[K12学习]浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测八双曲线及其标准方程新人教A版选修2_1

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(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(十)抛物线及其标准方程新人教A版选修2_1

课时跟踪检测（十）抛物线及其标准方程层级一学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．148D ．124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124．故到焦点的距离最小值为148．2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A ． B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2．3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ＝4FQ ，则|QF |＝( )A ．72 B ．52 C ．3D ．2解析：选C 过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ＝4FQ ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3．故选C ．4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ．抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y ．6．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ，∴p ＝2m ，即焦点(m,0)．答案：(m,0)7．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．解析：设点M 的横坐标为x ，则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1，由抛物线的定义知x ＋1＝10，∴x ＝9， ∴点M 到y 轴的距离为9. 答案：98．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5，即p ＝4．所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2．由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±26．法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2． ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2．10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y ． (2)设车辆高为h ，则|DB |＝h ＋0．5，故D (3．5，h －6．5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4．05，所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．层级二应试能力达标1．过点A (3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析：选D 设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．故选D ．2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图，∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l ．在Rt △MQF 中，|QF |＝2， ∠QMF ＝30°，∴|MF |＝4， ∴S △PMF ＝34×42＝43．故选D ． 3．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ．32C ．1D ．2 解析：选D 设AB 的中点为M ，焦点为F (0,1)．过M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN ，过A 作AC ⊥l 于C ，过B 作BD ⊥l 于D ，则|MN |＝|AC |＋|BD |2＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2＝3，所以AB 中点到x 轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB 过焦点，故选D ．4．设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5．若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设点A (0，2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2．由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p，4．由|MF |＝5得，⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C ．5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝________．解析：因为FA ＋FB ＋FC ＝0，所以点F 为△ABC 的重心，则A ，B ，C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍，即x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6．答案：66．从抛物线y 2＝4x 上的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的内切圆的面积为________．解析：如图，∵|PM |＝5，∴点P 的坐标为(4,4)，∴S △PMF ＝12×5×4＝10．设△PMF 的内切圆圆心为O ′，半径为r ， ∴S △PMF ＝S △O ′PM ＋S △O ′PF ＋S △O ′MF ，即12(5＋5＋25)r ＝10，解得r ＝5－52，故△PMF 内切圆的面积为πr 2＝15－552π．答案：15－552π7．已知M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上任一点(不与原点重合)，F 是其焦点．求证：以MF 为直径的圆与y 轴相切．证明：如图，过M 作MN ⊥l 于N ，交y 轴于点Q ，O ′是MF 的中点，作O ′R ⊥y 轴于R ．∵|MF |＝|MN |，|OF |＝|OP |＝|QN |， ∴|O ′R |＝12(|OF |＋|QM |)＝12(|QM |＋|QN |) ＝12|MN |＝12|MF |， ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切．8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝5． (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4．即|PB|＋|PF|的最小值为4．。

[k12精品]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练九双曲线的标准方程新人教B版选修1_1

课时跟踪训练(九) 双曲线的标准方程1.双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)2．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1，F 2距离之差为6，则曲线方程为( )A.x 29－y 27＝1 B.x 29－y 27＝1(y ＞0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27＝1(x ＞0) 3．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形面积为( ) A ．48B ．24C ．24 3D ．12 3 5．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. 6．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断： ①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线； ③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．7．已知双曲线的一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，求双曲线的标准方程．8．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度；(2)求顶点C 的轨迹方程．答案1．选C 将双曲线方程化为标准方程为： x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12， ∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 2．选D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 27＝1(x ＞0)． 3．选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1.4．选B 由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝6，|PF 2|＝8.又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°.因此△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1||PF 2|＝12×6×8＝24. 5．解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：166．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0.∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－t <0，t －1>0.∴t >4.答案：②③④7．解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，a 2＜5. 所以x 2a 2－y 25－a 2＝1. 由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点坐标为(5，4)，代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1(a 2＝25舍去)．故双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1. 8．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．。

[K12学习]浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测九综合法和分析法新人教A版选修2_2

课时跟踪检测（九）综合法和分析法层级一学业水平达标1．若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤y解析：选A 因为函数y ＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数，又因为a ＞b ＞1，∴x ＞y .2．已知a ，b ，x ，y 均为正实数，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与yy ＋b 的大小关系为( )A.x x ＋a ＞y y ＋b B.x x ＋a ≥y y ＋b C.xx ＋a ＜yy ＋bD.xx ＋a ≤yy ＋b解析：选A ∵a ，b 均为正数， ∴由1a ＞1b得0＜a ＜b ，又∵x ＞y ＞0， ∴xb ＞ay . ∴xy ＋xb ＞xy ＋ay . 即x (y ＋b )＞y (x ＋a )．两边同除正数(y ＋b )(x ＋a )，得xx ＋a ＞yy ＋b，故选A.3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，得b 2＋c 2＜a 2.4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选C 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c .5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 取导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x ＞0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：该证明过程符合综合法的特点．答案：综合法7．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．解析：∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b ＞a b ＋b a . 答案：a ≠b8．若不等式(－1)na ＜2＋－1n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32，当n 为奇数时，a ＞－2－1n ，而－2－1n ＜－2，所以a ≥－2.综上可得，－2≤a ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，329．已知a ＞0，1b －1a＞1.(1)求证：0＜b ＜1； (2)求证：1＋a ＞11－b.证明：(1)由a ＞0，1b －1a ＞1可得1b ＞1a＋1＞1，所以0＜b ＜1.(2)因为a ＞0,0＜b ＜1，要证1＋a ＞11－b ，只需证1＋a ·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，即证a －b －ab ＞0，即a －bab＞1，又1b －1a＞1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)． (1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)① 又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2. 又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5，所以a 2＝11，所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列． (2)因为a 1＋1＝6，所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n，所以a n ＝3×2n－1.层级二应试能力达标1．使不等式1a ＜1b成立的条件是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＞b 且ab ＜0D ．a ＞b 且ab ＞0解析：选D 要使1a ＜1b ，须使1a －1b ＜0，即b －aab＜0.若a ＞b ，则b －a ＜0，ab ＞0；若a ＜b ，则b －a ＞0，ab ＜0. 2．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC ．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β解析：选D 因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．3．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4＜m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选 B ∵x ＞0，y ＞0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4x y ＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m ＞x ＋y4有解，应有m 2－3m ＞4，∴m ＜－1或m ＞4，故选B.4．下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b ＞a ＋b (a ＞0，b ＞0) C.a －a －1＜a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10＞2 6解析：选D 对A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；对B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b ＞a ＋b ；对C ，要证 a －a －1＜a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3＜a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a a －3＜2a －3＋2a －2a －1，即a a －3＜a －2a －1，两边平方得a 2－3a ＜a 2－3a ＋2，即0＜2.因为0＜2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)＜0，∴2＋10＜26，故D 错误．5．已知函数f (x )＝2x，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是________．解析：∵a ＋b2≥ab (a ，b 为正实数)，2ab a ＋b ≤ab ，且f (x )＝2x是增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≤B ≤A .答案：C ≤B ≤A6．如图所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)7．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：在锐角三角形ABC 中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B .∴0＜π2－B ＜A ＜π2，又∵在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内正弦函数y ＝sin x 是单调递增函数，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，即sin A ＞cos B ．① 同理sin B ＞cos C ，② sin C ＞cos A ．③ 由①＋②＋③，得：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .8．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题知a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，得(a ＋b )2＞(c ＋d )2，因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，所以由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则()a ＋b 2＞()c ＋d 2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2，因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．。

[K12学习]浙江专版2018年高中数学课时跟踪检测十三数列求和习题课新人教A版必修5

课时跟踪检测（十三）数列求和（习题课）层级一学业水平达标1．已知a n＝(－1)n，数列{a n}的前n项和为S n，则S9与S10的值分别是( ) A．1,1 B．－1，－1C．1,0 D．－1,0解析：选D S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1，S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.2．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1，若前n项和为10，则项数为( )A．11 B．99 C．120 D．121解析：选C ∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n) ＝n＋1－1，令n＋1－1＝10，得n＝120.3．等差数列{a n}中，a1＝1，a n，a n＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1b n＝0的两个根，则数列{b n}前n项和S n＝( )A.12n＋1B.1n＋1C.n2n＋1D.nn＋1解析：选D 因为a n，a n＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1b n＝0的两个根，所以a n＋a n＋1＝2n＋1，又因为数列{a n}为等差数列，所以a n＋a n＋1＝a1＋a2n＝1＋a2n＝2n＋1，所以a2n＝2n，所以a n＝n.a n a n＋1＝n(n＋1)＝1b n ，所以b n＝1n n＋1＝1n－1n＋1，所以数列{b n}前n项和S n＝1－12＋1 2－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.4．在数列{a n}中，已知S n＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值( )A．13 B．－76 C．46 D．76解析：选B ∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29.S 22＝(－4)×11＝－44.S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61.∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.5．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为( )A ．2100－101 B ．299－101 C ．2100－99D ．299－99解析：选A 由数列可知a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1，所以，前99项的和为S 99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝21－2991－2－99＝2100－101. 6．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为________．解析：∵等比数列{a n }中，a 1＝1,3a 3＝2a 2＋a 4，∴3q 2＝2q ＋q 3.又∵q ≠1，∴q ＝2，∴a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1是首项为12，公比为14的等比数列， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前4项和为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1441－14＝85128.答案：851287．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 解析：S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 11－q 61－q ×1－q a 11－q3＝1＋q 3＝3，即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 11－q 91－q ×1－q a 11－q 6＝1－231－22＝73.答案：738．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，d >0.由题意得(2＋d )2＝2＋3d ＋8，解得d ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n . (2)∵b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n) ＝(2＋4＋…＋2n )＋(22＋24＋ (22)) ＝2＋2n ·n 2＋4·1－4n1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 10．在等差数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝a n2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为d ＝a 7－a 37－3＝1，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝n ＋1.(2)b n ＝a n 2n －1＝n ＋12n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋32＋422＋…＋n ＋12n －1.①12T n ＝22＋322＋…＋n 2n －1＋n ＋12n ，② 由①－②得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －1－n ＋12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＋1－n ＋12n＝1－12n1－12＋1－n ＋12n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1－n ＋12n＝3－n ＋32n，所以T n ＝6－n ＋32n －1.层级二应试能力达标1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以由S n ＝2a n ＋1，得S n ＝2(S n ＋1－S n )，整理得3S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1S n ＝32，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，故S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n－1.2．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和为( )A ．4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 B ．4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1. 3．某厂去年的总产值是a 亿元，假设今后五年的年产值平均增长率是10%，则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( )A ．11×(1.15－1)a 亿元 B ．10×(1.15－1)a 亿元 C ．11×(1.14－1)a 亿元D ．10×(1.14－1)a 亿元解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a ，从今年起每年年末的总产值构成一个等比数列，首项为1.1a ，公比为1.1.所以其前5项和为S 5＝1.1a 1－1.151－1.1＝11×(1.15－1)a 亿元，故选A.4．已知是{a n }等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d >0，dS 4<0C ．a 1d <0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析：选C ∵在等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 8成等比数列， ∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，∴S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，∴a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0，故选C.5．求和：S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋1＋12＋14＋18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋12n －1＝________.解析：被求和式的第k 项为：a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k . 所以S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝2n ＋12n －1－2. 答案：2n ＋12n －1－26．已知等比数列{a n }及等差数列{b n }，其中b 1＝0，公差d ≠0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2，…，则这个新数列的前10项和为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则{a n }的前三项分别为1，q ，q 2，{b n }的前三项分别为0，d,2d ，于是⎩⎪⎨⎪⎧q ＋d ＝1，q 2＋2d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝0，d ＝1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，d ＝－1.于是新数列的前10项和为(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 10＋b 10)＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝1－2101－2＋10×0＋10×10－12×(－1)＝978.答案：9787．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＝n (n －6)，数列{b n }满足b 2＝3，b n ＋1＝3b n (n ∈N *)(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7， ∵n ＝1也适合上式，∴a n ＝2n －7. ∵b n ＋1＝3b n (n ∈N *)，且b 2≠0，∴b n ＋1b n＝3， ∴{b n }为等比数列，∴b n ＝3n －1，(2)由(1)得，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －7，n 为奇数，3n －1，n 为偶数.当n 为偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n2－5＋2n －92＋31－9n21－9＝n n －72＋33n－18. 当n 为奇数时，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝n ＋12－5＋2n －72＋31－9n －121－9＝n ＋1n －62＋33n －1－18.综上所述：T n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n －72＋33n－18，n 为偶数，n ＋1n －62＋33n －1－18，n 为奇数.8．设数列{a n }的前n 项和记为S n, 且S n ＝2－a n ，n ∈N *，设函数f (x )＝log 12x ，且满足b n ＝f (a n )－3.(1)求出数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·b n ，{c n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：(1)当n ＝1时，S 1＝2－a 1得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－a n )－(2－a n －1)＝－a n ＋a n －1，可得a n ＝12a n －1，∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.由题意得b n ＝f (a n )－3＝log 12a n －3＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－3＝n －4.(2)由(1)得c n ＝(n －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.法一：∵c 1＝－3<0，c 2＝－1<0，c 3＝－14<0，c 4＝0，当n ≥5时，c n >0.∴{c n }的前n 项和T n 的最小值为T 3＝T 4＝－174.法二：T n ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫120－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴12T n ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－…＋(n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ∴12T n ＝－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝－2－n －22n.∴T n ＝－4－n －22n －1.∵T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫－4－n －12n －⎝⎛⎭⎪⎫－4－n －22n －1＝n －32n ，当n ≤2时，T n ＋1<T n ，当n ＝3时，T n ＋1＝T n ，当n ≥4时，T n ＋1>T n .17 4.∴{c n}的前n项和T n的是小值为T3＝T4＝－。

(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(二)余弦定理新人教A版必修5

课时跟踪检测（二）余弦定理层级一学业水平达标1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a）＝3bc，则角A等于( ）A．30°B．60°C．120° D．150°解析:选B ∵（b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc,∴cos A＝错误!＝错误!,∴A＝60°.2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝错误!，则最大角的余弦值是（）A．－错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!解析：选C 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝错误!＝错误!＝－错误!.3．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，若错误!〉0，则△ABC( )A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形解析：选C 由错误!>0得－cos C〉0，所以cos C〈0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab 的值为( )A.错误!B．8－4错误!C．1 D.错误!解析：选 A 由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2ab cos C＝2ab cos 60°＝ab,则ab＋2ab＝4，∴ab＝错误!。

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tan B＝错误!ac，则角B的值为( )A.错误!B.错误!或错误!C。

错误! D。

错误!或错误!解析:选B 因为(a2＋c2－b2）tan B＝错误!ac,所以2ac cos B tan B＝错误!ac，即sin B＝错误!，所以B＝错误!或B＝错误!，故选 B.6．已知a，b,c为△ABC的三边,B＝120°,则a2＋c2＋ac－b2＝________。

(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(四)曲线与方程求曲线的方程新人教A版选修2_1

课时跟踪检测（四）曲线与方程求曲线的方程层级一学业水平达标1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，则MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x －2，y)，∴|MN|＝4，|MP|＝x＋2＋y2，MN·NP＝4(x－2)．根据已知条件得4 x＋2＋y2＝4(2－x)．整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：选B 由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1，即4x －3y ＋4＝0，线段AB 的长度|AB |＝＋2＋42＝5．设C 的坐标为(x ，y )，则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10，即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0．6．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________．解析：对方程左边配方得(x －2)2＋2(y ＋2)2＝0． ∵(x －2)2≥0,2(y ＋2)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．答案：一个点(2，－2)7．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM ·PN ＝12，则点P 的轨迹方程为________________．解析：设P (x ，y )，则PM ＝(－2－x ，－y )，PN ＝(2－x ，－y )．于是PM ·PN ＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程．答案：x 2＋y 2＝168．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1．又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2×(2x )2＋1，即y ＝4x 2．答案：y ＝4x 29．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称，且OP ·MN ＝4，求动点P 的轨迹方程．解：由已知得M (0，y )，N (x ，－y )，则MN ＝(x ，－2y )，故OP ·MN ＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2，依题意知，x 2－2y 2＝4，因此动点P 的轨迹方程为x 2－2y 2＝4．10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ ＝OM ＋ON ，求动点Q 的轨迹．解：设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0)．因为OQ ＝OM ＋ON ，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝y2．又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4(y ≠0)．所以动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1(y ≠0)．层级二应试能力达标1．已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|PA |＝3|PO |，则点P 的轨迹方程是( ) A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0 B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 解析：选A 设动点P (x ，y )，则由|PA |＝3|PO |，得x －2＋y ＋2＝3x 2＋y 2．化简，得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0．故选A ． 2．下列四组方程表示同一条曲线的是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C ．y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 2解析：选D 根据每一组曲线方程中x 和y 的取值范围，不难发现A 、B 、C 中各组曲线对应的x 或y 的取值范围不一致；而D 中两曲线的x 与y 的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D 正确．故选D ．3．方程y ＝－4－x 2对应的曲线是( )解析：选A 将y ＝－4－x 2平方得x 2＋y 2＝4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A ．4．已知0≤α≤2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为( ) A ．π3 B ．5π3 C ．π3或5π3 D ．π3或π6解析：选C 将点P 的坐标代入曲线(x －2)2＋y 2＝3中，得(cos α－2)2＋sin 2α＝3，解得cos α＝12．又0≤α<2π，所以α＝π3或5π3．故选C ．5．方程|x －1|＋|y －1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．解析：方程|x －1|＋|y －1|＝1可写成⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y ≥1，x ＋y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y <1，x －y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≥1，y －x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y <1，x ＋y ＝1，其图形如图所示，它是边长为2的正方形，其面积为2．答案：26．给出下列结论： ①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2； ③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．其中正确结论的序号是________．解析：对于①，方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，所以②错误；对于③，方程(x 2－4)2＋(y －4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．答案：③7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)．设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．又点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|PA |＝|PB |，即x 2＋y －2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0．于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0．8．已知两点P (－2,2)，Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：设A (m ，m )，B (m ＋1，m ＋1)，当m ≠－2且m ≠－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝m －2m ＋2(x ＋2)＋2和y ＝m －1m ＋1x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m －2m ＋2x ＋＋2，y ＝m －1m ＋1x ＋2消去m ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－2时，直线PA 和QB 的方程分别为x ＝－2和y ＝3x ＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．当m ＝－1时，直线PA 和QB 的方程分别为y ＝－3x －4和x ＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．综上，可知所求交点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0．。

【配套K12】2018年高中数学课时跟踪检测八双曲线及其标准方程新人教A版选修2_1

课时跟踪检测（八）双曲线及其标准方程层级一学业水平达标1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：选D 将方程化为y 2－n m －x 2－n m＝1，由mn <0，知－n m>0，所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A ．12 B ．32C ．72D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72．4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A ．12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1解析：选D 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a 2<4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1．5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B ．x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1D ．x 22－y 22＝1解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1．又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1．6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m >0，且m ＋9＝52，解得m ＝16．答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1．答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1·PF 2＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由PF 1·PF 2＝0，得PF 1⊥PF 2．根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20．根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a ．两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1．答案：x 24－y 2＝19．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5．设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1．∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1．化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254．又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24．∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1．10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C ．(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1．∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4． (2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2<|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值． ∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1， ∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x >1)．层级二应试能力达标1．设θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则关于x ，y 的方程x 2sin θ＋y 2cos θ＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆解析：选B 由题意，知x 2sin θ－y 2－cos θ＝1，因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线．故选B ．2．若双曲线x 2n－y 2＝1(n >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B ．12C ．2D ．4解析：选A 设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ，|PF 1|·|PF 2|＝2．又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，于是S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1．故选A ．3．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．12D ．－12解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x 轴上，方程可化为x 21k－y 28k＝1，则k >0，且a2＝1k ，b 2＝8k ，所以1k ＋8k＝9，解得k ＝1．4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m解析：选C 由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m ．故选C ．5．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离为________．解析：设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线的左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝22；当点P 在双曲线的右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝10，所以|PF 2|＝2．答案：22或26．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．解析：因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y >0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512．又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，所以|AF 2|＝24＋2512＝31312．即所求距离分别为2512，31312．答案：2512，313127．已知△OFQ 的面积为26，且OF ·FQ ＝m ，其中O 为坐标原点．(1)设6<m <46，求OF 与FQ 的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF |＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫64－1c 2，当|OQ |取得最小值时，求此双曲线的标准方程．解：(1)因为⎩⎨⎧12| OF |·|FQ π－θ＝26，| OF |·|FQ |cos θ＝m ，所以tan θ＝46m．又6<m <46，所以1<tan θ<4．即tan θ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，Q (x 1，y 1)，则|FQ |＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF |·|y 1|＝26，则y 1＝±46c ．又OF ·FQ ＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64－1c 2，解得x 1＝64c ，所以|OQ |＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，|OQ |最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－6b2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12.于是双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1．8．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切． (1)求C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫355，455，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP |－|FP ||的最大值．解：(1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r ．由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4．则圆C 的圆心轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1，∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为x 24－y 2＝1．(2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连接MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又|MF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫355－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4552＝2， ∴||MP |－|FP ||的最大值为2．。

浙江专版2018_2019高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案新人教A版选修2_120180829113

2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．知识点一双曲线的定义思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (3)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)类型一双曲线定义的应用例1 (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5D ．3考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 B解析由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6，即|3－|PF 2||＝6，解得|PF 2|＝9(负值舍去)，故选B.(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 C解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形，则12PF F S＝12×|PF 1|×|PF 2|＝24. 反思与感悟焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．跟踪训练1 在△ABC 中，已知|AB |＝42，A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用解由sin B －sin A ＝12sin C 及正弦定理，可得b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |，由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．类型二求双曲线的标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练2 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程．考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型三双曲线定义及标准方程的应用例3 在相距2000m 的两个哨所A ，B ，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．考点双曲线的标准方程的求法题点定义法求双曲线的标准方程解设爆炸点为P ，由已知可得|PA |－|PB |＝330×4＝1 320＞0. 因为|AB |＝2 000＞1 320，所以点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，使A ，B 两点在x 轴上，以线段AB 的中点为坐标原点．由2a ＝1 320,2c ＝2 000，得a ＝660，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝564 400. 因此，点P 所在曲线的方程是x 2435 600－y 2564 400＝1(x ≥660)．反思与感悟可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程．跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1有交点P ，且有公共的焦点，且∠F 1PF 2＝2α，求证：tan α＝n b. 考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数证明如图所示，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，对于双曲线有|r 2－r 1|＝2m ，∴cos2α＝r 21＋r 22－(2c )22r 1r 2＝(r 1－r 2)2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝4m 2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝－2n2r 1r 2＋1，∴1－cos2α＝2n2r 1r 2，∴sin α＝nr 1r 2. 则在△PF 1F 2中，对于椭圆有r 1＋r 2＝2a ，cos2α＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－4c 2－2r 1r 22r 1r 2＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b2r 1r 2－1，∴1＋cos2α＝2b2r 1r 2，∴cos α＝br 1r 2， ∴tan α＝n b.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－1考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 B解析依题意应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 D解析 F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．3．(2018届浙江东阳中学期中)△ABC 的顶点为A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析由条件可得，圆与x 轴的切点为T (3,0)，由相切的性质得|CA |－|CB |＝|TA |－|TB |＝8－2＝6<10＝|AB |，因此点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．由2a ＝6,2c ＝10，得a ＝3，b ＝4，所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1.考虑到点C 不在直线AB 上，故选C.4．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是___________．考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线标准方程答案y 225－x 275＝1解析设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为________．考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 1解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.1．双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F 1，F 2表示双曲线的左、右焦点，若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上；若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上． (2)双曲线定义的双向运用：①若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线； ②若动点M 在双曲线上，则||MF 1|－|MF 2||＝2a . 2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的焦距是( ) A ．2B ．22C ．43D ．4 2 考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 C解析因为双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以c 2＝4＋8＝12，得c ＝23，所以2c ＝4 3.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( ) A ．4a B ．4a －m C ．4a ＋2mD ．4a －2m考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 C解析不妨设|AF 2|＞|AF 1|，由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .故选C. 3．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 A解析当k >5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k >5或k <2.故选A.4．已知双曲线x 2m －y 23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.105考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 B解析由焦点坐标，知焦点在y 轴上，∴m <0，∴双曲线的标准方程为y 2－3m －x 2－m＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案 B解析由已知条件，得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，得5a 2－16b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( )A.14B.35C.34D.45 考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 C解析由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34.7．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M (0,2)，则△PFM 的周长的最小值为( ) A ．2＋4 2 B ．4＋2 2 C ．3 2D ．26＋3考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 A解析依题意可知，c ＝2，a ＝1，所以|MF |＝22，|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PF 1|＋2a ，F 1为左焦点，当M ，P ，F 1三点共线时，|PM |＋|PF 1|最小，最小值为|MF 1|，|MF 1|＝22，故周长的最小值为22＋2＋22＝2＋4 2. 二、填空题8．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________．考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 16解析在双曲线x 216－y 29＝1中，2a ＝8，由双曲线定义，得|PF 2|－|PF 1|＝8，|QF 2|－|QF 1|＝8，所以|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝(|PF 2|－|PF 1|)＋(|QF 2|－|QF 1|)＝16.9．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________．考点双曲线的标准方程题点由双曲线方程求参数答案 (2，＋∞)解析由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1，即有m ＞0，且m －2＞0，解得m ＞2.10．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．考点双曲线的标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程答案x 24－y 2＝1解析由题意可设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2，得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.11．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案2512，31312解析因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，所以|AF 2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解已知双曲线x 216－y 29＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去， ∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.四、探究与拓展14．若双曲线x 2n－y 2＝1(n ＞1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1B.12C ．2D ．4考点双曲线的定义题点双曲线定义的应用答案 A解析设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2n ，已知|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，解得|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n ， |PF 1|·|PF 2|＝2. 又|F 1F 2|＝2n ＋1，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，于是12PF F S＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×2＝1. 故选A.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6＜m ＜46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎪⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点双曲线标准方程的求法题点待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)因为⎩⎨⎧12|OF →|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF →|·|FQ →|cos θ＝m ，所以tan θ＝46m.又6＜m ＜46，所以1＜tan θ＜4，即tan θ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c.又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64－1c 2，解得x 1＝64c ，所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23，当且仅当c ＝4时，取等号，|OQ →|最小，这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－6b2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，于是所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。

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