【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第2章 概率综合检测 苏教版选修2-3
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章统计综合检测新人教b版必修3
综合检测(二)第二章统计(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在一次数学测试中，有考生1 000名，现想了解这1 000名考生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，总体是指( ) A．1 000名考生B．1 000名考生的数学成绩C．100名考生的数学成绩D．100名考生【解析】总体是1 000名考生的数学成绩，样本是100名考生的数学成绩．【答案】 B2．在下列各图中，两个变量不具有任何关系的是( )A．①②B．①③C．②④D．④【解析】①具有函数关系；②③具有相关关系；④无关系．【答案】 D3．现有60瓶矿泉水，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，用系统抽样法确定所抽的编号分别为( )A．3,13,23,33,43,53B．2,14,26,38,42,56C．5,8,31,36,48,54D．5,10,15,20,25,30【解析】系统抽样也是等距抽样．【答案】 A4．(2013·安徽高考)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【解析】 A ，不是分层抽样，因为抽样比不同． B ，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知．C ，五名男生成绩的平均数是x ＝86＋94＋88＋92＋905＝90，五名女生成绩的平均数是y ＝88＋93＋93＋88＋935＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8，五名女生成绩的方差为s 22＝15(9＋4＋4＋9＋4)＝6，显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．D ，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩． 【答案】 C5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①.在丙地区有20个特大型销售点，要从中抽7个，调查其销售收入和售后服务情况．记这项调查为②.则完成①②这两项调查应采用的抽样方法依次为( )A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法【解析】 调查①中，由于四个地区产品销售情况有较大差别，故应用分层抽样法；调查②中总体与样本容量较小，故可用简单随机抽样法．【答案】 B6．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )C ．02D ．01【解析】 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.【答案】 D7．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为32、0.25，则n 的值是( )A ．240B ．160C ．128D ．324【解析】 由32n＝0.25得n ＝128.【答案】 C8．(2013·重庆高考)如图1是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为( )图1A ．0.2B ．0.4C ．0.5D ．0.6【解析】 由题意知，这10个数据落在区间[22,30)内的有22、22、27、29，共4个，所以其频率为410＝0.4，故选B.【答案】 B9．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队平均每场进球数为 3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3，则下列说法中正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由于甲队平均每场进球数远大于乙队，故①正确，但甲队标准差太大，故④正确．而乙队标准差仅为0.3，故②，③正确．从而知四个说法均正确，选D.【答案】 D10．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图2所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按月收入用分层抽样方法抽样，若从月收入[3 000,3 500](元)段中抽取了30人，则这20 000人中共抽取的人数为( )图2A ．200B ．100C ．20 000D ．40【解析】 由题意得，月收入在[3 000,3 500](元)段中的频率是0.0003×500＝0.15，该收入段的人数是20 000×0.15＝3 000，从中抽取了30人，说明从每100人中抽取1人，故共抽取20 000100＝200(人)．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．天津市2013年家具销售额y 万元与新建住宅面积x ×103m 2呈线性相关，其回归方程为y ^＝1.190 3x ＋185.109 3，若当年新建成的住宅面积为350×103m 2，则当年的家具销售额约为________万元．【解析】 当x ＝350时，y ^＝1.190 3×350＋185.109 3≈601.7万元． 【答案】 601.712．(2013·广州高一检测)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【解析】 抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12.【答案】 1213．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如图3所示：根据上图，对这两名运动员的成绩进行．比较，下面四个结论中，正确的是________(填序号)①甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 ②甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 ③甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值 ④甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解析】 对①，甲运动员得分的极差为29，而乙运动员得分的极差为16，故①正确；对②，甲得分的中位数为30，而乙得分的中位数为26，故③正确；对③，由茎叶图知甲的平均值大于乙的平均值，故②正确；对④，从茎叶图中知乙更稳定，④错误．故选①②③.【答案】 ①②③14．为了了解商场某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客购鞋的尺寸，将所有数据整理后，画出频率分布直方图，如图4所示，已知从左至右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075，第二小组的频数为10，则抽取的顾客人数是________．图4【解析】 前三组频率和为1－0.075－0.175＝0.75.又前三组频率之比为1∶2∶3，所以第二组频率为26×0.75＝0.25.又知第二组频数为10，则100.25＝40(人)，即为所抽样本人数．【答案】 40三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2013·课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3．5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2．3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1．4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2．7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【解】 (1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．16．(本小题满分12分)从高一学生中抽取50名参加调研考试，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8 (1)列出样本的频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比； (4)估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比． 【解】 (1)频率分布表如下：(2)(3)由频率分布表可知成绩在[70,80)分的学生所占总体的百分比是30%.(4)由频率分布表可估计成绩在[70,100)分的学生所占总体的百分比是0.3＋0.24＋0.16＝0.7＝70%.17．(本小题满分13分)某校为了了解甲、乙两班的英语学习情况，从两班各抽出10名学生进行英语水平测试，成绩如下(单位：分)：甲班：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班：90 76 86 81 84 87 86 82 85 83 (1)求两个样本的平均数； (2)求两个样本的方差和标准差； (3)试分析比较两个班的学习情况．【解】 (1)x －甲＝110(82＋84＋85＋89＋79＋80＋91＋89＋79＋74)＝83.2，x －乙＝110(90＋76＋86＋81＋84＋87＋86＋82＋85＋83)＝84.(2)s 2甲＝110[(82－83.2)2＋(84－83.2)2＋(85－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(80－83.2)2＋(91－83.2)2＋(89－83.2)2＋(79－83.2)2＋(74－83.2)2]＝26.36，s 2乙＝110[(90－84)2＋(76－84)2＋(86－84)2＋(81－84)2＋(84－84)2＋(87－84)2＋(86－84)2＋(82－84)2＋(85－84)2＋(83－84)2]＝13.2，∴s 甲＝26.36≈5.13，s 乙＝13.2≈3.63.(3)由于x －甲<x －乙，则甲班比乙班平均水平低． 由于s 甲>s 乙，则甲班没有乙班稳定． ∴乙班的总体学习情况比甲班好．18．(本小题满分13分)测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．40 366.1340 331.76≈1.0.a ^＝y －b ^x ≈67.01－1.0×66.8≈0.21.故所求的回归直线方程为y ^＝x ＋0.21. (2)当x ＝73时，y ^＝1.0×73＋0.21＝73.21.所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为73.21英寸．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章解三角形教案北师大版必修5
第二章解三角形§1正弦定理与余弦定理1．1 正弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能通过对任意三角形边长和角度的关系探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的基本问题．2．过程与方法让学生从已有的几何知识出发，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的能力．●重点难点重点：正弦定理的探索的证明及其应用．难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数．(教师用书独具)●教学建议已知两边和其中一边的对角解三角形时判断个数，此类问题有两个、一个、零个的情况，需要进行讨论，可做如下处理：在△ABC中，已知a，b和A时三角形解的情况：A为锐角A为钝角或直角图 像关系式 ①a ＝b sin A②a ≥b b sin A<a <b a <b sin Aa >ba ≤b解的个数 一解两解无解一解无解●教学流程创设问题情境，提出了2个问题⇒通过引导学生回答所提问题，理解正弦定理及三角形面积公式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用正弦定理解三角形问题⇒通过例2及变式训练，使学生掌握三角形面积公式的应用⇒通过例3及变式训练，使学生掌握判断三角形的形状问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第32页)课标解读1.通过对特殊三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，了解其向量证法(难点)．2．掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).正弦定理【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，试问a sin A ，b sin B ，csin C 的值相等吗？为什么？对于一般的三角形而言，a sin A ，b sin B ，csin C的值是否相等？【提示】 在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c且C ＝90°， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C.对一般的三角形而言，也相等． 语言表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等符号表示 asin A ＝bsin B ＝csin C比值的 含义a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R(其中R 为△ABC 的外接圆半径)变形(1)a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C.作用 揭示了三角形边、角之间的数量关系三角形面积公式【问题导思】在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等吗？猜想一下在一般三角形中是否成立？【提示】 ∵C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝12ab sin C ，设边c 上的高为h ， 则sin B ＝ha ，sin A ＝h b，∴S △ABC ＝12hc ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，∴在Rt △ABC 中，c 为斜边，三角形的面积与12ab sin C ，12bc sin A ，12ac sin B 的值相等．猜想在一般三角形中也成立．三角形ABC 的面积：S ＝12ab sin__C＝12bc sin__A ＝12ac sin__B ．(对应学生用书第32页)利用正弦定理解三角形在△ABC 中，(1)若A ＝45°，B ＝30°，a ＝2，求b ，c 与C ； (2)若B ＝30°，b ＝5，c ＝53，求A 、C 与a .【思路探究】 (1)已知A ，B ，如何求C ？在正弦定理中b ，c 分别怎样表示？ (2)已知B ，b ，c 运用正弦定理可先求出哪个量？ 【自主解答】 (1)由三角形内角和定理，得：C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 30°sin 45°＝2×1222＝2，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝6＋24， c ＝a sin C sin A ＝2sin 105°sin 45°＝2×6＋2422＝3＋1. (2)∵b ＝5，c ＝53，B ＝30°， ∴c ·si n B <b <c ， ∴△ABC 有两解， 由正弦定理得：sin C ＝c sin B b ＝32， ∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，易得a ＝10； 当C ＝120°时，A ＝30°，此时a ＝b ＝5.1．已知两角与任一边解三角形，可先利用三角形内角和定理求第三个角，再利用正弦定理求出两未知边．2．已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，判断三角形解的个数，有以下两种方法： 法一 作图判断．作出已知角A ，边长b ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，与射线AB 的公共点(除去顶点A )的个数即为三角形解的个数．法二 根据三角函数的性质来判断． 由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ，当b sin A a >1时，无解；当b sin Aa＝1时，有一解；当b sin Aa<1时，如果a ≥b ，即A ≥B ，则B 一定为锐角，有一解；如果a <b ，即A <B ，有两解．本例(2)中，若B ＝60°，b ＝43，a ＝42，如何求解？ 【解】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得 sin A ＝a sin Bb ＝42sin 60°43＝22， 又a ＜b ，∴A ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°.∴c ＝b sin C sin B ＝43sin 75°sin 60°＝43×2＋6432＝2(2＋6)．三角形的面积问题在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13.(1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．【思路探究】 (1)先寻找角A 、B 间的关系，再求sin A. (2)先由正弦定理求BC ，再代入三角形的面积公式求解． 【自主解答】 (1)由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π，得2A ＝π2－B ，0＜A ＜π4.故cos 2A ＝sin B ，即1－2sin 2A ＝13，sin A ＝33.(2)由(1)得cos A ＝63. 又由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，BC ＝sin Asin BAC ＝32，又C ＝π2＋A ，∴sin C ＝cos A ＝63.所以S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12AC ·BC ·cos A＝3 2.1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．2．三角形面积计算公式(1)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a 、h b 、h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．已知△ABC 中，AB →·AC →<0，S △ABC ＝154，|AB →|＝3，|AC →|＝5，则∠BAC ＝( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150° 【解析】 由S △ABC ＝154，得12×3×5sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12，又由AB →·AC →<0，得∠BAC >90°， ∴∠BAC ＝150°. 【答案】 C判断三角形的形状已知△ABC 中，b sin B ＝c sin C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形(如a ＝2R sin A )，将条件中的角化为边，或将边化为角，从而进行判断．【自主解答】 法一 由b sin B ＝c sin C 得，2R sin 2B ＝2R sin 2C ， 即sin 2B ＝sin 2C. ∵0<B <π，0<C <π， ∴sin B >0，sin C >0. ∴sin B ＝sin C ，∴B ＝C.又sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，A ＝π－(B ＋C )＝π－2B ， ∴sin 22B ＝2sin 2B. 即4sin 2B ·cos 2B ＝2sin 2B. ∴cos 2B ＝12.由A ＝π－2B ∈(0，π)知，0<B <π2.∴cos B ＝22，∴B ＝π4，A ＝π2. 故△ABC 是等腰直角三角形．法二 由b sin B ＝c sin C 得：b ·2R sin B ＝c ·2R sin C ， ∴b 2＝c 2，b ＝c .由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 得，(2R sin A )2＝(2R sin B )2＋(2R sin C )2， ∴a 2＝b 2＋c 2，结合b ＝c 知，△ABC 为等腰直角三角形．1．本题已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定．2．在正弦定理的推广中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 是边化角的主要工具．其他变形还有角化边，如sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，借助正弦定理可以进行三角形形状的判断，三角恒等式的证明．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．【解】 由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin Acos A，由正弦定理a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)，得 4R 2sin 2A sinB cos B ＝4R 2sin 2B sin Acos A ，sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B. ∴2A ＋2B ＝π或2A ＝2B. ∴A ＋B ＝π2或A －B ＝0.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(对应学生用书第34页)解三角形时忽视讨论致误在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且b ＝6，a ＝23，A ＝30°，求△ABC 的面积．【错解】 由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32， ∴B ＝60°.故C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， 在Rt △ABC 中，C ＝90°，a ＝23，b ＝6， 故S △ABC ＝12ab ＝12×23×6＝6 3.【错因分析】 上述解答错误之处在于在利用正弦定理求得sin B ＝32后直接得出B ＝60°，未对解的情况作出判断和讨论，从而导致丢解．【防范措施】 遇到已知两边及其中一边对角解三角形时一定要讨论． 【正解】 由正弦定理得， sin B ＝b sin A a ＝6×sin 30°23＝32. 由b ＝6，a ＝23知，b >a ，∴B >A ＝30°. ∴B ＝60°或120°.(1)当B ＝60°时，C ＝180°－A －B ＝90°. ∴S △ABC ＝12ab ＝12×6×23＝6 3.(2)当B ＝120°时，C ＝180°－A －B ＝30°. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×23×sin 30°＝3 3.综合以上得△ABC 的面积为63或3 3.1．应用正弦定理可解决两类三角形问题：(1)已知三角形两角及一边；(2)已知两边及其中一边的对角． 2．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意分类讨论．3．正弦定理揭示了三角形中边、角之间的数量关系，可以借助三角形外接圆的半径，用边表示角或用角表示边，从而在解决有关问题时，可利用其“化边为角”或“化角为边”．(对应学生用书第34页)1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∴a sin B ＝b sin A.【答案】 C2．在△ABC 中，A ＝30°，C ＝105°，b ＝8，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．4 3D ．4 5【解析】 由三角形内角和定理知B ＝180°－A －C ＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝8·sin 30°sin 45°＝4 2.【答案】 B3．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________．【解析】 根据正弦定理，a sin A ＝csin C，由3a ＝2c sin A ，得3sin A ＝2sin C sin A ， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角，∴C ＝π3. 【答案】π34．在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 【证明】 由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋basin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．(对应学生用书第97页)一、选择题1．在△ABC 中，下列a 与b sin A 的关系正确的是( ) A ．a >b sin A B ．a ≥b sin A C ．a <b sin A D ．a ≤b sin A 【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以a ＝b sin Asin B，又因为sin B ∈(0，1]， 所以a ≥b sin A. 【答案】 B2．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 【解析】 ∵a sin B ＝102， ∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个． 【答案】 B3．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝45°，c ＝6，则△ABC 的面积为( ) A ．9＋3 3 B.9（6－2）2C.9＋332 D.9（6＋2）2【解析】 ∵A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝60°，b ＝c sin Bsin C＝6×2232＝26，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×26×6×6＋24＝9＋3 3.【答案】 A4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形【解析】 ∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，故由正弦定理得，sin A cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )， 化简得：cos A (sin B ＋sin C )＝0，又sin B ＋sin C ＞0， ∴cos A ＝0，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 D5．(2012·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725 D.2425【解析】 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ，所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B＝45.所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 【答案】 A 二、填空题6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×2232＝63.【答案】637．(2013·济南高二检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝180°，且A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×sin 60°3＝12， 又a <b ，∴A ＝30°.∴C ＝180°－(30°＋60°)＝90°.即sin C ＝1. 【答案】 18．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 【解析】 由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， ∴3＝12×2·AC ·32，∴AC ＝2，∴△ABC 为正三角形，∴AB ＝2. 【答案】 2 三、解答题9．在△ABC 中，c ＝6，A ＝45°，a ＝2，求b 和B ，C. 【解】 ∵a sin A ＝csin C，∴sin C ＝c sin A a ＝6×sin 45°2＝32. ∵c sin A ＜a ＜c ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1， ∴当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.10．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，且B 为锐角，判断此三角形的形状．【解】 由lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2， 得sin B ＝22，又B 为锐角， ∴B ＝45°，又a c ＝22，∴sin A sin C ＝22， ∴sin C ＝2sin A ＝2sin(135°－C )， ∴sin C ＝sin C ＋cos C ， ∴cos C ＝0，即C ＝90°， 故此三角形是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，已知tan B ＝3，cos C ＝13，AC ＝36，求△ABC 的面积．【解】 设△ABC 中AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . 由tan B ＝3，得B ＝60°， ∴sin B ＝32，cos B ＝12. 又cos C ＝13，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，由正弦定理得c ＝b sin Csin B ＝36×22332＝8.又∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝36＋23， ∴三角形面积S △ABC ＝12bc sin A ＝62＋8 3.(教师用书独具)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋12c ＝b ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．【思路探究】 (1)本题可考虑把边化为角，通过寻找三角形角与角之间的关系求解； (2)将周长表示为三角形某内角的函数，通过求函数的值域来求周长的取值范围． 【自主解答】 (1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ， c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )]＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．利用正弦定理可以实现边、角互化(1)将边转化为角：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)将角转化为边：sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R.已知△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1－c 2a ＝sin （B －C ）sin （B ＋C ），求cosA ＋C2的值．【解】 由正弦定理以及sin A ＝sin(B ＋C )，得： 1－sin C 2sin A ＝sin （B －C ）sin A， 整理得2sin A －sin C ＝2sin(B －C )， ∴4cos B sin C ＝sin C ， 又sin C ≠0， ∴cos B ＝14，∴1－2sin 2B 2＝14，sin B 2＝64， ∴cosA ＋C2＝cos π－B 2＝sin B 2＝64. 趣味材料中国南宋末年数学家秦九韶发现三斜求积公式，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积．“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积．”若以大斜记为a ，中斜记为b ，小斜记为c ，秦九韶的方法相当于下面的一般公式：S ＝14[a 2c 2－（a 2＋c 2－b 22）2]，这里a >b >c .1．2 余弦定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握余弦定理的两种表示形式及余弦定理的向量方法；并会用余弦定理解决基本的解三角形问题．2．过程与方法利用向量数量积推出余弦定理并通过实践演算掌握运用余弦定理解决解三角形问题．3．情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辨证统一．●重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及应用．难点：正、余弦定理与三角函数、三角恒等变换的综合问题．(教师用书独具)●教学建议探究和证明余弦定理的过程既是本节课的重点，也是本节课的难点．学生已具备了勾股定理的知识，即当C＝90°时，有c2＝a2＋b2，作为一般的情况，当C≠90°时，三角形的三边满足什么呢？学生一时很难找到思路．最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试用勾股定理去探究三角形的边角关系．用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合．因此教师在授课时可以适当点拨、启发．鼓励学生大胆的探索．在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加深学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，从而突破本节难重点．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题，结合勾股定理，理解余弦定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握利用余弦定理解三角形问题⇒通过例2及互动探究，使学生掌握、判断三角形形状问题⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第35页)课标解读1.了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题时的作用(难点)． 2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(重点).余弦定理【问题导思】图2－1－1如图2－1－1，在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，如果C ＝90°，如何求AB 边的长？当C ≠90°，如何用向量的数量积表示AB 边的长？【提示】 利用勾股定理求AB 的边长． |c |2＝c·c ＝(a －b )·(a －b )＝a 2－2a·b ＋b 2＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C. 余弦定理语言表述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号表示a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ；b 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C.推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.作用 实现三角形边与角的互化.(对应学生用书第35页)利用余弦定理解三角形(1)在△ABC 中，若a ＝1，b ＝1，C ＝120°求c ；(2)已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 各内角的度数． 【思路探究】 (1)直接利用余弦定理求解． (2)先根据比值设出各边的长，再利用余弦定理求解． 【自主解答】 (1)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋1－2cos 120°＝3， ∴c ＝ 3.(2)∵a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， ∴令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6＋（3＋1）2－426（3＋1）＝22，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋（3＋1）2－62×2×（3＋1）＝12，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.1．本题(2)关键是根据已知条件设出三边，为使用余弦定理的推论求角创造条件． 2．余弦定理是刻画三角形两边及其夹角的余弦与第三边关系的定理．在余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的任意三个量，便可求得第四个量．(1)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π4，b ＝2，S △ABC＝2，求a .(2)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，求△ABC 中最大角的度数．【解】 (1)因为S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22c ＝22c ＝2，所以c ＝2 2.根据余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋8－2×2×22×22＝4，所以a ＝2. (2)∵a ∶b ∶c ＝2∶3∶13，∴令a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝13k (k ＞0)，由b ＜a ＜c ，知C 为△ABC 最大内角，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋3－132×2×3＝－32，又0°＜C ＜180°∴C ＝150°.判断三角形的形状在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．【思路探究】 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．【自主解答】 法一 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，即b 2＝c 2.所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二 因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B. 又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 得(a ＋b )2－c 2＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．1．本题解法一利用了边的关系判断，解法二利用了角的关系判断．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．若将例题中的条件改为“△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A 2＝b ＋c 2c”，试判断△ABC 的形状．【解】 法一 ∵cos 2A 2＝1＋cos A2且cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，即cos A ＝bc. 由正弦定理，得cos A ＝sin B sin C，∴cos A sin C ＝sin(A ＋C )，整理得sin A cos C ＝0. ∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C ＝π2.故△ABC 为直角三角形．法二 同法一得cos A ＝b c.由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，整理得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形．正、余弦定理的综合应用在△ABC 中，C ＝2A ，a ＋c ＝10，cos A ＝34，求b .【思路探究】 先根据正弦定理求出a ，c 的值，再利用余弦定理建立b 的方程求b . 【自主解答】 由正弦定理得c a ＝sin C sin A ＝sin 2A sin A ＝2cos A ＝32， 又a ＋c ＝10， ∴a ＝4，c ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得b 2－9b ＋20＝0， 解得b ＝4或b ＝5. 当b ＝4时， ∵a ＝4，∴A ＝B ，又C ＝2A 且A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝45°与cos A ＝34矛盾，舍去，∴b ＝5.1．本题易忽视检验b ＝4的情况导致出错．2．余弦定理和正弦定理都是解三角形的重要工具，都可以实现三角形中的边角转化．在解决三角形中的综合问题时，要有意识地合理选择，一般情况下，如果条件中含有角的余弦或边的二次式，要考虑余弦定理；若条件中含有角的正弦或边的一次式，则考虑正弦定理．学习时应注意归纳总结正、余弦定理的应用技巧，如公式的正用、逆用以及变形用等，同时牢固掌握内角和定理的运用和三角变换的技巧．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B. 求证：A ＋B ＝120°.【证明】 由(sin A ＋sin B )2－sin 2C ＝3sin A sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sinB.由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，∴a 24R 2＋b 24R 2－c 24R 2＝a 2R ·b2R， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°， ∴A ＋B ＝120°.(对应学生用书第37页)转化思想在三角形中的应用(12分)在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，试判断△ABC 的形状．【思路点拨】 可以把角转化为边，也可以把边转化为角来处理． 【规范解答】 法一 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R 得：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C.代入a cos A ＝b cos B ＝c cos C 中，得：2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ＝2R sin C cos C，4分即sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C， ∴tan A ＝tan B ＝tan C ．10分又∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴A ＝B ＝C. ∴△ABC 是等边三角形.12分 法二 由余弦定理得a ·2bcb 2＋c 2－a 2＝b ·2ac a 2＋c 2－b 2＝c ·2aba 2＋b 2－c 2，6分∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2. 得a 2＝b 2＝c 2，即a ＝b ＝c .10分∴△ABC 是等边三角形.12分转化也称化归，它是将未知的，陌生的，复杂的问题转为已知的，熟悉的，简单的问题，从而使问题解决的数学思想．在解三角形时，若已知条件中含边角共存的关系式时，往往可利用正弦定理或余弦定理实现边角间的互化，从而发现各元素间的关系．1．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具，可解决以下两类问题：(1)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角； (2)已知三边求三角．2．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，可利用正弦定理或余弦定理转化为边的关系作代数运算，也可转化角的关系，通过三角变换求解．(对应学生用书第37页)1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，C ＝120°，则c 为( ) A.41 B.61 C.41或61 D.21【解析】 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝25＋16＋2×5×4×12＝61.∴c ＝61.【答案】 B2．在△ABC 中，若a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则△ABC 的最大角的度数为( ) A ．60° B ．90° C．120° D ．150° 【解析】 ∵c ＞a ＞b ，∴C 是最大角，由余弦定理得：cos C ＝（3＋1）2＋（3－1）2－（10）22×（3＋1）×（3－1）＝8－104＝－12.∴C ＝120°.【答案】 C3．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【解析】 由正弦定理知a ∶b ∶c ＝5∶11∶13， 设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（5k ）2＋（11k ）2－（13k ）22×5k ×11k ＝－23110<0，∴C 为钝角．【答案】 C4．已知△ABC 的边长满足等式a 2－（b －c ）2bc ＝1时，求A.【解】 由a 2－（b －c ）2bc ＝1，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(对应学生用书第99页)一、选择题1．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2【解析】 在△ABC 中，易知B ＝30°，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4，∴b ＝2. 【答案】 A2．a 、b 、c 是△ABC 的三边，B ＝60°，那么a 2－ac ＋c 2－b 2的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不确定【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， 所以a 2－ac ＋c 2－b 2＝(a 2＋c 2－ac )－b 2＝b 2－b 2＝0. 【答案】 C3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， ∴6＝a 2＋2＋2a ，∴a ＝2或－22(舍去)． 【答案】 D4．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定【解】 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 24R 2＋b 24R 2＜c 24R2，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19【解析】 由余弦定理的推论cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos (π－B )＝5×7×(－1935)＝－19.【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )，则A ＝________. 【解析】 由(a －c )(a ＋c )＝b (b －c )得a 2－c 2＝b 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝bc 与余弦定理b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 比较知cos A ＝12，∴A ＝60°.【答案】 60°7．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________． 【解析】 ∵a 是最大边，∴A ＞π3，又a 2＜b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2.【答案】 (π3，π2)8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)，整理得15b －60＝0.∴b ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知△ABC 的顶点为A (2，3)，B (3，－2)和C (0，0)，求∠AB C. 【解】 |AB |＝（3－2）2＋（－2－3）2＝26， |BC |＝（0－3）2＋[0－（－2）]2＝13， |CA |＝（2－0）2＋（3－0）2＝13， 由余弦定理得cos ∠ABC ＝（13）2＋（26）2－（13）22×13×26＝22，又∵∠ABC ∈(0，π)，∴∠ABC ＝π4.10．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sinC －sin A )＝185sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B ·sin C.结合正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝85bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，∴sin A ＝35.(2)由(1)知方程x 2－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a ＝3.(3)由(1)(2)知，a 2＋c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．11．(2013·潍坊高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cosA ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【解】 (1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒ 2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， 代入b ＋c ＝4得bc ＝3，故△ABC 面积为S ＝12bc sin A ＝334.(教师用书独具)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.【思路探究】 本题可考虑把边化为角，通过三角变换寻找等式左、右两边的联系． 【自主解答】 由余弦定理可知：a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B则a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc ·cos A ＋2ac ·cos B ， 整理得：a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c ， 又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C， ∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .【解】 法一 ∵sin B ＝4cos A sin C ， 由正弦定理，得b 2R ＝4cos A c2R，∴b ＝4c cos A ，由余弦定理得b ＝4c ·b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝2(b 2＋c 2－a 2)，∴b 2＝2(b 2－2b )，∴b ＝4. 法二 由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bc cos A ， ∵a 2－c 2＝2b ，b ≠0，∴b ＝2c cos A ＋2，①由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，又由已知得，sin Bsin C ＝4cos A ，∴b ＝4c cos A ．②由①②得b ＝4.§2三角形中的几何计算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握正、余弦定理解任意三角形的方法，体会正、余弦定理在平面几何计算与推理中的作用．2．过程与方法能过图形的观察、识别、分析、归纳来正确选择正、余弦定理．3．情感、态度与价值观通过本节课的探究，培养学生勇于探索、创新的学习习惯．●重点难点重点：利用正、余弦定理解决三角形中的几何计算．难点：将几何计算转化为解三角形问题．(教师用书独具)●教学建议通过例题的活动探究，要让学生结合图形理解题意，学会分析问题状态，确定合适的求解顺序，明确所用的定理．其次，在教学中还要让学生分析讨论，明确正、余弦定理各自实用的范围．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答所提问题理解三角形中的几何计算——长度、角度、面积等⇒通过例1及变式训练，使学生掌握与长度或角度有关的问题的计算⇒通过例2及变式训练，使学生掌握有关面积问题的处理⇒通过例3及变式训练，使学生进一步掌握正、余弦定理的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第38页)课标解读1.掌握正、余弦定理解任意三角形的方法(重点)．2．提高分析问题解决问题的能力(难点).三角形中的几何计算【问题导思】图2－2－1如图2－2－1，2011年8月，利比亚战争期间，北约为了准确分析战场形势，由位于相距32a的英法两军事基地C和D，测得卡扎菲的两支精锐部队分别位于A、B两处，且∠ADB＝∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.试问你能根据实例中测量的数据计算卡扎菲这支精锐部队的距离吗？【提示】在△BCD中用正弦定理求出BC，在△ABC中用余弦定理求AB的长．(对应学生用书第38页)与长度或角度有关的问题图2－2－2(2013·中山高二检测)在△ABC 中，已知B ＝30°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，(1)求∠ADC 的大小； (2)求AB 的长．【思路探究】 (1)在△ACD 中已知了AD 、AC 、DC ，可根据余弦定理求∠AD C. (2)在△ABD 中，可用正弦定理求A B.【自主解答】 (1)在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°.(2)由(1)知∠ADB ＝60°，在△ABD 中，AD ＝10，B ＝30°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 30°＝10×3212＝10 3.1．正弦、余弦定理是解三角形常用的两个重要定理，在使用时要根据题设条件，恰当选择定理，使求解更方便、简捷．2．解决此类问题要处理好两个方面：(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形；(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．图2－2－3如图2－2－3所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（23）22×2×23＝32， 则C ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有ADsin C＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝AC ·sin30°sin 45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 【答案】 2有关面积问题图2－2－4如图2－2－4所示，在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC的面积．【思路探究】 先由余弦定理建立方程求CD 的长，再在△ACD 中由正弦定理求sin C ，进而可求△ABC 的面积．【自主解答】 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝5－x . 在△CAD 中，由余弦定理可知 cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132，解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知ADsin C＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝AD CD·1－cos 2∠CAD ＝41－（3132）2＝387.∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C＝12×4×5×387＝1547. 即△ABC 的面积为1547.1．本题求三角形面积容易考虑用12×底×高，但高不易求得，应灵活应用三角形面积公式．2．涉及三角形面积问题通常选用S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ，这个公式中含有正弦值，可以和正弦定理建立关系，又由正弦值还可求出余弦值，这就可以与余弦定理建立关系，另外面积公式中有两边的乘积，在余弦定理中也有，所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换，关键是根据题中的条件选择正确的变换方向．图2－2－5如图2－2－5所示，△ABC 中，D 在边BC 上，且BD ＝2，DC ＝1，B ＝60°，∠ADC ＝150°，求AC 的长及△ABC 的面积．【解】 在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°， ∴AD ＝BD sin 60°＝2×32＝3， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ＝(3)2＋12－2×3×1×cos 150°＝7，∴AC ＝7.又∵AB ＝BD cos 60°＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×3×32＝34 3.正、余弦定理的综合应用。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第二章 框图综合检测 北师大版选修1-2
第二章框图(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·某某高二检测)如图1是一个结构图，在框①中应填入( )图1A．空集B．补集C．子集 D．全集【解析】集合的运算包括交集、并集、补集．【答案】 B2．如图2所示的结构图中“古典概型”的上位是( )图2A．试验 B．随机事件C．概率统计定义 D．概率的应用【解析】由结构图易知“古典概率”的上位是“随机事件”．【答案】 B3．根据二分法原理求解x2－2＝0得到的流程图可称为( )A．算法框图 B．工序流程图C．知识结构图 D．组织结构图【解析】根据二分法原理求解x2－2＝0的过程是一种算法，故其流程图是算法框图．【答案】 A4．十人各拿水桶一只，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i＝1,2，…，10)个人的水桶需时T i分钟，假设这些T i各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他们的接水次序，使他们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少( ) A．从T i中最大的开始，按由大到小的顺序排队B．从T i中最小的开始，按由小到大的顺序排队C．从最靠近T i平均数的一个开始，依次按小取一个大取一个的摆动顺序排队D．任意顺序排队接水的总时间都不变【解析】从T i中最小的开始，由小到大的顺序排队接水可使总时间最少．如只有A1，A2两人接水，A1需10分钟，A2需5分钟，若A1先接则需要10＋(10＋5)＝25(分钟)，若A2先接则只需要5＋5＋10＝20(分钟)．【答案】 B5．在如图3所示的框图中，输出结果是( )图3A．5 B．10C．20 D．15【解析】输出的S＝1×5×4＝20.【答案】 C6．如图4，某人拨通了，准备手机充值需进行如下操作( )A．1－5－1－1 B．1－5－1－5C．1－5－2－1 D．1－5－2－3【解析】 由操作图知：手机充值应按照“注册客户服务请按1”“代缴费请按5”“手机充值缴费按2”“手机充值按1”的先后顺序进行操作．故选C.【答案】 C7．下图5所示的是求过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填( )图5A ．x 1＝x 2?B ．x 1≠x 2?C ．y 1＝y 2?D ．y 1≠y 2?【解析】 当x 1＝x 2时，斜率不存在．当x 1≠x 2时，斜率存在．故应填“x 1＝x 2？”． 【答案】 A8．如图6是一个算法的算法框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是13，则空白框处的关系式可以是( )图6A ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝3xD ．y ＝x 13【解析】 由算法框图的输入值和输出值知x 的运算值是－1，运算结果是13，故结合选项得出其中的运算是y ＝3x.【答案】 C9．如算法框图7所示，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．若要使输入的x 的值与输出的y 的值相等，则这样的x 的值有( )图7A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2＜x ≤5，1x ，x ＞5的函数值，当x ≤2时，令x 2＝x ，得x ＝0或1；当2＜x ≤5时，令2x －3＝x ，得x ＝3；当x ＞5时，令1x＝x ，得x ＝±1(舍去)，故只有3个值符合题意．【答案】 C10．(2013·课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝( )图8A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2【解析】 当输入的N ＝4时，由于k ＝1，S ＝0，T ＝1，因此T ＝11＝1，S ＝1，k ＝2，此时不满足k ＞4；当k ＝2时，T ＝11×2，S ＝1＋12，k ＝3，此时不满足k ＞4； 当k ＝3时，T ＝11×2×3，S ＝1＋12＋12×3，k ＝4，此时不满足k ＞4；当k ＝4时，T ＝11×2×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，k ＝5，此时满足k ＞4.因此输出S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上)11．(2013·某某高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．图9【解析】 由程序框图可知：第一次运行：F1＝1＋2＝3，F0＝3－1＝2，n＝1＋1＝2，1F1＝13＞ε，不满足要求，继续运行；第二次运行：F1＝2＋3＝5，F0＝5－2＝3，n＝2＋1＝3，1F1＝15＝0.2＜ε，满足条件．结束运行，输出n＝3.【答案】 312．某工程的工序流程图如图10所示(工时单位：天)，现已知工程总时数为10天，则工序c所需工时为________天．图10【解析】设工序c所需工时数为x天，由题设关键路线是a→c→e→g，需要工时为1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.即工序c所需工时数为4天．【答案】 413．按下列算法框图运算：图11规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算，若x＝5，则运算进行________次才停止．【解析】由算法框图知，第一次运算得13，第二次运算得37，第三次运算得109，第四次运算得325，故循环体共执行了4次．【答案】 414．在如图12所示的结构图中，有________个“环”形结构．【解析】由结构图可知，图中共有4个“环”形结构．【答案】 415．在如图13所示框图中，输入f0(x)＝cos x，则输出的是________．图13【解析】f1(x)＝－sin x，f2(x)＝－cos x，f3(x)＝sin x，f4(x)＝cos x．由此归纳得f2 013(x)＝f1(x)＝－sin x.【答案】－sin x三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)请设计流程图，描述判断函数f(x)是否为奇函数的过程．【解】判断函数f(x)是否为奇函数的流程图如下：17．(本小题满分12分)数学建模过程的流程图如下：根据这个流程图，说明数学建模的过程．【解】数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，若合乎实际，则为可用结果，若不合乎实际，则进行修改后重新提出问题．18．(本小题满分12分)某银行代缴费用包括代缴公用事业费和手机充值缴费，其中代缴公用事业费包含水费、电费、煤气费和固定费；手机充值缴费包含手机充值、实时查询缴费和实时账单缴费，试画出结构图．【解】缴费结构图如图所示：19．(本小题满分13分)在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元．某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法框图．(注：满工作量外的工作时间为加班)【解】算法如下：第一步，输入工作时间x小时．第二步，若x≤40，则y＝8x(1－10%)，否则y＝40×8(1－10%)＋(x－40)×10(1－10%)．第三步，输出y值．算法框图：20．(本小题满分13分)如图15，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分．当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，求x 3的值．图15【解】 由题意知x 1＝6，x 2＝9，此时|x 1－x 2|＝3>2，若|x 3－6|<|x 3－9|，则x 2＝x 3，p ＝6＋x 32＝8.5得x 3＝11不满足|x 3－6|<|x 3－9|，舍去；若|x 3－6|≥|x 3－9|，则x 1＝x 3，p ＝x 3＋92＝8.5得x 3＝8，符合题意．21．(本小题满分13分)随着计算机网络的日益普及，网上购物已经成为了一种时尚．那么，人们在从网上购物时，是怎样向商家支付费用的呢？如图16所示的支付流程图就是一种解决方案：网上购物支付流程图图16“网上购物支付流程图”说明：①消费者向商家提交订单．②订单经商家用某种方式加密后，传输给“X支付平台”认证．③消费者在“X支付平台”选择支付工具，“X支付平台”传输订单至发卡银行认证，消费者在发卡银行的网上银行进行网上支付．④发卡银行发送支付状态信息到“X支付平台”，商家通过程序自动查询或人工查询获得订单支付结果．⑤商家发货．⑥发卡银行把资金划转到“X支付平台”所在银行的账户．⑦“X支付平台”每周依商家资金调拨指令，与商家进行资金结算．阅读这个流程图和说明，解答以下问题：(1)作为一名消费者，从发出订单到收到订货，完成一次这样的网上购物，需要经过哪几个步骤？设计一个流程图表示这个过程；(2)对商家来说，从收到一份订单到发货，完成一次这样的网上销售，需要经过哪几个步骤？设计一个流程图表示这个过程．【解】(1)作为消费者，完成一次这样的网上购物需要经过的步骤：第1步：向商家提交订单．第2步：在“X支付平台”选择支付工具．第3步：等待订单认证．若认证通过，在发卡银行的网上银行进行网上支付；若没有通过，重新提交订单．第4步：收货．这个过程的流程图如图所示：(2)作为商家，完成一次这样的网上销售需要经过的步骤：第1步，将订单加密．第2步，将加密订单传输给“X支付平台”认证．第3步，在“X支付平台”通过自动查询或人工查询获得订单支付结果．第4步，发货．这个过程的流程图如图所示：。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二讲试验设计初步章末归纳提升新人教a版选修4-7
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二讲 试验设计初步章末归纳提升 新人教A 版选修4-7正交表介绍正交表的特征正交试验设计正交试验的应用确定试验的因素和水平选择合适的正交表安排试验方案试验结果分析，选出最佳组合1.正交试验设计是用正交表安排多因素的试验设计和分析的一种方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的试验方案，应用正交试验设计安排试验，还可以把考察的因素进行排队，看哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而抓住主要因素进一步试验，当主要因素较少时，可以转化成第一讲中的优选法得出最佳点．2．正交表的含义及特征(1)教材以L 4(23)为例讲解了正交表的含义.m (2)正交表的两个特征．①每列中不同的数字出现的次数相同；②将任意两列的同一行数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等． 这两个特征是判断一张表是否为正交表的依据． 3．试验结果的分析教材主要介绍了两种方式，直接对比法和直观分析法，并利用直观分析法分析了相关因素对试验结果影响的主次，为探寻试验的最佳方案，提供理论依据．为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件．已知液化率＝果肉重量－液化后残渣重量果肉重量×100%.9出分析．【解】 ∵K 11＝41%，K 12＝13%，K 13＝46%，K 14＝89%，K 21＝87%，K 22＝82%， K 23＝71%，K 24＝46%，K 31＝61%， K 32＝94%，K 33＝72%，K 34＝54%，∴k 11≈13.7%，k 12≈4.3%，k 13≈15.3%，k 14≈29.7%，k 21≈29.0%，k 22≈27.3%， k 23≈23.7%，k 24≈15.3%，k 31≈20.3%， k 32≈31.3%，k 33≈24.0%，k 34≈18.0%，∴R 1＝max{k 11，k 21，k 31}－min{k 11，k 21，k 31}＝max{13.7%,29.0%,20.3%}－min{13.7%，29.0%，20.3%} ＝29.0%－13.7%＝15.3%. 同理可求R 2＝27.0%，R 3＝8.7%，R 4＝14.3%.所得结果列表如下：23312143综合检测(二) 第二讲 试验设计初步(时间80分钟，满分100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某次试验选取的正交表为L 16(45)，则需做的试验个数为( ) A ．10 B ．7 C ．8 D ．16【解析】 由正交表L 16(45)可知共需做16次试验． 【答案】 D2．在价格竞猜游戏中，为了最快猜中价格，最好使用( ) A ．0.618法 B ．分数法 C ．对分法 D ．盲人爬山法【解析】 结合实际的需要，最好做一次试验就明确试验下一步的方面，对分法恰好，满足此要求． 【答案】 C3．用0.618法寻找某试验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，则此时要做试验的加入点值是( ) A.628＋7742B ．628＋0.618×(774－628)C ．628＋774－718D ．2×718－774【解析】 结合黄金分割法的原理：“加两头减中间”的方式可知，此时要做试验的加入点值为628＋774－718. 【答案】 C4．在区间[1,5]上不是单峰函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x C ．y ＝2xD ．y ＝ln x【解析】 y ＝x ，y ＝2x，y ＝ln x ，在[1,5]上均单调增加，都是单峰函数，函数y ＝sin x 在[1，π2]上单调递增，在[π2，5]上不是单调的．因此不满足单峰函数的定义．【答案】 A5．南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入了抗腐剂的特种混凝土预制件．该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间的影响，搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同，根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数．为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至少是( )A ．5次B ．6次C．7次 D．8次【解析】因为12＝13－1＝F6－1＝F5＋1－1，由分数法的最优性原理可知，至少做5次试验能找到其中的最佳点，故选A.【答案】 A6．有一多因素试验，其正交表试验如下：A．因素A B．因素BC．因素C D．不确定【解析】R A＝0.5，R B＝6.5，R C＝2.5.所以B为主要因素，然后是C，最后是A，故选B.【答案】 B7．下列说法中，不正确的是( )A．纵横对折法是在每一步确定好点后，都将试验的矩形区域舍弃一半B．爬山法中的步法常常采用“两头慢，中间快”的办法C．平行线法中，可以多次采用“平行线加速”求后续最佳点D．对分法的要点是每个试点都取在因素范围的中点【解析】由纵横对折法，爬山法、平行线法及对分法的意义，A、C、D是正确的；B是错误的，事实上，爬山法中往往采用的是“两头小，中间大”的办法．【答案】 B8．图2－1是某正交试验后，绘成的结果和因素关系图(已知结果越大越好)，则该试验的最佳组合为( )图2－1A ．(A 1，B 1，C 2) B ．(A 1，B 2，C 1) C ．(A 2，B 1，C 2)D ．(A 2，B 2，C 2)【解析】 由图可知对A 而言，k 21＞k 11，故A 2优于A 1，对B 而言，k 12＞k 22，故B 1优于B 2，对于C 而言k 13＜k 23，即C 2优于C 1，故最优组合为(A 2，B 1，C 2)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)9．某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级：0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55，0.60，0.65,0.71,0.81,0.91. 那么第一、二次的试点分别为________．【解析】 由题意知符合分数法的优选要求．第一次应选0.55做为试点，第二次应选0.45做为试点． 【答案】 0.55 0.4510．(2012·益阳模拟)某试验对象取值范围是[1,6]内的整数，采用分数法确定试点值，则第一个试点值可以为________． 【解析】 由分数法的原理可知，第一试点的值可以为x 1＝1＋35×(6－1)＝4或6－35×(6－1)＝3.【答案】 4或3(写出一个也正确)11．有一双因素优选试验，2≤x ≤4,10≤y ≤20.使用纵横对折法进行优选．分别对因素x 和y 进行了一次优选后，其新的存优范围的面积为__________．【解析】 由纵横对折法知对因素x 和y 进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即12×(4－2)×(20－10)＝10.【答案】 1012．下列正交表中：L 4(23)，L 8(27)，L 16(215)，L 9(34)，L 16(45)，L 27(313)属于三水平正交表的是________． 【解析】 L 9(34)，L 27(313)同为三水平正交表． 【答案】 L 9(34)，L 27(313)三、解答题(本大题共3小题，满分40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(本小题满分13分)(2012·长沙模拟)在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 k Ω，1.2 k Ω，1.8 k Ω，3 k Ω，3.5 k Ω，4 k Ω，5 k Ω等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，则第2个试点选的电阻是多少k Ω？【解】 把阻值由小到大排列并编号 阻值 0.8 1.2 1.8 3 3.5 4 5 编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成8格，∴第2试点为38处，即序号(3)的位置1.8 k Ω.14．(本小题满分13分)用对分法求方程x 2＋3x －2＝0的一个正根(精确度为0.1)【解】 令f (x )＝x 2＋3x －2，由f (0)＝－2＜0，f (1)＝2＞0可知以区间[0,1]为因素范围使用对分法 因为f (12)＝14＋32－2＜0，所以考虑区间[12，1]．因为f (34)＝916＋94－2＞0，所以考虑区间[12，34]．因为f (58)＝2564＋158－2＞0，所以考虑区间[12，58]．因为f (916)＞0，所以考虑区间[12，916]．又∵|916－12|＜0.1，所以方程x 2＋3x －2＝0的一个正根为[12，916]中的任意一个值，不妨取1732.15．(本小题满分14分)如果一个3因素2水平的正交试验结果如下表：【解】 k 11＝79＋652＝72，k 12＝79＋882＝83.5，k 13＝79＋812＝80，k 21＝88＋812＝84.5，k 22＝65＋812＝73，k 23＝65＋882＝76.5， ∴R 1＝84.5－72＝12.5，R 2＝83.5－73＝10.5，R 3＝80－76.5＝3.5. 其正交试验表如下表所示：由上表可知，该试验的最优组合为(211又∵R1＞R2＞R3，∴该试验的主要因素为A，B次之，C再次之．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二章算法初步综合检测北师大版必修3
第二章算法初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列问题的算法适宜用选择结构表示的是( )A．求点P(－1,3)到直线l：3x－2y＋1＝0的距离B．由直角三角形的两条直角边长求斜边长C．解不等式ax＋b>0(a≠0)D．计算100个数的平均数【解析】适用于选择结构的算法具有判断、讨论，并根据判断结果选择不同的操作，由此可知只有C符合，故选C.【答案】 C2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构( )A．顺序结构B．选择结构C．循环结构 D．以上都用【解析】由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．【答案】 D3．(2013·天津高考)图1阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7B．6C．5D．4【解析】n＝1，S＝0.第一次：S＝0＋(－1)1×1＝－1，－1＜2，n＝1＋1＝2，第二次：S＝－1＋(－1)2×2＝1,1＜2，n＝2＋1＝3，第三次：S＝1＋(－1)3×3＝－2，－2＜2，n＝3＋1＝4，第四次：S＝－2＋(－1)4×4＝2,2＝2，满足S≥2，跳出循环，输出n＝4.【答案】 D4．下述算法语句的运行结果为( )N＝1S＝0DoS＝S＋NN＝N＋1Loop While S<＝10输出N－1A．5 B．4C．11 D．6【解析】S＝1＋2＋3＋4＋5时停止循环，故选A.【答案】 A5．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为( )图2A．105 B．16C．15 D．1【解析】当i＝1时，s＝1×1＝1；当i＝3时，s＝1×3＝3；当i＝5时，s＝3×5＝15；当i＝7时，i<n不成立，输出s＝15.【答案】 C6．运行以下算法语句时，执行循环体的次数是( )i＝1Doi＝i＋1i＝i*iLoop While i<10输出iA．2 B．10C．11 D．8【解析】第一次执行循环体，i＝1，i＝i＋1＝2，i＝i·i＝4，i＝4<10，成立，第二次执行循环体，i＝i＋1＝5，i＝i·i＝25，i＝25<10，不成立，退出循环，共执行了2次循环体．【答案】 A7．阅读如图4所示的算法框图，运行相应的程序，则循环体执行的次数是( ) A．50 B．49C．100 D．98【解析】当i＝2,4,6，…，98时，执行循环体，共执行了49次．【答案】 B图4 图58．在阳光体育活动中，全校学生积极参加室外跑步．高三(1)班每个学生上个月跑步的路程从大到小排列依次是a 1，a 2，a 3，…，a 50(任意i ＝1,2，…，49，a i ＞a i ＋1)，如图是计算该班上个月跑步路程前10名学生的平均路程的算法框图．则图中判断框①和处理框②内应分别填写( )A ．i ＜10，a ＝s9B ．i ＜11，a ＝s 11C ．i ＜11，a ＝s10D ．i ＜10，a ＝s10【解析】 注意到判断框中应是保证恰好是10名学生，再注意到走出判断框的结果将是10个数的和，于是选C.【答案】 C9．如图6，该框图是求函数f (x )＝x 2－3x ＋5，当x ∈{0,3,6,9，…，60}时函数值的一个算法框图，则①处应填( )A ．x ＝x ＋3B ．x ＝3xC ．3x ＝xD ．x ＋3＝x【解析】 0,3,6,9，…，60，后一个数比前一个数大3. 【答案】 A图6 图710．(2013·北京高考)执行如图7所示的程序框图，输出的S 值为( ) A ．1 B.23 C.1321D.610987【解析】 当i ＝0，S ＝1时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝23，i ＝i ＋1＝1；当i ＝1，S ＝23时，执行S ＝S 2＋12S ＋1后得S ＝1321，i ＝i ＋1＝2.由于此时i ≥2是成立的， 因此输出S ＝1321.【答案】 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．下面为一个求20个数的平均数的算法语句，在横线上应填充的语句为________．S ＝0For i ＝1 To ________ 输入xS ＝S ＋xNexta ＝S /20输出a【解析】 20个数，故应填20. 【答案】 2012．下图是某算法的算法框图，则程序运行后输出的结果是________．图8【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝0，n ＝1；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，n ＝2；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝6，n ＝3；⎩⎪⎨⎪⎧s ＝27，n ＝4.∵n ＝4>3，故输出s ＝27. 【答案】 2713．分析下面的算法语句： 输入x ；若输入38，运行上面的语句后，得到的结果是________．【解析】输入38，程序运行过程是：9<38<100，成立，a＝3b＝8x＝10×8＋3＝83输出x＝83.【答案】8314．(2013·湖北高考)阅读如图9所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.图9【解析】m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.第一次：i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A>B；第二次：i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A>B；第三次：i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A>B；第四次：i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A<B.终止循环，输出i＝4.【答案】 415．(2013·湖南高考)执行如图10所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．图10【解析】当a＝1，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为3，当a＝3，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为5，当a＝5，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a ＋b后a的值为7，当a＝7，b＝2时，a>8不成立，执行a＝a＋b后a的值为9，由于9>8成立，故输出a的值为9.【答案】9三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)写出解不等式x2－2x－3＜0的一个算法．【解】算法步骤如下：1．求出对应方程x2－2x－3＝0的两根－1,3；2．确定根的大小：－1＜3；3．写出解集{x|－1＜x＜3}．17．(本小题满分12分)(2013·深圳检测)根据下列语句画出相应的算法框图．S＝1n＝1DoS＝S*nn＝n＋1Loop While S<1 000输出n－1【解】算法框图如下：18．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．【解】框图：用语句描述为：19．(本小题满分13分)某次数学考试中，其中一小组的成绩为：55 89 69 73 81 56 90 74 82设计一个算法，从这些成绩中搜索出小于75的成绩，并画出算法框图．【解】算法：1．将序列中的数m与“75”比较，如果此数m小于75，则输出此数；2．如果序列中还有其他数，重复第1步；3．在序列中一直到没有可比的数为止．算法框图如下：20．(本小题满分13分)用基本语句描述计算102＋202＋302＋…＋1 0002的算法并画出相应的算法框图．【解】法一用For语句：S＝0For i＝10 To 1 000 Setp 10S＝S＋i*iNext输出S算法框图见图(1)．法二用Do Loop语句：S＝0i＝10DoS＝S＋i*ii＝i＋10Loop While i≤1 000输出S算法框图见图(2)．21．(本小题满分13分)高一(3)班共有54名同学参加数学竞赛，现在已有了这54名同学的竞赛分数，请设计算法，要求计算竞赛成绩优秀的同学的平均分数并输出(规定90分以上为优秀)，画出算法框图，并用基本语句描述算法．【解】算法框图如图所示：用基本语句描述算法如下：。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A版选修1-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二章 推理与证明综合检测 新人教A 版选修1-2(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·日照高二检测)有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误【解析】 该推理的形式不符合三段论推理模式，故结论错误． 【答案】 C2．下列推理过程是类比推理的是( )A ．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12B ．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C ．通过检测溶液的pH 值得出溶液的酸碱性D ．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 【解析】 A 为归纳推理，C ，D 均为演绎推理．故选B. 【答案】 B3．求证：3＋7＜2 5.证明：因为3＋7和25都是正数， 所以为了证明3＋7＜25， 只需证明(3＋7)2＜(25)2， 展开得10＋221＜20，即21＜5， 只需证明21＜25. 因为21＜25成立，所以不等式3＋7＜25成立． 上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法【解析】 结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．【答案】 B4．如图1所示为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是( )—○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ● ●—图1A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大【解析】每3个白珠和2个黑珠看作一组，前7组共有35颗珠子，因此第36颗珠子应为白色珠．【答案】 A5．(2012·江西高考)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( )A．76 B．80C．86 D．92【解析】由题意知|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，则可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍，则|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.【答案】 B6．下面所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，α所表示的数是( )11 2 11 3 3 11 4 α 4 11 5 10 10 5 1图2A．2 B．4C．6 D．8【解析】由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故α＝3＋3＝6.【答案】 C7．(2013·大连高二检测)由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①由“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②由“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③由“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ④由“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b |”． 以上结论正确的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．②④【解析】 因为向量运算满足交换律、乘法分配律，向量没有除法，不能约分，所以①②正确，③错误．又因为|a·b|＝|a|·|b |·|cos〈a ，b 〉|，所以④错误．【答案】 B8．如图3所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 012次互换座位后，小兔所坐的座位号是( )图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，所以第2 012次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第3号座位上．【答案】 C9．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D ．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”． 【答案】 B10．(2013·唐山高二检测)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列式子：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x2＋4x 2≥3，…类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．nC ．n ＋1D ．n －1【解析】 由观察可得：x ＋ax n ＝＋ax n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1an n ＝n ＋1，则a ＝n n .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．(2013·苏州高二检测)对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题“__________________________”，这个类比命题的真假性是____________．【解析】 边类比半平面，角类比二面角可得．【答案】 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 假命题12．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.【解析】 ∵f (x ＋2)＝1f x， ∴f (x ＋4)＝1f x ＋2＝f (x )，∴f (5)＝f (1＋4)＝f (1)＝－5， ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f 1 ＝－15. 【答案】 －1513．(2013·马鞍山高二检测)观察以下不等式 1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……可归纳出对大于1的正整数n 成立的一个不等式1＋122＋132＋…＋1n 2＜f (n )，则不等式右端f (n )的表达式应为________(n ＞1，n ∈N )．【解析】 由所给不等式可知，分子为3,5,7，…；分母为2,3,4，… 寻找规律可知f (n )＝2n －1n.【答案】2n －1n14．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将命题类比到三棱锥中，得到一个类似的命题为__________________________________.【答案】 在三棱锥A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知a ，b 是正有理数，a ，b 是无理数，证明：a ＋b 必为无理数．【证明】 假设a ＋b 为有理数，记p ＝a ＋b ，因为a ，b 是正有理数，所以p ＞0.将a ＝p －b 两边平方，得a ＝p 2＋b －2p b ，所以b ＝p 2＋b －a2p.因为a ，b ，p 均为有理数，所以b 必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误．所以a ＋b 必为无理数．16．(本小题满分12分)如图4，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点．图4求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD .【证明】 (1)在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP 、AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .(2)连接BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面PAD . 又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD .17．(本小题满分12分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1， 即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5. 因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5. (2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，① 所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1， ②由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)． 因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14， 即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2. 综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝12n －1 2n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝12－14n ＋2<12. 18．(本小题满分14分)(2013·宁波高二检测)已知△ABC 的三边a 、b 、c 的倒数成等差数列，试分别用分析法和综合法证明∠B 为锐角．【证明】 法一(分析法) 要证明∠B 为锐角，只需证cos B ＞0，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以只需证明a 2＋c 2－b 2＞0，即a 2＋c 2＞b 2. 因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证明2ac ＞b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，所以只需证明b (a ＋c )＞b 2，即只需证明a ＋c ＞b .而a ＋c ＞b 显然成立，所以∠B 为锐角． 法二(综合法) 由题意：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac，则b ＝2aca ＋c，∴b (a ＋c )＝2ac . ∵a ＋c ＞b ， ∴b (a ＋c )＝2ac ＞b 2.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＞0.又∵0＜∠B ＜π，∴0＜∠B ＜π2，即∠B 为锐角．。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1 随机变量及其概率分布课后知能检测 苏教版选修2-3
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1 随机变量及其概率分布课后知能检测 苏教版选修2-3一、填空题1.有以下四个随机变量：①某无线寻呼台1 min 内接到呼叫次数ξ；②森林里树木的高度在(0，38](单位：m)这一范围内变化，测得一棵树的高度ξ； ③一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置的坐标ξ； ④某人射击一次中靶的环数ξ.其中是离散型随机变量的是________．(填序号) 【解析】 ①④为离散型，②③为连续型． 【答案】 ①④2．(2013·常州高二检测)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝m (12)i，i ＝1，2，3，4，则m 的值为________．【解析】 ∵m (12＋14＋18＋116)＝1，∴m ＝1615.【答案】16153．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球的号码之和为ξ，则ξ所有可能的值是________．【解析】 ξ的取值最小为1＋2＝3，最大为4＋5＝9. 【答案】 3，4，5，6，7，8，94．若随机变量X ～0－1分布，P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝32a ，则a ＝________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32a ＝1，0≤a ≤1，0≤32a ≤1，解得a ＝25.【答案】 255．某射击选手射击一次所得环数ξ的概率分布如下：【解析】 “射击一次命中的环数ξ≥7”是指{ξ＝7}或{ξ＝8}或{ξ＝9}或{ξ＝10}，根据ξ的概率分布可得P (ξ≥7)＝P (ξ＝7)＋P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.【答案】 0.886．某一随机变量ξ的概率分布如表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为________.【解析】 ∴m ＋n ＝0.8.又m ＋2n ＝1.2，∴m ＝0.4，n ＝0.4， ∴m －n2＝0.2.【答案】 0.27．某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布表为________．【解析】 P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2. 【答案】8.(2013·广州高二检测)随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an （n ＋1），n ＝1，2，3，4，其中a 是常数，则P (12<ξ<52)的值为________．【解析】 ∵P (ξ＝n )＝a n （n ＋1）＝(1n －1n ＋1)a ，∴ i ＝14P (ξ＝i )＝(11－12)a ＋(12－13)a ＋(13－14)a ＋(14－15)a ＝(1－15)a ＝45a ＝1，∴a ＝54.∴P (12<ξ<52)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝56.【答案】 56二、解答题9．一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出废品不放回，求在第一次取到合格品之前已取出的废品数的概率分布．【解】 设在第一次取到合格品之前已取出的废品数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 19C 112＝34；P (X ＝1)＝C 13C 112×C 19C 111＝944；P (X ＝2)＝C 13C 112×C 12C 111×C 19C 110＝9220；P (X ＝3)＝C 13C 112×C 12C 111×C 11C 110＝1220.所以所求的概率分布为：10.球个数是绿球的一半．从盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中随机取出一个球所得分数ξ的概率分布．【解】 设黄球的个数为n ，则绿球个数为2n ，红球个数为4n ，球的总数为7n . P (ξ＝1)＝4n 7n ＝47，P (ξ＝0)＝n 7n ＝17，P (ξ＝－1)＝2n 7n ＝27.ξ的概率分布为：11.(2013·江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图2－2－1)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．图2－1－1(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列．【解】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28＝28种，当X＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P(X＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2时，有2种情形；X＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形．所以X的分布列为。
【课堂新坐标】(教师用书)20132014学年高中数学模块学习评价新人教a版选修22
模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45【解析】 ∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝＋25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t, 则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为( )A ．0.41B ．2C ．0.3D ．0.2 【解析】Δs Δt ＝3＋2×2.1－3－2×22.1－2＝0.20.1＝2. 【答案】 B3．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2B ．2e 2C ．e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1,0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e22.【答案】 D4．若复数z 满足3－3i ＝z (－23i)，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 z ＝3－3i －23i ＝3i ＋323＝12＋32i ，其对应点在第一象限．【答案】 A5．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则该函数的图象是( )图1【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．【答案】 B6．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2D ．a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A7.⎠⎛0π|cos x |d x 等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．1【解析】 ∵|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0≤x ≤π2，－cos x ，π2≤x ≤π，＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＋(－sin x )⎪⎪⎪⎪ππ2＝1＋1＝2. 【答案】 C8．(2013·宁波高二检测)函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln 2－1B ．ln 2＋1C ．ln 2D ．2ln 2【解析】 因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln 2)，所以ln 2＝1＋a ，即a ＝ln 2－1.【答案】 A9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a【解析】 因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数，又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (12)＝f (32)，所以c >a >b .【答案】 B10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A ．1B ．2k＋1 C ．2k－1D ．2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋……＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k项．【答案】 D11．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R 的三棱锥，从而有13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝V .即(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ＝3V .∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.【答案】 C12．(2013·辽宁高考)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【解析】 由题意知f ′(x )＝e xx3－2fx x＝e x －2x 2f xx3.令g (x )＝e x －2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x－2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x－2e xx＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g xx 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2013·西安高二检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．【解析】 第i 个等式左边为1到i ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(2013·江苏高考)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．【解析】 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋－2＝5.【答案】 515．如果复数1，a ＋i,3＋a 2i (a ∈R )成等比数列，那么a 的值为________． 【解析】 由题意知，(a ＋i )2＝1×(3＋a 2i)，即a 2－1＋2a i ＝3＋a 2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，2a ＝a 2，解得a ＝2.【答案】 216．(2013·佛山高二检测)若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝2ax ＋1x，∵f (x )存在垂直于y 轴的切线．∴f ′(x )＝0有解，即2ax ＋1x＝0有解，∴a ＝－12x 2，∴a ∈(－∞，0)【答案】 (－∞，0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 满足：|z |＝1＋3i －z ，求＋2＋22z的值．【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，而|z |＝1＋3i －z ， 即a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，z ＝－4＋3i ，＋2＋22z＝－7＋－4＋＝24＋7i4－3i＝3＋4i. 18．(本小题满分12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 【解】 推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立， 即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋k ＋＝2k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．(本小题满分12分)函数f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在(－∞，－1)和(32，＋∞)单调递增，在(－1，32)单调递减．(1)求函数的解析式；(2)求f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f ′(x )＝12x 2＋2ax ＋b ，且由题意可知 －1，32是f ′(x )＝0的两个实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋32＝－2a 12，－32＝b12.解得a ＝－3，b ＝－18， ∴f (x )＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)由(1)得f ′(x )＝6(2x －3)(x ＋1)，当x ∈[32，2]时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈[－1，32]时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，又f (－1)＝16，f (32)＝－614，f (2)＝－11.故f (x )max ＝16，f (x )min ＝－614. 20．(本小题满分12分)(1)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【解】 (1)如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2， 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD ＝AB 2＋AC 2AB ·AC ＝1AB ＋1AC . ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.(2)猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想在四面体A －BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE＝1AB ＋1AF .易知在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2，故猜想正确．21．(本小题满分12分)(2013·南京高二检测)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x，求函数g (x )的极值．【解】 (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×(－32)＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－52)＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0. (2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x， 从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x.令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3. 22．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围． 【解】 由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的变化情况如下：所以函数f(x f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，所以存在x1∈(－2b,0)，x2∈(0,2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．。
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第2章 概率(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则p 的值为________【解析】 根据分布列的性质知：16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.【答案】 132．生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多有1件次品的概率为________(只列式)．【解析】 设次品数为ξ，显然ξ服从二项分布，由题知P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 04(98%)4(2%)0＋C 14·(98%)3(2%)＝(98%)4＋C 14(98%)3·2%.【答案】 (98%)4＋C 14(98%)3·2%3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝a (13)i，i ＝1，2，3，则a 的值为________．【解析】 a [13＋(13)2＋(13)3]＝1，即1327a ＝1，∴a ＝2713.【答案】27134．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝8，V (ξ)＝1.6，则n 与p 的值分别是________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧np ＝8，np （1－p ）＝1.6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.8.【答案】 10，0.85．设ξ～N (1，22)，则P (－1<x ≤3)＝________． 【解析】 P (－1<x ≤3)＝P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.683. 【答案】 0.6836．有甲、乙、丙3批饮料，每批100箱，其中各有1箱是不合格的，从3批饮料中各抽出1箱，那么恰有1箱不合格的概率为________．(保留到0.001)【解析】 P ＝C 130.01×0.992＝0.029. 【答案】 0.0297．设P (ξ＝±1)＝12，则V (ξ)为________．【解析】 因为P (ξ＝±1)＝12，所以E (ξ)＝0.所以V (ξ)＝1.【答案】 18．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________．1E (A 1)＝0.25×50＋0.30×65＋0.45×26＝43.7； A 2的均值：E (A 2)＝0.25×70＋0.30×26＋0.45×16＝32.5； A 3的均值：E (A 3)＝0.25×(－20)＋0.30×52＋0.45×78＝45.7； A 4的均值：E (A 4)＝0.25×98＋0.30×82＋0.45×(－10)＝44.6.故A 3的均值最大，应选择方案A 3. 【答案】 A 39．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝34，则P (η≥1)＝________．【解析】 34＝P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2，解得p ＝12，∴P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )3＝78.【答案】 7810．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中只有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0.8，他在这次测试中成绩的期望为________分，标准差为________分．【解析】 答对题数ξ～B (50，0.8)，所以成绩η的期望为E (η)＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×50×0.8＝80(分)．成绩的标准差为σ(η)＝V （η）＝V （2ξ）＝4V （ξ）＝250×0.8×0.2＝42≈5.7(分)．【答案】 80 5.711．生产工艺工程中产品的尺寸偏差X (单位：mm)～N (0，22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm 为合格品，则生产5件产品的合格率不小于80%的概率为________．(精确到0.001)．【解析】 由X ～N (0，22)，求得P (|X |≤4)＝P (－4≤X ≤4)＝0.954 4.设Y 表示5件产品中合格品个数，则Y ～B (5，0.954 4)．∴P (Y ≥5×0.8)＝P (Y ≥4)＝C 45·(0.954 4)4×0.045 6＋C 55·(0.954 4)5≈0.189 2＋0.791 9≈0.981.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.【答案】 0.98112．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布表中部分数据丢失(以□代替)，其表如下：【解析】 由0.20＋0.10＋0.□5＋0.10＋0.1□＋0.20＝1知，两个方框内数字分别为2，5，故E (X )＝3.5.【答案】 3.513．设l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________. 【解析】 设l 的方程为y ＝kx ＋1，则原点到直线l 的距离为11＋k2，∴ξ的取值分别为13，12，23，1，23，12，13.又P (ξ)＝17，∴E (ξ)＝(13＋12＋23＋1＋23＋12＋13)×17＝47.【答案】 4714．某个游戏中，一个珠子从如图1所示的通道自上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中出口者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为________．图1【解析】 由于珠子在每个叉口处有“向左”和“向右”两种走法，因而基本事件个数为25，而从出口3出来的每条线路中有2个“向右”和3个“向左”，即共C 25条路线，故所求的概率为C 2525＝516.【答案】516二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率； (2)求解出该题的人数X 的概率分布．【解】 (1)设甲、乙分别解出此题的事件为A ，B ， 则P (A )＝0.6，P ＝1－P (A ·B )＝1－0.4·P (B )＝0.92，解得P (B )＝0.2，∴P (B )＝0.8.(2)P (X ＝0)＝P (A )·P (B )＝0.4×0.2＝0.08，P (X ＝1)＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.44， P (X ＝2)＝P (A )·P (B )＝0.6×0.8＝0.48，∴X 的概率分布为：16.(道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题．若规定这次考试从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率．【解】 (1)设甲、乙考试合格分别为事件A ，B ，甲考试合格的概率为P (A )＝C 36＋C 26C 14C 310＝23，乙考试合格的概率为P (B )＝C 38＋C 28C 12C 310＝1415. (2)A 与B 相互独立，且P (A )＝23，P (B )＝1415，则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P (AB ＋AB ＋AB )＝23×1415＋13×1415＋23×115＝4445.17．(本小题满分14分)设离散型随机变量X 的概率分布为：(1)求2X ＋1(2)求|X －1|的概率分布．【解】 由概率分布的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，∴m ＝0.3.列表为：从而由上表得：(1)2X ＋1的概率分布为：(2)|X －1|18.(6名学生志愿者随机平均分配到后勤组、保洁组、检录组，并且后勤组至少有一名甲班志愿者的概率为45.(1)求6名志愿者中来自甲、乙两个班级的学生各有几人；(2)设在后勤组的甲班志愿者人数为X ，求随机变量X 的概率分布及数学期望E (X )． 【解】 (1)记“至少一名甲班志愿者被分到后勤组”为事件A ，设甲班志愿者有x 人，1≤x <6.则P (A )＝1－C 26－x C 26＝45，解得x ＝3或x ＝8(舍去)．∴来自甲班的志愿者有3人，来自乙班的志愿者有3人． (2)X 的所有可能值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15.∴随机变量X 的概率分布为：∴E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.19．(本小题满分16分)某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品可获利6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率． 【解】 (1)由题设知，X 的可能取值为10，5，2，－3.P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.由此得X 的概率分布为：(2)设生产的4 由题意，得4n －(4－n )≥10，解得n ≥145.又n ∈N，得n ＝3或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2.20．(本小题满分16分)如图2，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落到A 或B 或C .已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A、B、C，则分别设为1，2，3等奖．图2(1)已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%.记随变量ξ为获得k(k＝1，2，3)等奖的折扣率．求随机变量ξ的概率分布及期望E(ξ)；(2)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η＝2)．【解】(1)由题意，得ξ的概率分布为：则E(ξ)＝316×50%＋8×70%＋16×90%＝4.(2)由(1)可知，获得1等奖和2等奖的概率为316＋38＝916.由题意，得η～B(3，916)，则P(η＝2)＝C23(916)2(1－916)＝1 7014 096.。