函数的切线方程新课标历高考题专题训练(及答案)
函数的切线方程新课标历届高考题专题训练及谜底
1、（2007 年文 10）曲线 y ex 在点 (2， e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
）
Ａ． 9 e2 4
Ｂ． 2e2
1x
2、（2007 年理 10）曲线 y e2 在点 (4，
）
Ａ． 9 e2 2
Ｂ． 4e2
Ｃ． e2
Ｃ． 2e2
形面积为定值，并求此定值。
4、（2009 年文 13）曲线 y xex 2x 1 在点（0,1）处的切线方程为
5、（2010 文 4）曲线 y x2 2x 1 在点（1,0）处的切线方程为
（A） y x 1
（B） y x 1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
专题3-1 切线、公切线及切线法应用-(原卷版)
专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用目录【题型一】“在点”切线1：有切点.......................................................................................................... 1 【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................................................................... 2 【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................................................................... 2 【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 .............................................................................................. 3 【题型三】“过点”切线1 ......................................................................................................................... 4 【题型四】“过点”切线2：切线条数...................................................................................................... 5 【题型五】“过点”切线3：最值与范围 .................................................................................................. 5 【题型六】双函数公切线 .......................................................................................................................... 5 【题型七】三角函数的切线 ...................................................................................................................... 6 【题型八】切线与倾斜角 .......................................................................................................................... 7 【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 ...................................................................... 7 【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 ...................................................................... 8 【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 ...................................................................... 9 【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 ...................................................................... 9 【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 .................................................... 10 【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 .................................................................... 11 【题型十五】综合应用 ............................................................................................................................ 11 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟检测 .. (13)【题型一】“在点”切线1：有切点【典例分析】已知函数1()(3)e ln x f x ax x x -=++（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,(1))f 处的切线的斜率为8，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．eD ．31.已知函数2()2(1)f x x xf =-'，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（ ） A ．680x y --= B ．680x y -+= C ．680x y ++= D ．680x y +-=2.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．3- D ．33.已知函数()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线的斜率为（ ） A ．-3 B ．3 C ．-5 D ．5【题型二】“在点”切线2：无切点【典例分析】已知四条直线1:l y x =，2:32l y x =-，3:32l y x =+，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【变式演练】1.以下曲线与直线e e y x =-相切的是（ ） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =2.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型三】“在点”切线3：双参型【典例分析】已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【变式演练】1.若曲线3y x ax =+在点(1,(1))f 处的切线方程为6y x m =-，则m =（ ） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-2.已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，则a b +的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（ ）A ．1-B ．0C ．12- D ．1【题型四】“在点”切线4：分段函数切线【典例分析】已知函数2(2),0()3(),0f x x x f xg x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（ ）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【变式演练】1.已知函数()()ln 1,0,0x x f x kx x ⎧+>=⎨≤⎩，曲线()y f x =与直线1ln 222x y =-+有且仅有一个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3.已知函数2,0()1,0x x a x f x x x⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点A B ､，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是___________.【题型三】“过点”切线1【典例分析】设01x >，曲线()ln 32f x a x x a =-+在点()0,0P x 处的切线经过点()0,2e ，则0a x +=（ ） A ．eBCD ．2e【变式演练】1.写出a 的一个值，使得直线0x ay a +-=是曲线sin xy x=的切线，则a =______.2.已知直线(R)y ax a =∈与曲线ln y x =相交于两点，则a 的取值范围是___________3.函数2()e x f x =过原点的切线方程是_______.【题型四】“过点”切线2：切线条数【典例分析】若过点(),s t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln s t >B ．ln s t <C ．ln t s <D ．ln t s >【变式演练】1.已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（ ）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭2.若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（ ）A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <3.过点()0,b 作曲线e x y =的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（ ） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【题型五】“过点”切线3：最值与范围【典例分析】已知函数()e xf x b =+的一条切线为y ax a =+，则ab 的最小值为（ ）A ．12e- B ．C ．12eD【变式演练】1.已知曲线()|ln |f x x =在点()()11,x f x 与()()22,x f x 处的切线互相垂直且相交于点()00,P x y ，则（ ） A ．121x x ⋅=-B ．12⋅=x x eC ．1202x x x +=D ．0122=+x x x2.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．3.过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（ ） A ．01t << B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11t e<<【题型六】双函数公切线【典例分析】若函数1()33(0)f x x x x =+->的图象与函数()e xg x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（ ）A ．1e B ．2e C ．1e 或D ．1e 或【变式演练】1.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e2.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（ ） A ．2 B ．4 C ．2e D ．2e -3.．若曲线ln y x =与曲线：y =2x -k 有公切线，则实数k 的最大值为（ ）A ．78+1ln22B ．78-1ln22C ．12+1ln22D ．121ln22-【题型七】三角函数的切线【典例分析】函数()2cos 2sin f x x x x =-在πx =处的切线在y 轴上的截距为（ ）A ．2π2π-B ．2πC ．2π2-D ．22ππ22π--【变式演练】1.设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．122.过曲线cos y x =上一点1,32P π⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（ ）A ．2203x π-=B ．212032x y π+--=C．2203x π-= D ．212032x y π--+=3.已知函数()3sin 4cos f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B ．0y = C ．4y =- D ．43y x =-+【题型八】切线与倾斜角【典例分析】设点P是曲线32y x =-+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【变式演练】1.函数()2ln 1sin y x x=++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（ ） A ．310B ．±310C ．35D ．±352.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.已知M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离【典例分析】已知111ln 20x x y --+=，22252ln 20x y +--=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ） A B C ．95D ．165【变式演练】1.曲线e x y =上到直线e y x =12的点的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（ ）A．B C D3.已知实数a ，b ，c ，d 满足：2e 111a a cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则22()()ac bd -+-的最小值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值【典例分析】设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（ ）AB ．1CD ．2【提分秘籍】基本规律两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图【变式演练】1.已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．2.已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．3.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1B ．2C ．3D ．4【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参【典例分析】已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21e 1,3e 2⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式演练】1.已知函数()2e 2xf x ax ax =++在()0,x ∈+∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参【典例分析】若函数()ln 1f x x ax =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【变式演练】1.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2(,0]4-∞-⋃-B ．()12,0,,4⎛⎫+∞⋃ ⎪⎝⎭C ．[)12,0,4⎛⎤--⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,20,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2.已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,e] B ．(0,e]C ．2[1,e 2e]-D ．2(0,e 2e]-3.函数234,2()log (1),2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()3g x kx k =-，若函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．6,0)B ．6,0)C ．(2,0)-D ．6,0)【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参【典例分析】已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（ ） A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤⎥⎝⎦ D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎪⎝⎭ 【变式演练】1.已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.．已知不等式ln (1)2ln 2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.若关于x 的不等式()()1e 21x a x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等【典例分析】已知直线()R y ax a =∈与曲线ln y x =相交于11(,)M x y ､22(,)N x y 两点，若12x x <，则下列结论错误的是（ ） A ．10e x <<B ．122e x x +>C ．21y >D ．122y y +<【变式演练】1.已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则nm的最小值为______．2.若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=______.3.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【题型十五】综合应用【典例分析】过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（ ）A ．25e e m -<<B ．250e m -<<C ．10em -<< D ．e m <【变式演练】1.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-1.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（ ） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 2021年全国新高考I 卷数学试题2.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）3.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）4.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．2021年全国高考甲卷数学（理）试题5.曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.2019年天津市高考数学试卷（文科）6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==- 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）7.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）8.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2019年江苏省高考数学试卷9.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 2019年江苏省高考数学试卷10.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则①PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）11.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 2021年全国新高考II 卷数学试题1.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+2.如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是210y x =-+，则()()44f f +'的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．23.曲线213ln 2y x x =-在点P 处的切线与直线220x y +-=垂直，则点P 的横坐标为（ ） A ．e B ．1 C ．3 D ．2e4.已知函数()sin f x x x =+.曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ）A ．223y x π=-B ．223y x π=-C ．3y x π=-+D ．3y x π=-+5.函数2ln(1)cos y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则cos2=α（ ）A ．310B ．310±C ．35D ．35.6.已知0a >，0b >，直线y x b =+与曲线e x a y -=相切，则41a b+的最小值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97.若过点(1,2)可作曲线3y x ax =+的三条切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)-- B ．(2,1)-- C ．(1,2) D ．(1,3)8.曲线2ln y x =上的点到直线2ln20x y -+=的最短距离是（ ） A．2 B ．2ln2-C ．ln2D9.已知过原点的直线与函数()e ,0ln ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）A ．()1,e e ⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭B ．{}1e 0,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1e,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．()1,e 0,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10.已知曲线()1f x x=-在点()()1,1f --处的切线l 与曲线()ln g x a x =相切，则实数a 所在的区间为（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,611.已知函数2ln ()2x f x x x =-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（ ）A B C D12.已知曲线()ln()1(1)=-+>f x mx nx m 的一条切线为直线:210l x y -+=，则mn 的最小值为________． 江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题13.若对0x ∀>，关于x 的不等式21ln 12mx mx x x +-≥+恒成立，则整数m 的最小值为___________.14.已知a ，b 为正实数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有ln ax b x -≥成立，则2ba的最大值是______．15.设函数()()sin 12sin 223f x x x αα--=+-（R α∈）图象在点（1，()1f ）处切线为l ，则l 的倾斜角θ的最小值是（ ） A ．4πB ．3π C ．56π D ．34π16..已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.。
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
考点49 利用导数求切线方程——2021年高考数学专题复习真题附解析
__________．
8．若函数 f x a 1 x3 ax2 2x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为
______________．
.
x
2
【答案】- 3 5
【解析】根据已知条件，
f
( x)
1 x
2 x2
，因为曲线
y
ln
x
2 x
在
x
1 处的切线的倾斜角为
，所以
tan
f (1) 1 2 3 ， 0
2
.因为 sin2 a cos2
1， tan
sin cos
3，则解得 sin
3 10
， cos 1 ， cos(2 ) sin 2 2sin cos 3 .
【题组三 过某点求切线】
1．过原点与曲线 y 2ex 相切的直线方程为______.
2．已知点 A1, 2 在函数 f x ax3 的图象上，则过点 A 的曲线 C : y f x 的切线方程
是
。
3．过点 P(2, 6) 作曲线 f (x) x3 3x 的切线，则切线方程为
。
4．已知曲线 f (x) 1 ，则过点 (1, 3) ，且与曲线 y f (x) 相切的直线方程为
4．已知函数 f (x) 2x3 3x ，若过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 y f (x) 相切，求 t 的取值范围
__________。
5．若直线 y kx b 是曲线 y ln x 的切线，也是曲线 y ex2 的切线，则 k ________. 6．若直线 y ax b 与曲线 y ln x 1 相切，则 ab 的最大值为________.
新高考数学一轮复习练习-切线方程(基础)(解析版)
4.1 切线方程（基础）一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（文））的图象关于轴对称，则的图象在处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】的图象关于轴对称，则，所以，，，所以，，所以的图象在处的切线方程为.故选：A.2．（2021·四川内江市·高三零模（理））曲线在处的切线如图所示，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设曲线在处的切线方程为，则，解得，所以，曲线在处的切线方程为，所以，，，因此，.故选：C.3．（2021·陕西高三其他模拟（理））直线是曲线的一条切线，则实数k 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．【答案】A()()32cos 21f x x a x ax =++++y ()f x 0x =2y =420x y +-=420x y -+=20x y -=()f x y ()()()3220f x f x a x --=+=2a =-()2cos 21f x x x =-+()sin 4f x x x '=--()02f =()00f '=()f x 0x =2y =()y f x =1x =()()11f f '-=022-1-()y f x =1x =y kx b =+220b k b =⎧⎨-+=⎩12k b =⎧⎨=⎩()y f x =1x =2y x =+()11f '=()1123f =+=()()11132f f '-=-=-1y kx =-1ln y x =+e 2e 1e -【解析】设切点为，由，得，则，则曲线在切点处的切线方程为，由已知可得，切线过定点，代入切线方程可得：，解得，则.故选：A .4．（2021·全国高三）若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意，求导函数可得，∵切线与直线平行，∴，∴，∴切点P 坐标为，∴过点P 且与直线平行的切线方程为，即．5．（2021·山西）已知，设函数的图象在点处的切线为l ，则l 过定点（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，，，故过处的切线方程为：，故l 过定点故选：A 6．（2021·河南洛阳市）设曲线在点处的切线与直线平行，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．()00,1ln x x +1ln y x =+1y x'=001x x y x ='=()00011ln y x x x x --=-()0,1-02ln 1x --=-01x e=01k e x ==()ln 2f x x x =-21y x =+210x y --=22ln 210x y --+=22ln 210x y ---=22ln 210x y +--=12y x'=-21y x =+122x -=14x =11,2ln 242⎛⎫-- ⎪⎝⎭21y x =+112ln 2224y x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭22ln 210x y ---=a R ∈()ln 1f x ax x =-+(1,(1))f (0,2)(1,0)(1,1)a +(,1)e ()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-()'11f a =-()11f a =+(1,(1))f ()()()11+112y a x a a x =--+=-+(0,2)2xy x =-()3,310ax y ++=a 12212-2-【答案】B【解析】对函数求导得，由已知条件可得，所以，.故选：B.7．（2021·四川自贡市）已知点是曲线C ：y ＝+1上的点，曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，则实数a 的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．﹣1或2D ．1或﹣2【答案】A 【解析】∵y ＝+1，∴，∵曲线C 在点P 处的切线平行于直线6x ﹣3y ﹣7＝0，结合题意得：，解得：a ＝2或，当时，，切点坐标为，代入，所以不合题意，舍去，当时，，切点坐标为，代入，故选：A ．8．（2021·宾县第一中学校）曲线在点处的切线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，，则，因此，所求切线方程为，故选：A.9．（2021·全国高三）函数在处的切线斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C2x y x =-()()222222x x y x x --'==---32x a y ='-==-2a =(),P a b 321132x x -321132x x -2y x x '=-2|2x a y a a ='=-=1a =-2a =32115223213b +⨯-==⨯2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭55623703⨯-⨯-=1a =-()()32111113216b =⨯-+-=⨯-11,6⎛⎫- ⎪⎝⎭()1613706⨯--⨯-≠321y x x =-+(1,0)1y x =-1y x =-+22y x =-22y x =-+()321f x x x =-+Q ()232f x x '∴=-()11f '=1y x =-()x xf x e=()()1,1f 1-11e【解析】，，，积切线斜率为0.故选：C.10．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数的图象在点处的切线方程是，那么（ ）A ．2B ．1C ．D ．【答案】D【解析】因为，所以，因此切线方程的斜率，所以有，得，又切点在切线上，可得切点坐标为，将切点代入中，有，得，所以.故选：D.二、填空题11．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【解析】由题知，当时，，即则，，又则在点的切线方程为：，即故答案为：12．（2021·全国高三其他模拟）已知直线y ＝2x 与函数f （x ）＝﹣2lnx +xe x +m 的图象相切，则m ＝_________.【答案】【解析】因为，所以设切点为，所以切线的斜率为 ()xx f x e=()1x xf x e -'∴=()10f '∴=()2xf x ae x =+()()1,1M f ()22y e x b =++ab =1-2-()2xf x ae x =+()2x f x ae x '=+(1)2k f ae '==+222ae e +=+2a =(1,22)e b ++()f x (1)2122f e e b =+=++1b =-2ab =-()f x 0x <()1xf x e -=+()y f x =()()1,1f 10ex y ++=0x >()1()xf x e f x -=+=-()1xf x e =--()xf x e '=-()1f e '=-()11f e =--()()1,1f (1)(1)y e e x ---=--10ex y ++=10ex y ++=2ln 4-+()2ln xf x x xe m =-++()()21x f x x e x-'=++()00000,2ln ,0xx x x e m x -++>()()000021x k f x x e x -'==++又因为切线方程为y ＝2x ，因此，由，得，因为，所以，又，所以，得.故答案为：.13．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．【答案】【解析】，设切点坐标为，则，，所以切线方程为，且该直线过点，所以，得，得，所以切线方程为.故答案为：14．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三其他模拟）若直线是曲线的切线，则实数________．【答案】【解析】由直线方程知：恒过定点；令，则，设直线与曲线相切于点，则，又，，解得：，.故答案为：.15．（2021·全国高三其他模拟（理））函数的图象在处切线的斜率为__________.()00000002ln 2212x x x x e m x x e x ⎧-++=⎪-⎨++=⎪⎩()000212x x e x -++=()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭010x +≠02x ex =00ln 2ln x x =-()000022ln 2ln 2ln x x m x x -+⋅+=-2ln 4m =-+2ln 4-+()2xf x e x =+()1,2()y f x =22(20)+--=e x y e ()2xf x e '=+00(,)x y ()002xf x e '=+()0002=+xf x e x 0000(2)(2)()-+=+-xxy e x e x x ()1,200002(2)(2)(1)-+=+-xxe x e x 00(2)0-=x e x 02x =22()20e x y e +--＝22(20)+--=e x y e :l y kx =2ln y x =k =2el ()0,0()2ln f x x =()2f x x'=l ()2ln f x x =(),2ln m m ()2k f m m'==2ln 02ln 0m m k m m -==-22ln m m m ∴=m e =2k e∴=2e y 4x ＝【答案】【解析】求导得，当时，故答案为：16．（2021·全国高三其他模拟）函数的图象在点处的切线方程为______．【答案】【解析】因为，所以，又，所以切线斜率为，切点坐标为故切线方程为，即．故答案为：17．（2021·全国高三）已知函数在点处的切线方程为，则t =___________.【答案】【解析】，，，，即，又为切点，，解得.故答案为：.18．（2021·陕西高三其他模拟（理））曲线在处的切线方程为___________.【答案】【解析】，则，，所以，即切线的斜率，所以切线方程为，即故答案为：19．（2021·河北饶阳中学）曲线在点处的切线与直线垂直，则该切线的方程为__________.【答案】【解析】由题意得，则，132-3214y x -'-＝4x =3211(4)4432y -'-⨯=-＝132-()22xf x x e -=()()1,1f 0ex y -=()2222x xf x xe x e --'=-()1f e '=()1f e =e (1,)e ()1y e e x -=-0ex y -=0ex y -=2()2ln f x x x x =-(1,2)0x my t ++=13-2()2ln f x x x x =-()4ln 1f x x x '∴=--()13f '∴=13m ∴-=13m =-(1,2)11203t ⎛⎫∴+-⨯+= ⎪⎝⎭13t =-13-3221y x x=-+1x =870x y --=()3221y f x x x ==-+()212111f =-+=()2226f x x x +'=()221681f +'==8k =()181y x -=-870x y --=870x y --=()31()e x f x x mx -=-(1(1))f ，410x y --=410x y +-=()321()3e x f x x x mx m ---'=+(1)42f m '=-所以切线的斜率.直线的斜率.因为两直线相互垂直，所以，解得，则.所以，则，故该切线的方程为，即.故答案为：20．（2021·广东佛山市）已知函数，则所有的切线中斜率最小的切线方程为_________.【答案】【解析】由，，则，时等号成立，则函数所有切线中斜率最小为3，且过点，则切线方程为故答案为：21．（2021·山东济南市）曲线在x ＝0处的切线方程是_________．【答案】y ＝﹣x +1【解析】的导数为，可得曲线在x ＝0处的切线的斜率为k ＝﹣1，又切点为（0，1），所以切线的方程为y ＝﹣x +1．故答案为：y ＝﹣x +1．22．（2021·全国）函数在处的切线与坐标轴围成的图形面积为___________.【答案】【解析】切点，，切线：，即，142k m =-410x y --=214k =121(42)14k k m =-=-4m =1(1)4k f '==-()31()4e x f x x x -=-(1)3f =-34(1)y x +=--410x y +-=410x y +-=21()ln 2f x x x x =++()f x 332y x =-1()1f x x x'=++0x >1()113f x x x '=++≥+=1x =()f x 3(1,)2332y x =-332y x =-21xx y e+=21x x y e +=221x x x y e --'=21xx y e +=()x f x e x =+(0,(0))f 14(0,1)()e 1,2x f x k =+='12y x -=21y x =+与轴交点，与轴交点，故，故答案为：.23．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.【答案】【解析】，则，故，故.故答案为：.24．（2021·安徽六安市·六安一中高三其他模拟（文））曲线在处的切线在轴上的截距为___________.【答案】【解析】，当时，，即切线斜率为2，又当时，，所以切线方程为，即，令得，即切线在轴上的截距为.25．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））曲线的一条切线过点，则该切线的斜率为_______．【答案】【解析】由，设切线斜率为，切点横坐标为，则，得，所以故答案为：26．（2021·重庆高三其他模拟）曲线在点处的切线恰好经y (0,1)x 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭1111224S =⨯⨯=14()sin 2f x x =x π=αcos 2α35-()sin 2f x x = ()2cos 2f x x '=()tan 2f απ'==22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++35-1ln y x x=-1x =y 3-211y x x'=+ 1x =2y '=1x =1y =-()()121y x --=-23y x =-0x =3y =-y 3-ln y x x =(0,3)-1ln 3+1ln y x '=+k t 1ln ln 3t kt t kt +=⎧⎨=-⎩ln (1ln )3t t t t =+-3,1ln 3t k ==+1ln 3+()2ln 2f x x x x x =+-+()()0,x f x ()00x >过坐标原点，则___________.【【答案】1【解析】，则则切线方程为，代入原点可得：，即，解得（负根舍去）故答案为：127．（2021·赤峰二中高三三模（理））函数的图象在点处的切线方程是，则__________.【答案】-2【解析】由题意，，又，∴.故答案为：.28．（2021·新沂市第一中学）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则a 的值为___________【答案】【解析】由已知可得在函数的图象上，所以，即，解得，所以，故.则函数的图象在点处的切线的斜率，因为切线与直线垂直，所以，即.故答案为：.29．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））已知，则曲线在点处的切线方程是___________.【答案】【解析】，，则，，点处的切线方程为，即，故答案为：.0x =()ln 2f x x x '=+()000ln 2k f x x x '==+()()()20000000ln 2ln 2y x x x x x x x x -+-+=+-220000000ln 2ln 2x x x x x x x --+-=--20020x x +-=01x =()y f x =()()2,2M f 28y x =-()()22f f ='()22f '=()22284f =⨯-=-()()24222f f -==-'2-2()ln f x a x bx =+(1,1)P 10x y -+=3-(1,1)P ()f x (1)1f =2ln 111a b +⨯=1b =2()ln f x a x x =+()2af x x x'=+()f x (1,1)P (1)2k f a '==+10x y -+=21a +=-3a =-3-()1xf x e =--()y f x =()()1,1f 10ex y ++=()1x f x e =--()xf x e '=-()11f e =--()1f e '=-()()1,1f ()()11y e e x ---=--10ex y ++=10ex y ++=30．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））已知函数，则在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】，所以.又，所以在点处的切线方程为.故答案为：()2ln 1f x x x x =++()f x ()()1,1f 2y x=()2ln 1f x x x x '=++()1112f '=+=()12f =()f x ()()1,1f ()2122y x x =-+=2y x=。
【高考数学】导数的切线方程(原卷版含参考答案)
【高考数学】导数的切线方程【套路秘籍】1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法 （1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===-0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•= 3. 切线方程的求法 （1）求出直线的斜率 （2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。
【套路修炼】考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。
(2)设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ． （1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标； （2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标； （3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。
2.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为_ __.考向三 过某点处求切线方程【例3】已知函数()3f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________．【举一反三】1．已知曲线f(x)=1x ，则过点(−1,3)，且与曲线y =f(x)相切的直线方程为 。
2．过点p(−4,0)作曲线y =xe x 的切线，则切线方程为_______________________. 3．过坐标原点(0, 0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________.考向四 求参数【例4】已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为 ． 【举一反三】1.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝ .2.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为 。
新高考数学一轮复习练习-切线方程(提升)(解析版)
4.1 切线方程（提升）一、单选题1．（2021·全国高三）已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，，，，在点处的切线方程为：；设与相切于点，则，解得：，又，，解得：.故选：C.2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知曲线在点处的切线也是曲线的一条切线，则（ ）A ．B ．C ．e 2D ．【答案】C【解析】，，所以切点.，，切线，即.设的切点为，，，所以.将代入切线得：，的切点为，()xf x e =()()0,0P f ()()ln g x ax =a 3e 2e 2e33e ()xf x e = ()xf x e '∴=()01f =()01f ∴'=()f x ∴()()0,0P f 1y x =+1y x =+()g x ()()00,ln x ax ()0011g x x '==01x =()00ln 110ax x -=-ln 11a ∴-=2a e =()xf x e =(1,(1))P f ()lng x a x=a =3e 2e 33e ()xf x e =()1f e =()1,e ()x f x e '=()1k f e '==()1y e e x -=-y ex =()lng x a x =()00,x y ()a g x x '=()00a k g x e x '===0a x e=0a x e =y ex =0y a =()g x ,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭将代入得：，解得.故选：C3．（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）过引抛物线的切线，切点分别为A ，.若的斜率等于2，则（ ）A ．B ．C ．1D ．2【答案】C【解析】抛物线，即，则由切线斜率，设切点，则，又，所以切线方程为，即 ，同理切线方程为，两切线均过点，故，即，所以点均满足方程，即均在直线上，即直线的方程为，所以斜率为，故.故选：C.4．（2021·辽宁沈阳市）函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为（ ）(为自然对数的底)A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为关于轴对称的函数为，又函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，即方程有解，,a a e ⎛⎫⎪⎝⎭()ln g x a x =ln a a a e =2a e =()2,2M p -()220x py p =>B AB p =1412()220x py p =>211,2y x y x p p '==1k y x p'==()()1122,,,A x y B x y 1211,MA MB k x k x p p==2211222,2x py x py ==MA ()1111y y x x x p -=-111y x x y p=-MB 221y x x y p=-()2,2M p -1122122122p x y p p x y p ⎧-=⋅-⎪⎪⎨⎪-=⋅-⎪⎩11222222y x p p y x p p ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()()1122,,,A x y B x y 22y x p p =+()()1122,,,A x y B x y 22y x p p=+AB 22y x p p =+22p=1p =()x f x ae =()1g x x =--x a e 0a <1a <1a ≤1a >()1g x x =--x ()1h x x =+()x f x ae =()1g x x =--x ()x f x ae =()1h x x =+1x ae x =+0a =时符合题意；时转化为有解，即与的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，与的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故选：C.5．（2021·重庆高三三模）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，，两点处的切线方程分别为和，0a ≠1(1)x e x a =+x y e =1(1)y x a =+1(1)y x a=+(1,0)-1a0a <x y e =1(1)y x a=+0a >x y e =1(1)y x a =+(),mm e 111m m e m a e a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩1a =11a =11a ≥01a <≤x y e =1(1)y x a=+()x f x ae =()1h x x =+()x f x ae =()1g x x =--x a 1a ≤()1:=e xC f x a +()()22:ln(),C g x x b aa b =++∈R 1C 2C 9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞(],1-∞9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦()e xf x '=()1g x x b'=+11C 2C 1x 2x 1211x e x b==+10x =21x b =-()1y a x -+=()21y a x b -=--故，即.故选：D .6．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以，曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：211a a b +=-+221992244b a a a ⎛⎫=+-- ⎪+⎝=≤-⎭(),a b e x y =e b a <e a b <0e b a <<0e ab <<x y e =(),tP t exy e=e x y '=x y e =P ()t ty e ex t -=-()1t t y e x t e =+-(),a b ()1tty e x t e =+-()()11tttb ae t e a t e =+-=+-()()1tf t a t e =+-()()tf t a t e '=-t a <()0f t '>()f t t a >()0f t '<()f t ()()max af t f a e ==y b =()y f t =()max ab f t e <=1t a <+()0f t >1t a >+()0f t <()f t由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.故选：D.7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三月考（文））曲线在处的切线方程为（ ）A ．B．0a b e <<y b =()y f t =x y e =(),a b x 0a b e <<2cos sin y x x =+(,2)π-20x y π-+-=20x y π--+=C ．D ．【答案】D【解析】当时,所以在点处的切线方程,由点斜式可得 化简可得故选:D8．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】，，，，，又为与公共点，，，解得：，.故选：D.9．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，令y =kx -1，y =kx -1表示过定点(0,-1)，斜率为k 的动直线，当时，当时，；当，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在同一坐标系内作出函数图象与直线y =kx -1，如图所示，20x y π++-=20x y π+-+='2sin cos y x x =-+x π=2sin cos 1k ππ=-+=-(),2π-()21y x π+=-⨯-20x y π+-+=()xf x ae b =+()cos2xg x c π=+()0,2M b c a +-0π2-3()xf x ae '= ()sin22xg x ππ'=-()0f a '∴=()00g '=0a ∴=()0,2M ()f x ()g x ()02f b ∴==()012g c =+=1c =2103b c a ∴+-=+-=()2ln 3,04,0x x x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩x ()10f x kx -+=k ()2,2-()0,2()1,0-()1,-+∞()10()1f x kx f x kx -+=⇔=-0x >()ln 2f x x '=-2(0,)x e ∈()0f x '<2(,),()0x e f x '∈+∞>()f x 2(0,)e 2(,)e +∞0x ≤2()(2)4f x x =+-()f x (,2)-∞-(2,0)-()y f x =关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，满足，解得，所以的图象过点的切线斜-2，当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，，因为，解得，所以的图象过点的切线斜率为2，由函数图象知，当动直线y =kx -1在直线与所夹不含y 轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，函数的图象与直线y =kx -1有四个不同的交点，此时的取值范围是.故选：A10．（2021·全国高三专题练习（理））若经过点P (2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）A ．B ．C ．或D ．或【答案】D【解析】①易知P 点在曲线上，当P 点为切点时，.②当P 点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.x ()10f x kx -+=()y f x =0x >()ln 3f x x x x =-00(,())x f x 0ln 2x -(0,1)-0x 000()1ln 2f x x x +=-01x =()ln 3f x x x x =-(0,1)-0x ≤()24f x x =+'2()4f x x x =+2(,4)t t t +24t +(0,1)-24124t t t t++=+0t ≤1t =-2()4f x x x =+(0,1)-21y x =-21y x =--()y f x =k (2,2)-3y x =12160x y --=320x y -+=12160x y -+=320x y --=12160x y --=320x y -+=3y x =23,12,12160y x k x y --'===00(,)A x y 203k x =∵A 在曲线上，∴，∴，∴，∴，解得或 (舍去)，∴，k =3，此时切线方程为y +1=3(x +1)，即.故经过点P 的曲线的切线有两条，方程为或.故选：D11．（2021·峨山彝族自治县第一中学）已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）A ．0B ．C ．3D ．或3【答案】D【解析】因为，所以，则，所以所以函数在处的切线方程为，由得，由，解得或，故选：D12．（2021·天津高三一模）已知定义在R 上的函数，若函数恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，数形结合，观察直线与曲线的位置关系.当，故在处的切线方程为.当，同理可得在处的切线方程为.300y x =32000832x x x -=-3200340x x -+=()()200120x x +-=01x =-02x =01y =-320x y -+=12160x y --=320x y -+=()ln f x x x =()()2g x x ax a =+∈R ()1,0A l ()f x ()g x a =1-1-()ln f x x x =()1ln f x x '=+()11ln11f '=+=1k =()f x ()1,0A 1y x =-21y x y x ax=-⎧⎨=+⎩()2110x a x +-+=()2140a ∆=--=3a =1a =-2ln ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩()()k x f x ax =+{}1,0(1,)e ⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭{}11,0(1,)e ⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭111,{0},e e⎛⎫⎛⎫--⋃⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(,1){0},1e ⎛⎫-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭y ax =-()y f x =2(,0],(),()21,(0)1x f x x x f x x f ''∈-∞=-=-=-(0,0)1y x =-2[0,1],()x f x x x ∈=-+(0,0)2y x =当，设切点为，其中，则过该点的切线方程为，代入，得，故过的切线方程为.可得当时，有两个交点，即函数恰有两个零点.此时故选：B二、多选题13．（2021·辽宁高三）已知过点A （a ，0）作曲线的切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（ ）A ．－2B ．4C ．0D ．6【答案】AD【解析】设切点为，则，所以切线方程为：，切线过点A （a ，0），代入得：，即方程有两个解，则有或．故选：AD.14．（2021·山东济南市·高三一模）已知函数的图象在处切线的斜率为，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．在处取得极大值1(1,),()ln ,()x f x x f x x'∈+∞==(,ln )t t 1t >1ln ()y t x t t-=-(0,0)t e =(,1)e 31y x e=1(,1){0},1a e ⎛⎫-∈-∞-⋃⋃ ⎪⎝⎭()y k x =11,{0}(1,)a e ⎛⎫∈--⋃⋃∞ ⎪⎝⎭:x xC y e=000,e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭0001e x x x x y =-'=()000001e e x x x x y x x --=-()000001e ex x x x a x --=-2000x ax a -+=2404a a a ∆=->⇒>0a <()31f x x ax =-+2x =93a =()f x 1x =-C ．当时，D ．的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】A ：，由题意，得，正确；B ：，由得：或，易知在，上，为增函数，在上，为减函数，所以在处取得极大值，正确；C ：由B 知：，，，故在上的值域为，错误；D ：令且为奇函数，则，而图象关于中心对称，所以关于中心对称，正确；故选：ABD.15．（2021·全国高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的有（ ）A ．是奇函数B ．是周期函数C ．曲线在点处的切线方程为D ．在区间上，单调递增【答案】AC【解析】A ：，又函数的定义域是R ，所以函数是奇函数，所以选项A 正确；B ：不存在非零常数，使得，故不是周期函数，所以选项B 错误；C ：，，，故在点，处的切线方程为：，即，所以选项C 正确；D ：，，时，，，故，故在，单调递减，所以选项D 错误.故选：AC16．（2021·江苏高三专题练习）若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（ ）(]2,1∈-x ()(]1,3f x ∈-()f x ()0,1()23f x x a '=-()2129f a ='-=3a =()()()311f x x x -'=+()0f x ¢=1x =-1(,1)-∞-(1,)+∞()0f x ¢>()f x ()1,1-()0f x ¢<()f x ()f x 1x =-()21f -=-()13f -=()11f =-(]2,1-[]1,3-()3g x x x =-()()1f x g x =+()g x ()0,0()f x ()0,1()cos f x x x =⋅x ∈R ()(),f ππ0x y +=,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-()f x T ()()f x T f x +=()f x ()cos (sin )cos sin f x x x x x x x '=+-=-()1f π'=-()f ππ=-()f x (π())f π()y x ππ+=--0x y +=()cos sin f x x x x '=-(2x π∈)π1cos 0x -<<sin 0x x >()0f x '<()f x (2π)π12y x b =+()f x ()f xA ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由的导数为，而，解得，故B 正确；由的导数为，而有解，故C 正确；由的导数为，而，解得，故D 正确，故选：BCD17．（2021·河北高三其他模拟）若直线与曲线满足下列两个条件：①直线在点处与曲线相切；②曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列结论正确的是（ ）A ．直线在点处“切过”曲线B ．直线在点处“切过”曲线C ．直线在点处“切过”曲线D ．直线在点处“切过”曲线【答案】ACD【解析】A 项,因为,当时,,所以是曲线在点处的切线.当时,；当时,,所以曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；B 项,,当时,,在处的切线为.令,则,当时,；当时,,所以.故,1()f x x =4()f x x =()sin f x x =()xf x e =12y x b =+12k =1()f x x ='21()f x x=-4()f x x ='3()4f x x =3142x =12x =()sin f x x ='()cos f x x =1cos 2x =()x f x e ='()x f x e =12x e =ln 2x =-l C l ()00,P x y C C P l l P C :0l y =(0,0)P 3:C y x =:1l y x =-(1,0)P :ln C y x=:l y x =(0,0)P :sin C y x=:l y x =(0,0)P :tan C y x=23y x '=0x =0y '=:0l y =3:C y x =(0,0)P 0x <0y <0x >0y >C P l 1y x'=1x =1y '=(1,0)P :1l y x =-()1ln h x x x =--11()1(0)x h x x x x -'=-=>1x >()0h x '>01x <<()0h x '<min ()(1)0h x h ==1ln x x -…即当时,曲线全部位于直线的下侧（除切点外）,结论错误；C 项,,当时,,在处的切线为,由正弦函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确；D 项,,当时,,在处的切线为,由正切函数图像可知,曲线在点附近位于直线的两侧,结论正确.故选：ACD .18．（2021·全国高三专题练习）函数若函数只有一个零点，则可能取的值有（ ）A ．2B ．C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点，∴函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.0x >C l cos y x '=0x =1y '=(0,0)P :l y x =C P l 21cos y x'=0x =1y '=(0,0)P :l y x =C P l ()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()()g x f x x a =-+a 2-()()g x f x x a =-+()y f x =y x a =-()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩y x a =-0a ≤()y f x =y x a =-0a >ln(1)y x =-11y x '=-111x =-2x =2x =ln(1)y x =-2a =0a ≤2a =故选：ABC.19．（2021·沙坪坝区·重庆一中高三其他模拟）设函数，若曲线在点处的切线与该曲线恰有一个公共点，则选项中满足条件的有（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】A 选项：切点，切线的斜率为 切线方程为： 设 ，其中又 ，故 在内必有一个零点，则与切线有两个交点，故A 错；B 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设 ，其中在单调减，在单调增，所以恒成立，则 单调增只有一个零点，则与切线有1交点，故B 正确；C 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设 ，其中 又， 在单调减，在单调增，所以恒成立，则 只有一个零点，则与切线有1交点，故C 确；2()86x x f x e e x =-+()y f x =()()00,P x f x P 0x ln 2-ln 2ln 4ln 515,6ln 2l 24n P ⎛⎫-- ⎝-⎪⎭()2ln 2ln 2528l 2n 26f e e --'=-+=-15715ln 2224y x =--()()1g x f x y =-()20ln g -=()7130ln 2024g =-<()25715186ln 20224g e e =-+-++>()g x ()0,1()f x (),6ln ln 1222P -()2ln 2ln 228ln 622f ee '=-+=-226ln 212y x =-+-()()2g xf x y =-()ln 20g =()()()22862,42x x x x g x e e g x e e '''=-++=-()g x '(),ln 2-∞()ln 2,+∞()()ln 20g x g ''≥=()g x ()f x (),6ln ln 1446P -()2ln 4ln 428ln 664f ee '=-+=3616y x =-()()3g xf x y =-()0ln 4g =()()22824x x x x g x e e e e '=-=-()ln 40g '=()g x (),ln 4-∞()ln 4,+∞()()ln 40g x g ≥=()g x ()f xD 选项：切点，切线的斜率为切线方程为：设 ，其中 ，， 在小于0，在大于0，所以恒成立，则 只有一个零点，则与切线有1交点，故D 正确.故选：BCD20．（2021·全国高三专题练习）已知，下列说法正确的是（ ）A ．在处的切线方程为B ．单调递增区间为C ．的极大值为D ．方程有两个不同的解【答案】AC【解析】因为，所以函数的定义域为所以，，，∴的图象在点处的切线方程为，即，故A 正确；在上，，单调递增，在上，，单调递减，故B 错误，的极大值也是最大值为，故C 正确；方程的解的个数，即为的解的个数，即为函数与图象交点的个数，作出函数与图象如图所示：(),6ln ln 1555P -()2ln5ln528ln 1656f ee '=-+=4161510ln 5y x =--()()4g xf x y =-()0ln 5g =()228616x x g x e e '=-+-()ln 50g '=()g x '(),ln 5-∞()ln 5,+∞()()ln 50g x g ≥=()g x ()f x ()ln x f x x =()f x 1x =1y x =-(),e -∞()f x 1e ()1f x =-()ln x f x x =()0,∞+()21ln x f x x-'=()11f '=()10f =()f x ()1,0()()011y f x '-=-()111y x x =⋅-=-()0,e ()0f x '>()f x ()e,+∞()0f x '<()f x ()f x ()ln e 1e e e f ==()ln 1x f x x==-ln x x =-ln y x =y x =-ln y x =y x =-由图象可知方程只有一个解，故D 错误.故选：AC .三、填空题21．（2021·湖北襄阳市·襄阳四中高三其他模拟）设点P 在曲线上，点Q 在曲线上，则|PQ |的最小值为_____.【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P 、Q 处的切线均与平行时，P 、Q 关于对称，|PQ |有最小，对应曲线平移到、后，P 、Q 关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴.()1f x =-221x y e +=+1y =+2(1)()x f x e +=()lng x =221x y e +=+1y =+()f x ()g x y x =1y x =+1y x =+()f x ()g x y x =10t x =+>2()()t f x m t e ==2()21t m t e '==ln 22t =-ln 21(22m -=ln 21(,22P -P y x =d ==||2PQ d ==22．（2021·全国高三其他模拟（文））曲线在点处的切线经过坐标原点，则___________.【答案】【解析】由，则，所以，所以，化简整理可得.故答案为：23．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数在处的切线方程为，则___.【答案】【解析】由，得，，，又切线方程为：，即，故，解得，故，，即，故答案为：.24．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则的值为___________.()1f x x b x =++()(),a f a ab =2-()1f x x b x =++()211f x x '=-()211f a a '=-()()()22011110f a f a b f a a a a a a-'=-===++-2ab =-2-()()2,xf x ae x b a b R =-+∈1x =()210e x y --+=()ln 2f '=0()2x f x ae x b =-+()2x f x ae '=-()12f ae '∴=-()12f ae b =-+()210e x y --+=()21y e x =-+22221ae e ae b e -=-⎧⎨-+=-+⎩1a b ==()21x f x e x =-+()2xf x e '=-()ln 2ln 220f e '=-=0()()2ln f x x x m x =+-11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20x y +=m【答案】【解析】的导数为，可得在点，处的切线的斜率为，又切线与直线平行，可得，解得，故故答案为：．25．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））若两曲线y＝x2+1与y＝a ln x+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．【答案】（0，2e]【解析】设公切线与曲线y＝x2+1和y＝a ln x+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，a ln x2+1），其中x2＞0，对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，对于y＝a ln x+1，y′＝，所以与曲线y＝a ln x+1相切的切线方程为y﹣（a ln x2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+a ln x2，所以，即有﹣＝a ln x2﹣a，由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2ln x，记f(x)＝4x2﹣4x2ln x（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8x ln x＝4x（1﹣2ln x），当x时，f′(x)＞0，即f(x)在（0）上单调递增，当x时，f′(x)＜0，即f(x)+∞）上单调递减，所以f(x)max＝f2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，所以0＜a≤2e．74()()2lnf x x x m x=+-()22mf x xx'=+-1(21())2f1(322f m'=-20x y+=1322m-=-74m=74ax2ax2ax122122111axxx a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩2224ax故答案为：（0，2e ]．26．（2021·辽宁高三其他模拟）已知，则曲线在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】由得，可得曲线在点处的切线的斜率为，切点为，则切线的方程为，即.故答案为：.27．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．故答案为：．28．（2021·四川高三月考（文））若曲线在处的切线与直线平行，则实数___________.【答案】-1【解析】因为，所以，在，因为函数在处的切线与直线平行，所以.故答案为：.29．（2021·安徽黄山市·高三一模（理））已知函数，过点作曲线的切线l ，则直线l 与曲线及y 轴围成的图形的面积为________________.【答案】【解析】由，过点作曲线的切线l ，设切点为()2ln f x x x x =+()y f x =()()1,1f 32y x =-()2ln f x x x x =+()1ln 2f x x x '=++()y f x =()(1,)1f ()13f '=(1,1)()131y x -=-32y x =-32y x =-212x y x -=+()1,3--520x y -+=1x =-3y =-()()()()222221522x x y x x +--==++'1|5x y =-='520x y -+=520x y -+=()cos f x x x =x π=10ax y -+=a =()cos f x x x =()cos sin f x x x x '=-()cos sin 1f ππππ'=-⋅=-x π=10ax y -+=()1a f π'==-1-()x f x e =(1,0)()y f x =()y f x =2e 1-()x f x e '=(1,0)()y f x =()00,x x e则，所以切线的方程为 由切线过点，则，解得：所以切线的方程为直线l 与曲线及y 轴围成的图形的面积为故答案为：30．（2021·湖南高三月考）若过点的任意一条直线都不与曲线相切，则的取值范围是________．【答案】【解析】设点为曲线上任意一点，因为，则曲线在点处的切线的方程为.据题意，切线不经过点，则关于的方程，即无实根，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：0x k e =l ()000-=-x x y ee x x (1,0)()0001x x e e x -=-02x =l 22y e x e =-()y f x =()()2222222021102x x e e x e dx e e x e x e ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2e 1-(),0A a ():1xC y x e =-a ()3,1-()()000,1x B x x e -C ()1xx x y e x e xe =+-='C B l ()()000001x x y x e x e x x --=-l A 0x ()()000001x x x ex e a x --=-()200110x a x -++=()2Δ140a =+-<31a -<<a ()3,1-()3,1-。
高考数学专题《过曲线上一点的切线、切点弦》填选压轴题及答案
专题37 过曲线上一点的切线、切点弦【方法点拨】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2外一点P (x 0，y 0) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；特别地，过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 说明：（1）上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入，将原方程作如下方法替换求出，20x x x →，20y y y →，02x xx +→，02y yy +→). （2）椭圆、抛物线也有类似结论，如过椭圆2222:1x y C a b +=上一点P (x 0，y 0)且与椭圆相切的直线方程是：00221x x y ya b+=，等等，不再赘述.【典型题示例】例1 已知抛物线C ：y 2＝2x ，过直线上y ＝x+2上一点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点 ． 【答案】(2,1)【解析】设P 点坐标为（x 0，x 0+2） 显然点P 不在抛物线C 上根据切点弦的公式，“抄一代一”得直线AB 的方程为：(x 0+2) y ＝x 0+x 即(x －2 y )＋x 0(1－y ) ＝0 所以直线AB 恒过定点(2,1).例2 过抛物线C ：x 2＝2py 上点M 作抛物线D ：y 2＝4x 的两条切线l 1，l 2，切点分别为P ，Q ，若△MPQ 的重心为G(1，32)，则p ＝ ．【答案】316【解析一】设11(,)P x y ，22(,)Q x y则l 1，l 2的方程分别是111()2y y x x =+，221()2y y x x =+由11221()21()2y y x x y y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解得，121242y y x y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即1212(,)42y y y y M + 又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以12121212211222413323244y y x x y y y y y x y x ⎧++⎪=⎪⎪+⎪⎪++⎨=⎪⎪⎪=⎪=⎪⎩，解之得121233y y y y =-⎧⎨+=⎩，故33(,)42M - 将33(,)42M -代入x 2＝2py 得316p =.【解析二】设200(,)2x M x p则PQ 的方程为2002()2x y x x p=+ 由20022()24x y x x p y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩消x 得220040py x y px -+= 所以2012x y y p +=，1204y y x =（11(,)P x y ，22(,)Q x y ）()422012120211844x x x y y x p ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭又因为△MPQ 的重心为G(1，32)所以400022200184133232x x x p x x p p ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解之得031634p x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，.例3 已知斜率为k 的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点M （－1，－1）满足MA ·MB ＝0，则｜AB ｜＝ （ ） A． B． C ．5 D ．6 【答案】C【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.（二）将MA ·MB ＝0直接代入坐标形式，列出关于A ，B 中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A ，B 中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA ·MB ＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单. 【解析一】易知p =2，y 2＝4x 由阿基米德三角形得AB 为切点弦所以AB 方程是－y ＝2（x －1），即y ＝－2 x ＋2 代入y 2＝4x 消y 得：x 2－3x ＋1=0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=3 ∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C. 【解析二】易知p =2设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=1，y 1y 2=－4，11(1,1)MA x y =++，22(1,1)MB x y =++ ∵MA ·MB ＝0∴1212(1)(1)(1)(1)0x x y y +++++=，化简得12121x x y y +++= 设A 、B 中点坐标为（x 0，y 0），则0012x y += ① 又由直线的斜率公式得12122212121204244AB y y y y k k y y x x y y y --=====-+-，001y k x =-∴00021y y x =-，即2002(1)y x =- ② 由①、②解得032x =∴12025AB x x p x p =++=+=，答案选C.例4 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x - 2)2 + (y - 2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、B （点 A 在点 B 的左侧），圆C 的弦 MN 过点T (3，4)，分别过 M 、N 作圆C 的切线，交点为 P ，则线段 AP 的最小值为 ．【答案】285 5【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.【解析】设点P坐标为(a，b )则切点弦MN的方程为：(a - 2)(x - 2)+ (b - 2)(y - 2)＝20又因为弦MN 过点T(3，4)，故(a - 2)(3 - 2)+ (b - 2)(4- 2)＝20，即a +2b - 26＝0即点P的轨迹方程是x +2y - 26＝0点A（－2,0）到该直线的距离为285 5，因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小所以点A（－2,0）到该直线的距离2855即为AP 的最小值.例 5 如图，在平面直角坐标系xoy中，直线l与椭圆22:14xC y+=、圆222(12)x y r r+=<<都相切，切点分别是点A、B，则当线段AB长度最大时，圆的半径r的值为．【答案】2【分析】先设出点B坐标，写出直线l的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于r ，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出AB 关于r 的目标函数，求出最值及取得最值时r 的值．【解析】设点B 坐标为(2cos ,sin )B αα（R α∈）则过点B 的椭圆的切线，即直线l 的方程为：2cos sin 14xy αα+=， 即cos 2sin 20x y αα+-=又因为直线l 与圆222x y r +=r =，且OA AB⊥在Rt OAB 中，222222244cos sin cos 4sin AB OB OA αααα=-=+-+2245[(13sin )]13sin αα=-+++而224(13sin )413sin αα++≥=+，当且仅当sin α=时，“=”成立，此时r ==AB 的最大值为1 所以当线段AB 长度最大时，圆的半径r 的．【巩固训练】1.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．2. 已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭3.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ， AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．4.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _ __.5. 已知P 为椭圆22:143x y C +=上的一个动点，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原(3,1)22(1)1x y -+=A B AB 230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=点，O 到椭圆C 在P 点处的切线为d ，若12247PF PF ⋅=，则d = ．6. 已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（ ） ABC ．2D7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(2)4x y -+=，点A 是直线20x y -+=的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ． 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点圆P 向圆C ：224x y +=引两条切线PC 、PD ，切点分别是C 、D ，设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 ．【答案或提示】1.【答案】A【解析】将(3,1)直接“一抄一代”得(31)(1)1x y --+=，即230x y +-=，选A. 2.【答案】A【解析】设P ()00,2x x --则直线AB 的方程是()0021x x x y -+=，即()()0210x x y y --+=令0210x y y -=⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ . 3.【答案】[3【提示】设A ()0,0x则直线PQ 的方程是()0332x x y --=，即0370x x y -+= 所以直线PQ 过定点70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.则PQ 长的最小值是过70,3⎛⎫ ⎪⎝⎭且平行于x 轴的弦，易得此时PQ ，直径是其上界.4.【答案】x 25＋y 24＝1【提示】AB 的方程是2x ＋y －2＝0，令x =0，y ＝2；令y =0，x ＝1.故c ＝2，b ＝1.5.【提示】P 1x y +=. 6.【答案】D【解析】设(,4)P a a -，则直线AB 的方程是(4)40ax a y +--=，即()440a x y y -+-=，当x y =且440y -=，即1x =，1y =时该方程恒成立， 所以直线AB 过定点N (1，1)，点M 到直线AB 距离的最大值即为点M ，N 之间的距离，||MN =所以点M (3，2)到直线AB 故选:D7.【答案】)⎡⎣【解析】设点的坐标为00(,2)A x x + 则PQ 的方程为00(2)(2)(2)4x x x y --++=， 分参得0(2)(22)0x y x x y +-+-+=所以20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解之得11x y =⎧⎨=⎩，直线PQ 恒过点（1,1）易求得过点（1,1）最短的弦长为4（取不得）故线段PQ 长的取值范围为)⎡⎣. 说明：引圆外一点A 到圆心O 的距离为参数，建立PQ 与AO 的目标函数，再利用基本不等式解决也可以.8.【答案】【解析】设点的坐标为00(,4)P x x + 则CD 的方程为00(4)4x x x y ++=， 分参得0()(44)0x y x y ++-=所以0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解之得11x y =-⎧⎨=⎩，直线CD 恒过点N （－1,1）又因为OM⊥CD，所以点M的轨迹是以ON为直径的圆（点O除外），故其方程是22111222 x y⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2 AM==。
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函数的切线方程新课标历届高考题专题训练1、（2007年文10）曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e2、（2007年理10）曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e3、（2008年文21）设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。
（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值。
4、（2009年文13）曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 。
5、（2010文4）曲线2y 21x x =-+在点（1,0）处的切线方程为（A ）1y x =-（B ）1y x =-+（C ）22y x =-（D ）22y x =-+6、(2010理3)曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 （A ）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-27、（2011文21）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a ，b 的值；8、（2012文13）曲线y =x (3ln x +1)在点（1,1）处的切线方程为_______9、(2012理12)设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（）()A 1ln2-()B ln 2)-()C 1ln2+()D ln 2)+10、（2013新课标Ⅱ文21）已知函数2()x f x x e-=。
（Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围。
11、（2013新课标Ⅰ理21）已知函数b ax x x f ++=2)(，)()(d cx e x g x+=若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y .求a ，b ，c ，d 的值；12、（2014新课标Ⅱ理8）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a =A. 0B. 1C. 2D. 313、（2014新课标Ⅱ文21）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点（0,2）处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.求a ；14、(2014新课标Ⅰ理21)设函数1(0ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ；高考题解析和答案：1、D2、D3、解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-． 当2x =时，12y =． ················································································ 2分 又2()b f x a x '=+， 于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩， 故3()f x x x=-． ···················································································· 6分 （Ⅱ）设00()P x y ，为曲线上任一点，由231y x '=+知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令0x =得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，． ······ 10分所以点00()P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为016262x x-=． 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6． ······························································································· 12分4、31y x =+5、A6、A7、221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即 1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =。
8、 9、B10、解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )．所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝()223'()22f t t t t t f t t t -=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝2x x+(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为[ 当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．11、（a =4 b =c =d =2）12、D13、2()36f x x x a '=-+，(0)f a '=曲线()y f x =在点（0，2）处的切线方程为2y ax =+ 由题设得22a-=-，所以1a = 14、函数()f x 的定义域为(0,)+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x --'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==故1,2a b ==………………………………………………5分。