渐开线齿轮的精确建模研究

图 3 渐开线的 Excel 数据文件 2
Edge，通过“按表创建曲线”命令，选择已创建好的螺旋线 的 Excel 数据文件，在 Solid Edge 中得到高精度的螺旋线。 （4）通过“扫掠除料”命令，生成一个齿槽，扫掠的 路径即为斜齿圆柱齿轮的螺旋线。需要说明的是，应当分 别在分度圆柱、齿顶圆柱及齿根圆柱上创建三条螺旋线作 为扫掠路径，才能正确生成渐开线齿槽。 （5）通过“阵列”命令，得到斜齿圆柱齿轮的主体。 （6）根据设计要求创建其他结构。 （7）修饰模型，完成渐开线斜齿圆柱齿轮的建模。 3 渐开线直齿圆锥齿轮的建模 3.1 创建与轴线垂直两个端面的数学模型 为了方便渐开线直齿圆锥齿轮的建模，需要在与轴线 垂直的两个端面上创建齿轮轮廓。两个端面上的数学模型， 如图 3 所示。
设计与研究
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渐开线齿轮的精确建模研究
史艳红 魏保立 张思婉 王兰兰
（郑州铁路职业技术学院 机电工程系，郑州 451460）
摘 要：研究了渐开线直齿圆柱齿轮、渐开线斜齿圆柱齿轮、渐开线直齿圆锥齿轮的精确建模。通过创建渐 开线齿轮数学模型和 Excel 数据文件，利用 Solid Edge 平台与 Excel 数据的无缝对接，设计出高精度的渐开线及螺 旋线。根据齿轮设计要求，选择相应的建模方法，最终实现了渐开线齿轮的精确建模。 关键词：计算机辅助设计 渐开线齿轮 精确建模
齿轮传动可以用来传递空间任意两轴间的运动和动力， 效率高，工作可靠，寿命长，是现代机械中应用最广泛的 机构之一。按照轮齿齿廓曲线的形状，以渐开线齿轮传动 应用最为广泛。 要制造出高速化、 低噪音、 高可靠性的齿轮， 已经不能依赖于传统方法。随着 CAD/CAE/CAM 技术在产品的 设计、分析及制造中的广泛应用，要对齿轮进行数控加工， 首先需要完成齿轮的精确建模。在渐开线齿轮建模中，渐开 线的精度至关重要，而高精度的渐开线是以正确的数学模型 为基础的。数学建模是一项复杂的创新活动，要基于建模假 设的合理性原则，正确区分常量和变量，已知量和未知量， 搞清它们之间的关系，找出问题的关键，建立各个量之间的 等式或不等式关系，列出表格，输出信息构造模型。本文主 要根据机械设计基础知识和数学分析的方法，建立渐开线及 螺旋线上一系列点坐标的参数方程，利用 Excel 计算处理数 据方面的优势，通过在 Excel 中编程处理，得到一系列点坐 标的电子表格，设计出高精度的渐开线及螺旋线，并在此 基础上完成渐开线直齿圆柱齿轮、渐开线斜齿圆柱齿轮、 渐开线直齿圆锥齿轮的精确建模。建模后，通过数控加工 得到高精度的齿轮，以满足设备对齿轮精度的要求。 1 渐开线直齿圆柱齿轮的建模 1.1 创建渐开线的数学模型 要生成高精度的渐开线，需要得到渐开线上一系列点的 坐标。图 1 表达了渐开线的形成，其中 rb 为基圆半径，αK 为 压力角，θK 为展角，rK 为向径。根据渐开线的形成过程，可 以推出 θK 是 αK 的函数， 得到以 αK 为参数的渐开线极坐标方程 ： = = α K tan α K − α K θ K inv （1） rK = rb / cos α K 由于分度圆处的压力角为 20°，因而可以求出： 式中，m 为齿轮的模数，z 为齿数。 （2）
（3）
图 2 创建的 Excel 数据文件 251 期
2.2 创建渐开线斜齿圆柱齿轮的模型 （1）通过“拉伸”或“旋转”命令，生成斜齿圆柱齿 轮的毛坯。 （2）按照直齿圆柱齿轮渐开线的生成方法，得到斜齿 轮端面渐开线，绘制其他图线，并通过适当的编辑命令， 在斜齿轮端面创建一个齿槽的轮廓。 （3）打开螺旋线的 Excel 数据文件，输入斜齿圆柱齿 轮的 β、 mn 和 z， 根据不同的 X 值， 得到螺旋线上一系列点的 Y、 Z 直角坐标值。螺旋线是空间曲线，要把 X 值及计算的 Y、 Z 坐 标 值 分 别 复 制 到 工 作 表 中 A、B、C 三 列。 打 开 Solid
由于 Solid Edge 中“按表创建曲线”命令采用的是直 角坐标， 因此在求出展角和向径之后， 还应换算为直角坐标。 转换时，根据需要选择参考平面。图 1 中选择 Y-Z 平面作 为参考平面。为了建模方便，坐标原点选在基圆圆心处，Y 轴通过渐开线的起点。于是，得到渐开线直角坐标方程为：
= rK × cos θ K Y = rK × sin θ K Z
图 1 渐开线的形成
这样，根据不同的压力角，就可以得到渐开线上一系 列点的直角坐标，完成渐开线数学模型的创建。
1.2 创建渐开线 Excel 数据文件 由于 Excel 电子表格技术在数据处理方面有着极大优 势，而 Solid Edge 的数据接口可以将 Excel 电子表格嵌入 其中，并利用 Excel 电子表格中的数值生成曲线。因此， 可以在渐开线数学模型的基础上，通过 Excel 的编程处理， 得到渐开线上一系列点的坐标值，生成渐开线的 Excel 数 据文件，从而在 Solid Edge 生成满足设计要求的渐开线。 根据上述渐开线的数学模型，创建的 Excel 数据文件 如图 2、图 3 所示。直齿轮的原始参数模数 m 和齿数 z 在 图 2 中用红色标记，可以根据设计要求进行修改。图 2、图 3 即显示了不同 m、z 下的自动计算结果，还显示按照标准 直齿圆柱齿轮尺寸计算公式计算的分度圆直径 d、基圆直径 db、齿顶圆直径 da 和齿根圆直径 df。
工作表的 H 列、I 列是根据渐开线直角坐标方程计算的 渐开线上一系列点的 Y、Z 坐标值，而 Solid Edge 中“按表 创建曲线”命令创建的是空间曲线，必须有 X、Y、Z 三个方 向的坐标值，且作图用的三个坐标值必须位于 Excel 电子表 格中的前三列。因此，需要将计算的 Y、Z 坐标值分别复制 到工作表中 B、C 两列，再将 A 列全部赋予 0。压力角精度采 用千分之一，足以满足生成高精度渐开线的需要。考虑到表 格较长，图 2、图 3 中的工作表将中间行隐藏后显示。 1.3 创建渐开线直齿圆柱齿轮的模型 （1）打开渐开线的 Excel 数据文件，输入直齿圆柱齿 轮的 m、z，得到渐开线上一系列点的直角坐标值； （2）打开 Solid Edge，通过“按表创建曲线”命令， 选择已创建好的 Excel 数据文件，屏幕上出现一条渐开线； （3）按照 Excel 数据文件中计算基圆、分度圆、齿顶 圆和齿根圆绘制图形，通过适当的编辑命令，完成直齿圆 柱齿轮端面轮廓的创建； （4）通过“拉伸”得到直齿圆柱齿轮的主体； （5）根据设计要求创建其他结构； （6）修饰模型，完成直齿圆柱齿轮的建模。 2 渐开线斜齿圆柱齿轮的建模 2.1 创建螺旋线的数学模型 渐开线斜齿圆柱齿轮的建模中，渐开线的数学模型及 Excel 数据文件创建与上述的直齿圆柱齿轮相同，需要建立 斜齿圆柱齿轮螺旋线的数学模型。 将坐标原点选在基圆圆心处，Y 轴通过渐开线的起点， X 轴沿轴向方向，得到分度圆柱上螺旋线（右旋）各点直角 坐标值为：