5.4一元一次方程的应用(2)等积变形
5.3_一元一次方程的应用(2)_等积变形--
解
设容器内放入金属圆柱后水的高度为x厘米。
（1）如果容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱，
根据题意，得 π·(32-22)·x=π·32×15
解这个方程，得x=27 因为27>18,这表明此时容器内的水已淹没了金属圆 柱，不符合题意，应舍去。
（2）如果容器内的水升高后淹没放入的金属 圆柱， 根据题意，得 π ·32 ·x= π ·32×15+ π ·22×18 解这个方程，得 x=23 23-15=8 所以，容器内的水升高8厘米。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变3、用一块橡皮泥先来自成一个立方体，再把它改 变成球。
解：形状改变，体积不变
一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘 米，容器内盛有15厘米高的水。现将一个底 面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放 入容器内，问容器的水将升高多少米？ 分析：本题涉及圆柱的体积v=πr2h，这里r是圆柱底 面半径，h为圆柱的高。一个金属圆柱竖直放入容器 内，会出现两种可能： （1）容器内的水升高后不淹没放入的金属圆柱； （2） 容器内的水升高后 淹没放入的金属圆柱 。 因此列方程求解时要分两种情况。
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
xcm
x
20cm
30-2x
20-2x
20-2x 30-2x
相等关系： 铁盒的底面周长=60cm
30cm
一元一次方程的应用等积变化问题
一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。
解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。
因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。
下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。
求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。
根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。
因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。
5.4.2 一元一次方程的应用
5.4.2 一元一次方程的应用
---等积变形问题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。 R
h
想一想：
请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪 些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变
3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改 变成球。
解：形状改变，体积不变
一纪念碑建筑的底面呈正方形，其四周 铺上花岗石，形成一个宽为3.2米的正方 形边框（如图中阴影部分），已知铺这个 边框恰好用了144块边长为0.8米的正方形 花岗石（接缝忽略不计）,问纪念碑建筑 底面的边长是多少米?
3.2
x
3.2
阴影部分的面积= 144块边长为0.8正方形花岗岩的面积 阴影部分的面积= 4个长为(x+3.2)米、宽为3.2米的长方形 解： 设纪念碑建筑底面的边长为x米，根据题意，得
4 3.2x 3.2 0.8 0.8 144
解这个方程，得x=4
答：纪念碑建筑底面的边长为4米.
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
课后拓展
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
3.2
2019秋浙教版数学七年级上册同步测试试题：5.4 一元一次方程的应用
5．4 一元一次方程的应用第1课时和差倍分、行程和日历等问题知识点1.和差倍分1．甲有图书60册，乙有图书36册，若要使甲、乙两人的图书一样多，则甲应给乙图书(B)A．11本B．12本C．13本D．14本【解析】设甲应给乙x本图书，由题意，得60－x＝36＋x，解得x＝12，即甲应给乙图书12本．2．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆．现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，则中型汽车有(C)A．13辆B．14辆C．15辆D．16辆【解析】设该停车场内停放的中型汽车有x辆，则小型汽车有(50－x)辆．列方程，得6x＋4×(50－x)＝230，解得x＝15，则该停车场内停放的中型汽车有15辆．3．连州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游，已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人，问：(1)若设乙旅游团的人数为x，请用含x的代数式表示甲旅游团的人数；(2)甲、乙两个旅游团各有多少人？解：(1)甲旅游团有(2x－5)人；(2)由题意，得2x－5＋x＝55，解得x＝20，∴2x－5＝35(人)．答：甲旅游团有35人，乙旅游团有20人．知识点2.行程问题4．两地相距600 km，甲、乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比乙车每小时多走10 km，4 h后两车相遇，则乙车的速度是(A)A．70 km/h B．75 km/hC．80 km/h D．85 km/h【解析】设乙车的速度为x km/h，则甲车的速度为(x＋10) km/h，根据题意，得4(x＋x＋10)＝600，解得x＝70.5．一列匀速前进的火车，从它进入320 m长的隧道到完全通过隧道共用了18 s，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10 s，则这列火车的长为(B)A．190 m B．400 mC．380 m D．240 m【解析】设这列火车的长为x m，根据题意得320＋x18＝x10，解得x＝400，即这列火车长为400 m.6. 为了参加2019年杭州马拉松比赛，爸爸与小明在足球场进行耐力训练，他们在400 m 的环形跑道上同一起点沿同一方向同时出发进行绕圈跑，爸爸跑完一圈时，小明才跑完半圈，4 min时爸爸第一次追上小明，请问：(1)小明与爸爸的速度各是多少？(2)再过多少分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m?解：(1)设小明的速度为x m/min，则爸爸的速度为2x m/min，根据题意，得4(2x－x)＝400，解得x＝100，则2x＝200.答：小明的速度为100 m/min，爸爸的速度为200 m/min；(2)设再经过y分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m，①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了50 m，根据题意，得200y－100y＝50，解得y＝1 2；②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了350 m，根据题意，得200y－100y＝350，解得y＝72.答：再过12或72分钟后，爸爸在第二次追上小明前两人相距50 m.知识点3.日历问题7．[2018秋·丰台区期末]如图1，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数(如阴影部分所示)，请你运用所学的数学知识来研究，这7个数的和不可能的是(C)图1A．63 B．70C．96 D．105【解析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x－8，x－6，x－1，x ＋1，x＋6，x＋8，这7个数之和为x－8＋x－6＋x－1＋x＋1＋x＋x＋6＋x＋8＝7x.由题意得A．7x＝63，解得x＝9，能求得这7个数；B．7x＝70，解得x＝10，能求得这7个数；C．7x＝96，解得x＝967，不能求得这7个数；D．7x＝105，解得x＝15，能求得这7个数．【易错点】行程问题中忽视两种情形需要分类讨论．8．A，B两地相距900 km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110 km/h，乙车的速度为90 km/h，则当两车相距100 km时，甲车行驶的时间是(D)A．4 h B．4.5 hC．5 h D．4 h或5 h【解析】设当两车相距100 km时，甲车行驶的时间为x h，根据题意，得900－(110＋90)x＝100或(110＋90)x－900＝100，解得x＝4或x＝5.第2课时图形的面积、体积变形等问题知识点1.图形的面积1．用两根长12 cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为2∶1的长方形，则长方形和正方形的面积依次为(B)A．9 cm2和8 cm2B．8 cm2和9 cm2C．32 cm2和36 cm2D．36 cm2和32 cm2【解析】∵用长12 cm的铁丝围成正方形，∴正方形的边长为3 cm，故正方形面积为9 cm2，∵用长12 cm的铁丝围成长与宽之比为2∶1的长方形，∴设宽为x cm，则长为2x cm，故2(2x＋x)＝12，解得x＝2，则长为4 cm，宽为2 cm，故长方形面积为8 cm2.2．两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长长3 cm，大正方形的周长是小正方形周长的2倍，则这两个正方形的面积分别是(C)A．4 cm2和1 cm2B．16 cm2和1 cm2C．36 cm2和9 cm2D．8 cm2和1 cm2【解析】设小正方形的边长为x cm，则大正方形的边长为(x＋3)cm，由题意，得2×4x ＝4(x ＋3)，解得x ＝3，即小正方形的边长为3 cm ，大正方形的边长为6 cm ，故小正方形的面积为9 cm 2，大正方形的面积为36 cm 2.3．如图1所示，宽80 cm 的长方形图形由8个完全相同的小长方形组成，求每一个小长方形的长和宽．图1解：设小长方形的宽为x cm ，则长为(80－x )cm ，依题意，有2(80－x )＝3x ＋80－x ，解得x ＝20，∴长为60 cm.答：小长方形的长为60 cm ，宽为20 cm.知识点2.等积变形4．圆柱A 的底面直径为40 mm ，圆柱B 的底面直径为30 mm ，高为60 mm ，已知圆柱B 的体积是圆柱A 的体积的3倍，则圆柱A 的高为( B )A ．45 mmB.454 mm C ．90 mm D ．20 mm【解析】 设圆柱A 的高为x mm ，由题意，得π×⎝ ⎛⎭⎪⎫4022·x ×3＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3022×60，解得x ＝454.5．把直径6 cm ，长16 cm 的圆钢锻造成半径为4 cm 的圆钢，锻造后的圆钢的长为__9__cm.【解析】 设锻造后的圆钢的长为x cm ，则V ＝πr 2h ＝π×(6÷2)2×16＝π×42·x ，解得x ＝9.故锻造后的圆钢的长为9 cm.6．把一个长、宽、高分别为9 cm ，6 cm ，4 cm 的长方体铁块和一个棱长为6 cm 的正方体铁块熔化，炼成一个底面直径为25 cm 的圆柱体．原长方体铁块的体积是__216__cm 3，原正方体铁块的体积是__216__cm 3，设要熔炼的圆柱体的高为x cm ，则圆柱体的体积是__432__cm 3，因此可列方程为__π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2522x ＝432__． 【解析】 根据题意，得原长方体铁块的体积是9×6×4＝216 cm 3；原正方体铁块的体积是63＝216 cm 3；则圆柱体的体积是216＋216＝432 cm 3；可列方程为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫2522x ＝432. 7．如图2所示，一个长方体容器里装满了果汁，长方体的长为12 cm ，宽为8 cm ，高为24 cm ，用果汁将旁边的圆柱体玻璃杯倒满．已知杯子的内径为6 cm ，高为18 cm ，这时长方体容器内的果汁高度是多少？(π取3.14，结果精确到0.01 cm)图2解：圆柱的体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫622×18＝162π≈508.68 cm 3， 设长方体内果汁的高度为x ，则12×8×x ＝12×8×24－508.68，解得x ≈18.70.答：这时长方体容器内的果汁高度是18.70 cm.8．在一个底面直径为5 cm ，高为18 cm 的圆柱形杯内装满水，将杯内的水倒入一个底面直径为6 cm ，高为13 cm 的圆柱形瓶内，问能否完全装下？若装不下，那么杯内的水还有多高？若未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是多少？解：底面直径5 cm 、高18 cm 的圆柱形瓶内体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522×18＝450π4， 底面直径6 cm 、高13 cm 的圆柱形玻璃体积为π×(6÷2)2×13＝117π，∵117π＞450π4，∴未能装满．设瓶内的水面离瓶口的距离是x cm ，则π×(6÷2)2×x ＝117π－450π4，解得x ＝0.5.答：未能装满，瓶内的水面离瓶口的距离是0.5 cm.【易错点】面对复杂情况列方程时读不懂题意，找不出相互关系及等量关系．9．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度分别是甲每分钟23圈，乙每分钟34圈，丙每分钟12圈，他们同时出发，起点如图3所示(甲从A 点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B 点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C 点出发，沿圆周顺时针运动)，则出发后__5__min 三人第一次相遇．图3【解析】设出发后x min后三人第一次相遇，由甲和乙相遇得：23x＋14＋16＝34x，解得x＝5，此时，甲逆时针行驶了23×5＝103圈，当出发5 min后，丙顺时针行驶了12×5＝52圈，13＋12＝56，此时，甲、乙、丙恰好第一次相遇．第3课时劳动力调配、工程、销售等问题1．知识点1.劳动力调配某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设x人做上衣，则做裤子的人数为__(54－x)__人，根据题意，可列方程为__8x＝10(54－x)__，解得x＝__30__．2．有一个专项加工茶杯的车间，一个工人每小时平均可以加工杯身12个，或者加工杯盖15个，车间共有90人．安排加工杯身的人数为多少时，才能使生产的杯身和杯盖正好配套？直接设元法：设安排加工杯身的人数为x，则加工杯盖的为__(90－x)__人，每小时加工杯身__12x__个，杯盖__15(90－x)__个，则可列方程为__12x＝15(90－x)__，解得x＝__50__．间接设元法：设共加工杯身x个，共加工杯盖x个，则加工杯身的工人为__x12__人，加工杯盖的工人为__x15__人，则可列方程为__x12＋x15＝90__．解得x＝__600__．故加工杯身的工人为__50__人．3．一个车间加工轴杆和轴承，每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？解：设x个人加工轴杆，则(90－x)个人加工轴承，根据题意，得12x×2＝16(90－x)，去括号，得24x ＝1 440－16x ，移项合并，得40x ＝1 440，解得x ＝36.则调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套． 知识点2.工程问题4．某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做一天，然后甲、乙共同完成此项工作，设甲一共做了x 天，所列方程为( C )A.x ＋14＋x 6＝1B.x 4＋x ＋16＝1C.x 4＋x －16＝1D.x 4＋14＋x ＋16＝15．一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天，如果先由甲队单独做5天，则剩下部分由甲、乙两队合作完成还需要的天数是( A )A ．9B ．10C ．12D ．15【解析】 设甲、乙两队合作完成还需要的天数是x ，根据题意可得120×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋130x ＝1，解得x ＝9. 6．学校图书管理员整理一批图书，由一个人做要80 h 完成，现在计划由一部分人先做8 h ，再增加2人和他们一起做16 h 完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，则应该先安排多少人工作8 h?解：设应先安排x 人工作，根据题意得8x 80＋16（x ＋2）80＝1，解得x ＝2. 答：应先安排2人工作．知识点3.商品销售7．小陈妈妈做儿童服装生意，在“六一”这一天上午的销售中，某规格童装以每件60元的价格卖出，盈利20%，求这种规格童装每件的进价．解：设这种规格童装每件的进价为x元，根据题意，得(1＋20%)x＝60，解得x＝50.答：这种规格童装每件的进价为50元．【易错点】解决销售问题需要弄清利润、利润率、打折、进价、售价等之间的关系．8．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微商平台上一件物品标价为300元，实际进价为200元，若想获利20%，则这件商品的折扣应为(B)A．七折B．八折C．九折D．八五折【解析】商品利润率为20%，则利润应是200×20%＝40元，则售价是200＋40＝240(元)．设该商品销售应按x折销售，则300x＝240，解得x＝0.8，即八折．故选B.第4课时银行利息问题知识点1.银行利息1．小明将前年春节所得的压岁钱买了一个某银行的两年期的理财产品，该理财产品的年回报率为4.5%，银行告知小明今年春节他将得到利息288元，则小明前年春节的压岁钱为(B)A．6 400元B．3 200元C．2 560元D．1 600元【解析】设本金是x元，由题意，得4.5%x×2＝288，解得x＝3 200，即小明前年春节的压岁钱为3 200元．2．某人存入5 000元参加三年期储蓄(免征利息税)，到期后本息和共得5 417元，那么这种储蓄的年利率为(C)A．2.58% B．2.68%C．2.78% D．2.88%【解析】设这种储蓄的年利率为x，由题意，得5 000＋5 000×3x＝5 417，解得x＝2.78%.3．小明的爸爸买了利率为3.96%的3年期债券，到期后可获得本息共1 678.2元，则小明的爸爸买债券花了(A)A．1 500元B．1 600元C．1 700元D．1 800元4．国家规定存款利息的纳税办法：利息税＝利息×20%.银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本金及利息时，交了18元的利息税，则小刚一年前存入银行的钱为(C)A．2 400元B．1 800元C．4 000元D．4 400元【解析】设小刚一年前存入银行的钱为x元，根据题意，得2.25%×20%x＝18，解得x＝4 000.故小刚一年前存入银行的钱为4 000元．5．某人以两种形式共储蓄了800元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为11%，一年到期去提取，他共得到利息85元5角，问两种储蓄他各存了多少钱？解：设他第一种存了x元，则第二种存了(800－x)元，则有10%x＋11%(800－x)＝85.5，解得x＝250，800－x＝550(元)，答：第一种存了250元，第二种存了550元．6．小刚的妈妈有一笔一年期的定期储蓄，年利率为2.25%，利息税率为20%，到期纳税后的利息为180元，小刚的妈妈存入的本金是多少元？解：设小刚的妈妈存入的本金是x元，由题意，得2.25%x(1－20%)＝180，解得x＝10 000.答：小刚的妈妈存入的本金是10 000元．知识点2.其他问题7．[2017·道里区校级模拟]七年级(2)班有46人报名参加文学社或书画社．已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多10人，两社都参加的有20人，则参加书画社的有__28__人．【解析】设参加书画社的有x人，根据题意，得(46＋20－x)－x＝10，解得x＝28.8．七年级二班有45人，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，两个社都不参加的有10人，问只参加书画社的有多少人？解：设参加书画社的有x人，根据题意，得(45＋20－10－x)－x＝5，解得x＝25，25－20＝5.答：只参加书画社的有5人．【易错点】没有弄清“本金、利率、存期、利息、利息税、本息和”之间的关系导致的错误．9．小彬将一笔压岁钱按一年定期储蓄存入“少儿银行”，年利率为10%，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到上次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金和利息共63元．你能算出小彬的这笔压岁钱是多少吗？(“少儿银行”不缴纳利息税)解：设这笔压岁钱为x元，依据题意得出[x(1＋10%)－50]×(1＋5%)＝63，解得x＝100.答：小彬的这笔压岁钱是100元．。
一元一次方程的应用----等积变形问题
精讲
例题
一、分析题意，找出等量关系 ：
例 如图，用直径为200毫 米的圆钢，锻造一个长、
圆解钢：体设积应截= 取长的方圆体钢毛长坯为体x积毫，米，根据题意
设得应：截取圆钢长为x毫米
宽、高分别为300毫米、 二圆 、钢•（用的2含体00未积/2知是)2数的（• 式2x0子0/表=2)示32 0有0x立关×方的3毫量00米：×是. 指80
小结：说说列方程解应用题的一半步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系， 用字母（例如x）,表示问题里的未知数. 2、用代数式表示有关的量. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案 .
想一想： 请指出下列过程中，哪些量发生 了变化，哪些量保持不变？
1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 解：水的底面积、高度发生变化，水的 体积和质量都保持不变 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形， 然后把它围成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但 铁丝的长度不变 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把 它改变成球。解：形状改变，体积不变
等积变形问题的等量关系
变形前的体积（周长)=变形后的体积（周长)
归
纳
列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1、分析题意，找出等量关系，分析题中数量及其关系， 用字母（例如 x）,表示问题里的未知数. 2、用代数式表示有关的量. 3、根据等量关系列出方程. 4、解方程，求出未知数的值. 5、检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.
300毫米和80毫米的长方体 三、根据等量3.关14系x列=7出20方程，得：
毛坯底板，应截取圆钢多
一元一次方程的等积变形问题
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子，可以消去分母，使方程化为一元一次方程。
通过这种方式，可以将方程中的某些项消去，简化方程。
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子
等积变形的步骤与技巧
#O3
识别等积变形的机会
观察方程 在解一元一次方程时，要时刻观察方程的形式，判断是否可以通过等积变形简化问题。 寻找等式两边的共同因子 如果等式两边有共同因子，可以通过提取共同因子简化方程。 寻找等式两边的同类项 如果等式两边有同类项，可以通过合并同类项简化方程。
03
重量不变问题
在称重过程中，当两个物体质量相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
01
体积不变问题
在容器中装有一定体积的水，将水倒入另一个容器，保持水的体积不变，可以通过等积变形来求解相关问题。
02
面积不变问题
在平面几何中，当两个相似图形面积相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
数学题目中的等积变形ຫໍສະໝຸດ 在解代数方程时，可以通过等积变形将方程转化为更易于解决的形式。
在几何图形中，可以通过等积变形将图形转化为更易于计算面积或体积的形式。
几何图形的等积变形
代数方程的等积变形
等积变形在解题中的应用
简化计算过程
通过等积变形可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而简化计算过程。
寻找未知数
在某些问题中，可以通过等积变形来寻找未知数，从而解决问题。
解决实际问题
在解决实际问题时，等积变形可以帮助我们更好地理解问题，并找到合适的解决方案。
等积变形的注意事项与挑战
#O5
等积变形的适用范围
等积变形适用于解一元一次方程时，当方程的解为分数或根号形式时，需要进行等积变形。
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题教学设计新版浙教版
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题教学设计新版浙教版一. 教材分析《浙教版七年级数学上册》第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用5.4.2等积变形问题是本章的重要内容。
这部分内容通过具体的实例，让学生了解并掌握等积变形问题的解法，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一元一次方程的基本概念和解法，但对实际应用题的解决能力还不够强。
因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际问题解决能力，让学生能够将所学知识应用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握等积变形问题的解法，能够独立解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生了解等积变形问题的解题思路，培养学生的实际问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：等积变形问题的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为等积变形问题，并运用所学知识解决。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过实例分析，引导学生主动探究等积变形问题的解法，培养学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，展示实例和练习题。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生进行等积变形问题的解决。
3.小组划分：将学生分成若干小组，便于进行小组合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个简单的实际问题，引导学生回顾一元一次方程的解法。
然后，提出等积变形问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示几个典型的等积变形问题，让学生观察和分析，引导学生发现等积变形问题的特点和解决方法。
3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的等积变形问题，巩固所学知识。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论如何将实际问题转化为等积变形问题，并运用所学知识解决。
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用第2课时等积变形问题教学设计新版浙教版
七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用第2课时等积变形问题教学设计新版浙教版一. 教材分析本节课的内容是浙教版七年级数学上册第5章一元一次方程5.4一元一次方程的应用第2课时等积变形问题。
这部分内容是在学生已经掌握了一元一次方程的解法的基础上进行学习的，目的是让学生能够运用一元一次方程解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析通过对学生的了解，我发现他们在学习了之前的内容后，对一元一次方程的解法已经有了初步的认识和掌握，但是他们的实际应用能力还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重培养他们的实际应用能力，让他们能够更好地将所学知识运用到实际问题中。
三. 教学目标1.让学生掌握等积变形问题的解法。
2.培养学生运用一元一次方程解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：等积变形问题的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为等积变形问题，并运用一元一次方程解决。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生自主探究、合作交流的方式进行学习。
在教学过程中，注重启发学生的思维，培养他们的实际应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件。
2.设计好课堂练习题和家庭作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容，让学生思考如何解决这个问题。
例如：一块矩形土地，长为a米，宽为b米，现在要将其变为正方形土地，求新的正方形土地的边长。
2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为等积变形问题，即原矩形土地的面积等于新正方形土地的面积。
然后，让学生尝试用一元一次方程来表示这个问题，并解出方程。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组给出一个实际的等积变形问题，然后用一元一次方程解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于等积变形问题的题目，巩固他们所学的知识。
同时，引导学生总结解题方法。
5.拓展（10分钟）让学生思考一些关于等积变形问题的拓展问题，如：在解决实际问题时，如何灵活运用所学的知识？如何将所学的知识应用到其他领域？6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生回顾所学知识，加深他们对等积变形问题的理解。
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80 300
300
钢柱
长方体毛坯
某座纪念碑的底面呈正方形，在其四周铺上花 岗石，形成一个宽为3.2米的正方形边框(如 图).已知铺这个边框恰好用了144块边长为0.8 米的正方形花岗石，问标志性建筑底面的边长 是多少米？
怎样用含x的代数式表示
边框的面积?
X
X
X
X
将长28cm，宽20cm的长方形铁片（如图）
老乌鸦，我喝 不到大量筒中 的水！ 5㎝ x㎝ x㎝
若能将水倒入小量 筒中，比原来的升 高了 5cm ，你就可 以喝到水了！
6㎝
4㎝
请根据以上信息，求出原来大量筒中水的高度。
5.4一元一次方程的应用(2)
------等积变形
请寻找生活中类似的例子，并 指出这个过程中，哪些量发生了变 化？哪些量保持不变？
嘿嘿，真是个 笨家伙！
创 意 版 乌 鸦 喝 水
喂！别偷懒， 快投石头！
创 意 版 乌 鸦 喝 水
哈，这办法多 省事！
创 意 版 乌 鸦 喝 水
完了，前 功尽弃了。
创 意 版 乌 鸦 喝 水
我挡，生命之 水岂可取之！
若能将水倒入小量 筒中，比原来的升 高了 5cm，你就可 以喝到水了！
请根据以上信息，求出原来大量筒中水的高度。
创 意 版 乌 鸦 喝 水
老一代~
新一代~
创忘 了祖上规矩~
创 意 版 乌 鸦 喝 水
你再玩一会“杂 技”，我们娘俩 非渴死不可！
创 意 版 乌 鸦 喝 水
请指出下列过程中，哪些量发生了变化？
哪些量保持不变？
★如用一根15cm长的铁丝围成一个 三角形，然后把它改围成长方形。 ★用一块橡皮泥先做成一个立方体， 再把它改做成球。
如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、 宽、高分别是300mm，300mm和80mm的长 方体毛胚底板。问应截取钢柱多少长（不计 损耗，结果误差不超过1mm）？
做成一个底面周长为64cm的无盖长方体
盒子，问盒子的高是多少？
若这个长方体中倒入360cm3的水，水有
溢出吗？若没有，再放入一个底面直径
是8cm，高为5cm的铁块，此时水有溢出 吗？请说明理由。
4 20
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这节课你有什么收获?
作业：
1.常规作业
2.设计测量“你”的体积方案
老乌鸦，我喝 不到大量筒中 的水！ 5㎝ x㎝ 6㎝ 4㎝ x㎝