2018年中考数学专题复习：圆综合训练二

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2018年中考数学圆的综合题试题

2018年中考数学圆的综合题试题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--圆的综合题1.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝13，延长OE到点F，使EF＝2OE.(1)求证：∠BOE＝∠ACB;(2)求⊙O的半径；(3)求证：BF是⊙O的切线．2. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且AD DE，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O 的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC 于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．6 (2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E 为DC的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.(1)求证：AB＝AG；(2)(2)若DG＝DE，求证：GB2＝GC·GA；(3)在(2)的条件下，若tan D＝34，EG＝10，求⊙O的半径．7.(2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为AD上一点，且AF BC，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E. (1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD≌△AFD；(3)若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．8. 如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)求证：∠PCA＝∠ABC；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sin P＝35，CF＝5，求BE的长．9、(2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB 于点M，若H是AC的中点，连接MH。

2018年苏州中考数学《第六讲：圆的综合题》专题复习含答案

2018年苏州中考数学专题辅导第六讲圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；图1A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

圆的基本性质(解析版)2018年数学全国中考真题-2

2018年数学全国中考真题圆的基本性质（试题二）解析版一、选择题1. （2018广西省柳州市，8，3分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，⊙A ＝60°，⊙B ＝24°，则⊙C 的度数为( )第8题图 A ．84° B．60°C ．36°D ．24°【答案】D【解析】∵AD 所对的圆周角是∠B 和∠C ，∴∠C ＝∠B ＝24°.【知识点】圆周角定理2. （2018广西贵港，9，3分）如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠A ＝66°，则∠OCB 的度数是 A ．24° B ．28° C ．33° D ．48°【答案】A【解析】∵∠A ＝66°，∴∠BOC ＝2∠A ＝132°，又OC ＝OB ，∴∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝24°，故选A ．3. （2018贵州铜仁，5，4）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（） A.55° B.110° C.120° D.125°【答案】D ，【解析】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA 、EB ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠E 的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB 的度数.【解答过程】设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA 、EB ，如图， ∵∠AOB=110°，∴∠AEB=12∠AOB=55°，∴∠ACB=180°-∠E=125°.4. （2018江苏苏州，7，3分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点．若∠BOC＝40°，则∠D 的度数为 A ．100° B ．110°C ．120°D ．130°【答案】B【解析】本题解答时要利用等腰三角形的性质和圆的内接四边形的对角互补的性质进行计算.∵OC =OB ，∠BOC =40゜，∴∠B =70゜，∴∠D =180゜-70゜=110゜，故选B .5. （2018内蒙古通辽，7，3分）已知⊙O 的半径为10，圆心O 到弦AB 的距离为5，则弦AB 所对圆周角的度数是 A ．30° B ．60° C ．30°或150° D ．60°或120° 【答案】D【解析】如答图，连接OA 、OB ，∵OC ⊥AB ，∴OC ＝5，OA ＝OB ＝10，又OC ＝12OA ，∴cos ∠AOC ＝12，∴∠AOC ＝60°∴∠AOB ＝120°，∴弦AB 所对的圆周角的度数是60°或120°．故选D ．6.（湖北省咸宁市，7，3）如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别为∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD =6，则弦AB 的长为( )A ．6B ．8 C． D．【答案】【解析】解：作OF ⊥AB 于F ，作直径BE ，连接AE ，如图， ∵∠AOB+∠COD=180°，而∠AOE+∠AOB=180°， ∴∠AOE=∠COD ， ∴AE DC ，∴AE=DC=6，∵OF ⊥AB ， ∴BF=AF ，而OB=OE ，∴OF 为△ABE 的中位线，由勾股定理可得AF=4，∴AB=8，故选择B ．【知识点】圆周角定理；垂径定理；三角形中位线性质7. (2018湖北黄石，8，3分)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD ＝30°，BO ＝4，则BD 的长为( )第8题图A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π FE【答案】D 【解析】连接OD ，则∠AOD ＝2∠B ＝60°，∴∠BOD ＝120°.∴l BD ＝120180π×4＝83π.8. (2018湖南邵阳，6，3分)如图(二)所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°图(二)【答案】B ，【解析】根据“圆内接四边形的对角互补”可得∠BCD ＋∠A ＝180°，因为∠BCD ＝120°所以∠A ＝60°．又根据“在同圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍”，所以∠BOD ＝2∠A ＝120°．故选B ．9.（2018四川眉山，6，3分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠P ＝36°，则∠B 等于（）A ．27°B ．32°C ．36°D ．54°【答案】A ，【解析】由P A 是⊙O 的切线，可得⊙OAP ＝90°，∴∠AOP ＝54°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠B ＝27°10. （2018辽宁锦州，7，3分）如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，过B 、C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF 、CF ，若∠EDC=135°，CF=22，则AE 2+BE 2的值为A 、8B 、12C 、16D 、20D【答案】C，【解析】：如图，∠EDC=1350，∠ACB=90°，得△ACB是等腰直角三角形，ECF是等腰直角三角形，得△AEC与△BFC是全等三角形，AE=BF,△EBF是直角三角形，AE2+BE2=FE2=2FC2.二、填空题100，则弧AB所对的圆周角是°.1.（2018广东省，11，3）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是【答案】50°【解析】同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆心角为100°，所以圆周角为50°.【知识点】圆周角、圆心角关系2. （2018海南省，18，4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（20，0），点B 的坐标是（16，0），点C ， D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形，则点C 的坐标为________．【答案】（2，6）【思路分析】过点M 作MN ⊥CD ，垂足为点N ，连接CM ，过点C 作CE ⊥OA ，垂足为点E ，由题意可知OB 及圆的半径长，OB =CD ，由垂径定理可求得MN 的长，CN =EM ，从而求出OE 的长，进而得到点C 的坐标．【解题过程】过点M 作MN ⊥CD ，垂足为点N ，连接CM ，过点C 作CE ⊥OA ，垂足为点E ，点A 的坐标是（20，0），所以CM =OM =10，点B 的坐标是（16，0），所以CD =OB =16，由垂径定理可知，821==CD CN ，在Rt⊙CMN 中，CM =10，CN =8，由勾股定理可知MN =6，所以CE =MN =6，OE =OM ﹣EM =10﹣8=2，所以点C 的坐标为（2，6）．【知识点】垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质3. （2018黑龙江省龙东地区，6，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝＝1，则⊙O 的半径为________．【答案】5【解析】连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝12CD ，∵CD ＝6，∴CE ＝3．设⊙O 的半径为r ，则OC ＝r ，∵EB ＝1，∴OE ＝4，在Rt △OCE 中，由勾股定理得OE 2＋CE 2＝OC 2，∴（r －1）2＋32＝r 2，解得r ＝5，∴⊙O 的半径为5．D【知识点】垂径定理；勾股定理4.（2018黑龙江绥化，16，3分）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是．（结果用含π的式子表示）【答案】4π-.【解析】解：连接OA，OB，OC，过O点作OD⊥BC于点D.∵△ABC为等边三角形，∴∠OBD=30°.∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴OD=1，∴∴S△ABC=3S△OBC=3×12BC·OD=D∴S阴影=4π-故答案为：4π-【知识点】含30°角的直角三角形的性质，垂径定理，三角形面积计算，圆的面积计算5.（2018黑龙江绥化，20，3分）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升 cm【答案】10或70.【解析】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC=12AB=30，在Rt△OBC中，当水位上升到圆心以下时水面宽80 cm则OC′，水面上升的高度为：40-30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70.【知识点】垂径定理，勾股定理6.7.（2018浙江嘉兴，14，4）如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为cm．【解析】根据题意，抽象出数学图形根据题意可知：AD ＝10，∠AOD ＝120°，由OA ＝OD ，∴∠DAO ＝30°，设OE ＝x ，则OA ＝2x ，∵OE ⊥AD ，∴AE ＝DE ＝5，在Rt △AOE 中，x 2+52＝（2x ）2，解得：xCE ＝OE8. （2018贵州省毕节市，19，3分）如图,AB 是⊙O 的直径，C 、D 为半圆的三等分点，CE ⊥AB 于点E ， ∠ACE 的度数为______.【答案】30°．【解题过程】∵AB 是⊙O 的直径,C 、D 为半圆的三等分点，∴∠A ＝∠BOD ＝13×180°＝60°，又∵CE ⊥AB ，∴∠ACE ＝90°－60°＝30°．【知识点】圆的性质；直角三角形的性质9.（2018吉林省，13, 2分）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，=⌒BC ，，若∠AOB=58°，则∠BDC=___ 度．BO【答案】29【解析】连接CO，根据同圆中，等弧所对圆心角相等，则∠COB=∠AOB=58°，∴∠BDC=29°【知识点】圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系10.（2018江苏扬州，15，3）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= ．2【答案】2【思路分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．【解题过程】连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为2．【知识点】三角形的外接圆和外心，圆内接四边形对边互补，圆周角的性质11.（2018青海，9，2分）如图5，A、B、C是⊙O上的三点，若∠AOC=110°,则∠ABC= . 【答案】125°．【解析】如图所示：优弧AC上任取一点D，连接AD、CD，∵∠AOC=110°，∴∠ADC=∠AOC=×110°=55°，∵四边形ABCD内接与⊙O，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=180°﹣55°=125°．【知识点】圆内接四边形的性质，圆周角的性质12. （2018江苏镇江，9，2分）如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝________°．【答案】40°．【解析】如答图所示，连接B C ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°．∵∠BCD ＝∠BAD ＝50°，∴∠ACD ＝∠ACB －∠BCD ＝90°－50°＝40°．13. （2018内蒙古通辽，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 相交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是．【答案】52【解析】设M （a ，b ），则N （b ，a ），依题意，得：a 2＋b 2＝52……①（第9题答图）（第9题图）a 2－ab －12（a －b ）2＝3.5……②①、②联立解得a ＝572，b ＝432所以M 、N 的坐标分别为（572，432），（432，572）作M 关于x 轴的对称点M ′，则M ′的坐标为（572，－432），则M ′N 的距离即为PM ＋PN 的最小值．由于M ′N 2＝（572－432）2＋（－432－572）2＝50，所以M ′N ＝52，故应填：52．14. （2018山东莱芜，16，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2a ，E 为BC 边的中点，⌒AE 、⌒DE 的圆心分别在边AB 、CD 上，这两段圆弧在正方形内交于点F ，则E 、F 间的距离为_______．【答案】32a【思路分析】先用勾股定理求出⌒DFE 的所在圆的半径，再由垂径定理求出EF 的长．【解题过程】解：如图，设⌒DFE 的圆心为G ，作GH ⊥EF 于H ，连接EG ．设⌒DFE 所在圆的半径为x ，在Rt △CEG 中，EG 2＝CG 2＋CE 2，则x 2＝(2a －x )2＋a 2，解得x ＝54a ；由垂径定理，得EF ＝2EH ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54a 2－a 2＝32a ．故答案为32a ．【知识点】正方形的性质；勾股定理；垂径定理；15. （2018湖北随州12，3分）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝40度，∠C ＝20度，则∠B ＝______度．EEA D【答案】60．【解析】如图，连接OA ，根据“同圆的半径相等”可得OA ＝OC ＝OB ，所以∠C ＝∠OAC ，∠OAB ＝∠B ，故∠B ＝∠OAB ＝∠OAC ＋∠BAC ＝∠C ＋∠BAC ＝20°＋40°＝60°．16.（2018湖北随州16，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝5，BC ＝CD 且BC ＞AB ，BD ＝8．给出下列判断：①AC 垂直平分BD ；②四边形ABCD 的面积S ＝AC ·BD ；③顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；④当A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为256； ⑤将△ABD 沿直线BD 对折，点A 落在点E 处，连接BE 并延长交CD 于点F ，当BF ⊥CD 时，点F 到直线AB 的距离为678125．其中正确的是______________．（写出所有正确判断的序号）【答案】①③④．【解析】根据“到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，A ，C 两点都在线段BD 的垂直平分线上，又“两点确定一条直线”，所以AC 垂直平分BD ，故①正确；如图1，取AC ，BD 的交点为点O ，则由①知OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，所以S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12AC ·OB ＋12AC ·OD ＝12AC ·(OB ＋OD )＝ 12AC ·BD ，故②错误；如图2，取AB ，BC ，CD ，AD 四边的中点分别为P ，Q ，M ，N ，则由三角形的中位线定理得PQ ∥AC ∥MN ，PQ ＝MN ＝12AC ，PN ∥BD ∥QM ，PN ＝QM ＝12BD ，于是知四边形PQMN 及阴影四边形都是平行四边形．又由①知AC ⊥BC ，所以可证∠AOB ＝∠QPN ＝90°，故四边形PQMN 为矩形．若AC ＝BD ，则有PQ ＝PN ，四边O ABCCBAO ABDC形PQMN 是正方形，所以顺次连接四边形ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形，故③正确；当A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上时，四边形ABCD 是这个圆的内接四边形，则∠ABC ＋∠ADC ＝180°．根据“SSS ”可证△ABC ≌△ADC ，所以∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则AC 是这个圆的直径．由①知BO ＝OD ＝12BD ＝4，在Rt △AOB 中，根据勾股定理，求得AO＝3．然后，证明△AOB ∽△ABC ，得到AB 2＝AO ·AC ，所以AC ＝253，该圆的半径为256，故④正确；如图1，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，由折叠知，AE ＝2AO ＝6，BE ＝BA ＝5．由于BF ⊥CD ，AE ⊥BD ，可证得△BOE ∽△BFD ，所以BO BF ＝BE BD ，即4BF ＝58，BF ＝325．因为S △ABE ＝12AB ·EH＝12AE ·BO ，所以EH ＝645⨯＝245．又可证△BEH ∽△BFG ，所以EH FG ＝BE BF ，即245FG ＝5325，FG ＝768125，故⑤错误．17. （2018云南曲靖，10，3分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为BC 延长线上一点，若∠A ＝n °，则∠DCE ＝_________【答案】n °【解析】圆内接四边形的对角互补，所以∠BCD ＝180°－∠A ，而三点BCD 在一条直线上，则∠DCE ＝180°－∠BCD ，所以∠DCE ＝∠A ＝n °.18. （2018年浙江省义乌市，13，5）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB =120°，从A 到B 只有路AB ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB ．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B 走了_________步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：图1GFEH OABDC 图21.732，π取3.142）【答案】15【解析】作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=12OA=10，，∴69（步）；而AB的长=12020180π⨯≈84（步），AB的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．故答案为15．【知识点】垂径定理；勾股定理19.（2018浙江舟山，14，4）如图，量角器的O度刻度线为AB．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A、D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为cm．BC【解析】根据题意，抽象出数学图形根据题意可知：AD ＝10，∠AOD ＝120°，由OA ＝OD ，∴∠DAO ＝30°，设OE ＝x ，则OA ＝2x ，∵OE ⊥AD ，∴AE ＝DE ＝5，在Rt △AOE 中，x 2+52＝（2x ）2，解得：x ，∴CE ＝OE．三、解答题1. （2018年江苏省南京市，26，8分）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE .过点A 作AF DE ⊥，垂足为F .⊙O 经过点C 、D 、F ，与AD 相交于点G .（1）求证AFG DFC ∽△△；（2）若正方形ABCD 的边长为4，1AE =，求O 的半径.【思路分析】（1）欲证明△AFG ∽△DFC ，只要证明∠FAG=∠FDC ，∠AGF=∠FCD ；（2）首先证明CG 是直径，求出CG 即可解决问题；【解题过程】（1）证明：在正方形ABCD 中，90ADC ∠=. ∴90CDF ADF ∠+∠=. ∵AF DE ⊥. ∴90AFD ∠=.∴90DAF ADF ∠+∠=. ∴DAF CDF ∠=∠.∵四边形GFCD 是⊙O 的内接四边形， ∴180FCD DGF ∠+∠=. 又180FGA DGF ∠+∠=，O∴FGA FCD ∠=∠. ∴AFG DFC ∽△△. （2）解：如图，连接CG .∵90EAD AFD ∠=∠=，EDA ADF ∠=∠， ∴EDA ADF ∽△△. ∴EA DA AF DF =，即EA AFDA DF=. ∵AFG DFC ∽△△， ∴AG AFDC DF =. ∴AG EADC DA=. 在正方形ABCD 中，DA DC =，∴1AG EA ==，413DG DA AG =-=-=.∴5CG ===.∵90CDG ∠=， ∴CG 是⊙O 的直径. ∴⊙O 的半径为52.【知识点】相似三角形的判定和性质正方形的性质圆周角定理及推论2. （2018江苏徐州，28，10分）如图，将等腰直角三角形ABC 对折，折痕为CD ．展平后，再将点B 折叠再边AC 上，（不与A 、C 重合）折痕为EF ，点B 在AC 上的对应点为M ，设C D 与EM 交于点P ，连接PF ．已知BC ＝4．（1）若点M 为AC 的中点，求CF 的长；（2）随着点M 在边AC 上取不同的位置．①△PFM 的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM 的周长的取值范围.第28题图【解答过程】解：（1）根据题意，设BF ＝FM ＝x ，则CF ＝4－x ，∵M 为AC 中点，AC ＝BC ＝4，∴ CM ＝12AC ＝2，∵∠ACB ＝90°，∴CF 2+CM 2＝FM 2，∴(4－x )2+22＝x 2，解得x ＝52，∴CF ＝4－52＝32；（2）①△PFM 的形状不变，始终是以PM 、PF 为腰的等腰直角三角形，理由如下：∵等腰直角三角形ABC 中，CD ⊥AB ，∴AD ＝DB ，CD ＝12AB ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝45°，由折叠可得∠PMF ＝∠B ＝45°，∴∠PMF ＝∠DCB ，∴P 、M 、F 、C 四点共圆，∴∠FPM +∠FCM ＝180°，∴∠FPM ＝180°－∠FCM ＝90°，∠PFM ＝90°－∠PMF ＝45°＝∠PMF ，∴△PFM 的形状不变，始终是以PM 、PF 为腰的等腰直角三角形； ②当M 与C 重合时，F 为BC 中点，CF ＝12BC ＝2，PM ＝PF ＝cos 45CF=︒此时△PFM 的周长为2＋当M 与A 重合时，F 于C 重合，E 与D 重合，FM ＝AC ＝4，PM ＝PF ＝ACcos45°＝，此时△PFM 的周长为4＋B 不与A 、C 重合，所以△PFM 的周长的取值范围是大于2＋且小于4＋.3. (2018辽宁葫芦岛，25，12分)在△ABC 中，AB ＝BC ，点O 是AC 的中点，点P 是AC 上的一个动点(点P 不与点A ，O ，C 重合)．过点A ，点C 作直线BP 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，连接OE ，OF ．（1）如图1，请直接写出线段OE 与OF 的数量关系；（2）如图2，当∠ABC ＝90°时，请判断线段OE 与OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）若｜CF －AE ｜＝2，EF ＝POF 为等腰三角形时，请直接写出线段OP 的长．【思路分析】（1）连接OB ，则OB ⊥AC ，进而得A 、E 、O 、B 四点共圆，B 、F 、O 、C 四点共圆．由同弧所对的圆周角相等得∠OEB ＝∠OAB ，∠OFC ＝∠OBC ．又因为∠OFE ＝90°－∠OFC ，∠ACB ＝90°－∠OBC ，所以∠OFE ＝∠OCB ，又因为∠OAB ＝∠OCB ，所以∠OE B ＝∠OFE ，所以OE ＝OF ；（2）类比（1）可得OE ＝OF ；由∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，可得∠OAB ＝∠OCB ＝∠OEB ＝∠OFE ＝45°，所以OE ⊥OF ．（3）取EF的中点为M，则EM＝FMAM并延长交CF于D，连接OM．由△AME≌△DMF，｜CF－AE｜＝2，得OM＝1．进而得OF＝2．由sin∠OFM＝12，得∠OFM＝30°．因为点P在EF上，所以OP＜OE＝OF；因为AE⊥EF，∠APE、∠OPF均为锐角，故PF≠PO．当PF＝OF＝2时，PM＝2理得OP＝【解答过程】（1）OE＝OF；（2）OE＝OF，OE⊥OF．理由：连接OB，则OB⊥AC．∵∠AEB＝∠AOB＝90°，∴进而得A、E、O、B四点共圆，∴∠OEB＝∠OAB．∵∠BFC＝∠BOC＝90°，∴B、F、O、C四点共圆．∴∠OFC＝∠OBC．又∵∠OFE＝90°－∠OFC，∠ACB＝90°－∠OBC，∴∠OFE＝∠OCB，又∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠OAB＝∠OCB＝45°．∴∠OE B＝∠OFE＝45°．∴OE＝OF，OE⊥OF．（3）OP＝223．4.（2018上海，25，14分）已知圆O的直径AB=2，弦AC与弦BD，交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．(1)图11，如果AC=BD，求弦AC的长；(2)如图12，如果E为BD的中点，求∠ABD的余切值(3)联结BC、CD、DA，如果BC是圆O的内接正n边形的一边，CD是的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积．【思路分析】(1)连结CB．可以证明弧AD、弧DC、弧CB相等，从而得到∠ABC=60°．在△ABC中求出AC长．(2)运用中位线及全等转化求出CB长，再把直角三角形OBE中的两个直角边求出，即可∠ABD的余切值．(3)根据“BC是圆O的内接正n边形的一边，CD是的内接正(n+4)边形的一边”求出n值，从而求出∠AOD=45°，可得各线段长，再求△ACD的面积．【解答过程】（1）连结CB．∵AC=BD，∴弧AC=弧BD，∵OD⊥AC，∴弧AD=弧DC=12弧AC，∴弧AD=弧DC=弧CB，∴∠ABC=60°在Rt△ABC中, ∠ABC=60°，AB=2，∴AC=3（2）∵OD⊥AC，∴∠AFO=90°，AF=FC∵AO=OB，∴FO∥CB，FO=12 CB∵E为BD的中点，∴DE=EB∵FO∥CB，∴△DEF≌△BEC，∴DF=CB=2FO∴FO=13，CB=23在Rt △ABC 中，AB =2，CB =23，∴AC ，∴EC ∴EB ，∵E 为BD 的中点，OD =OB ，∴∠OEB =90°，∴EO cot ∠ABD =EB EO ．（3）∵BC 是圆O 的内接正n 边形的一边，∴∠COB =360n° ∵CD 是的内接正(n +4)边形的一边，∴∠COD =3604n +° ∵弧AD =弧DC ，∴∠AOD =3604n +° ∵∠COB +∠COD +∠AOD =180°，∴360n +3604n ++3604n +=180，解得n =4 ∴∠AOD =∠COD =3604n +°=45°∵OD =OA =OC =1，∴AC ，OF ，DF =1，∴S △ACD =12×AC ×DF =2－12．5. （2018黑龙江哈尔滨，26，10）已知:⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，点E 在弧AB 上，连接BE 、DE ，点F 在弧AD 上，连接BF 、DF 、BF 与DE 、DA 分别交于点G 、点H ，且DA 平分∠EDF ．(1)如图1，求证:∠CBE ＝∠DHG ;(2)如图2，在线段AH 上取一点N (点N 不与点A 、点H 重合)，连接BN 交DE 于点L ，过点H 作HK //BN 交DE 于点K ，过点E 作EP ⊥BN ，垂足为点P ，当BP ＝HF 时，求证:BE ＝HK ;(3)如图3，在(2)的条件下，当3HF ＝2DF 时，延长EP 交⊙O 于点R ，连接BR ，若△BER 的面积与△DHK 的面积的差为47，求线段BR 的长．图1 图2 图3【思路分析】（1）问利用同弧和等弧所对圆周角等与三角形外角性质易证的结论．（2）过H 作HM ⊥KD ，易证得HM ＝BP ，加上直角条件，可导出第三个全等条件，得到△BEP ≌△HKM ，所以BE ＝HK ．（3）连接BD 后根据条件3HF ＝2DF 可得到tan ∠ABH ＝tan ∠ADE ＝ABAH ＝32，过点H 作HS ⊥BD 后再设边计算就能求出tan ∠BDE ＝tan ∠DBF ＝BSHS ＝51，在ER 上截取ET ＝DK ，连接BT 易证得△BET ≌△HKD ，这时21BP ·ER 21-HM ·DK ＝21BP (ER －DK )＝21BP (ER －ET )＝47，易求得BP ＝1，PR ＝5，BR ＝22RP BP +＝2251+＝26【解答过程】（1）证明:∵四边形ABCD 是正方形∴∠A ＝∠ABC ＝90°∵∠F ＝∠A ＝90°∴∠F ＝∠ABC∵DA 平分∠EDF ∴∠ADE ＝∠ADF ∵∠ABE ＝∠ADE ∴∠ABE ＝∠ADF又∵∠CBE ＝∠ABC ＋∠ABE ，∠DHG ＝∠F ＋∠ADF ∴∠CBE ＝∠DHG（2）证明:过H 作HM ⊥KD 垂足为点M ∵∠F ＝90°∴HF ⊥FD 又∵DA 平分∠EDF ∴HM ＝FH∵FH ＝BP ∴HM ＝BP ∵KH ∥BN ∴∠DKH ＝∠DLN ∵∠ELP ＝∠DLN ∴∠DKH ＝∠ELP∵∠BED ＝∠A ＝90°∴∠BEP ＋∠LEP ＝90°∵EP ⊥BN ∴∠BPE ＝∠EPL ＝90°∴∠LEP ＋∠ELP ＝90°∴∠BEP ＝∠ELP ＝∠DKH ∵HM ⊥KD ∴∠KMH ＝∠BPE ＝90°∴△BEP ≌△HKM ∴BE ＝HK(3)解:连接BD ∵3HF ＝2DF ，BP ＝FH ∴设HF ＝2a ，DF ＝3a ∴BP ＝FH ＝2a由(2)得HM ＝BP ，∠HMD ＝90°∵∠F ＝∠A ＝90°∴tan ∠HDM ＝tan ∠FDH ∴DM HM ＝DF FH ＝32 ∴DM ＝3a ∴四边形ABCD 是正方形∴AB ＝AD ∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°∵∠ABF ＝∠ADF ＝∠ADE ，∠DBF ＝45°－∠ABF ，∠BDE ＝45°－∠ADE ∴∠DBF ＝∠BDE ∵∠BED ＝∠F ，BD ＝BD ∴△BED ≌△DFB ∴BE ＝FD ＝3a 过点H 作HS ⊥BD 垂足为点S ∵tan ∠ABH ＝tan ∠ADE ＝ABAH ＝32 ∴设AB ＝32m ，AH ＝22m ∴BD ＝2AB ＝6m DH ＝AD －AH ＝2m sin ∠ADB ＝DHHS ＝22 ∴HS ＝m ∴ DS ＝22HS DH -＝m ∴BS ＝BD －DS ＝5m ∴tan ∠BDE ＝tan ∠DBF ＝BS HS ＝51 ∵∠BDE ＝∠BRE ∵tan ∠BRE ＝PR BP ＝51∵BP ＝FH ＝2a ∴RP ＝10a 在ER 上截取ET ＝DK ，连接BT 由(2)得∠BEP ＝∠HKD ∴△BET ≌△HKD ∴∠BTE ＝∠KDH ∴tan ∠BTE ＝tan ∠KDH ∴PT BP ＝32 ∴PT ＝3a ∴TR ＝RP －PT ＝7a ∵S △BER －S △KDH ＝47∴21BP ·ER 21-HM ·DK ＝47 ∴21BP (ER －DK )＝21BP (ER －ET )＝47∴21×2a ×7a ＝47 ∴a 2＝41，a 1＝21，a 2＝21-(舍去)∴BP ＝1，PR ＝5 ∴BR ＝22RP BP +＝2251+＝26。

【中考专题】2018中考数学专项突破《圆的综合题》

2018中考数学压轴题专题复习-圆的综合

2017中考专题复习——圆题型一、勾股定理在圆中的应用1、（2012成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若2KG=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=35，AK=23，求FG的长．2、（2014•孝感）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC=，BE=7，求线段PC的长．3、（2015•黄陂区校级模拟）如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC 为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．（1）求证：∠ACF=∠ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．4、（2013•成都模拟）已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连接DE，DE=．（1）求证：AM•MB=EM•MC；（2）求sin∠EOB的值；（3）若P是直径AB延长线上的点，且BP=12，求证：直线PE是⊙O的切线．5、（2012•杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB ⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．6、（2011•潍坊）如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F．过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q．（1）求证：△ABC∽△OFB；（2）当△ABD与△BFO的面枳相等时，求BQ的长；（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点．专题二、三角函数在圆中的应用1、（2014成都）如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是⌒AC上异于A,C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G.（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB=5，⌒AP =⌒BP，求PD 的长；（3）在点P 运动过程中，设x BGAG =，y AFD =∠tan ，求y 与x 之间的函数关系式.（不要求写出x 的取值范围） tan AE AFD FE∠=，2、（2012•襄阳）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan ∠F=，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．3、（2014•武侯区校级自主招生）如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O 于D，BP交⊙O于E，DE交PC于F．（1）求证：PF2=EF•FD；（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．4、（2014•盘锦）如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C 重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；（3）若cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围．专题三、相似三角形与圆的综合应用1、（2010）已知：如图，ABC ∆内接于O e ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是»AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．（1）求证：P 是ACQ ∆的外心；（2）若3tan ,84ABC CF ∠==,求CQ 的长；（3）求证：2()FP PQ FP FG +=g ．2、（2014•镇江）如图，⊙O 的直径AC 与弦BD 相交于点F ，点E 是DB 延长线上的一点，∠EAB=∠ADB ．（1）求证：EA 是⊙O 的切线；（2）已知点B 是EF 的中点，求证：以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AEF 相似；（3）已知AF=4，CF=2．在（2）条件下，求AE 的长．3、（2013•桂林）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，过点D作DE⊥AD交AB于E，以AE为直径作⊙O．（1）求证：点D在⊙O上；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若AC=6，BC=8，求△BDE的面积．4、（2012•泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．5、（2012•德阳）如图，已知点C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线交直线AC 于点D ，点E 为CH 的中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交AB 的延长线于G ．（1）求证：AE •FD=AF •EC ；（2）求证：FC=FB ；（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径r 的长．6、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与三角形的三边切于点D,E,F ，连接AD 与内切圆相交于点P ，连接PC,PE,PF,FD,ED ，且PC ⊥PF 。

中考数学复习《圆的综合》专项综合练习附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2∴点Q的坐标为（2，9）（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）∴M1M2＝92－3＝32， Q1Q2＝6－4＝2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为：12×(32＋2)×4.5＝638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。

2018中考专题-圆综合(含答案)

2018届四月调考复习专题—圆综合例1如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，弦CA 、BD 的延长线交于S ,︒=∠m APD 2，︒+︒=∠15m PAC 。

（1）求∠S 的度数；(2）连AD 、BC ，若3=ADBC,求m 的值.（1)解 ∵∠APD=2m º， ∠P AC= m º+15º ∠APD =∠B +∠PDB =∠B +∠P AC ∴∠B=2m º-( m º+15º)= m º-15º…………2分 ∠P AC =∠B+∠S∴∠S =∠P AC —∠B=30º…………4分（2）作DT ⊥CS 于T∵∠S =30º 易证△SDA △SCB ………………………5 分∴ AD BC =SDCS=3易证, ST=CT …………7分∴∠ACD =∠S=30º=∠ABD = m º—15º∴m=45 ………………8分例2． (本题8分）RT △ABC 中,∠ACB ＝90°， AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O 。

（1）求证：AB 为⊙O 的切线;（2）已知AO 的延长线交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于D,若tan ∠D ＝12,AC=4，求⊙O 的半径(1）过O 作OH ⊥AB 于H ，∵AO 平分∠BAC,又∴∠ACB=090,∴OH=OC ， ∴AB 为⊙O 的切线。

——---—-—-——-—-——---—--—---————---——--——---—----—--—(4分）（2)连接CF ，∵DF ⊙O 为直径,∴∠FCD=090，易证△ACF ∽△ADC,∴AF AC CFAC AD DC==E DOCAB又∵tan ∠D 12=，AC=4，∴4142AF AD ==，∴AF=2，AD=8，即DF=6，∴OD=3，即⊙O 的半径为3。

2018年广东中考数学总复习：第2部分专题突破专题十二圆的综合题

专题十二圆的综合题考情分析 6年5考，2013～2017年均在第24题出现，且分值均为9分．重点考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长的计算等．预计在2018年仍是重点考查内容．例如图1，以BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边CF 于点A ，B M 平分∠ABC 交AC 于点M ，AD ⊥BC 于点D ，AD 交B M 于点N ，M E ⊥BC 于点E ，AB 2＝AF ·A C.图1(1)求证：△AB M ≌△EB M ； (2)求证：FB 是⊙O 的切线；(3)若c os ∠ABD ＝35，AD ＝12.求四边形A M E N 的面积S.方法总结切线的判定主要有两条途径：1.圆心到直线的距离等于半径；2.证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：1若圆心与切点无连线，需先作辅助线；2.解题过程中一般会涉及到全等三角形、相似三角形的判定与性质，常利用圆周角定理和切线的性质得到角的大小或角之间的等量关系，利用两弧相等得到线段或角度相等．训练 1.如图2，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点M ，BE ⊥CD 于点E .图2(1)求证：∠B M E ＝∠M AB ； (2)求证：△B M E ∽△BA M ；(3)若BE ＝185，sin ∠BA M ＝35，求线段A M 的长．2.如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且AD ∥C O.图3(1)求证：△ADB∽△O BC；(2)若∠O CB＝30°，AB＝2，求劣弧AD的长；(3)连接CD，试证明CD是⊙O的切线．3．如图4，已知等边三角形ABC，M是边BC延长线上一点，连接A M交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得B N＝A M，连接C N，MN，解答下列问题：图4(1)猜想△C MN的形状，并证明你的结论；(2)请你证明C N是⊙O的切线；(3)若等边三角形ABC的边长是2，求AD·A M的值．4.如图5，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D 作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB及CB延长线交于点F，M.图5(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若点G为M F的中点，求证：BG是⊙O的切线；(3)若AD＝4，C M＝9，求四边形ABCD的面积．5．已知，⊙O经过矩形ABCD的四个顶点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC，AB，⊙O及CB的延长线相交于点E，F，G，H.(1)如图6，求证：AE＝CK；(2)如图7，连接AH，GB，若F是EG的中点，求证：四边形BKEG为矩形；(3)在(2)的条件下，求出tan∠HAC的值．图6 图76.如图8，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC 于点F .图8(1)求证：AE ＝BF ；(2)连接GB ，EF ，求证：GB ∥EF ； (3)若AE ＝1，EB ＝2，求DG 的长．参考答案例 (1)证明：∵AB 是直径， ∴∠BAC ＝90°.∴MA ⊥AB . ∵ME ⊥BE ，BM 平分∠ABC ， ∴AM ＝ME .∵在Rt △BMA 和Rt △BME 中，⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝BM ，MA ＝ME ，∴△ABM ≌△EBM . (2)证明：∵AB 2＝AF ·AC ，∴AB AF ＝AC AB. 又∠BAF ＝∠BAC ＝90°， ∴△BAF ∽△CAB .∴∠C ＝∠FBA .∴∠ABC ＋∠FBA ＝∠ABC ＋∠C ＝90°，即BC ⊥BF . 又BC 为⊙O 的直径，∴FB 为⊙O 的切线． (3)解：在Rt △ABD 中，∵cos ∠ABD ＝35，AD ＝12，∴sin ∠ABD ＝45，tan ∠ABD ＝43.∴BD ＝ADtan ∠ABD＝9，AB ＝AD 2＋BD 2＝15，AC ＝AB ·tan ∠ABD ＝20，BE ＝AB ＝15，DE ＝BE －BD ＝6. 由(1)知△MEC ∽△ADC ，设ME ＝x ，则ME AD ＝MC AC ，即x 12＝20－x 20，解得x ＝152，即ME ＝152. ∵∠AMN ＋∠ABM ＝90°，∠BND ＋∠DBN ＝90°，又∠ABM ＝∠DBN ，∠ANM ＝∠BND ， ∴∠ANM ＝∠AMN .∴AN ＝AM ＝ME .∵AN ∥EM ，∴四边形AMEN 是平行四边形． ∴S ＝ME ·DE ＝152×6＝45.训练 1.(1)证明：如图1，连接OM ，图1∵直线CD 切⊙O 于点M ， ∴∠OMD ＝90°. ∴∠BME ＋∠OMB ＝90°.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AMB ＝90°. ∴∠AMO ＋∠OMB ＝90°. ∴∠BME ＝∠AMO .∵OA ＝OM ，∴∠MAB ＝∠AMO . ∴∠BME ＝∠MAB .(2)证明：由(1)得，∠BME ＝∠MAB ， ∵BE ⊥CD ，∴∠BEM ＝∠AMB ＝90°. ∴△BME ∽△BAM .(3)解：由(1)得，∠BME ＝∠MAB ， ∵sin ∠BAM ＝35，∴sin ∠BME ＝35.在Rt △BEM 中，∵BE ＝185，∴sin ∠BME ＝BE BM ＝35.∴BM ＝6.在Rt △ABM 中，∵sin ∠BAM ＝35，∴sin ∠BAM ＝BM AB ＝35，∴AB ＝6×53＝10.根据勾股定理得，AM ＝AB 2－BM 2＝8.2．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90°. ∵AD ∥CO ，∴∠A ＝∠BOC . ∴△ADB ∽△OBC . (2)解：如图2，连接OD ，图2由(1)知，△ADB ∽△OBC ，∴∠ABD ＝∠OCB ＝30°.∴∠DAB ＝60°. ∵AO ＝OD ，∴△AOD 是等边三角形，∠AOD ＝60°. ∵AB ＝2，∴AO ＝1. ∴AD 的长为60·π·1180＝π3.(3)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵AD ∥CO ，∴∠DFO ＝90°.∵∠ODB ＝∠OBD ，∴∠DOF ＝∠BOF . ∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，在△ODC 和△OBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠DOF ＝∠BOF ，OC ＝OC ，∴△ODC ≌△OBC (SAS)．∴∠CDO ＝∠CBO ＝90°.∴OD ⊥DC . ∵OD 是半径，∴CD 是⊙O 的切线． 3．(1)解：△CMN 是等边三角形；证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝AB ，∠ACB ＝60°. 在△BCN 与△ACM 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠CBN ＝∠CAM ，BN ＝AM ，∴△BCN ≌△ACM .∴CN ＝CM ，∠BCN ＝∠ACM .∴∠BCN －∠ACN ＝∠ACM －∠ACN ，即∠MCN ＝∠ACB ＝60°. ∴△CMN 是等边三角形．(2)证明：如图3，连接OA ，OB ，OC ，图3在△BOC 与△AOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC ＝OC ，∴△BOC ≌△AOC .∴∠ACO ＝∠BCO ＝12ACB ＝30°.∵∠ACB ＝∠MCN ＝60°，∴∠ACN ＝60°.∴∠OCN ＝60°＋30°＝90°.∴OC ⊥CN . ∵OC 是半径，∴CN 是⊙O 的切线．(3)解：∵∠ADB ＝∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝∠ABC . ∵∠BAD ＝∠MAB ，∴△ABD ∽△AMB . ∴AB AM ＝ADAB.∴AD ·AM ＝AB 2＝22＝4. 4．(1)证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°. 在Rt △ADC 和Rt △CBA 中，AC ＝CA ，AD ＝CB ， ∴Rt △ADC ≌Rt △CBA . ∴∠CAD ＝∠ACB .∴AD ∥BC .又AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．又∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形． (2)证明：如图4，连接OB ，图4在Rt △MBF 中，G 是MF 的中点， ∴BG ＝12MF ＝FG .∴∠GBF ＝∠GFB ＝∠AFE . ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB . ∵DG ⊥AC ，∴∠AFE ＋∠OAB ＝90°. ∴∠GBF ＋∠OBA ＝90°，即OB ⊥BG .∵OB 是半径，∴BG 是⊙O 的切线．(3)解：由(1)得四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠DCM ＝90°. 又AC ⊥DG ，∴∠CDM ＋∠ACD ＝90°，∠CDM ＋∠M ＝90°. ∴∠ACD ＝∠M .又∠ADC ＝∠DCM ，∴△ACD ∽△DMC .∴AD DC ＝DCCM. ∴DC 2＝AD ·CM ＝36.∴DC ＝6. ∴S 矩形ABCD ＝AD ·CD ＝24.5．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∴∠DAE ＝∠BCK . ∵DH ∥KB ，∴∠HEK ＝∠BKC ＝∠AED ＝90°. 在△AED 和△CKB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CKB ，∠DAE ＝∠BCK ，AD ＝CB ，∴△AED ≌△CKB (AAS)．∴AE ＝CK .(2)证明：∵∠BAD ＝90°，∴∠BGD ＝∠BAD ＝90°. ∵∠BKC ＝90°，∴∠BKE ＝90°.又DH ∥KB ，∴∠HEK ＝∠BKE ＝∠BGD ＝90°. ∴四边形BKEG 为矩形．(3)解：在△AEF 和△BGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEF ＝∠BGF ＝90°，EF ＝GF ，∠AFE ＝∠BFG ，∴△AEF ≌△BGF (ASA)．∴AE ＝BG ，AF ＝BF .∴AE ＝BG ＝EK ＝CK . ∵BK ∥EH ，∴CK ∶EK ＝CB ∶HB .∴CB ＝HB . ∵∠ABC ＝90°，∴AB 是CH 的垂直平分线． ∴AH ＝AC ＝3AE .在△AHE 中，∠AEH ＝90°， ∴AE 2＋EH 2＝AH 2.∴EH ＝2 2AE . ∴tan ∠HAC ＝EHAE ＝2 2.6．(1)证明：如图5，连接BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ， ∴∠A ＝∠C ＝45°.图5∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即BD ⊥AC .∴AD ＝DC ＝BD ＝12AC ，∠CBD ＝∠C ＝45°.∴∠A ＝∠FBD .∵DF ⊥DG ，∴∠FDG ＝90°. ∴∠FDB ＋∠BDG ＝90°.∵∠EDA ＋∠BDG ＝90°，∴∠EDA ＝∠FDB . 在△AED 和△BFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FBD ，AD ＝BD ，∠EDA ＝∠FDB ，∴△AED ≌△BFD (ASA)．∴AE ＝BF . (2)证明：如图5，连接EF ，BG ， ∵△AED ≌△BFD ，∴DE ＝DF .∵∠EDF ＝90°，∴△EDF 是等腰直角三角形． ∴∠DEF ＝45°.∵∠G ＝∠A ＝45°，∴∠G ＝∠DEF . ∴GB ∥EF .(3)解：∵AE ＝BF ，AE ＝1，∴BF ＝1. 在Rt △EBF 中，∠EBF ＝90°， ∴EF 2＝EB 2＋BF 2.∵EB ＝2，BF ＝1，∴EF ＝22＋12＝ 5. ∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF ＝90°， ∴cos ∠DEF ＝DE EF ＝22.∵EF ＝5，∴DE ＝5×22＝102. ∵∠G ＝∠A ，∠GEB ＝∠AED ， ∴△GEB ∽△AED . ∴GE AE ＝EBED，即GE ·ED ＝AE ·EB .∴102·GE ＝2，即GE ＝2 105. 则DG ＝GE ＋ED ＝9 1010.。

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中考复习训练圆综合二
一、选择题
1.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
2.如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）
A. B. C. D.
3.如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）
A. B. 2 C. D. 3
5. 如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（）
A. π﹣1
B. π﹣2
C. π﹣2
D. π﹣1
6.下列关于圆的切线的说法正确的是（）
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线
7.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（0，3），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）
A. 5
B. 2
C. 3
D. 4
8.三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 ，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）
A. π
B. π
C. 2π
D. 3π
9.如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（）
A. 12
B. 24
C. 8
D. 6
10.已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为（）
A. 4π
B. 16π
C. π
D. 8π
11.在圆内接四边形ABCD中，则∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D的度数是( ).
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 30°
12.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．以A为圆心作圆与BC相切，则该圆的半径为（）．
A. 2.5
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题
13.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，那么△PDE的周长为 ________cm
14.已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA=15cm，那么△PEF周长是30cm．若∠P=50°，那么∠EOF=________ ．
15.如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=42°，则∠OAC的度数是________．
16.用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是________cm。

17.已知：如图，在⊙O中，弧AB=弧BC=弧CD，OB，OC分别交AC、BD于E、F，则下列结论：
①OE=BE；②OC⊥BD；③AE=DF；④OE=OF中正确的有________．（填序号）
18.已知一个扇形的圆心角为45°，扇形所在圆的半径为4cm，则这个扇形的面积为________．
19.若圆锥的高是8cm，母线长是10cm，则这个圆锥的侧面积是________cm2（结果保留π）．
20.如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为________ cm2．
21.Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为________ ．
22.如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长度为________．
三、解答题
23.如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P．求证：PA•PB=PC•PD．
24. 如图，AM切⊙O于点A，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．求∠B的度数．
25.如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求证：点F是AD的中点；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半径CD的长．
26.已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（1）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
27.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．
（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；
（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．
参考答案
一、选择题
B A B B D D D
C
D D B B
二、填空题
13.16
14.65°
15.21°
16.2
17.②③④
18.2πcm2
19.60π
20.π
21.5cm
22.2
三、解答题
23.证明：连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴= ，
∴PA•PB=PC•PD．
24.解：如右图所示，∵AM是切线，
∴OA⊥AM，
∴∠OAM=90°，
又∵BD⊥AM，
∴∠BDM=90°，
∴∠OAM=∠BDM，
∴AO∥BD，
∴∠AOC=∠BCO，∠AOB+∠OBC=180°，
又∵OB=OC，OC是∠AOB平分线，
∴∠OBC=∠OCB，∠BOC=∠AOC，
∴∠AOB=2∠OBC，
∴2∠OBC+∠OBC=180°，
∴∠OBC=60°．
答：∠B的度数是60°．
25.（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED为⊙O直径，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴点F是AD的中点；
（2）解：连接DM，
设EF=4k，DF=3k，
则ED==5k，
∵AD•EF=AE•DM，
∴DM=，
∴ME=，
∴cos∠AED=；
（3）∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE2=CE•BE，
∴（5k）2=k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD=k=5．
26.（1）解：（1）CD与圆O相切．证明：如图①，连接OD，
则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）如图②，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE= = ，
∵sin∠BAE= ．
∴=
∴EF= ．
27.（1）解：直线l与⊙O相切．理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
∴．
∴∠BOE=∠COE．
又∵OB=OC，
∴OE⊥BC．
∵l∥BC，
∴OE⊥l．
∴直线l与⊙O相切．
（2）解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，
∴∠EBF=∠EFB．
∴BE=EF．
（3）解：由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．
∴，即，解得；AE= ．
∴AF=AE﹣EF= ﹣7= ．。