高一数学方程的根与函数的零点
高一数学方程的根和函数的零点
例2.求函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点个数, 并指出 零点所在的大致区间.
练习：求下列函数的零点个数, 并指出零点所在 的大致区间. (1) f ( x ) 2 x ln( x 2) 3; ( 2) f ( x ) 4 4 x e
x 1
;
例3.如何由图象确定方程 ln x 2 x 6 0的根的个数 和根所在大致区间.
3.1函数与方程
3.1.1方程的根与函数的零点
函数y f ( x )的零点就是方程f ( x ) 0的实数根
例如：y x 2 1的零点就是1和 1
也就是函数y f ( x )的图象与x轴的交点的横坐标
zx xk
y
x1 O
x2 x
函数y f ( x )的图象与x轴有交点 函数y f ( x )有零点 方程y f ( x )有实数根
例1.求下列函数的零点： (1) y x 2 3 x 2; ( 2) y x 3 x; ( 3) y e x 1;
(4) y ln x 6; (5) y ln x 2 x 6
问题：一般地，如何判断函数是否存在零点? 阅读P 87探究至P 88例1前
零点存在定理： 如果函数y f ( x )在区间[a , b]上的图象是连续不断 的一条曲线, 并且有f (a ) f (b ) 0, 那么函数y f ( x ) 在区间(a , b)内有零点，即存在c (a , b ), 使得f (c ) 0, 这个c也就是方程f ( og 2 x 2 x 1的零点必落在区间( )
A.( 1,0) B.(0,1) C .(1,2) D.(1, e ) zx xk
zx xk
高一函数 知识点大全
高一函数知识点大全一、函数的定义函数是一种数学操作，它将输入值（或参数）映射到输出值（或结果）。
函数的定义通常包括函数名称、参数列表和函数体。
在高一阶段，我们将学习一些基本的函数，如一次函数、二次函数、幂函数和对数函数等。
二、函数的表示方法函数的表示方法有三种：符号表示法、列表表示法和图像表示法。
符号表示法是用函数名称和参数列表来表示函数，例如y = 2x + 1；列表表示法是将输入值和对应的输出值列成一个表格；图像表示法是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。
三、函数的性质函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。
奇偶性是指函数是否具有奇偶性；单调性是指函数在某个区间内是单调递增或单调递减；周期性是指函数是否存在周期性；对称性是指函数是否具有对称性。
四、函数的运算函数的运算包括函数的加减乘除、复合运算和反函数运算等。
函数的加减乘除是指将两个或多个函数进行加、减、乘、除运算；复合运算是指将多个函数嵌套在一起，形成一个复合函数；反函数运算是指将一个函数转换为其反函数。
五、函数的图像函数的图像是用来描述函数变化的直观工具。
在绘制函数的图像时，我们需要先确定函数的定义域和值域，然后根据函数的表达式绘制出对应的图像。
同时，我们还需要掌握一些常见的图像变换方法，如平移、伸缩和对称变换等。
六、函数的实际应用高一函数知识点还包括一些实际应用，如利用函数解决实际问题、利用函数进行数据分析等。
在实际问题中，我们需要根据问题的具体情境来选择合适的函数和数学模型进行解决。
我们还需要掌握一些数据处理和分析的方法，如回归分析、聚类分析等。
高一函数知识点是数学学习的重要内容之一。
通过学习和掌握这些知识点，我们可以更好地理解函数的本质和特点，为后续的学习和实际应用打下坚实的基础。
高一函数知识点总结函数是数学的重要概念，是高中数学的核心内容。
在初中数学中，函数通常被视为变量之间的依赖关系，而高中的函数则更加强调映射的概念。
高中数学 第8章 函数应用 8.1.1 函数的零点教学案(含解析)高一第一册数学教学案
8.1 二分法与求方程近似解8.1.1 函数的零点一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．3．零点存在性定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y ＝f(x)在区间(a，b)上有零点．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．( )(2)任意两个零点之间函数值保持同号．( )(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0．( )[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x )＝x 2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x )在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0．[答案] (1)× (2)× (3)×2．(一题两空)函数y ＝x 2＋3x ＋2的零点是________，其图象与x 轴的交点为________． －1，－2 (－1,0)，(－2,0) [令x 2＋3x ＋2＝0，则(x ＋2)(x ＋1)＝0，∴x ＝－1或x ＝－2．]3．若函数f (x )在区间[2,5]上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x )在区间(2,5)上零点的个数是________．1 [由f (x )在区间[2,5]上是减函数，可得f (x )至多有一个零点．又因为f (x )是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x )在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x )恰有一个零点．]求函数的零点(1)f (x )＝x 3－x ；(2)f (x )＝2x－8；(3)f (x )＝1－log 4 x ；(4)f (x )＝(ax －1)(x －2)(a ∈R )．[思路点拨] 根据函数的零点和方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．[解] (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1，0,1．(2)令f (x )＝2x－8＝0，∴x ＝3， 故f (x )的零点为x ＝3．(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4． 故f (x )的零点为x ＝4．(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2， 令f (x )＝0，得x ＝2． ∴f (x )的零点为2．当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0，得x 1＝x 2＝2． ∴f (x )有零点2．当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0，得x 1＝1a ，x 2＝2．∴f (x )的零点为1a，2．综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a，2．函数的零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[跟进训练]1．求下列函数的零点．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1，x >12x －1－1，x ≤1；(2)f (x )＝(2x－3)ln(x －2)；(3)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]．[解] (1)当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1．所以函数的零点是1和2．(2)因为函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以2x>4， 由(2x－3)ln(x －2)＝0，得x －2＝1，所以x ＝3， 即函数f (x )＝(2x－3)ln(x －2)的零点是3． (3)因为x ∈[0，π]，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π3，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，得2x －π3＝0或2x －π3＝π，解得x ＝π6或x ＝2π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈[0，π]的零点是π6和2π3．零点存在性定理及其应用x序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34． [思路点拨] 利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．③ [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．] 1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x )的图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )>0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．[跟进训练]2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x ＋3)＝0(e≈2．72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x－1 0 1 2 3e x0．37 1 2．72 7．40 20．12 x ＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③ [设f (x )＝e x－(x ＋3)，由上表可知，f (－1)＝0．37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2．72－4<0，f (2)＝7．40－5>0，f (3)＝20．12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x－(x ＋3)＝0的根在(1,2)内．]函数零点(方程不等实根)个数的判断1．如何去求一个方程的零点？[提示] (1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理． 2．求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？ [提示] 解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x－3x ．图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．【例3】 (1)函数f (x )＝e x－3的零点个数为________． (2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数． [思路点拨] (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．(1)1 (2)2 [(1)令f (x )＝0，∴e x－3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2)在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2．] (3)[解] 法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a ． 令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a ．作函数f (x )＝－x 2＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－254×－1＝134，画出如图所示的简图： 由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0．Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13．①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．(变条件)若把本例(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题． [解] 原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134， f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3．故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示： 由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一个实数根；②当3＜a ＜134时，方程有两实数根；③当a ≤1或a ＞134时，方程无实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]3．函数f (x )＝lg x －sin x 的零点有i (i ∈N *)个，记为x i ，x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，则k 构成的集合为______________．{1,4,5} [由f (x )＝lg x －sin x 得lg x ＝sin x ，在同一坐标系中作出y ＝lg x 和y ＝sin x 的图象，如下图，由图象知，函数f (x )＝lg x －sin x 有三个零点x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫2π，5π2，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫5π2，3π，因为x i ∈(k π2，k ＋1π2)，k ∈N *，所以k ＝1,4,5，所以k 构成的集合为{1,4,5}．]1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )A [B 、C 、D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0，则e x＝－x ＋3．分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象(图略)，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3．应选C ．]3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：4 [∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．]4．函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，求实数a 的取值范围．[解] 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103．。
数学高中必修知识点必备
数学高中必修知识点必备人教版数学必修一知识点1、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
(2)方程0)(xf有实根Û函数()yfx的图像与x轴有交点Û函数()yfx有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。
②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。
③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(2、函数零点的判定(1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。
(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法①代数法：函数)(xfy的零点Û0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0)(xfy有2个零点Û0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点Û0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点Û0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.高一数学下册必修知识点整理一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高一数学 方程的根与函数的零点精华教案
芯衣州星海市涌泉学校课题3.1.1方程的根与函数的零点三维教学目标知识与才能1.理解函数〔结合二次函数〕零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的断定条件；〔ABC〕2.培养学生的观察才能；〔ABC〕3.培养学生的抽象概括才能。
〔AB〕过程与方法1.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；〔ABC〕2.让学生归纳整理本节所学知识．〔AB〕情感、态度、价值观在函数与方程的联络中体验数学中的转化思想的意义和价值。
〔ABC〕教学内容分析教学重点零点的概念及存在性的断定。
教学难点零点确实定。
教学流程与教学内容一、创设情景，提醒课题1、提出问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个详细的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：〔用投影仪给出〕①方程与函数②方程与函数③方程与函数1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立考虑完成解答，观察、考虑、总结、概括得出结论，并进展交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？二、互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①〔代数法〕求方程的实数根；②〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探究其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探究研究二次函数的零点情况，并进展交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．〔１〕△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．〔２〕△＝０，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或者者二阶零点．〔３〕△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探究：〔Ⅰ〕观察二次函数的图象：①在区间上有零点______；_______，_______,·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上有零点______；·____0〔＜或者者＞＝〕．〔Ⅱ〕观察下面函数的图象①在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．②在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．③在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或者者＞＝〕．由以上两步探究，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探究，完成解答，并认真考虑．〔AB〕师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，考虑、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进展交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．三、稳固深化，开展思维1．学生在教师指导下完成以下例题〔AB〕例1．求函数f(x)=㏑x＋2x－6的零点个数。
方程的根与函数的零点
一、教材结构与内容简析 二、教学目标 三、教学重点、难点 四、教法分析 五、教学过程 六、教学反思
一、教材结构与内容简析
方程的根与函数的零点是全日制普通高中《数学》 （必修1）第一册（人民教育出版社），第三章第一 节第一课时的内容。
本节是在学习了前两章函数的性质的基础上，结合 函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个 数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握 函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二 分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基 础．
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象
x1 0
x x2
△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y
x 0 x1
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论 1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
（二）启发引导，形成概念
1．函数零点的概念：
对于函数 y f (x),(xD，) 把使 f (x) 0 成立的实数 x 叫做函
数 的零点。
2．等价关系：方程 有实数根 交点 函数 有零点． 注：零点不是点。
函数 的图象与 轴有
故求一个函数的零点的方法有两种： 1.求与之对应的的方程的实根； 2.作函数图像，看函数与x轴的交点。
（三）初步运用，示例练习
《方程的根与函数零点》教案
《方程的根与函数零点》教案高一数学组：熊习锋一、教材分析“方程的根与函数的零点”中主要教学内容是函数零点的定义和零点存在性定理。
函数零点的定义将数与形，函数与方程有机地联系在一起，它的发现及应用过程是培养学生化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的优质载体。
而零点存在性定理的得出也要通过对这三种数学思想的应用来加以实现,所以本节课的学习，对于提高学生的直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括等数学思维能力有着重要的意义。
方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。
方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。
二、学情分析学生之前已经学习了函数的图象和性质，理解了函数图象与性质之间的关系，已经能初步用数形结合思想解决简单问题，这为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持；学生有一定的方程知识的基础，知道从特殊到一般的归纳方法，这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据。
但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数零点的存在性时造成了一定的难度，又加上这种函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。
因此，教学中尽可能提供学生动手实践的机会，利用信息技术工具，让学生从亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程，通过直观感受发现并归纳出函数的零点概念；在函数零点存在性判定方法的教学时，应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维，引导学生通过观察、计算、作图，思考，理解问题的本质。
高一数学必修1第三章知识点
高一数学必修1第三章知识点第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。
2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．3、函数零点的求法：1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，能够将它与函数yf(x)的图象联系起来，○并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。
k(k0)没有零点。
x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。
②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。
⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。
6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。
7、确定零点在某区间a,b个数是的条件是：①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。
8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；x若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．9、二分法的定义对于在区间[a，b]上连续持续，且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过持续地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型实行分析评价，选出合适的函数模型12扩展阅读：高一数学必修1各章知识点总结金太阳新课标资源网高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合相关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性：如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
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设计意图 通过小组讨论完成探 究，教师恰当辅导， 引导学生大胆猜想出 函数零点存在性的判 定方法.这样设计既符 合学生的认知特点， 也让学生经历从特殊 到一般过程
创设情景 创设情景 启发引导 新知探究 新知初用 体会新知 讨论探究 导出课题 导出课题 形成概念 形成概念 示例练习 深化联系 揭示定理
（四）讨论探究，揭示定理
反馈练习： 函 数 f ( x) 3( x 2)(x 3)(x 4) x 点的区间是（ ） ． 必有一个零
设计意图
通过反馈练习,使学 生初步运用定理来解决 “找出函数零点所在区 间”这一类问题。 引导学生观察图象的 单调性以及在每一个单 调区间的零点情况，让 学生认识到函数的图象 及基本性质（特别是单 调性）在确定函数零点 中的重要作用，为后面 的例题学习作好铺垫。
教 材 分 析
本着新课程标准的教学理念，针对教学内容的特点， 我确立了如下的教学重点、难点：
教学重点
体会函数的零点与方程的根之间的关系，掌握函 数零点存在定理, 能结合图象求解零点问题。
教学难点
1、引导学生探究发现函数零点的概念及零点定理。 2、函数零点个数的确定。
教 法 学 法 分 析
教法分析
根据本节课的特点，为了提高教学效率， 让学生在轻松的环境下获得直观的感受，使 数学的课堂富有趣味性，拟借助计算机工具 和构建生活中的模型，采用引导发现和讨论 归纳相结合的教学方法，再通过具体问题的 提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动 学生的主体能动性，让每一个学生充分地参 与到学习活动中来。
学情分析 学法分析
体会新知 新知应用 知识应用 课堂总结 反思小结作业设计 作业设计 巩固深化 巩固升化 尝试练习 加深理解 培养能力呼应目标 呼应目标
（四）讨论探究，揭示定理 六人小组讨论，完成探究.
问题 4：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？ 探究: 观察二次函数 y x2 2x 3 的图象，如下图， 我们发现函数 y x2 2x 3 在区间 [2,1] 上有零点． 计算 f (2) 和 f (1) 的乘积， 你能发现这个乘积有什么特点？ 在区间 [2,4] 上是否也具有这种特点呢？ 猜想：若函数在区间[a,b]上图象是连续的， 如果有 成立，那么函数在区间(a,b)上有零点．
创设情景 启发引导 导出课题 形成概念
新知初用 示例练习
讨论探究 揭示定理
体会新知 巩固深化
知识应用 尝试练习
反思小结 作业设计 培养能力 呼应目标
（一）、创设情景，导出课题 问题1：天天的爸爸帮天天做长方体 学习用具，将72厘米长的铁丝截成12 段，焊接成长方体框架，要求长为宽 的2倍，则长方体的体积可以是200立 方厘米吗？ 注: 6 x3 36 x2 200 0 无法通过因式分 解或求根公式得到求解.
教学目标
教 材 分 析
根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，考虑学 生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标： （一）知识与技能： 1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌 握函数零点存在性判定定理。 2．培养学生自主发现、探究实践的能力。 （二）过程与方法： 通过研究具体二次函数，探究函数存在零点的判定方法。从具体到 一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透相 关的数学思想。 （三）情感态度与价值观： 在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具 体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的 科学态度和锲而不舍的求学精神。鼓励学生通过观察类比提高发现、分 析、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积 极态度。
设计意图
通过问题2的探 究，得出函数 零点的概念以 及函数零点与 方程根的关系。 这有利于培养 学生思维的完 整性,也为学生 归纳方程与函 数的关系打下 基础.
x2 2 x 3 0 x2 2 x 1 0
x 2 2x 3 0
y x2 2 x 3
y x2 2 x 1
设计意图 通过问题1造成学生 的认知冲突，引发学 生的好奇心和求知欲， 推动问题进一步探究。 开门见山地提出用函 数的思想解决方程根 的问题，点明本节课 的课题。
创设情景 启发引导 导出课题 形成概念
新知初用 示例练习
讨论探究 揭示定理
体会新知 巩固深化
知识应用 尝试练习
反思小结 作业设计 培养能力 呼应目标
2． 等价关系： 方程 f ( x) 0 有实数根 函数 y f ( x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y f ( x) 有零点．
创设情景 创设情景 启发引导 新知探究 新知初用 新知初用 讨论探究 导出课题 导出课题 形成概念 形成概念 示例练习 示例练习 揭示定理
体会新知 新知应用 知识应用 课堂总结 反思小结作业设计 作业设计 巩固深化 巩固升化 尝试练习 加深理解 培养能力呼应目标 呼应目标
创设情景 创设情景 启发引导 新知探究 新知初用 体会新知 讨论探究 导出课题 导出课题 形成概念 形成概念 示例练习 深化联系 揭示定理
体会新知 新知应用 知识应用 课堂总结 反思小结作业设计 作业设计 巩固深化 巩固升化 尝试练习 加深理解 培养能力呼应目标 呼应目标
（五）体会新知,巩固深化
例2 求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点个数． 解：用计算器作出 x、f(x)的对应值表． x 1 2 3 4 5 f(x) 由表格可知 f(2)<0,f(3)>0，即 f(2)〃f(3)<0， 说明这个函数在区间(2,3)内有零点．由于函数 f(x) 在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
教 法 学 法 分 析
通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等 函数的模型，掌握了函数图象的一般画法，及一 定的看图识图能力,这为本节课利用函数图象， 判断方程根的存在性提供了一定的知识基础。对 函数零点概念本质的理解，学生缺乏的是函数的 观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程 之间的联系缺乏了解。由此作为函数应用的第一 课时，有必要点明函数的核心地位，初步树立起 函数应用的意识。并从此出发，通过教师创设的 问题情景，再通过实例的确认与体验。经观察、 发现、讨论、探究、归纳和动手尝试相结合的方 法来获取知识，让学生成为学习的主人。
数学 (必修1) 第三章:函数的应用
一．教材分析 二．教法学法分析
三．教学过程分析
四．教学反思
教材的地位和作用
教 材 分 析
普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一 章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函 数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。第三章编排 了两块内容，一是函数与方程，二是函数模型及其应 用。我设计的内容是第三章第一块中的第一节，它是 建立和运用函数模型的大背景下展开的，是学习第二 节“用二分法求方程的近似解”的理论基础,同时也 要为后续学习的算法埋下伏笔.由此可见，它起着承 上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好 本节意义重大。
教 (一) 学 创 设 过 情 景 程 导 出 分 课 题 析
(二)
(三)
(四 )
(五)
(六 )
(七 )
(八)
启 发 引 导 形 成 概 念
新 知 初 用 示 例 练 习
讨 论 探 究 揭 示 定 理
体 会 新 知 巩 固 深 化
知 识 应 用 尝 试 练 习
反 思 小 结 培 养 能 力
作 业 设 计 呼 应 目 标
2
设计意图
把具体的结论 推广到一般情 况,向学生渗透 “从最简单、 最熟悉的问题 入手解决较复 杂问题”的思 维方法,培养学 生的归纳能 力．
y ax2 bx c (a 0) 的图象与 x 轴交点的关系， 上述
结论是否仍然成立？(观察表二)
ax2 bx c 0 (a 0)
（三）、新知初用，示例练习
例 1 求函数 f ( x) lg( x 2) 的零点．
设计意图 巩固函数零点的 求法，渗透二次函数
x f ( x ) 3 1 变式练习：求函数
的零点．
以外的函数零点的情 况．进一步体会方程 与函数的关系．
创设情景 创设情景 启发引导 新知探究 新知初用 体会新知 讨论探究 导出课题 导出课题 形成概念 形成概念 示例练习 深化联系 揭示定理
A．(-5, -4) B．(-4,-3) C．(-1, 0) D．(0,2) 分析：判断是否满足 f(a)f(b)<0．
y
40
－5
. －2 20 －4 .－3 . －1 0
－20 －40
. .
1 2 3 4 5
x
.
. .
－60
. . .
－80
结论：若函数 y f ( x) 在其定义域内的某个区间上是 单调的，则 f ( x) 在这个区间上至多有一个零点．
4．判定零点存在性的方法： （1）利用定理;（2）利用图象．
创设情景 创设情景 启发引导 新知探究 新知初用 体会新知 讨论探究 导出课题 导出课题 形成概念 形成概念 示例练习 深化联系 揭示定理
体会新知 新知应用 知识应用 课堂总结 反思小结作业设计 作业设计 巩固深化 巩固升化 尝试练习 加深理解 培养能力呼应目标 呼应目标
设计意图
引导学生理解 函 数零点存在定 理，分析其中各 条件的作用 ，并 通过特殊图象来 帮助学生理解,将 抽象的问题转化 为直观形象的图 形，更利于学生 理解定理的本质。
3 ． 说 明 ： 若 函 数 y=f(x) 在 区 间 (a, b) 内 有 零 点 ， 不 一 定 能 得 出
f(a)〃f(b)<0 的结论，也就是说上述定理不可逆．