矩阵复习学案

《矩阵与变换》复习【知识梳理】1．二阶矩阵与平面向量：（1）矩阵的概念与表示：矩阵的行、列、元素；零矩阵、单位矩阵；行矩阵、列矩阵． （2）二阶矩阵与平面列向量的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x ＝ ． （3）二阶矩阵M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 确定的变换T M 为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x →⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x ＝ ＝ ． 2．几种常见的平面变换：变换 恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换切变变换变换矩阵3．变换的复合与矩阵的乘法： （1）矩阵的乘法：⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211b b b b ＝ ． 4．逆变换与逆矩阵：（1）逆矩阵的概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有 ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为 ． （2）逆矩阵的几何意义： （3）二阶可逆矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a的逆矩阵公式： ． （4）若二阶矩阵A ，B 可逆，则(AB )－1＝ ． 5．特征值与特征向量：（1）概念：设A 为二阶矩阵，若对于实数λ，存在一个非零向量α，使得 ，则称λ是A 的一个特征值，α是A 的属于特征值λ的一个特征向量． （2）特征多项式：f (λ) ＝ ． （3）特征值与特征向量的求解步骤：【典型例题】例1．已知变换T 把点(2，1)，(－3，2)分别变换成点(7，0)，(0，－7)，（1）求变换T 对应的矩阵M ；（2）求直线l ：x ＋5y －7＝0在变换T 下所得的曲线方程．例2．在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为A （0，0），B （1，1），C （0，2），M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201，N ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得图形的面积．例3．已知矩阵A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，定义其转置矩阵如下：A ′＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212221212111．（1）若A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，写出A 的转置矩阵A ′，并求行列式|A |和|A ′|，两者有何关系？ （2）若A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡43表示的方程组为⎩⎨⎧=+=-43352y x y x ，试求解A ′⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-295表示的方程组．例4．已知矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α． （1）求矩阵A 及其逆矩阵；（2）若向量α＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-91，试计算A n α．【反馈练习】1．下列说法中正确的是 ．①反射变换，伸压变换，切变变换都是初等变换； ②任何矩阵都有逆矩阵；③若M ，N 互为逆矩阵，则MN ＝E ； ④反射变换矩阵都是自己的逆矩阵． 2．已知A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+y yx 2002，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x x200，若A =B ，则xy ＝ ． 3．将平面内的图形绕原点逆时针旋转045的变换矩阵记为M ，曲线C ：1=xy 在M 确定的变换T M 作用下变为了曲线C '，则C '的方程为 ． 4．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13913214M ，则M = ；若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13913214M ，则M = ． 5．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001M ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10021N ，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵MN 变换下所得曲线的解析式．6．已知矩阵M ＝2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦，N ＝2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦及向量σ1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，σ2＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． （1）证明M 和N 互为逆矩阵；（2）证明σ1和σ2同时是M 和N 的特征向量．7．矩阵A ＝1102⎡⎤⎢⎥⎣⎦有特征向量α1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，α2＝10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （1）求出α1，α2对应的特征值；（2）对向量α＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，计算A n α．高三数学（理）《矩阵与变换》专题练习1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x2、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ） A 、21 B 、2 C 、3 D 、313、若矩阵M 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001，M 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001，M 3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，则由M 1，M 2，M 3确定的变换分别是（ ）A 、恒等变换、反射变换、投影变换B 、恒等变换、投影变换、反射变换C 、投影变换、反射变换、恒等变换D 、反射变换、恒等变换、投影变换4、在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标与纵坐标都变为原来的3倍，则该变换的矩阵是（ ）A 、1003⎛⎫⎪⎝⎭B 、0330⎛⎫⎪⎝⎭ C 、3003⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、3001⎛⎫⎪⎝⎭5、已知矩阵A =1111⎛⎫⎪-⎝⎭，B =2111-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，则AB 等于（ ）A 、3120⎛⎫⎪-⎝⎭ B 、1032⎛⎫ ⎪-⎝⎭ C 、1302-⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、1320-⎛⎫ ⎪⎝⎭6、已知矩阵A = 1101-⎛⎫⎪⎝⎭，则矩阵A 的逆矩阵A -1等于（ ）A 、11221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 、11221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C 、11221122⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 、11221122⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭7、点（－１，k ）在伸压变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100m 之下的对应点的坐标为（-2,-4），则m 、k 的值分别为（ ）A 、2，4B 、-2，4C 、2，-4D 、-2，-48、设T 是以 ox 轴为轴的反射变换，则变换T 的矩阵为（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 Ｂ、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 Ｃ、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001 Ｄ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡01109、设A 是到ox 轴的正投影变换，A 把点P （x ，y ）变成点P ′（x ，0），B 是到oy 轴的正投影变换B 把点P （x ，y ）变成点P ″（0，y ），则变换A 和B 的矩阵分别为（ ）.Ａ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000 Ｂ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 Ｃ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 Ｄ、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001，⎥⎦⎤⎢⎣⎡010110、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡321110=__________ 11、点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________12、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（2，4），则点A 的坐标为_________ 13、将向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为___________14、在某个旋转变换中，顺时针旋转3π所对应的变换矩阵为＿＿＿＿＿＿ 15、曲线y x =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换所得的图形对应的曲线方程为＿＿＿＿＿＿ 16、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是 ，变换对应的矩阵是＿＿ 17、若曲线x 3cos 21y =经过伸压变换T 作用后变为新的曲线cos y x =，试求变换T 对应的矩阵M =＿＿＿. 18、求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.19、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.20、在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2241x y +=在矩阵⎣⎡⎦⎤2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程.21、求曲线C ：1xy =在矩阵1111M ⎛⎫= ⎪-⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程.22、求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90︒后所得的曲线方程.23、直角坐标系xOy 中，点（2，-2）在矩阵010M a ⎛⎫=⎪⎝⎭对应变换作用下得到点（-2，4），曲线22:1C x y +=在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C '，求曲线C '的方程.24、设点P 的坐标为（１，-２），T 是绕原点逆时针方向旋转3π的旋转变换，求旋转变换T 对应的矩阵，并求点P 在T 作用下的象点P ′的坐标.25、在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值.26、若点(2,2)A 在矩阵=M ⎝⎛ααsin cos ⎪⎪⎭⎫-ααcos sin 对应变换的作用下得到的点为B (2,2)-，求矩阵M 的逆矩阵.27、已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x 221的一个特征值为3，求其另一个特征值.28、设矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1 a 0 1（a ≠0）、（1）求A 2 ，A 3；（2）猜想A n （n ∈N *）；（3）证明：A n （n ∈N *）的特征值是与n 无关的常数，并求出此常数.29、已知△ABC ，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.（1）分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；（2）求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.30、已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2、求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵.31、已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦,向量74α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (1)求A 的特征值1λ、2λ和特征向量1α、2α； (2)计算5A α的值.32、已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ a b ⎤⎥⎦,A 的一个特征值2λ=，其对应的特征向是是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵A ；（2）若向量74β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A β的值.。