2014年阳江市普通高中期末考试高二数学(理)试题

图12014年普通高中高二调研测试数 学（理）本试卷共4页，20小题，满分150分，测试用时120分钟。

不能使用计算器． 注意事项：1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上．2． 做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效． 5． 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：锥体的体积公式h S V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈ i 是虚数单位，=+-i25A ．i +2B ．i +-2C ．i -2D ．i --2⒉已知点)0 , 4 , 3(A 和向量)1 , 2 , 1( -=a ，点) , , 0(n m B 在yOz 平面上，使向量//a ，则点B 的坐标为A ．)3 , 10 , 0(-B ．)3 , 10 , 0(-C ．)3 , 2 , 0(-D ．)3 , 2 , 0(- ⒊7)21(x -的展开式的第4项的系数为A ．280B ．560C ．280-D ．560-⒋某几何体的三视图如图1所示（图中标记的数据 为2或4），则该几何体的体积为 A ．π88+ B ．π816+ C ．π168+ D ．π1616+ ⒌“2πϕ=”是“函数)sin(ϕ+=x y 的图象关于y 轴对称”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件⒍双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的顶点为1A 、2A ，焦点为1F 、2F ，若1A 、2A 是线段21F F 的三等分点，则双曲线的离心率=eA ．23B ．2C ．25D ．3⒎设R a ∈，若函数ax e y x +=+1（R x ∈）有大于0的极值点，则A ．e a -<B ．e a ->C ．1-<aD ．1->a⒏设n n n C B A ∆（*∈N n ）三边的长分别为n a 、n b 、n c ，n n n C B A ∆的面积为n S ，若11c b >，1112a c b =+，n n a a =+1，21n n n c a b +=+，21nn n b a c +=+，则 A ．{}n S 为递减数列 B ．{}12-n S 为递增数列，{}n S 2为递减数列 C ．{}n S 为递增数列 D ．{}12-n S 为递减数列，{}n S 2为递增数列二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分30分．㈠必做题（9～13题）⒐一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的 时间为5秒，绿灯的时间为40秒．一辆汽车到达 路口，看见红灯的概率是 ． ⒑已知命题p ：R x ∈∃0，0120>-x ． 则命题p 的否定p ⌝： ．⒒执行如图2所示的程序框图，输出S 的值为 ． ⒓经过圆C ：5)2()1(22=-++y x 上一点)1 , 1(P ， 且与圆C 相切的直线的方程是 ．⒔若]21, 0(∈∀x ，恒有x a x log 4<，则a 的取值范围是 ．㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）⒕（选做题）计算：31+-、531-+-、7531+-+-、……，根据计算结果找规律填空：=--+++-+-)12()1(7531n n ． ⒖（选做题）如图3，M 是抛物线x y 42=上一点，F 是抛物线 的焦点，若0120=∠MFO ，则=MF ．ABCDEFG1A 1B 1C 1D 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）如图4，海中有一小岛P ，周围4海里内有暗礁．海轮由西向东航行，在A 处望见岛P 在北偏东075．航行10海里到达B 处，望见岛P 在北偏东060．如果海轮继续由西向东航行，有没有触礁的危险？⒘（本小题满分13分）已知数列{} n a 的前n 项和2310n n S n -=（*∈∀N n ）． ⑴求n a ；⑵求集合{}*∈<N n a n n , 0|（用列举法表示）．⒙（本小题满分14分）如图5，1111D C B A ABCD -是长方体，2==BC AB ，E 、F 分别是棱BC 、1BB 上一点，1==BF BE ，经过D 、E 、F 三点的平面与棱1AA 相交于G ．⑴求AG ；⑵求二面角D FG A --的余弦值．⒚（本小题满分13分）为考察某种药物防治疾病的效果，对105只动物进行试验，得到如下的列联表：药物效果试验列联表⑴能否以%5.97的把握认为药物有效？为什么？⑵从上述30只患病动物中随机抽取3只作进一步的病理试验，求抽取的3只动物中服药动物数量ξ的分布列及其均值（即数学期望）．参考公式与数据：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=⒛（本小题满分14分）点M 与定点)0 , 2(F 的距离和它到直线8=x 的距离之比是2:1． ⑴求点M 的轨迹方程（写成标准方程形式）；⑵设点M 的轨迹与x 轴相交于1A 、2A 两点，P 是直线8=x 上的动点，求21PA A ∠的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数x ax x f ln 1)(-+=，其中R a ∈是常数．⑴若曲线2)]([x f y =在点))1( , 1(f 处的切线平行于x 轴，求a 的值； ⑵求函数)(x f 的极值；⑶试讨论直线e x y +-=（e 为自然对数的底数）与曲线)(x f y =公共点的个数．2014年普通高中高二调研测试数 学（理）评分参考一、选择题 DBCB ADAC二、填空题 ⒐52⒑R x ∈∀（2分），012≤-x （3分，其中，等号1分） ⒒78 ⒓012=--y x ⒔)1 , 22(（端点各2分，格式1分）⒕n n )1(- ⒖4三、解答题⒗（方法一）从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ，垂足为C ……1分设PC 长为x 海里，BC 长为y 海里，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=0015tan 1030tan y x y x ……7分消去变量y 得1015tan 30tan 00-=xx ……9分 解得515tan 30tan 30tan 15tan 100000=-=x ……11分 45>，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分（方法二）从小岛P 向海轮的航线AB 作垂线PC ，垂足为C ……1分 在△PAB 中，∠PAB=900-750=150，∠PBA=900+600=1500，从而 ∠APB=1800-150-1500=150，∠PAB=∠APB ……6分（其中，求∠APB 给2分）PB=AB=10……8分，PC=PB×sin300=5……11分（其中，列式给2分）45>，所以海轮继续由西向东航行没有触礁的危险……12分⒘⑴1=n 时，911-==S a ……1分1>n 时，1--=n n n S S a ……3分11233])1(10)1[(1022323+-=-----=n n n n n n ……5分1=n 时，9112332-=+-n n ……6分所以，*∈∀N n ，112332+-=n n a n ……7分 ⑵（方法一）由⑴得0112332<+-=n n a n ……8分 所以32397233239723⨯+<<⨯-n ……10分因为*∈∀N n ，所以71≤≤n ……12分（或“132397230<⨯-<，832397237<⨯+<……12分”） 所求集合{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n a n n ……13分（方法二）设2310)(x x x f -=，) , 1[∞+∈x ，则x x x f 203)(2/-=……10分由0203)(2/<-=x x x f ，得3200<<x ……11分 由32010<-<n ，*∈∀N n 得7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2=n ……12分，911<-==S a ，019788>=-=S S a ，所以{}{}7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0|=∈<*N n an n……13分⒙⑴1111D C B A ABCD -是长方体，面//11B BCC 面11A ADD ……1分DEFG 在同一平面上，所以DG EF //……2分，ADG BEF ∠=∠……3分由已知得BEF ∆和ADG ∆都是等腰直角三角形，所以2==AD AG ……4分 ⑵（方法一）在平面11A ABB 内作FG AH ⊥，垂足为H ，连接DH ……5分⊥AD 面11A ABB ，所以FG AD ⊥……6分A AH AD = ，所以⊥FG 面ADH ……7分所以DH FG ⊥，AHD ∠是二面角D FG A --的平面角……8分 在AFG ∆中，5==FG AF ，2=AG ……9分 由余弦定理得53cos =∠AFG ……11分 54sin =∠AFG ，554sin =∠⨯=AFG AF AH ……12分 所以55622=+=AD AH DH ……13分，32cos ==∠DH AH AHD ……14分 （方法二）以B 为原点，BC 、BA 、1BB 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系……5分，则平面AFG 的一个法向量为)0 , 0 , 1( 1=n ……6分)0 , 2 , 2(D ，)0 , 0 , 1(E ，)1 , 0 , 0(F ……7分设平面DFG 即平面DEF 的一个法向量为) , , (2c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022EF n n ……9分，即⎩⎨⎧=+-=+02c a b a ……11分，b c a 2-==，不妨取)2 , 1 , 2(2-=n ……12分二面角D FG A --的余弦值32cos 2121==θ……14分⒚⑴024.51.675305055)45203010(105))()()(()(22>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n k (3)分（其中，不论是否写公式，正确代入1分，近似计算1分，比较1分） 所以，能以%5.97的把握认为药物有效……4分 ⑵ξ服从超几何分布……5分其中30=N ，10=M ，3=n ，0=ξ，1，2，3……6分20357)0(330320010=⋅==C C C P ξ，20395)1(330220110=⋅==C C C P ξ， 20345)2(330120210=⋅==C C C P ξ，2036)3(33020310=⋅==C C C P ξ……10分 分布列为……11分ξ的均值（即数学期望）120363203452203951203570=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……13分⒛⑴设) , (y x M 是轨迹上任意一点……1分依题意，21|8|)2(22=-+-x y x ，即|8|)2(222-=+-x y x ……3分两边平方得，222)8()2(4-=+-x y x ……4分化简得点M 的轨迹方程为1121622=+y x ……6分（未化成标准方程扣1分） ⑵由⑴得)0 , 4(1-A 、)0 , 4(2A ……7分设直线8=x 交x 轴于Q ，根据椭圆的对称性，不妨设) , 8(m P （0>m ），则 （方法一）m PQ A 12tan 1=∠，mPQ A 4tan 2=∠……9分 PQA PQ A PQA PQ A PQ A PQ A PA A 21212121tan tan 1tan tan )tan(tan ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠……10分4882+=m m……11分0>m ，所以m m 38482≥+……12分，所以334882≤+m m ……13分x tan 在区间)2 , 0(π单调递增，所以21PA A ∠的最大值为6π……14分（方法二）||||cos 212121PA PA PA A ⋅=∠……8分2222241248+⋅++=m m m ……10分，222264)48(48mm m +++=0>m ，所以m m 38482≥+……11分，222)48(3164+≤m m ……12分 所以233111cos 21=+≥∠PA A ……13分 x cos 在区间)2 , 0(π单调递减，所以21PA A ∠的最大值为6π……14分21．⑴)1)(ln 1(2)()(2//xa x ax x f x f y --+=⋅=……1分依题意，0)1)(1(2|1/=-+==a a y x ……2分，解得1±=a ……3分⑵xa x f 1)(/-=，0>x0≤a 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减，无极值……4分 0>a 时，由0)(/=x f 得ax 1=……5分 当ax 10<<时0)(/<x f ，当a x 1>时0)(/>x f ……6分，所以)(x f 在a x 1=处取得极小值，极小值为a af ln 2)1(+=……7分⑶记x e x a e x x f x g ln )1()1()()()(--++=+--=，则直线e x y +-=与曲线)(x f y =公共点的个数即函数)(x g 零点的个数．xa x g 1)1()(/-+= 1-≤a 时，0)(/<x g ，)(x g 单调递减，且值域为R ，有一个零点……8分 1->a 时，由0)(/=x g 得11+=a x ……9分 当110+<<a x 时0)(/<x g ，当11+>a x 时0)(/>x g ……10分，所以)(x f 在11+=a x 处取得极小值，极小值为)1ln()2()11(++-=+a e a g ……11分 当0)1ln()2()11(>++-=+a e a g ，即12->-e e a 时，)(x g 无零点……12分 当0)1ln()2()11(=++-=+a e a g ，即12-=-e e a 时，)(x g 有一个零点 (13)分当0)1ln()2()11(<++-=+a e a g ，即112-<<--e e a 时，)(x g 有两个零点． 综上所述，1-≤a 或12-=-e e a 时，直线e x y +-=与曲线)(x f y =有一个公共点；112-<<--e e a 时，有两个公共点；12->-e e a 时，无公共点……14分．。