【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：2.1.4平面与平面之间的位置关系(含答案解析)
【优选整合】人教A版高中数学必修二 2.1.4平面与平面之间的位置关系 学案3
高中必修二2.1.4平面与平面之间的位置关系学案3教学目标:1、了解两个平面的两种位置关系：相交和平行；2、掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，并能灵活应用；3、在引导学生观察、分析、抽象、类比得出空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念。
教学重点、难点:重点：两个平面平行的判定定理及性质定理。
难点：两个平面平行的判定定理及性质定理的灵活应用。
教学过程: 一、数学实验利用手中的两本书作为两个平面，摆一摆，两个平面有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？学生归纳：两个平面的位置关系：位置关系 公共点 符号表示图形表示知识点一 直线和平面的位置关系思考 如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中线段BC 1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？答案 三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．位置关系 直线在平面内 直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行公共点 无数个1个0个符号表示 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α图形表示知识点二 两个平面的位置关系思考 观察前面问题中的长方体，平面A 1C 1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？ 答案 两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．βαβ aα位置关系图示表示法 公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)类型一 直线与平面的位置关系例1 下列五个命题中正确命题的个数是( )①如果a ，b 是两条直线，a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何一个平面； ②如果直线a 和平面α满足a ∥α，那么a 与平面α内的任何一条直线平行； ③如果直线a ，b 满足a ∥α，b ∥α，那么a ∥b ；④如果直线a ，b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α，b ⊄α，那么b ∥α； ⑤如果a 与平面α上的无数条直线平行，那么直线a 必平行于平面α. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AA ′∥BB ′，AA ′在过BB ′的平面ABB ′A ′内，故命题①不正确；AA ′∥平面BCC ′B ′，BC ⊂平面BCC ′B ′，但AA ′不平行于BC ，故命题②不正确；AA ′∥平面BCC ′B ′，A ′D ′∥平面BCC ′B ′，但AA ′与A ′D ′相交，所以③不正确；④中，假设b 与α相交，因为a ∥b ，所以a 与α相交，这与a ∥α矛盾，故b ∥α，即④正确；⑤显然不正确，故答案为B.反思与感悟 空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．本题借助几何模型判断，通过特例排除错误命题．对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断，要注意多种可能情形．跟踪训练1 以下命题(其中a ，b 表示直线，α表示平面)，①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥α，b ∥α，则a∥b ；③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b .其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 如图所示在长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB ∥CD ，AB ⊂平面ABCD ，但CD ⊂平面ABCD ，故①错误；A ′B ′∥平面ABCD ，B ′C ′∥平面ABCD ，但A ′B ′与B ′C ′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．类型二平面与平面之间的位置关系例2 α、β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( )A．平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β答案 D解析A、B都不能保证α、β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α、β一定无公共点．反思与感悟判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．跟踪训练2 两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确.三、【练习与巩固】根据今天所学知识，完成下列练习练习一：<1>自学教材第49页例4，你能顺利的完成例4吗？<2>完成教材第49、50页练习.练习二：教材第51页习题2.1A组第3、8题；练习三：<1>若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系；<2>若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.四、【作业】1、必做题：习题2.1A组4（4）（5）（6）、6题，B组第2题；2、选做题：习题2.1B组第3题.。
【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：2.3.4平面与平面垂直的性质(含答案解析)
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是()A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.其中真命题的序号是()A．①②B．③④C．①④D．②③解析：①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误．答案：D3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析：由线面垂直的性质可得．答案：B5.如图所示，三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析：因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因为平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，所以PD⊥平面ABC.答案：B二、填空题6．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．解析：逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确的个数为________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊄α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a⊂α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b⊂α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．答案：48．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC.因为二面角αlβ为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC⊂β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 2三、解答题9.如图所示，在平行四边形ABCD中，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD 折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.因为平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD.因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE.10.(2015·广东卷)如图所示，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD.证明：(1)因为在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中点H，连接PH.因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH⊂平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.因为在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.B级能力提升1．如图所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.答案：B2．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM 有最小值，此时有CM ＝4×32＝23，所以PM 的最小值为27. 答案：273．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；(2)求证：AD ⊥PB.证明：(1)如图所示，设AC∩BE ＝O ，连接OF ，EC.由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ， 所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此，四边形ABCE 为菱形，所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因为，在△PAC 中，可得AP ∥OF.又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF.(2)由题意，知ED ∥BC ，ED ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，所以BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，所以AP ⊥BE.因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC.又AP∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面PAC ，所以BE ⊥平面PAC.。
人教版高中数学必修二 2.1.3—2.1.4平面与平面之间的位置关系学案+课时训练
人教版高中数学必修二第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系学案【学习目标】1．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)【要点梳理 夯实基础】知识点1 直线与平面的位置关系阅读教材P 48～P 49的内容，完成下列问题． 1.直线与平面的位置关系位置关系 定义 图形语言符号语言 直线在平面内有无数个公共点a ⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a ∥α(1)按公共点个数分类无公共点——直线和平面平行有无公共点直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线在平面内——有无数个公共点(2)按直线是否在平面内分类[思考辨析学练结合]1. “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？[答案]不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．()(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．()(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．()(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．()[解析](1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，故(1)错．(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．(3)错误．由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故(3)错．(4)错误．过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×知识点2平面与平面的位置关系阅读教材P 50“探究”以上的内容，完成下列问题．位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l有一条公共直线(无数个)直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外直线与平面相交直线与平面平行[思考辨析学练结合]1. 分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？[答案]这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.2. 三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定[解析]三棱锥的任两个面都相交，选A.[答案] A【合作探究析疑解难】考点1 直线与平面的位置关系[典例1]下列说法正确的是()A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥bD．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α[点拨]解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断．[解答]如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确．故选D.[答案] D[方法总结]空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.A．0B．1C．2 D．3[解析]易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.[答案] C考点2 平面与平面的位置关系探究1如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？【提示】如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．探究2若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？【提示】因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．探究3平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？【提示】不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.[典例2] 已知下列说法：①两平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．【精彩点拨】由平面间的位置关系逐一判断．【自主解答】①错．a与b也可能异面．②错．a与b也可能平行．③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点．④对．由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面．⑤错．a与β也可能平行．【答案】③④[方法总结]1．仔细分析题目条件，将符号语言或自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．2．线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．2．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．既不平行也不相交[解析]如果两平面的直线互相平行，可以有以下两种情况：[答案]C【学习检测巩固提高】题型一直线与平面的位置关系1．下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3[解析]如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.．[答案] C2.以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[解析]如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.[答案] A[反思与感悟]1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.3.以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④[解析]当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.[答案] A4.两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4[解析]①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.[答案] B[反思与感悟]题型三分类讨论思想5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.[解析] 决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q 的位置进行分类讨论.[解]由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D1，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：[反思与感悟]本例中由于点Q的位置不确定，导致截面形状不确定，故而采用分类讨论的方法来确定截面.另外，作两个平面的交线要注意直线的无限延伸性和平面的无限延展性，不要受所画图形的限制.人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系课时检测一、单项选择题1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面[答案] D2. 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交[解析]直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点. [答案] D3．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是() A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α[答案] D4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交[解析]直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．[答案] D5．若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的是() A．α内的所有直线与M异面B．α内不存在与M平行的直线C．α内存在唯一的直线与M平行D．α内的直线与M都相交[答案] B6. 下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点[解析]对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错. [答案] C7．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有() A．1条B．2条C．3条D．1条或2条[答案] D8．如图所示，用符号语言可表示为()A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α[解析]显然题干图中α∥β，且l⊂α.[答案] D9．平面α∥β，且a⊂α，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C10. 下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个[解析]②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误. [答案] B11. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行[解析]这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行. [答案] D12．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直[解析]若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确．所以选D．[答案] D二、填空题13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个．[答案] 314．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________________．[答案] b⊂α，b∥α或b与α相交15. 下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为_______.[解析]直对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误. [答案]①②16．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．[答案] 4,6,7,817．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．[解析](1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．[答案](1)平行(2)相交18．a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β那么平面α与平面β的位置关系是__________．[解析]由正方体模型易知α∥β或α与β相交．[答案] 平行或相交19．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为__________．[答案] 平行或相交三、解答题20．作出下列各题的图形．(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α.(2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.[解]如图所示：21．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．(1)如图，直线a在平面α内．(2)如图，直线a和平面α相交．(3)如图，直线a和平面α平行．[解](1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：(1)直线a在平面α内：(2)直线a与平面α相交：(3)直线a与平面α平行：22．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．[解]由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β．23．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．[解]图(1)由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)。
【人教A版】2021年高中数学必修二：2.1.4平面与平面之间的位置关系学案设计 新人教A版必修二
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系学习目标1.了解空间中直线与平面的位置关系;2.了解空间中平面与平面的位置关系;3.培养学生的空间想象能力.合作学习一、设计问题,创设情境观察长方体,你能发现长方体ABCD -A'B'C'D'中,线段A'B所在的直线与长方体ABCD -A'B'C'D'的六个面所在平面有几种位置关系吗?二、信息交流,揭示规律问题1:(1)什么叫做直线在平面内?(2)什么叫做直线与平面相交?(3)什么叫做直线与平面平行?(4)直线在平面外包括哪几种情况?(5)用三种语言描述直线与平面之间的位置关系.问题2:观察长方体,你能发现长方体ABCD -A'B'C'D'中,平面ABCD与A'B'C'D'具有怎样的位置关系吗?平面ABCD与ABB'A'的位置关系呢?三、运用规律,解决问题【例1】假设两条相交直线中的一条在平面α内,讨论另一条直线与平面α的位置关系.【例2】假设直线a不平行于平面α,且a⊄α,那么以下结论成立的是( )A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线【例3】求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线,那么这条直线在这个平面内.四、变式演练,深化提高1.以下命题中正确的个数是( )①假设直线l上有无数个点不在平面α内,那么l∥α.②假设直线l与平面α平行,那么l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.④假设直线l与平面α平行,那么l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.B.12.不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,给出以下三个命题:①△ABC中至|少有一条边平行于α;②△ABC中至|多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是.3.假设直线a⊄α,那么以下结论中成立的个数是( )(1)α内的所有直线与a异面(2)α内的直线与a都相交(3)α内存在唯一的直线与a平行(4)α内不存在与a平行的直线B.14.α,β是两个不重合的平面,在以下条件中,可判定α∥β的是( )A.α,β都平行于直线l,mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l,m是两条异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β五、反思小结,观点提炼本节主要学习直线与平面的位置关系,直线与平面的位置关系有三种:①直线在平面内 - -有无数个公共点,②直线与平面相交 - -有且只有一个公共点,③直线与平面平行 - -没有公共点.另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点.六、作业精选,稳固提高课本P51习题2.1A组第7,8题.参考答案二、问题1:(1)如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内.(2)如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交.(3)如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.(4)直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.(5)直线在平面内a⊂α直线与平面相交a∩α =A直线与平面平行a∥α问题2:(1)两个平面平行 - -没有公共点;(2)两个平面相交 - -有且只有一条公共直线.三、【例1】解:如图,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.用符号语言表示为:假设a∩b =A,b⊂α,那么a⊂α或a∩α =A.【例2】分析:如图,假设直线a不平行于平面α,且a⊄α,那么a与平面α相交.例如直线A'B与平面ABCD相交,直线AB,CD在平面ABCD内,直线AB与直线A'B相交,直线CD与直线A'B异面,所以A,B两项都不正确;平面ABCD内不存在与a平行的直线,所以应选D项.答案:D【例3】证明:设l与P确定的平面为β,且α∩β =m',那么l∥m'.又知l∥m,m∩m' =P,由平行公理可知,m与m'重合.所以m⊂α.四、1.分析:如图,我们借助长方体模型,棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外,但棱AA1所在直线与平面ABCD相交,所以命题①不正确;A1B1所在直线平行于平面ABCD,A1B1显然不平行于BD,所以命题②不正确;A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD,但直线AB⊂平面ABCD,所以命题③不正确;l与平面α平行,那么l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确.答案:B2.分析:如图,三点A,B,C可能在α的同侧,也可能在α两侧,其中真命题是①.答案:①3.分析:∵直线a⊄α,∴a∥α或a∩α =A.如图,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A项.答案:A点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用的空间模型),另外考虑问题要全面,即注意发散思维.4.分析:如图,分别是A、B、C三项的反例.答案:D点评:判断正误要结合图形,并善于发现反例,即注意发散思维.。
2021年高中数学第二章2.1.4平面与平面之间的位置关系学案新人教A版必修2
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2．1.4平面与平面之间的位置关系[目标] 1.会判断直线与平面、平面与平面的位置关系；2.会用符号语言和图形语言表示直线与平面、平面与平面的位置关系．[重点] 直线与平面、平面与平面位置关系的判断．[难点] 直线与平面、平面与平面位置关系的判断．知识点一直线与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有三种(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．2．符号表示：直线l在平面α内，记为l⊂α；直线l与平面α相交于点M，记为l∩α＝M；直线l与平面α平行，记为l∥α.3．图示：直线l在平面α内，如下图(1)所示；直线l与平面α相交于点M，如下图(2)所示；直线l与平面α平行，如下图(3)所示．[答一答]1．假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在的直线与地面有何关系？提示：直线在平面内．2．直线l在平面α外，l就与α无公共点吗？提示：直线l在平面α外包含两种情况：l与α平行，l与α相交．若l与α相交，则有唯一的公共点．所以直线l在平面α外，l与α不一定没有公共点．3．若直线l上有无数个点都在平面α外，则直线l与平面α的位置关系是什么？提示：相交或平行．知识点二平面与平面的位置关系[填一填]1．位置关系：有且只有两种(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．2．符号表示：两个平面α，β平行，记为α∥β；两个平面α，β相交于直线l，记为α∩β＝l.3．图示：两个平面α，β平行，如下图(1)所示；两个平面α，β相交于直线l，如下图(2)所示．[答一答]4．两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以，无公共点．5．两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以，有无数个公共点．类型一直线与平面之间的位置关系[例1]下列命题中正确的是()A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥bD．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α[解析]如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确．故选D.[答案] D判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据公理给出严格证明．另外，借助模型(如长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法．[变式训练1]如图所示，A′B与长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．类型二平面与平面之间的位置关系命题视角1：两平面位置关系的判断[例2]如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交[解析]可根据题意作图(如图①②)，判断．[答案] C两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将文字语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形作出判断.[变式训练2]α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(C)A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥βD．以上说法均正确解析：根据两平面相交和平行的定义进行判断，A，B都不能保证α，β无公共点，正确答案为C.命题视角2：两平面位置关系的作图[例3]完成下列作图．(1)在图中画出两个平行平面．(2)在图中画出两个相交平面．(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交．(4)在图中画出三个两两相交的平面．[解]动手作图对于空间想象能力的培养大有帮助，也能够更深刻地理解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.另外注意空间中不同情况的讨论，这也是一种分类讨论思想的具体体现.[变式训练3](1)两个平面将空间分成几部分？(2)将一个三棱柱的各面延展成平面后，这些平面可将空间分成几部分？解：(1)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．(2)如图，将三棱柱的三个侧面延展成平面后，可将空间分成7部分，然后将三棱柱的两底面延展成平面，那么每一个平面将这7部分一分为二，故共分成3×7＝21部分．1．过平面外两点，可作这个平面的平行线条数为(D)A．1条B．2条C．无数条D．不确定解析：可能有1条，也可能没有．2．若a∩α＝A，则直线a与平面α内的直线的可能关系是(B)A．相交B．相交或异面C．异面与平行D．相交或平行3．在如图正方体中，与平面AA1C1C平行的棱有BB1和DD1，与棱BB1平行的平面有平面AD1和平面DC1.4．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为①②.解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也是有无数个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．5．指出如下图所示的图形的画法是否正确，若不正确，则画出正确的图形．解：都不正确．正确的画法如下图所示．——本课须掌握的两大问题1．直线和平面的位置关系(1)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交，统称直线在平面外，可以用记号a⊄α来表示a∥α、a∩α＝A这两种情形．(2)一般地，直线a在平面α内，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α平行时，把a画成与表示平面α的平行四边形的水平边平行．2．两个平面的位置关系两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．。
高中数学人教A版2019必修第二册 空间点 直线 平面之间的位置关系 同步练习(解析版)
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.34.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固答案1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条()A.相交B.异面C.相交或异面D.平行【答案】C【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行【答案】C【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.3.下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【答案】D【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l()A.相交B.平行C.垂直D.异面【答案】C【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是.【答案】b与α平行或相交或b在α内【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b 时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).7.如图的直观图,用符号语言表述为(1),(2).【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M8.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内, 故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.能力提升9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条直线与a平行C.存在无数条直线与a平行D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】D【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.因为a,B在同一平面γ内.所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.10.已知下列说法:①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)【答案】③④【解析】①错.a与b也可能异面.②错.a与b也可能平行.③对.因为α∥β,所以α与β无公共点.又因为a⊂α,b⊂β,所以a与b无公共点.④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.⑤错.a与β也可能平行.11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.【解析】a∥b,a∥β,理由:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,因为α∥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b无公共点.又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.因为α∥β,所以α与β无公共点,又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.素养达成12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC 与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.【解析】平面ABC与β的交线与l相交.证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.所以点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,所以平面ABC与β的交线与l相交.。
高一数学人教A版必修2课后练习2.1.4平面与平面之间的位置关系及解析
课后导练基础达标1若三个平面两两相交,则它们的交线的条数是( )A.1B.2C.3D.1或3解析：若这三个平面的交线重合,则有一条,若任何两个平面的交线不重合,则有三条,例如三棱柱有三条交线.答案：D2正方体的六个面中相互平行的平面有( )A.2对B.3对C.4对D.5对解析：因为三对对面分别平行.答案：B3若两个平面相互平行,则分别在这两个平面内的直线的位置关系是( )A.平行B.异面C.相交D.平行或异面解析：如图：平行异面答案：D4空间中A、B、C、D、E五个点,已知A、B、C、D在同一平面内,B、C、D、E在同一平面内,那么这五个点( )A.共面B.不一定共面C.不共面D.以上都不对解析：当B、C、D三点共线时,则五点不一定共面；当B、C、D三点不共线时,则它们共面. 答案：B5由下列条件不一定得到平面α∥平面β的一个是( )A.α内有两条相交直线分别平行于βB.α内任何一条直线平行于βC.α内有无数条直线平行于βD.α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线解析：若α内有无数条直线平行于β,则α与β也可能相交(如图) .答案：C6下列命题中,正确的命题是( )①三个平面把空间最多可以分成8部分②若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a与b相交”与“α与β相交”可互推③若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且a∩b=P,则P∈l④若n条直线中任意两条共面,则这n条直线共面A.①②B.②③C.③④D.①③解析：②中a与b相交⇒α与β相交,但反之不对.如图：④不一定,例如,棱锥的侧棱,所以错.答案：D7若三个平面把空间分成6部分,那么三个平面的位置关系是_____________.答案：有两个平面平行且都与三个平面相交或三个平面两两相交且交线重合8已知平面α、β,直线a 、b,且α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则直线a 与直线b 具有怎样的位置关系.解：直线a 与b 的位置关系只有平行或异面两种,因为α∥β,由平面平行的定义知α与β没有公共点,所以直线a 与直线b 也没有公共点,如图所示,平面ABCD 与平面A′B′C′D′中的直线,如直线AB 与A′B′平行,AB 与B′C′异面.综合应用9如果三个平面两两相交有三条交线,则三条交线的位置关系是______________.解析：如图：答案：平行或相交一点10直线a 、b 都在平面α外,且a ∥α,b ∥β,则α与β的位置关系是___________.答案：平行或相交11若直线a 、b 为异面直线,则分别经过直线a 、b 的平面中,相互平行的有__________对. 答案：有且只有一拓展探究12已知平面α∥平面β,A,C ∈α,B,D ∈β,直线AB 与CD 交于S,AS=8,BS=9,CD=34,求CS 的长.解：分类讨论(1)当交点S 在两面的同侧时(如图),∵α∥β,∴α与β没有公共点.又AC ⊂α,BD ⊂β,∴AC 与BD 无公共点.又知AC 与BD 都在平面BDS 内,∴AC ∥BD,∴SDCS BS AS =,∴CSSC -=3498, ∴SC=272.(2)当交点S 在两面之间时(如图),同(1)可知SDCS BS AS =, ∴CS CS -=3498, ∴CS=16.故CS=16或272.。
【金版学案】高中数学(人教A版)必修二练习：章末复习课2(含答案解析)
章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不要随意推广平面几何中的结论平面几何中有些概念和性质，推广到空间中不一定成立．例如“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“垂直于同一条直线的两条直线平行”等性质在空间中就不成立．2．弄清楚空间点、线、面的位置关系解决这类问题的基本思路有两个：一是逐个寻找反例作出否定的判断或逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，要注意定理应用准确、考虑问题全面细致．3．不要忽略异面直线所成的角的范围求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是(0°，90°]．两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．4．透彻理解直线与平面的关系直线与平面位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与不在平面内(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交)．5．使用判定定理时不要忽略条件应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点．专题一共点、共线、共面问题(1)证明共面问题．证明共面问题，一般有两种证法：一是先由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是先分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合．(2)证明三点共线问题．证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上．(3)证明三线共点问题．证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．[例1]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上．证明：(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH.所以EG与FH必相交，设交点为M.而EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即EG与HF的交点在直线AC上．归纳升华证明共点、共线、共面问题的关键是合理地利用三个公理，做到合理、恰当地转化．[变式训练]三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必相交于同一点．证明：如图所示，因为α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a⊂γ，b⊂γ.因为直线a和b不平行，所以a，b必相交．设α∩b＝P，则P∈a，P∈b.因为a⊂β，b⊂α，所以P∈β，P∈α.又α∩β＝c，所以P∈c.所以a，b，c三条直线必相交于同一点．专题二空间中的位置关系(1)空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面．(2)空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交．(3)两个平面的位置关系：平行、相交．[例2](2014·辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．答案：B归纳升华若要否定一个结论，则只要举出一个反例即可；若要肯定一个结论，则需要进行严密的逻辑推理．[变式训练](2014·浙江卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：A中，由m⊥n，n∥α，可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α，可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.答案：C专题三平行问题和垂直问题线线、线面、面面的平行与垂直是本章的重点，它包含了相关平行与垂直的证明，利用平行与垂直解决线、面等问题．其判定与性质之间并非孤立的，而是存在线线、线面、面面间平行与垂直关系的相互转化．在高考中，常以解答题形式出现，其中线面平行和垂直是重中之重．[例3]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)，知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.归纳升华1．平行关系的转化．面面平行的性质是线线平行的判定要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思想和方向．2．垂直关系的转化．面面垂直的性质是线线垂直的判定在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决．当有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直．[变式训练](2015·江苏卷)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC ＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1.又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.专题四空间角的求解空间角一般指两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角．[例4]如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解：(1)因为A′C′∥AC，所以AO与A′C′所成的角就是∠OAC.因为OC⊥OB，AB⊥平面BC′，所以OC⊥AB且AB∩BO＝B.所以OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO，所以OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，sin∠OAC＝OCAC＝12，所以∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图所示，作OE⊥BC于点E，连接AE，因为平面BC′⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △OAE 中，OE ＝12，AE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52， 所以tan ∠OAE ＝OE AE ＝55.(3)因为OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，所以OC ⊥平面AOB. 又因为OC ⊂平面AOC ，所以平面AOB ⊥平面AOC. 即平面AOB 与平面AOC 所成角的度数为90°.归纳升华求空间角的问题，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求空间角的解题步骤：①找出这个角；②说明该角符合题意；③构造出含这个角的三角形，解三角形，求出角．[变式训练] 如图所示，平面角为锐角的二面角αEFβ，A ∈EF ，AG ⊂α，∠GAE ＝45°，若AG 与β所成角为30°，求二面角αEFβ的大小．解：作GH ⊥β于H ，作HB ⊥EF 于B ，连接GB.则GB ⊥EF ，∠GBH 是二面角的平面角． 又∠GAH 是AG 与β所成的角， 设AG ＝a ，则，GB ＝22a ，GH ＝12a ， sin ∠GBH ＝GH GB ＝22.所以∠GBH ＝45°，即二面角αEFβ的大小为45°.专题五转化与化归思想在立体几何中的应用立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想．(1)线线、线面、面面的位置关系，通过转化，使它们建立联系，如面面平行线面平行线线平就是通过这种联系和转化得到解决的．(2)通过平移，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题．(3)通过添加辅助线，将立体问题转化为平面问题．[例5]如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O 上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F.求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.证明：(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA垂直于圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)由(1)，知AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又因为AF⊥PB，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.归纳升华证明垂直关系时，注意面面垂直、线面垂直与线线垂直的相互转化．一般地，面面垂直问题可转化为线面垂直问题，线面垂直问题可转化为线线垂直问题．[变式训练]在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点，过E作EF⊥PB于点F.(1)求证：PA∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接EO.因为底面ABCD是正方形，所以O是AC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO.又因为EO⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.(2)因为PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC.因为PD＝DC，所以△PDC是等腰直角三角形．又因为DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC.因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形，所以DC⊥BC，所以BC⊥平面PDC.又因为DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE.所以DE⊥平面PBC.又因为PB⊂平面PBC，所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB，且DE∩EF＝E，所以PB⊥平面EFD.。
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第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
A级基础巩固
一、选择题
1．与同一平面平行的两条直线()
A．平行B．相交
C．异面D．平行、相交或异面
解析：与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面．
答案：D
2．过平面外一条直线作平面的平行平面()
A．必定可以并且只可以作一个
B．至少可以作一个
C．至多可以作一个
D．一定不能作
解析：因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行．当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．
答案：C
3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确．
答案：D
4．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()
A．都平行B．都相交
C．在两平面内D．至少和其中一个平行
解析：若该直线不属于任何一个平面，则其与两平面平行；若该直线属于其中一个平面，则其必和另一个平面平行．
答案：D
5．下列命题中，正确的命题为()
A．若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α
B．若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C．若a⊂α，则a与α有无数个公共点
D．若a⊄α，则a与α没有公共点
解析：直线与平面平行的定义是直线与平面没有公共点，而直线不在平面内包括直线与平面平行和直线与平面相交．
答案：C
二、填空题
6．在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
答案：3
7．若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个．
解析：
当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个．
答案：1
8．A，B是直线l外两点，过A，B且与l平行的平面有________个．
解析：当直线AB与l相交时，有0个；当直线AB与l异面时，有1个；当直线AB∥l 时，有无数个．
答案：0，1或无数个
三、解答题
9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系．
解：B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是：
B1C是平面BB1C1C内，B1C∥平面AA1D1D，B1C与平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD，平面A1B1C1D1都相交．
D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交．
10．已知：直线a∥直线b，a∩平面α＝P，求证：直线b与平面α相交．
证明：如图所示，因为a∥b，
所以a和b确定平面β.
因为a∩α＝P，
所以平面α和平面β相交于过点P的直线l.
因为在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，
所以l必与b相交，
设b∩l＝Q.
又b不在平面α内，
故直线b和平面α相交．
B级能力提升
1．给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是()
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．A．0B．1C．3D．4
解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D 与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．
对于②，在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的．对于③，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的．对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错．答案：A
2．给出下列命题：
①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；
②两个平面的交线可能是一条线段；
③经过空间任意三点的平面有且只有一个；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．
其中正确命题的序号为________．
解析：两个平面相交，则两个平面就是一条公共的交线，故①②错误；若空间中的任意三点在一条直线上，则经过这三点就有无数个平面，故③错误；④是正确的．答案：④
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．
证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，
所以EC与B1B不平行，则延长CE与BB1必须相交于一点H，
所以H∈EC，H∈B1B.
又知B1B⊂平面ABB1A1，CE⊂平面CDFE，
所以H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，
故平面ABB1A1与平面CDFE相交．。