，其中k=f'(x0)，c=-f'(x0)x0+f(x0)。
4、导数确定切线斜率的原理
如果某一函数f(x)在某点x0处的切点，那么从这个点向外延伸的切
线的斜率即为f'(x0)，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
因为函数的导数代表了函数f(x)在某点处的斜率。
当给定某一点的函数坐标时，可以利用函数的导数求出该点外延伸的切线的斜率。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。
，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。
利用导数求切线方程
3
题型二：求曲线过一点的切线方程 例：已知曲线C：f (x) x3 x 2 ，求经
过点 P(1, 2) 的曲线C的切线方程。
思考（1）判断P点 所处的位置？ （2）从图像探究， 过该点有几条切线， 如何印证你的探究
答案：2x-y=0或x+4y-9=0
点P是曲线 y x2 ln x上任意一点，则点P 到直线 y x 2 的最小距离是多少?
T 切线
P
o
x
3.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sinx f(x)=cosx
导函数 f′(x)=__0
f′(x)=___α_x_α_-1
f′(x)=_c_o__s_x f′(x)=__-s_i_n_x_
原函数
导函数
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex
答案：
求曲线上的点到直线的最小距离。
• 练习：
1.求y xex 2x 1在(0，0)处的切线
3x y 1 0
2.曲线y x2 ax b在(0，b)处的切线方程是
x y 1 0，求a,b
a 1,b 1
已知切线方程为y ex,曲线为f (x) ex ,
求切点坐意义
函数 y f (x) 在x x0 处的导数就是函数
y f (x) 的图像在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的 斜率，即
k f (x0 )
一.曲线的切线
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ
绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
解：f ' (x) 6x2 3 k f '(1) 3 y 1 3(x 1)3x y 4 0
(完整版)导数求切线方程-(有答案)-12
用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．。
导函数切线方程的求法
导函数切线方程的求法导函数切线方程的求法是解析几何中一个重要的内容，它可以帮助我们研究曲线的性质。
在物理学、经济学、工程学等领域的问题中，导函数切线方程的求解经常被用到。
首先，我们先来了解一下导函数的概念。
导函数是一个函数的变化率，表示该函数的每个点上的瞬时变化率。
如果函数f(x)在某个点x上可导，那么它在该点的导函数就是切线的斜率。
要求导函数的切线方程，我们需要知道两个要素：曲线上的某个点和该点处的导数值。
设曲线上的某一点为(x0, y0)，该点处的导数值为k。
那么这条曲线在点(x0, y0)处的切线方程为y - y0 = k(x - x0)。
具体求解的步骤如下：步骤一：求导。
即计算原函数关于自变量的导数，得到函数f'(x)。
这个过程需要运用导数的基本运算法则，如常数规则、求和规则、乘积规则、商数规则等。
步骤二：确定切线点。
给定曲线上的某一点(x0, y0)。
步骤三：求导函数的导数值。
将切线点中的x值代入导函数f'(x)中，得到导数值k。
步骤四：写出切线方程。
将切线点(x0, y0)和导数值k代入切线方程y - y0 = k(x - x0)中，得到导函数的切线方程。
需要注意的是，导函数的切线方程只在给定点上成立，并不代表整个曲线的性质。
曲线可能在不同的点上有不同的切线。
以一个具体的例子来说明求解导函数切线方程的过程：问题：求函数f(x) = x^2 + 2x - 1在点(2, 5)的切线方程。
解答：步骤一：求导。
f'(x) = 2x + 2。
步骤二：确定切线点。
给定点为(2, 5)。
步骤三：求导函数的导数值。
将x = 2代入f'(x)中：f'(2) = 2(2) + 2 = 6。
步骤四：写出切线方程。
将切线点(2, 5)和导数值6代入切线方程y - y0 = k(x - x0)中：y - 5 = 6(x - 2)。
切线方程化简可得：y = 6x - 7。
高数求曲线在某点的切线方程
高数求曲线在某点的切线方程
高数中，如果要求曲线在某点的切线方程，可以使用以下步骤：
1. 求曲线的导函数。
导函数描述了曲线在每个点的切线的斜率。
如果曲线已经给出了方程，直接对方程求导即可得到导函数。
如果曲线只给出了数据，可以使用差商来估计导函数。
2. 求出该点在曲线上的坐标。
将该点的坐标代入曲线的方程中，求出曲线在该点的坐标。
3. 利用导函数和该点的坐标来确定切线的斜率。
将该点的坐标代入导函数中，求出曲线在该点的切线的斜率。
4. 使用点斜式或一般式来写出切线方程。
取切线经过该点的坐标和切线的斜率，将其代入点斜式或一般式中，得到切线方程。
需要注意的是，有些曲线在某些点可能不存在切线，或者存在多条切线。
此外，有些曲线的导函数比较复杂，求导过程需要使用高等数学的知识。
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一、授课提纲 1、求导公式复习 2、导数运算法则复习 3、复合函数求导法则复习 4、求切线方程的方法总结 二、授课内容
知识点一：常见基本函数的导数公式 （1）（C 为常数），
（2）（n 为有理数），
（3），
（4），
（5）
， （6）
，
（7）， （8），
知识点二：函数四则运算求导法则 设
，
均可导 （1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：
（）
知识点三：复合函数的求导法则 1.一般地，复合函数对自变量的导数
，等于已知函数对中间变量的导数
，乘以中间变量对自变量的导数
，
即
或
题型一：函数求导练习
1、函数y=e x sinx 的导数等于 ．
2、函数y=（x 2+1）e x 的导数为 ．
3、求函数x e y x
ln 的导数．
4、求y=e 2x cos3x 的导数．
5、求函数)13ln(+=-x e y x
题型二：用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线
方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =-
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）
Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点(20)，且与曲线1
y x =相切的直线方程．
例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
练习：1、曲线3
2y x x =-在点（1，1）处的切线方程为 ．
2、曲线3
2y x x =-在点（1，1）处的切线方程为 ．
3、若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标是_______.
4、（2017广州调研科）设函数()()ln f x mx n x =+. 若曲线()y f x =在点e,(e))P f （处的切线方程为
2e y x =-（e 为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数()f x 的m 、n ；
5、（2017广州一模）已知函数+3()e
x m
f x x =-,()()ln 12
g x x =++．
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()
00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值；
6、已知函数()e x
f x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜
率为1-，求a
课堂练习：
1．求函数()ln f x x x =在．点(1,0)出的切线方程
2. 求函数()ln f x x =过．点(0,0)的切线方程
3．求与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程
作业：1、已知函数2
(),()2ln f x x c g x x =+=.当c 为何值时，()f x ，()g x 的图象有公
共点且在公共点处切线
2、已知函数2
()2f x x ax =+与2
()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处
有公共切线。
求()f x 和()g x 的表达式；
1.求过点(20)，且与曲线1
y x
=相切的直线方程 2.已知函数2
1()4ln 2
f x x x =
-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 3.已知函数322
()f x x ax a x =--，其中0a ≥.若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲
线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
4.设函数2
()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为
1
2
=-y ,求实数,a b 的值；
5.已知曲线2
1:C y x =与()2
2:2C y x =--，若直线l 与1C ，2C 都相切，求直线l 的方程
切
6. 设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在()2,(2)f 处的切线方程为74120x y --= (1)求()y f x =的表达式；。