【原创】江苏省2013—2014届高三数学小练习及答案(15)]

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【原创】江苏省2013—2014届高三数学小练习及答案(13)

高三数学小练（13）1．已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为．2．函数()2cos f x x =的最小正周期是．3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ． 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则7S 的值为．5．已知向量()1,3a =r ，()2,1b =-r ，()3,2c =r.若向量c r 与向量a kb +r r 共线，则实数k = ．6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则//l m ； ③ 若//l m ，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上） 7．定义在R 上的函数()f x 满足:()()23f x f x +⋅=，且()12f -=，则()2013f ＝．8．若实数x ，y 满足22(2)1x y -+=，则z x y =+的最大值是．9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．10．已知函数()sin 2f x x =，其中π[,]6x a ∈-．若()f x的值域是,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则a 的取值范围是．11．如图，在正三棱锥A －BCD 中，底面正三角形BCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，AC ⊥DE ，则正三棱锥A －BCD 的体积是 ▲ ．BD12．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为．13．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ，⑴ 求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；⑵ 在棱PD 上是否存在一点E ，使得PB // 平面EAC ？如果存在，请找出点E 并加以证明；如果不存在，请说明理由．14．已知函数()1ln ,f x a x x x R x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭． ⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； ⑵ 若0a >，求函数()f x 的单调区间；DPABCC1、12、π3、24、215、1-6、①③7、328、29、410、2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、312、13．（本题满分14分）（1）证明：Q⊥PA平面PDC，CD⊂平面PDC，∴CDPA⊥．………………2分Q四边形ABCD为矩形，∴CDAD⊥，………………4分PA AD A=Q I，∴⊥CD平面PAD．………………6分Q CD⊂平面ABCD∴平面PAD⊥平面ABCD．………………7分（2）答：当点E为棱PD中点时，PB// 平面EAC. ………………9分证明：取棱PD中点E，连接BD与AC相交于点O，连结EO．Q四边形ABCD为矩形，∴O为BD中点．Q E为棱PD中点．∴EOPB//．………………12分Q⊄PB平面EAC，⊂EO平面EAC，∴直线PB//平面EAC．………………14分∴存在整数1-=λ，使得对任意*Nn∈有nncc>+1.………………16分14．解：函数的定义域为()0,+∞，()2'22111ax x a f x a x xx -+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=． …………………………………………………1分（1）当2a =时，函数()12ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()10f =，()'13f =．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=．………………………………………………………………………4分（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．由0a >，214a ∆=-，（ⅰ）若102a <<，由()'0f x >，即()0h x >，得x <或x >；由()'0f x <，即()0h x <x <<．……………………6分所以函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭． ……………………………………8分（ⅱ）若12a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x在()0,+∞上单调递增． ………………………………………………………………10分。

2013—2014届高三数学小练习及答案(14)

高三数学小练（14）1.已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x MN a ==-<∈≠∅Z 如果则等于．2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于第象限. 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为．4．右图是甲、乙两名同学在五场篮球比赛中得分情况的茎叶图．那么甲、乙两人得分的平均分x 甲 x 乙（填<,>,=）5. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的条件．6.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出的S 的值为．.7．数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,m n ∈N ，都有n m na a a +=n S = ．8. 已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______． 9. 一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为． 10.. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =11. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是______．12. 设t ∈R ，若x ＞0时均有2(1)[(1)1]0tx xt x --+-≥，则t ＝______________．13. 已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +,,2=a c （Ⅰ）求tan()A B +的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.14. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3e =，一条准线方程为2x =⑴求椭圆C 的方程；⑵设,G H 为椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且OG OH ⊥． ①当直线OG 的倾斜角为60时，求GOH ∆的面积；1． 12或 2．二 3． 1x =- 4． < 5．充分不必要 6． 30S =8．π33 7． 122n +- 8． [,]62ππ 9．1{1,}210．1± 11．111(,)(,1)322 12．1213．（14分）解：（I ）解tan tan tan A B A B +tan tan )A B =-tan tantan()1tan tan A BA B A B+∴+=-=…………………5分（II ）由（I ）知 60A B +=︒，120C ∴=︒ ……………………7分C ab b a c cos 2222-+= ∴⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯-+=21224192b b∴3=b ……………………10分 ∴233221sin 21⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 233= ……………………14分 14．（ 1）因为36=a c ，2632=c a ，222c b a +=， ………………………………2分解得3,3==b a ，所以椭圆方程为13922=+y x ． ……………………………………4分（2）①由⎪⎩⎪⎨⎧=+=139322y x x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==102710922y x ，……………………………………………6分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=1393322y x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==232922y x ， ………………………………………………………8分所以6,5103==OH OG ，所以5153=∆GOH S ． ………………………………10分。

2013江苏省高考数学真题含答案清晰版

2013高考数学试卷参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。

棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。

DE AB AC λλ=+(λ、11、已知()f x 是定义在R12n n a a a a ++>的最大正整数内作答，解答时应写出文字说明、证明或演.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααββ==（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。

16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥，AS=AB 。

过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。

求证：（1）平面EFG//平面ABC ；（2）BC SA ⊥。

如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。

18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。

一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。

现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50米/分钟。

在甲出发2分钟后，乙从A 乘坐缆车到B ，在B 处停留1分钟后，再从B 匀速步行到C 。

假设缆车速度为130米/分钟，山路AC 的长为1260米，经测量，123cos ,cos 135A C ==。

2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为．【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为．【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是．【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是．【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1ADE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

2013—2014届高三数学小练习及答案(11)

高三数学小练（11）1.已知集合{}Z x x x x A ∈≤-=,042，(){}A x x y yB ∈+==,1log 2，则=B A .2.复数iiz -=12，其共轭复数为z ，则=+-1z z z ． 3.在平面直角坐标系中，从五个点：(0,0),(2,0),(1,1),(2,2),(3,3)A B C D E 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是．（结果用分数表示）4.在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中，四面体11CD AB 的体积为．5.已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，且方程()f x m =有两个不同的实根34,x x ，若把这四个数按从小到大顺序排列恰好构成等差数列，则实数m 的值为___________．6.已知双曲线22221x y a b-=（0,0>>b a ）的两条渐近线均和圆:C 22650x y x +-+=相切且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为． 7.已知锐角,A B 满足tan()2tan A B A +=，则tan B 的最大值为． 8.过直线x y l 2:=上一点P 作圆()()221M 345x y -+-=：的两条切线21,l l ，,A B 为切点，若直线21,l l 关于直线l 对称，则APB ∠= .9.已知ABC ∆是等腰直角三角形，090A ∠=，且AB a b =+，AC a b =-，若(cos ,sin ),a R θθθ=∈，则ABC ∆的面积为．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>有相同的焦点F ，,P Q 是椭圆与抛物线的的交点，若PQ 经过焦点F ，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为．11．已知数列{}n a 的通项公式为|13|n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的正整数k = .12．已知等比数列{}n a 的首项81=a ，令n n a b 2log =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，若3S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则{}n a 的公比q 的取值范围是 . 13.在ABC ∆中，三个内角分别为,,A B C ，且sin()2cos 6B B π+=．（1）若cos 3C =,3AC =,求AB ．（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．14．如图，E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，沿EF 将AEF∆折起到'A EF ∆的位置，连结'A B 、'A C ，P 为'A C 的中点．（1）求证：//EP 平面'A FB ．（2）求证：平面'A EC ⊥平面'A BC ．1. {0,1,2} ２．4i - 3.．35４．643 ５． - ６．22154x y -= ．７．８． 3π９． 1 101 11．2或5 12．1)213.在ABC ∆中，三个内角分别为,,A B C ，且sin()2cos6B B π+=．（1）若cos 3C =,3AC =,求AB ．（2）若0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()4cos 5B A -=，求sin A ．()(1)sin2cos63cos22tan0,3B BB BB BBπππ⎛⎫+=⎪⎝⎭=∴∈∴=在ABC∆中，由正弦定理知：sin sinAC ABB C=,=，所以2AB=. （2）因为4cos35Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以1sin sin sin332323A A A Aππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,3Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0,33Aππ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，又4cos35Aπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以sin3Aπ⎛⎫-⎪⎝⎭35=sin A=413525-⨯=14．如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF∆折起到'A EF∆的位置，连结'A B、'A C，P为'A C的中点．（1）求证：//EP平面'A FB．（2）求证：平面'A EC⊥平面'A BC．A(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，∴EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，EP⊄平面AA′B∴即EP∥平面A′FB(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′ECBC⊂平面A′BC∴平面A′BC⊥平面A′EC。

2013年江苏省高考数学试卷附送答案

2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）函数y=3sin（2x +）的最小正周期为．2．（5分）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．4．（5分）集合{﹣1，0，1}共有个子集．5．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．6．（5分）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．7．（5分）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．8．（5分）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．9．（5分）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是．10．（5分）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为．14．（5分）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n 的最大正整数n的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype 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type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\adminb\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image0 01.png"></v:imagedata><?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /><w:wrap type="square"></w:wrap></v:shape>[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．<o:p></o:p>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．26．（10分）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【分析】将题中的函数表达式与函数y=Asin（ωx+φ）进行对照，可得ω=2，由此结合三角函数的周期公式加以计算，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算．【解答】解：z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i．所以，|z|==5．故答案为5．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．【分析】集合P={1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：因为集合{﹣1，0，1}，所以集合{﹣1，0，1}的子集有：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{﹣1，1}，{0，1}，{﹣1，0，1}，∅，共8个．故答案为：8．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为3故答案为：36．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三第四次第五次次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．【分析】直接由图表得出两组数据，求出它们的平均数，求出方差，则答案可求．【解答】解：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93；乙：89，90，91，88，92；，．方差=4．=2．所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2．故答案为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n ≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．【分析】求出m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，m取到奇数，n取到奇数的方法种数，直接由古典概型的概率计算公式求解．【解答】解：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法．m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种．所以m，n都取到奇数的概率为．故答案为．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【分析】由三角形的相似比等于面积比的平方得到棱锥和棱柱的底面积的比值，由题意棱柱的高是棱锥的高的2倍，然后直接由体积公式可得比值．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y 的取值范围是[﹣2，] ．【分析】利用导数求出抛物线在x=1处的切线方程，画出可行域，找出最优解，则x+2y的取值范围可求．【解答】解：由y=x2得，y′=2x，所以y′|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x﹣1．令z=x+2y，则．画出可行域如图，所以当直线过点（0，﹣1）时，z min=﹣2．过点（）时，．故答案为．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．【分析】由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．【解答】解：由题意结合向量的运算可得=====，又由题意可知若=λ1+λ2，故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f （x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF 的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为．【分析】根据“d 2=”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d1=，从而得到a与b的关系，可求得，从而求出离心率．【解答】解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d 2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，两边同除以a2，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．【分析】设点P，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．【解答】解：设点P，则|PA|===，令，∵x＞0，∴t≥2，令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2，①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2=，解得a=﹣1；②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）=a2﹣2，∴a2﹣2=，解得a=．综上可知：a=﹣1或．故答案为﹣1或．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n ＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．【分析】设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+a n及a1a2…a n的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为a n==2n﹣6．记T n=a1+a2+…+a n==，S n=a1a2…a n=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得T n＞S n，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．【分析】（1）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到cosαcosβ+sinαsinβ=0，由此得到结论；（2）由向量坐标的加法运算求出+，由+=（0，1）列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得α，β的值．【解答】解：（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则=（cosα﹣co sβ，sinα﹣sinβ），由=2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2，得cosαcosβ+sinαsinβ=0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB ⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC；（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a 的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为v m/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．【分析】（1）写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到S n，在前n项和公式中取n=nk 可证结论；（2）把S n代入中整理得到b n=，由等差数列的通项公式是a n=An+B的形式，说明，由此可得到c=0．【解答】证明：（1）若c=0，则a n=a1+（n﹣1）d，，．当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d≠0，故d=2a．因此：，，．故：（k，n∈N*）．（2）==．①若{b n}是等差数列，则{b n}的通项公式是b n=A n+B型．观察①式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0．经检验，当c=0时{b n}是等差数列．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．【分析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．【解答】解：（1）求导数可得f′（x）=﹣a∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．令g′（x）=e x﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．故a的取值范围为：a＞e．（2）当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=e x﹣a＞0，解得a＜e x，即x＞lna，因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜．结合上述两种情况，有．①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）=＞0，得f（x）存在唯一的零点；②当a＜0时，由于f（e a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f （x）在[e a，1]上的图象不间断，所以f（x）在（e a，1）上存在零点．另外，当x＞0时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．③当0＜a≤时，令f′（x）=﹣a=0，解得x=．当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，所以，x=是f（x）的最大值点，且最大值为f（）=﹣lna﹣1．（i）当﹣lna﹣1=0，即a=时，f（x）有一个零点x=e；（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个零点；实际上，对于0＜a＜，由于f（）=﹣1﹣＜0，f（）＞0，且函数f（x）在[]上的图象不间断，所以f（x）在（）上存在零点．另外，当0＜x＜时，f′（x）=﹣a＞0，故f（x）在（0，）上时单调增函数，所以f（x）在（0，）上只有一个零点．下面考虑f（x）在（，+∞）上的情况，先证明f（）=a（）＜0．为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2．设h（x）=e x﹣x2，则h′（x）=e x﹣2x，再设l（x）=h′（x）=e x﹣2x，则l′（x）=e x﹣2．当x＞1时，l′（x）=e x﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；故当x＞2时，h′（x）=e x﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=e x﹣x2＞h（e）=e e﹣e2＞0，即当x＞e 时，e x＞x2当0＜a＜，即＞e时，f（）==a（）＜0，又f（）＞0，且函数f（x）在[，]上的图象不间断，所以f（x）在（，）上存在零点．又当x＞时，f′（x）=﹣a＜0，故f（x）在（，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（，+∞）上只有一个零点．综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a=时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜时，f（x）的零点个数为2．<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><v:shapetype id=_x0000_t75 stroked="f" filled="f" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" o:preferrelative="t"o:spt="75" coordsize="21600,21600"><v:stroke 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01.png"></v:imagedata><?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" /><w:wrap type="square"></w:wrap></v:shape>[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．<o:p></o:p>A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．【分析】证明Rt△ADO∽Rt△ACB，可得，结合BC=2OC=2OD，即可证明结论．【解答】证明：连接OD．因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以ADO=∠ACB=90°又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以，因为BC=2OC=2OD．所以AC=2AD．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【分析】运用代入法，可将直线l和曲线C的参数方程化为普通方程，联立直线方程和抛物线方程，解方程可得它们的交点坐标．【解答】解：直线l的参数方程为（为参数），由x=t+1可得t=x﹣1，代入y=2t，可得直线l的普通方程：2x﹣y﹣2=0．曲线C的参数方程为（t为参数），化为y2=2x，联立，解得，，于是交点为（2，2），．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．【分析】直接利用作差法，然后分析证明即可．【解答】证明：2a3﹣b3﹣2ab2+a2b=2a（a2﹣b2）+b（a2﹣b2）=（a﹣b）（a+b）（2a+b），∵a≥b＞0，∴a﹣b≥0，a+b＞0，2a+b＞0，从而：（a﹣b）（a+b）（2a+b）≥0，∴2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k ∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．【分析】（1）由数列{a n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P l，即可得到元素个数；（2）运用数学归纳法证明S i=﹣i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差（2i+1）数列的求和公式，即可得到所求．【解答】解：（1）由数列{a n}的定义得a1=1，a2=﹣2，a3=﹣2，a4=3，a5=3，a6=3，a7=﹣4，a8=﹣4，a9=﹣4，a10=﹣4，a11=5，所以S1=1，S2=﹣1，S3=﹣3，S4=0，S5=3，S6=6，S7=2，S8=﹣2，S9=﹣6，S10=﹣10，S11=﹣5，从而S1=a1，S4=0•a4，S5=a5，S6=2a6，S11=﹣a11，所以集合P11中元素的个数为5；（2）先证：S i（2i+1）=﹣i（2i+1）（i∈N*）．事实上，①当i=1时，S i（2i+1）=S3=﹣3，﹣i（2i+1）=﹣3，故原等式成立；②假设i=m时成立，即S m（2m+1）=﹣m（2m+1），则i=m+1时，S（m+1）（2m+3）=S m（2m+1）+（2m+1）2﹣（2m+2）2=﹣m（2m+1）﹣4m﹣3=﹣（2m2+5m+3）=﹣（m+1）（2m+3）．综合①②可得S i（2i+1）=﹣i（2i+1）．于是S（i+1）（2i+1）=S i（2i+1）+（2i+1）2=﹣i（2i+1）+（2i+1）2=（2i+1）（i+1）．由上可知S i（2i+1）是2i+1的倍数，而a i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），所以S i（2i+1）+j=S i（2i+1）+j（2i+1）是a i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．又S（i+1）（2i+1）=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，而a（i+1）（2i+1）+j=﹣（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），所以S（i+1）（2i+1）+j=S（i+1）（2i+1）﹣j（2i+2）=（2i+1）（i+1）﹣j（2i+2）不是a（i+1）（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，故当l=i（2i+1）时，集合P l中元素的个数为1+3+…+（2i﹣1）=i2，于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P l中元素的个数为i2+j．又2000=31×（2×31+1）+47，故集合P2 000中元素的个数为312+47=1008．。

2013年高考理科数学江苏卷试题与答案word解析版,推荐文档

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷）数学I 试题、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.n1 • （2013江苏，1）函数y 3sin 2x —的最小正周期为 _______________ •42. （2013江苏，2）设z = （2 — i ） 2（i 为虚数单位），则复数z 的模为 _________ •2 23. （2013江苏，3）双曲线 — 乞=1的两条渐近线的方程为16 94. _________________________________________ （2013江苏，4）集合｛ — 1,0,1｝共有 ___________________________________________ 个子集.5.（2013江苏，5）下图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 ___________ .6. （2013江苏，6）抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5次训练成绩（单位：环）, 结果如下：7. （2013江苏，7）现有某类病毒记作，其中正整数 m , n （mc 乙n w 9）可以任意选取，则 m , n 都取到奇数的概率为 ____________ .8. __________________________________________________________ （2013江苏，8）如图，在三棱柱 ABC — ABC 中, D, E, F 分别是AB, AQ AA 的中点，设三棱锥F —ADE 的体积为 V ,三棱柱 ABC — ABC 勺体积为 V 2,贝U V : \2= __________________ .9. （2013江苏，9）抛物线y = x 2在x = 1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点P （x , y ）是区域D 内的任意一点，贝U x + 2y 的取值范围是 __________ .运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲87 91 90 8993 乙8990918892工N-1a-2则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ____________x 的解集用区间表示为 _____________ . ■^2 =1 （a > 0, b > 0），右 b焦点为F,右准线为I ，短轴的一个端点为 B 设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到I 的距离为d 2.若d 2 . 6d 1 ,则椭圆C 的离心率为 ____________ .一 113. （2013江苏，13）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点A （a , a ）, P 是函数y （x >0）图象上一动x10. （2013江苏，10）设D, E 分别是△ ABC 的边 AB BC 上的点,ujur uuu DE 1AB 11. （2013 江苏，11）已知 f （x ）UULT 2AC （入1,入2为实数），则是定义在AD 」AB , BE=-BC .若2 3入 1 +入2的值为 __________ .R 上的奇函数，当x >0时，f （x ） = x 2 — 4x ，则不等式f （x ） > 2x xOy 中，椭圆C 的标准方程为 —a12. （2013江苏，12）在平面直角坐标系点•若点P, A之间的最短距离为2罷，则满足条件的实数a的所有值为 __________ .114. （2013江苏，14）在正项等比数列｛a n｝中，a5, a6 + a?= 3.则满足a i + a? +•••+a n>a©…a n的2最大正整数n的值为____________ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （2013 江苏，15）（本小题满分14 分）已知a= （cos a, sin a ）, b= （cos 卩，sin 卩）,0 v 卩V a Vn.（1）若| a-b| =72，求证：a±b;（2）设c= （0,1），若a-b= c,求 a ,卩的值.16. （2013江苏，16）（本小题满分14分）如图，在三棱锥S- ABC中，平面SABL平面SBC AB± BC AS= AB过A作AF丄SB,垂足为F,点E, G分别是棱SA SC的中点. 求证：（1）平面EFG/平面ABC （2）BCL SAC17. (2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)设圆C的半径为1，圆心在I上.(1) 若圆心C也在直线y= x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M使MA F 2MO求圆心C的横坐标a的取值范围.18. (2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径•一种是从A沿直线步行到C另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC12 3长为 1 260 m，经测量，cos A= , cos C=-.13 5(1) 求索道AB的长；(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过19. (2013江苏，19)(本小题满分16分)设｛刘是首项为a,公差为d的等差数列(d^0) ,S是其前n项和.记b n,n€ N*，其中c为实数.n c(1)若c= 0,且b1, b, b4成等比数列，证明：$k= n2$(k, n€N*)；⑵若｛b n｝是等差数列，证明：c= 0.20. (2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f(x) = ln x—ax, g(x) = e x-ax，其中a为实数.(1)若f (x)在(1 ,+s)上是单调减函数，且g(x)在(1 ,+^)上有最小值，求a的取值范围；⑵若g(x)在(—1 ,+8)上是单调增函数，试求 f (x)的零点个数，并证明你的结论.数学n （附加题）【选做题】本题包括 A 、 B 、 C 、D 四小题，请．选．定．其．中．两．小．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21. （2013江苏，21）A .［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 和 BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心 Q 且BC= 2OC3 3 2 2B.［选修4— 2 :矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵A =1 0,B =0 2，求矩阵 A —1B .C . ［选修 4— 4:坐标系与参数方程］（本小题满分x t 1, x'（t 为参数），曲线C 的参数方程为y 2ty10分）在平面直角坐标系 xQy 中，直线I 的参数方程为2tan 22tan（e 为参数）.试求直线I 和曲线C 的普通方程,D.［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）已知a>b>0，求证：2a—b >2ab —a b.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区说明、证明过程或演算步骤.22. （2013江苏，22）（本小题满分10分）如图，在直三棱柱点D 是BC 的中点.（1）求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值；（2）求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值.23. (2013 江苏，23)(本小题满分 10 分)设数列{a n } : 1,— 2, — 2,3,3,3 , — 4,— 4, — 4, — 4，…，6 4 4 4 7个 4 4 48 k k (1)k 1k,L ,( 1)k 1k ，…，即当 ------------ n -------------- (k € N *)时，a n = ( — 1)k — 1k .记 S= a 1+ a 2+-+ a n ( n2 2 € N).对于I € N ,定义集合 R = {n |S 是a n 的整数倍，n €N *,且1< n w l }.(1) 求集合P 11中元素的个数； (2) 求集合P 2 000中元素的个数.域内作答，解答时应写出文字ABC — ABC 中,2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（江苏卷）数学I试题、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.解析：|z| =1(2 —i) 2| = |4 —4i + i2| = |3 —4i| = , 32 4 2 5 = 5.33.答案：y —x4解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为4.答案：8解析：由于集合｛—1,0,1｝有3个兀素，故其子集个数为23= 8.5.答案：3解析：第一次循环后：a—8, n^2；第二次循环后：a—26, n—3;由于26> 20,跳出循环, 输出n= 3.6.答案：2解析：由题中数据可得x甲=90 , x乙=90 .2 1 2 2 2 2 2 2 1 2于是S甲= — [(87 —90) + (91 —90) + (90 —90) + (89 —90) + (93 —90) ] = 4, s乙=—[(89 —90) + (90 552 2 2 2—90) + (91 —90) + (88 —90) + (92 —90) ] = 2,2 2由S甲>S z，可知乙运动员成绩稳定.故应填 2.解析：由题意知m的可能取值为1,2,3，…，7；n的可能取值为1,2,3，…，9.由于是任取m n：若m= 1时，n可取1,2,3，…，9,共9种情况；同理m取2,3，…，7时，n也各有9种情况，故m n的取值情况共有7X 9= 63种.若m, n都取奇数，则m的取值为1,3,5,7 , n的取值为1,3,5,7,9&答案：1 : 24解由题意可知点F到面ABC勺距离与点A到面ABC勺距离之比为1 : 2 , S MDE：S MBC= 1 : 4.2AF SABC1 9.答案：2,丄2解析：由题意可知抛物线y= x2在x= 1处的切线方程为y= 2x— 1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴解析：函数y 3sin 2x 2.答案：5n的最小正周期T42 n—— n.7.答案: 2063,因此满足条件的情形有4X 5= 20种.故所求概率为20 63因此V : V2= £A F S AED3=1 : 24.影部分所示:1 1当直线x + 2y = 0平移到过点 A —,o 时，x + 2y 取得最大值—.2 2当直线x + 2y = 0平移到过点B (0，- 1)时，x + 2y 取得最小值—2.1因此所求的x + 2y 的取值范围为2寸1 uuu2 uuur uuu ABAC 1 AB 6 31 故入1 +入2=.2uuur122AC— e ，入2=11.答案：(—5,0) U (5 ,+^)2x 4x,x 0,解析：•函数f (x )为奇函数，且 x > 0时，f (x ) = x — 4x ，贝U f (x )=0,x 0, •••原不等式等价于2x4x, x 0,110.答案：一 2 解析：由题意作图如图. uuur uuur •••在△ ABC 中, DE DB uuu 1 uuu 2 uuuBE - AB BC 2 31 uuu2 UULT 2AB严uuuAB)x 0, 或 x 0,2或 2x 4x x, x 4x x, 由此可解得x > 5或一5v x v 0. 故应填(—5,0) U (5 ,+s ).12.答案：3解析：设椭圆C 的半焦距为 c ,由题意可设直线 BF 的方程为- 结合题意可知 (1)当 a w 2, t = 2 时，I PA 2取得最小值.此时(2 — a )2 + a 2— 2 = 8,解得a =— 1, a = 3(舍去).⑵ 当a > 2, t = a 时，|PA 2取得最小值.此时 a 2— 2= 8,解得a =、、10 , a = .10(舍去).故满足条件的实数a 的所有值为,10 , — 1. 14. 答案：12解析：设正项等比数列｛a n ｝的公比为q ,则由，a 6 + a= a 5(q + q 2) = 3可得q = 2,于是a n = 2n —6,—(1 2n ) 1则 a ’+ a 2+・・・+ a n = 322n 5 —.1 2321门'a5— , q = 2 , 2.A2--a 6= 1, a 1a 11 =a 6 = 1.11.7I611.•- aa 2…an = 1.当 n 取 12 时，a 1 + a 2+ …+ a 12= 2 —> aa 2…a 11a 12= a 12= 2 成立；当 n 取 13 时，a 1+ a 232A8I6713+ …+ a 13= 2 —v a 1a 2…a 11a 12a 13= a 12a 13= 2 ・2 = 2 .当 n > 13 时，随着 n 增大 a 1+ a 2+・・・+ &将恒小于32…a n .因此所求n 的最大值为12.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.、. 2 2 2 215. (1)证明：由题意得 |a — b | = 2，即(a — b ) = a — 2a ・b + b = 2.y=1，即bx + cy — bc = 0.于是可知 bd ibc一 b2c 2竺，d 2a2 2 2 ,2a a cb ccc cd 2一 6d i ，-业，即ab 飞c 2. c a3•- e3 .13. 答案：—1, 0解析1 :设P 点的坐标为 x,-，贝UxI PA22 21 2 1 =(x a)a = x2xx1 2a x -x1=2a 2.令 t x 2，则 |PA 2= t 2— 2at + 2a 2— 2 x22 2 4 4 2 21••• a (a — c ) = 6c . /• 6e + e — 1= 0. /• e =.2 2=(t — a ) + a — 2 (t >2).又因为a2= b2= |a| 2= |b| 2= 1, 所以 2 —2a -b = 2,即a -b = 0.故a丄b.⑵解: 因为3) = (0,1),所以cos cos 0, a + b = (cosa + cos (3 , sina + sinsinsin1,由此得 cos a = cos( n — 卩).由0<3Vn :，得 0V n — 3Vn,又 0 V a Vn , 故a=n — 3 .代入 sina + sin=1,得 sina = sin 3 =1 而a >3 ,所以5 n,n26616•证明：⑴因为AS= AB AF 丄SB 垂足为F ,所以F 是SB 的中点•又因为 E 是SA 的中点，所以EF//AB因为EF]平面ABC AB 平面ABC 所以EF /平面ABC同理EG/平面ABC 又EF A EG= E , 所以平面EF(/平面ABC⑵因为平面 SABL 平面SBC 且交线为 SB 又AF 平面SAB AF 丄SB 所以AF 丄平面SBC 因为BC 平面SBC 所以AF 丄BC又因为 ABL BC , AF n AB= A, AF, AB 平面 SAB 所以 BCL 平面 SAB 因为SA 平面SAB 所以BC L SA17.解：(1)由题设，圆心C 是直线y = 2x — 4和y = x — 1的交点，解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y = kx + 3 , 由题意，1 3^11= 1,解得k = 0或3, 賦14故所求切线方程为 y = 3或3x + 4y — 12= 0.⑵ 因为圆心在直线 y = 2x — 4上，所以圆C 的方程为(x —a )2+ [y — 2(a — 2)] 2= 1. 设点Mx , y ),因为MA= 2MO 所以x 2 y 3 2 =2 x 2 y 2 ,化简得x 2+ y 2+ 2y — 3= 0,即 x 2+ (y + 1)2= 4,所以点 M 在以 Q0 , — 1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点 Mx , y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点，贝U |2 —1| w CDc 2+ 1, 即 1, a 2 2a 3 2 3.由 5a — 12a + 8>0,得 a € R ； , 2 / 冃 12 由 5a — 12a w 0,得 0w a w .5所以点C 的横坐标a 的取值范围为 18 .解：⑴在厶ABC 中 ,因为cosc 120,. 5 12A =二,13cos从而 sin B= sin[ n — (A + C )] = sin( A + C = sin35C =-,所以 sin A = 一 , 5 13 5 A DOS C + cos A sin C =—13sinC =仝512 4 13 563 65AR 由正弦定理倍- sin C匹，得ABsin BAC. c 1260 4 sinC= 1 040(m).sin B 6- 565所以索道AB 的长为 ⑵假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为 d ,此时，甲行走了 (100 + 50t ) m ,乙距离12所以由余弦定理得 d 2= (100 + 50t )2+ (130t )2-2X 130t X (100 + 50t ) X = 200(37 t 2- 70t + 50),131 040 m.A 处 130t m ,104035 因0W t w,即0W t w 8,故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短.13037⑶由正弦定理-BC 竺，得BC=竺 sin A 譬 -=500(m).si nA sin B sinB 631365乙从B 出发时，甲已走了 50X (2 + 8 + 1) = 550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.1 20 .解：⑴令 f '(x )=-x—1,即f (x )在(a —1, +8)上是单调减函数.上是单调减函数，故(1 , +8) x v ln a 时，g '(x ) v 0；当 x > In a 时，g '(x ) >0.又 g (x )在(1 , +m )上有最小值，所以 In a > 1，即 a > e.综上，有 a € (e , +8).⑵ 当a <0时，g (x )必为单调增函数；当 a >0时，令g '(x ) = e x — a >0，解得a v e x ，即卩x >In a . 因为g (x )在(—1, +8)上是单调增函数，类似 ⑴有In a w — 1，即0v a <e — 1. 结合上述两种情况，有 a we 1.1① 当a = 0时，由f ⑴=0以及f '(x ) =>0，得f (x )存在唯一的零点；x② 当a v 0时，由于f (e a ) = a — a e a = a (1 — e a ) v 0, f (1) =— a > 0，且函数f (x )在［e a,1］上的图象不间断, 所以f19. 证明：由题设，S nn(n na - 21)d . (1) 由c = 0,得b nS nn J a d .又因为b, b 2, b 4成等比数列，所以2n 2即d a - =a a 3d ，化简得d 2 __—2ad = 0.因为0,所以 d = 2a .22C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在因此，对于所有的肚N ,有S m = ma ._ * 2 2 2 2 从而对于所有的 k , n € N ,有 &= (n k ) a = nka = n S.,2b = bb .设乙步行的速度为 v m/min ，由题意得3 500710 503，解得125043625，所以为使两位游客在14竺，625(单位: 43 14 m/min)范围内.(2)设数列｛b n ｝的公差是d 1，则b n = b 1+ ( n — 1)d 1,即即2 n nS n理得，对于所有的 * 1 n € N ,有 d 1 -d 2 1 B = b 1 — d 1 — a + d ,2 t h d 1 a —=b + (n — 1)d 1, n € N ，代入S n 的表达式，整c1 2d n cd 1n = c (d 1 — b ).2D = c (d 1— b"，则对于所有的 n € N ,有 An 3 + Bn 2+ cdn = D.(*)n = 1,2,3,4，得 A + B + cd 1 = 8A + 4B + 2cd 1 = 27A + 9B + 3cd 1 = 64A + 16B + 4cd 1,7A 3B cd 1 0,①从而有19A 5B cd 1 0,②21A 5B cd 1 0,③由②，③得A =0, cd 1 = —5B,代入方程①, 得即d 11d = 0, b 1 —d 1 — 1 -a + d = 0, cd ==0 22d = 0,与题设矛盾，所以d& 0.1 ax v 0,考虑到f (x )的定义域为(0,+s )，故a > 0,进而解得 x 同理，f (x )在(0 , a —1)上是单调增函数.由于f (x )在(1 , (a — 1, +m ),从而 a —1w 1,即 a > 1.令 g '( x ) = e x — a = 0, 得 x = In + ^) a .当得 B = 0，从而 cd 1 = 0. 令 A = d 1〔d ,2 在(*)式中分别取 1 若 d 1= 0，则由 d 1 d = 0, 2又因为cd 1 = 0，所以c = 0.1(x)在(e a,1)上存在零点.另外，当x> 0时，f'(x) = - —a> 0，故f(x)在(0,+^)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.x③当0v a we —1时，令f'( x) = ——a= 0,解得x= a—-当0< x v a—1时，f '(x) > 0,当x>a—1时，f'(x)x—1 ——1< 0,所以，x = a是f (x)的最大值点，且最大值为f (a ) = —In a— 1. 当一In a— 1 = 0，即a= e—1时，f (x)有一个零点x = e.一1当一In a— 1 > 0，即0< a< e时，f (x)有两个零点.实际上，对于0 < a< e—1,由于f(e —1) =—1 —a e—1< 0, f (a—1) > 0，且函数f(x)在［e 一1, a—1］上的图象不—1 — 1 间断，所以f(x)在(e , a )上存在零点.另外，当x€ (0 , a—1)时，f ' (x) = 一—a> 0,故f(x)在(0 , a一1)上是单调增函数，所以 f (x)在(0 , a—1)x上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a一1,+^)上的情况.先证f(e a—1) = a(a—2—e a—1) < 0.为此，我们要证明：当x>e 时，e x>x2.设h(x) = e x—x2,则h' (x) = e x—2x，再设I (x) = h ' (x) = e x—2x, 则I ' (x) = e— 2.当x> 1 时，1' (x) = e x—2>e—2>0,所以I (x) = h' ( x)在(1 , +^)上是单调增函数.故当x>2 时，h ' ( x) x . , 2=e —2x > h (2) = e —4> 0,从而h(x)在(2 ,+s)上是单调增函数，进而当x>e时，h( x) = e x—x2> h(e) = e e—e2> 0.即当x > e 时，e x> x2.当0< a< e—1,即卩a—1> e 时，f (e a—1) = a—1—a e a—1= a(a—2—e a—1) < 0,又f ( a—1) > 0，且函数f( x)在［a一1,一一一一1e a一1］上的图象不间断，所以f (x)在(a一1, e a—1)上存在零点.又当x > a—1时，f' (x)= —a< 0,故f (x)x在(a—1,+g)上是单调减函数，所以f (x)在(a—1,+g)上只有一个零点. 综合①，②，③，当a<0或a=訂时，f (x)的零点个数为1, 当0 <a<e—1时，f(x)的零点个数为2.数学n (附加题)【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.证明：连结OD因为AB和BC分别与圆O相切于点D, C,所以/ AD(=Z ACB= 90°.又因为/ A=Z A,所以Rt △ AD® Rt△ ACB 所以BC JAC1 OD AD又BC= 2OC= 2OD 故AC= 2ADB.［选修4— 2:矩阵与变换］解：设矩阵A 的逆矩阵为 a bc d所以A —1B=线I 的普通方程为同理得到曲线 C 的普通方程为y 2 = 2x .y 2x11联立方程组 %解得公共点的坐标为(2,2),丄，1 .y 2x,23322222222D.证明：2a — b — (2 ab — a b ) = 2a (a — b ) + b ( a — b ) = (a — b )(2 a + b ) = (a — b )( a + b )(2 a + b ). 因为a >b > 0,所以 a — b >0, a + b > 0,2 a + b >0,从而(a — b )( a + b )(2 a + b )》0，即卩 2a — b 》2ab — a b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.解：（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A — xyz ,则 A (0,0,0) , 02,0,0) , C (0,2,0), D (1,1,0) , A(0,0,4) , C (0,2,4),unr uuuu所以 A ] B = (2,0 , — 4) , G D = (1 , — 1 , — 4).uuir uuuuuur uuuD A I B C I D因为 cos 〈 AB , C 1D 〉= uuur||uuuu 「A B ||GD=18 3怖1 0 ab 1°,即 a b 0 1 2c 2d故 a =— 1, b = 0, c = 0,1，从而A 的逆矩阵为A 1 =2C.解：因为直线l 的参数方程为x = t +1, y = 2t（t 为参数），由 x =t + 1得t = x — 1,代入y = 2t ，得到直2x — y — 2 = 0.20 18 10 '所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为璧0.10uuir umu uuir uuun⑵设平面ADC的法向量为n i= (x,y,z)，因为AD = (1,1,0) , AC1= (0,2,4)，所以n i • AD = 0,n i • AC1=0，即卩x+ y= 0 且y+ 2z = 0,取z= 1，得x= 2, y=- 2,所以，m = (2 , - 2,1)是平面ADC的一个法向量.取平面AAB的一个法向量为n2= (0,1,0)，设平面ADC与平面ABA所成二面角的大小为0 .由|cos 0 | = 门1门 2 2—，得sin 0 = 2^.|门1 ||门2 | s/9 V1 3 3因此，平面ADC与平面ABA所成二面角的正弦值为.323.解：(1)由数列｛a n｝的定义得a1 = 1, a2=- 2, a3=- 2, a4= 3, a s = 3, a6 = 3, a?=—4, a8=- 4, a o =—4, a10=- 4 , an = 5,所以S= 1 , S2 =- 1, S3=-3 , S= 0 , S5= 3 , S6 = 6 , S= 2 , S3=- 2 , S o=- 6 , S o = - 10 , S11 = - 5 ,从而S= a1 , S= 0x a4 , S s= a s , S e= 2a6 , S1 = - an ,所以集合P1 中元素的个数为5.*(2)先证：S(2i+1)= - i (2i + 1)( i € N).事实上，①当i = 1时，S(2i +1) = S B=- 3, —i (2 i + 1) = - 3,故原等式成立；②假设i = m时成立,即Si(2m+1)= —m(2 m+ 1),贝V i = m+ 1 时，S(m+1)(2 m+3)= Sn<2m+1)+ (2 m+ 1) —(2 m+ 2)=—2n(2 1) -4m- 3=- (2 m+ 5m+ 3) =- (m+ 1)(2 m+ 3).综合①②可得S(2i +1) = —i (2 i + 1).于是S i +1)(2 i +1) = S(2i +1) + (2 i + 1) = —i (2 i + 1) + (2 i + 1) = (2 i + 1)( i + 1).由上可知S(2i +1)是2i + 1 的倍数,而a (2i +1)+j = 2i + 1( j = 1,2 ,…,2i + 1),所以S ⑵ +1)+j = S ⑵ +1)+ j (2 i + 1)是a i(2i+1)+j (j = 1,2 ,…,2i + 1)的倍数.又S(i+1)(2i+1) = (i + 1)(2 i + 1)不是2i + 2 的倍数,而a(i+1)(2i +1) + j = - (2i + 2)( j = 1,2 ,…,2i + 2),所以S(i+1)(2i +1) +j = S i+1)(2 i +1) - j (2 i + 2) = (2 i + 1)( i + 1) - j (2 i + 2)不是a(i +1)(2 i+1)+j(j = 1,2 ,…,2i + 2)的倍数,故当l = i (2i + 1)时,集合P中元素的个数为1+ 3 +… + (2i - 1) = i2,于是，当I = i(2i + 1) + j (1 < j W2i + 1)时，集合P 中元素的个数为i2+ j.又 2 000 = 31 X (2 X 31 + 1) + 47 ,故集合F2 000 中元素的个数为31 + 47= 1 008.。

2013年高考江苏卷数学试题及答案

（第5题）2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）数学Ⅰ本试卷均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 . 解析：34,Z i Z =-=3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 . 解析：3y=4x ±4.集合{}1,0,1-共有个子集. 解析：328=（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是解析：经过了两次循环，n 值变为36.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025ni i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个所以总共有4520⨯=种可能符合题意所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V . 解析：112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 . 解析：AB C1ADE F1B1C易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C - 易知过C 点时有最小值2-，过B 点时有最大值0.510.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 .解析：易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+= 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 .解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c = 两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 .解析：由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥ 则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=a = ，a = 综上1a =-或a =14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 . 解析：2252552667123123115521155223 (1),.222222011522360022n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a q a q q a a n nq n q n q a -------=+=+-+=∴++++>∴->∴->>-∴-><<=>∴==n N +∈112,n n N +∴≤≤∈又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。

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高三数学小练（15）
1．设全集U R =，集合{}|2A x x =≥，{}1,0,1,2,3B =-，则()
U A B =ð ．
2．已知复数z 满足()1i z i +⋅=-，则z 的模为． 3．已知
2311
2log log a a
+=，则a = ．
4．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中
一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的概率为．
5．若双曲线2
2
1y x k
-=
的焦点到渐近线的距离为k 的值是．
6．如图所示的“双塔”形立体建筑，已知P ABD -和Q CBD -是两个高相等的正三棱锥，四点,,,A B C D 在同一平面内．要使塔尖,P Q 之间的距离为50m ，则底边AB 的长为 m ．
7．下面求258112012+++++的值的伪代码中，正整数m 的最大值为．
8．向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)==a b ，2-a b = ．
9．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x ab ∈时的值域为[,]ka kb (0)k >，则称()
y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 10．函数42sin 1()1
x
y x R x x =-
∈++的最大值与最小值之和为
11．已知半椭圆()22
2210,0y x y a b a b
+=≥>>和半圆()2220x y b y +=≤组成的曲线C 如图所
示．曲线C 交x 轴于点,A B ，交y 轴于点,G H ，点M 是半圆上异于,A B 的任意一点，当点M
位于点时，AGM ∆的面积最大，则半椭圆的方程为． P
Q
A
B
C
D
第6题图
甲
乙 98 210
337 9∙ 8
9
I ←2
S ←0
While I ＜m S ←S+I I ←I+3 End While Print S End
（第7题图）
12．已知||3AB =，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，,ADC BCE ∆∆均为等边三角形，则
CDE ∆的外接圆的半径的最小值是．
13．已知02αβπ<<<<π,
且5sin()αβ+=, 1tan 22α=．（1）求cos α的值；（2）证明：sin β>513．
14．如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE
所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且
2AB AE =．
（1）求证：//AB 平面CDE ；（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
答案
1．{}1,0,1-【解析】由{}|2U A x x =<ð，得()
U A B =ð{}1,0,1-．
2【解析】因为z z =，所以两边同时取模可得z = 3由2311
log 2log 3log 62log log a a a a a
+=+==，知26a =，因为0a >，所以a = 4．
1
10
【解析】由图示可知，甲的平均成绩为90，若要符合题意，被污损的数字只能是9，故M 第11题图
A
C
D
B
E
第12题图
A
B
C
D
E
（第14题图）
所求概率为
110
．
5．8【解析】显然，0k >，双曲线的渐近线方程为y =，焦点坐标是()
，由距离公式，得8k =．
6．,P Q 在底面的射影分别是正三角形ABD 和正三角形BCD 的中心，因为高相等，所以塔尖,P Q 之间的距离即为两个正三角形中心间的距离，
由平面几何易知，底边AB 的长为．
7． 2015【解析】由伪代码知，这是当型循环结构的算法，由于m 是正整数，所以最大值为2015．
89．∵1
()10f x x '=
+>，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数， ∴ln ,ln ,a a ka b b kb +=⎧⎨
+=⎩
即,a b 是方程ln x x kx +=的两个不等的正实数根，问题等价于方程ln 1x
k x
-=有两个不等的正根．
设ln ()x g x x =
，易得101k e <-<，∴1
(1,1)e
+． 10．2【解析】42sin ()1
x
g x x x =
++是奇函数，奇函数的最大值与最小值之和为0，
11．()2
2102
y x y +=≥【解析】由点在半圆上，所以1b =，而当点M 位于点
时，AGM ∆的面积最大可知，OM AG ⊥，即1OM AG k k ⋅=-，a
()2
2102
y x y +=≥． 12．设,,AC m CB n ==则3m n +=，在CDE ∆中，由余弦定理，知2
2
2
2cos DE CD CE CD CE DCE =+-⋅∠
222()393m n mn m n mn mn =+-=+-=-
又29(
),24m n mn +≤=当且仅当3
2
m n ==时，取“=”，所以32DE ≥，
又CDE ∆的外接圆的半径
2sin DE R DCE =
=≥
∠．
13．解：解：（1）将1tan 22α=代入22tan 2tan 1tan 2
α
αα
=
-得4tan 3α=（4分）所以22
sin 4 cos 3sin cos 1 αααα⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
，，又()
π0 2α∈，，
解得3cos 5
α=．（6分）
（2）易得π3π22αβ<+<，又5sin()13αβ+=,
所以()12cos 13αβ+=-，（8分）
由（1）可得4sin 5
α=，（10分）
所以()()
53124635sin sin βαβα=+-=⨯--⨯=>⎡⎤⎣⎦．
（14分）
14．证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，
又AB ⊄平面CDE ， CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ．（6分）（2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ⊂平面，所以AE CD ⊥，（8分）
又 ABCD CD AD ⊥正方形中，
，且AE AD A =，
AE AD ADE ⊂、平面，所以CD ADE ⊥平面，（12分）又CD ABCD ⊂平面，
所以ABCD ADE ⊥平面平面．（14分）。