第八章稳恒电流的磁场

51第八章 稳恒磁场§8-1、电流的磁场【基本内容】一、毕奥—萨伐尔定律设有通电导线L ，在L 上以电流元l Id ，l Id 到场点P 的矢径为r，如图6.1，则l Id 在场点所产生的B d为：304r r l Id B d⨯=πμ 大小：20si n 4r Idl dB θπμ=；方向：由l Id 与r的右手定则确定。

真空中磁导率)/(/104270A m T A N ⋅⨯=-πμ二、磁场叠加原理：在若干个电流或电流元产生的磁场中，某点的磁感应强度等于各个电流或电流元单独存在时在该点所产生的磁感应强度的矢量和。

即∑=iiB B或⎰=B d B三、常见载流体的磁场分布1、载流直导线的磁场分布θπμsin 40aIB =半无限长直导线的磁场分布：aI B πμ40=无限长直导线的磁场分布： a I B πμ20=2、通电圆环轴线上的磁场 2/32220)(2x R I R B +=μ 圆心处x=0：RI B 200μ=图不图6.1r∆SI 0稳d BPm Id lIθ图6.1q v I AFB R21图6.3x xPR 0I图6.2θ0aPθ52 对长为L 的圆弧：0022B B R L B πθπ==3、长直螺线管、密绕螺绕环内的磁场nI B 0μ=【典型例题】利用磁场叠加原理求磁场毕萨定律是计算电流产生磁场的一般方法，应按矢量积分的方法计算。

磁场叠加原理：⎰∑==B d B B B ii ,步骤：1、取电流元l Id 并求l Id 产生的B d ，2、由磁场叠原理求B：（1） 若各B d的方向相同，则直接积分⎰=dB B ； （2） 若各B d的方向不相同，则正交分解后积分j B i B B dB B dB B y x y y x x+=⇒==⎰⎰,【例8-1】 闭合载流导线弯成如图例6-1所示的形状，载有电流I ，试求：半圆圆心O 处的磁感应强度。

【解】 闭合导线是由直导线和圆弧线组成，根据载流直导线和圆弧导线产生的磁场公式，可求得各段直线和圆弧线在O 点产生的磁感应强度分别为：0==CD AB B BRI R I B B FA DE ⋅=⋅==πμππμ1624sin 2400 方向：垂直纸面向外。

RI R I B EF ⋅=⋅⨯=πμππμ824sin 24200方向：垂直纸面向外。

RIRIBBCO422100μμ=⨯=⋂方向：垂直纸面向里。

)2(4200-=--=⋂ππμRIB B BB DE EF BCO方向：垂直纸面向里。

【例8-2】 在一半径R 的无限长半圆柱形金属薄片中 ，自上而下地有电流I 通过，如图例6-2所示，试求圆柱轴线上任一点P【解】 建立例6-2图解坐标系，取宽为ｄＬ的无限长直导线，其通有电流 dl RIdI π=该电流元在Ｏ处产生磁感应强度B d大小：θπμπμd RI R dI dB 20022==R例6-1图例D0AFExP 4R2RRRBC IIR 例6-1图例6DBCAFExP+Qb4R2RRR 例6-2图Rθ例6-2图解xd BθdLIy53方向：各B d方向不同。

iRI B d RI B dBcoc dB RId R I B dB dB y y x x 20020200200cos 2sin 2sin πμθθπμθπμθθπμθππ-===⇒-=-=-=⇒-=⎰⎰【例8-３】 一内半径为a ，外半径为b 的均匀带电圆环，绕过环心O 且与环平面垂直的轴线以角速度ω逆时针方向旋转，如图例6-３。

环上所带电量为＋Ｑ，求环心O 处的磁感应强度。

【解】 该圆环的面电荷密度)(22ab Q-=πσ在圆环上取半径为ｒ，长为dr 的小圆环，如图例6-3图解： 其带电量：rdr dq πσ2=当带电圆环旋转时，产生圆形电流：rdr dI σωπω==2该圆形电流在O 点处产生的磁感应强度大小：dr rdI dB σωμμ00212==方向：垂直纸面向外。

环心O 处的磁感应强度)(2)(2121000b a Q a b dr B ba +=-==⎰πωμσωμσωμ 方向：垂直纸面向外。

§8-2、磁场定理【基本内容】一、磁场的高斯定律1、磁感应线磁感应线上每一点的切线方向表示该处磁感应强度的方向；磁感应线的疏密程度表示磁感应强度的大小；磁感应线是无头无尾的闭合曲线。

2、磁通量：垂直通过某一面积元dS 的磁感应线的根数。

dS B S d B d m θφcos =⋅=通过有限面积S 的磁通量则为：dS B S d B SSm ⎰⎰⎰⎰=⋅=θφcos3、磁场的高斯定理通过任意闭合曲面的磁通量为零：x例6-2图D例6-2图解R dLEd B Iy2Rθθ例6-3图例6-3图解+Qωdrωrb a54 0=⋅⎰⎰SS d B意义：稳恒磁场是无源场，自然界中没有磁单极存在。

二、安培环路定理1、定理的内容：在稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合路径的线积分等于通过该闭合环路所包围的的所有电流强度I 的代数和的μ0倍。

∑⎰=⋅内I l d B l0μ⎰⋅ll d B：磁感应强度沿任意闭合回路的积分（环流）。

∑内I：闭合回路所包围的电流的代数和。

I 的正负：由所取回路的方向按右手定则确定。

2、定理的意义稳恒磁场是一非保守场，是有旋场。

【典型例题】用安培环路定理可求解某些磁场的B，这些磁场分布有对称性，即激发磁场的电流分布，要有一定的对称性。

例如（1）无限长均匀载流圆柱体，无限长均匀载流圆柱面和无限长载流直线产生的磁场B在垂直于圆柱轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r 的圆周上各点的B的大小相等，方向沿该点的切线。

若安培环路取这样的圆周，且通过需求B 的点，则可用安培环路定理方便地求出该点的B（2）载流长直螺线管，除去边缘效应管内是匀强磁场，方向沿螺线管的轴线，由于磁场分布的对称性，可方便地用安培环路定理求出这种情况中的B。

（3）螺绕环，螺绕环内的磁力线是以环心为圆心的同心圆，这种情况也可用安培环路定理求出B。

步骤：（1）选取积分回路l ，（2）求B沿l 的环流⎰⋅ll d B ，（3）求l 所包围电流强度的代数和，（4）由∑⎰=⋅内I l d B l0μ 求B 。

【例8-4】如例6-4图所示，在半径为R 长直圆柱形导体内，开一个半径为r 圆柱形空洞，空洞的轴线与导体的轴线平行，相距为d ，在导体中沿轴线方向通有均匀分布的电流，其电流密度为j 。

（1） 求O 、/O 处的磁感强度； （2） 证明空腔内磁场均匀。

【解】 将此导体等效地看作一个半径为R ，电流均匀分布的大圆柱体，与另一个半径为r 、电流密度55大小相等、方向相反的小圆柱体组合而成，而磁感应强度应为两圆柱体的磁感应强度叠加而成。

（1）O 轴上一点的磁感应强度为2010B B B O +=10B 和20B分别为大圆柱和小圆柱在O 轴上一点产生的磁感应强度，如图例6-4题解，由安培环路定理求得djr r j d d I B B 222,020********μππμπμ=⋅===故 djr B 2200μ=，方向：垂直于/OO 轴向上。

/O 轴上一点的磁感应强度为/20/10/B B B O +=/10B 和/20B 分别为大圆柱和小圆柱在/O 轴上一点产生的磁感应强度。

/10B 22202010jdd j d d I μππμπμ=⋅==0/20=B故 /10/0B B =20jdμ=，方向：垂直于/OO 轴向上。

（2） 设空腔内任一点P 距O 为1r ，距/O 为2r ，明显d r r=-21。

大圆柱和小圆柱在P 点的磁场大小为1B 22102110jr r j r μππμ=⋅=，2B 22202220jr r j r μππμ=⋅= 方向垂直于1r 和2r ，可得1B 102r j ⨯=μ，2B 20)(2r j ⨯-=μP 点的合磁感强度为21B B B +=102r j ⨯=μ+20)(2r j ⨯-μ=⇒B d j r r j ⨯=-⨯2)(20210μμ大小 =B jd 2μ，方向垂直于/OO 轴向上。

例6-4图Or题解例6-4图OO //ROdr 1r 2BB 1j-jd B 2j56 【讨论】这种设想用用反向电流填充空腔的方法称为补偿法，它使不对称的系统变成两个对称系统的组合，便于利用已知的结果。

【例8-5】 一根半径为R 的长直圆柱形导体载有电流I ，导体内电流均匀分布。

如图例6-5所示。

在圆柱半径和轴/OO 所确定的平面内有一假想的矩形平面S ，长为L ，宽为R 。

求在何位置时，通过S 的磁通量最大。

【解】以/OO 为轴的圆环为安培环路，当圆环半径R r <时，有220r RI l d B ππμ⋅=⋅⎰ 可求得202R Ir B πμ=同样，当R r >时，rIB πμ20=设矩形平面S 的一边与轴线相距x ，则通过S 的磁通量为 R R x IL x R R IL Ldr r I Ldr R Ir BdSS d B R x R Rx ++-=⋅+⋅==⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+ln2)(42202220020πμπμπμπμ舍去）或()15(21)15(210012202122020R x R x R Rx x R x IL RILx dx d +-=-=⇒=-+⇒=+⋅+-⇒=Φπμπμ 故当R x )15(21-=时，磁通量有最大值。

【讨论】根据磁场的特征，随着x 的增加，磁通量逐渐增加，当x 达到某一值时，磁通量开始减少，直至为0。

因此，本题求极大值时，不必求二阶导数。

§8-3、磁场对运动电荷和电流的作用【基本内容】一、磁场对载流导线的作用1、安培定律B l Id F d⨯=⎰⨯=LB l Id F+I IO /dr OO /dr 1r 2B 1B j-jj题解例6-4图B 2例6-5图xLROO /IR57大小：θsi n IdlB dF =； 方向：由B l Id⨯的方向决定。

若导线上的B 处处相同，则B L I F⨯=2、电流强度“安培”的定义：设在真空中，两根无限长的平行直导线相距1米，通有大小相同的稳恒电流I ，若导线每米长度上所受的力为2×10-7N ，则每根导线中电流强度的大小规定为1“安培”。

二、磁场对载流线圈的作用1、通过闭合线圈的磁矩m P：n S I P m∆=0I 0为通过线圈的电流强度、ΔS 为线圈的面积、n为线圈的法向单位矢量，如图6.4。

2、匀强磁场中的载流线圈磁矩为m P 的线圈在均匀磁场中：（1）0=合F ，无平动加速度；（2）B P M m ⨯=，若0≠M ，则产生转动。

讨论： （1） 当2/πθ=时，M 最大。

（2） 当0=θ时，M=0，线圈在稳定平衡位置；当πθ=时，M=0，线圈在不稳定平衡位置。