期北师大版九年级数学上册习题2.4用因式分解法求解一元二次方程
2-4 用因式分解法求解一元二次方程-北师大版数学九年级上册
x1 = -2，x2 = 2.
x+6=0或x- 4=0 x1 = -6，x2 = 4.
达标检测
1. 用因式分解法解下列方程：【选自教材P47 随堂练习】 （1）(x + 2)(x - 4) = 0； （2）4x(2x + 1) = 3(2x + 1).
解：（1） x+2=0或x- 4=0 x1 = -2，x2 = 4.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为 因式分解法.
课堂小结
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1. 方程右边化为___0___. 2. 将方程左边分解成两个_一__次__因__式___的乘积. 3. 至少_有__一__个___因式为零，得到两个一元一次方程. 4. 两个_一__元__一__次__方__程__的__解___就是原方程的解.
（2）原方程可变形为
4x(2x + 1) - 3(2x + 1) = 0
(2x + 1)(4x - 3) = 0
2x + 1 = 0 或 4x - 3 = 0
x1
=
3 4
，x2
=
1 2
2. 一个数平方的 2 倍等于这个数 的 7 倍，求这个数.
【选自教材P47 随堂练习】
解：设这个数为 x.
2x2 = 7x.
（1）(4x - 1)(5x + 7) = 0； （2）x(x + 2) = 3x + 6；
（3）(2x + 3)2 = 4(2x + 3)； （4）2(x - 3)2 = x2 - 9.
（3）原方程可变形为
（4）原方程可变形为
(2x + 3)2 - 4(2x + 3)= 0
北师大版九年级上册数学 2.4 用因式分解法来解一元二次方程(2)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程学习目标：1.了解因式分解法的解题步骤；2.能用因式分解法解一元二次方程。
重点：应用因式分解法解一元二次方程难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．【预习案】1、（1）将一个多项式（特别是二次三项式）因式分解，有哪几种分解方法？（2）将下列多项式因式分解① 3x2－4x② 4x2－9y2 ③x2－6xy＋9y2④ (2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4【探究案】探究点1：适合用因式分解法解一元二次方程的特点（1）上面两个方程中常数项为0（2）等式左边的各项有共同因式都可以因式分解:象这样的方程又有一种方法解一元二次方程探究点2：用因式分解法解一元二次方程上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 (3)x(x-2)+x—2=0自我测试1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0 (5)（2x－1）2－x2= 0 (6) x＋3－x（x＋3）= 02．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=13．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．14．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．【训练案】1解方程：⑴3x（x－1）= 2（x－1）（x＋1）⑵（3x－1）2－4x2= 0 （3）x2-3x-4=0 （4）x2-7x+6=0（5）x2+4x-5=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）4已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab +--的值．。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 用因式分解法求解一元二次方程作业设计 北师大版
2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（本题包括8个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A. 6B. 9C. 6或9D. 以上都不正确2. 已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A. 7B. 10C. 11D. 10或113. 解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A. 开平方法B. 配方法C. 公式法D. 因式分解法4. 若分式的值为0，则x的值为（）A. 3或﹣2B. 3C. ﹣2D. ﹣3或25. 已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A. 1B. ﹣3C. ﹣3或1D. ﹣1或36. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A. 14B. 12C. 12或14D. 以上都不对7. 一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A. x=B. x=3C. x1=3，x2=﹣D. x1=3，x2=8. 已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A. 方程一定有两个不相等的实数根B. 方程一定有两个实数根C. 当k取某些值时，方程没有实数根D. 方程一定有实数根二．填空题（本题包括5个小题）9. 方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为_____．10. 若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=_____．11. 如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是_____．12. 关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为_____．13. 对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=_____．三．解答题（本题包括5个小题）14. 解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．15. 解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0；（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）；（4）x2=6x+16；（5）2x2﹣7x﹣18=0；（6）（2x﹣1）（x+3）=4．16. 用适当的方法解下列方程：（1） x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）（y+）（y-）=20．17. 阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得 y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．18. 现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．答案一．选择题1. 【答案】B【解析】解方程得：，（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；故选B.2.【答案】D【解析】把x=3代入方程得9-3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC 的周长为10或11．故选D．3. 【答案】D【解析】方程可化为[2（5x-1）-3]（5x-1）=0，即5（2x-1）（5x-1）=0，根据分析可知分解因式法最为合适．故选D．考点：解一元二次方程-因式分解法．4. 【答案】A【解析】由题意可得：，解得：.∵当时，，当时，，∴的值为3或-2.故选A.5. 【答案】A【解析】设x2+x+1=y，则原式可化为y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1.∵22131024x x x⎛⎫++=++>⎪⎝⎭，∴x2+x+1=1.故选A.6.【答案】B【解析】解，得(x-5)(x-7)=0，∴x1=5,x2=7.又∵3,4,7不能组成三角形；∴x=5.则周长为3+4+5=12，故选B考点：一元二次方程的解7. 【答案】D【解析】2x（x－3）＝5（x－3），2x（x－3）-5（x－3）=0，,（x－3）（2x－5）=0，所以x－3=0，或2x－5=0，所以x1＝3，x2＝，故选：D．考点：解一元二次方程．8. 【答案】D【解析】原方程可化为：，（1）当时，原方程可化为：，此时原方程是一元一次方程，有实数根；（2）当时，原方程是一元二次方程，此时：△=，∴此时，原方程有两个实数根；综上所述，无论k 为何值，原方程都有实数根.故选D.二．填空题9.【答案】1或【解析】原方程可化为为：，∴或，∴或.10. 【答案】6【解析】设a=x2+y2，则原方程可化为a2-5a-6=0，解得a1=6，a2=-1（舍去），所以x2+y2=6.11.【答案】3【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴.12. 【答案】x1=4，x2=﹣1【解析】∵方程是关于的一元二次方程，∴，解得：，∴原方程为：，化简得：，解得：.∴原方程的解为：.13. 【答案】4【解析】设，则原方程可化为：，解得：，∵，∴. 点睛：在解出“x”的值之后，不要忽略了“”这一隐含条件.三．解答题14. 【答案】①x1=1+，x2=1﹣②x1=1，x2=﹣③x1=﹣4，x2=2④y1=1，y2=﹣1【解析】①②按题中指定方法解答即可；③先将方程整理为一般形式，再用“因式分解法”解方程即可；④根据方程特点用“因式分解法”解方程即可.解：①移项得：x2﹣2x=配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，∴x﹣1=±∴ x1=1+，x2=1﹣．② ∵在方程4x2﹣3x﹣1=0中，a=4，b=﹣3，c=﹣1，∴ △ =9+16=25x=，∴x1=1，x2=﹣．③原方程整理得：x2+2x﹣8=0，(x+4)(x﹣2)=0，∴ x1=﹣4，x2=2．④原方程可化为：(3y﹣2+2y﹣3)(3y﹣2﹣2y+3)=0，(5y﹣5)(y+1)=0，∴ y1=1，y2=﹣1．15. 【答案】（1）y1=﹣，y2=﹣；（2）x1=3，x2=；（3）x1=2.5，x2=1；（4）x1=﹣2，x2=8（5）x=；（6）x1=﹣3.5，x2=1．【解析】（1）用“直接开平方法”解此方程即可；（2）、（3）按指定方法解方程即可；（4）先将方程化为一般形式，再用“因式分解法”解此方程：（5）用“公式法”解此方程即可；（6）先整理为一般形式，再用“因式分解法”解此方程.解：（1）方程可化为：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）∵在方程2x2﹣7x+5=0中，a=2，b=﹣7，c=5，∴△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）原方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即(x+2)(x﹣8)=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）∵在方程2x2﹣7x﹣18=0中，a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=49+144=193，∴ x=；∴，.（6）原方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即(2x+7)(x﹣1)=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．16. 【答案】（1）x1=6，x2=﹣1（2）x1=﹣，x2=（3）x1=﹣2，x2=（4）y1=5，y2=﹣5【解析】（1）用“因式分解法”解方程即可；（2）用“直接开平方法”解方程即可；（3）先移项，再用“直接开平方法”解方程即可；（4）先化简，再用“直接开平方法”解方程即可；解：（1）x2﹣5x﹣6=0，原方程可化为：（x﹣6）（x+1）=0，∴x-6=0或x+1=0，∴ x1=6，x2=﹣1．（2）原方程可化为：（1﹣x）2=+1，即：（1﹣x）2=，∴1﹣x=，∴x1=﹣，x2=．（3）原方程可化为：8x（x+2）﹣3（x+2）=0，∴(x+2)(8x﹣3)=0，∴x+2=0或8x-3=0解得x1=﹣2，x2=．（4）原方程可化为：y2﹣5=20，∴y2=25，∴y=±5，即 y1=5，y2=﹣5．17. 【答案】（1）x1=0，x2=﹣2，x3=2（2）x1=﹣1，x2=3【解析】（1）把原方程化为：|x|2﹣2|x|=0，再按照“范例”中的方法解答即可；（2）把原方程化为：|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0，再按照“范例”中的方法解答即可.解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得 y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得 y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20. 【答案】（1）112（2）x1=2，x2=﹣4（3）a=【解析】（1）按照“新运算：※”的运算规则，把题目中的“新运算”转化为普通运算，再按有理数的相关运算法则计算即可；（2）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化普通运算，就可将涉及“新运算”的方程转化为“一元二次方程”，然后再解方程即可；（3）先按题目中“新运算”的规则把所涉及的“新运算”转化为普通运算，得到普通的含有“字母”系数的方程，再根据题意解答即可.解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．点睛：在涉及“新运算”的问题中，弄清把“新运算”转化为“普通运算”的规则，把题目中涉及新运算的部分按“规则”转化为普通运算，其余部分不变，再按普通方法解答即可.。
北师大版九年级数学上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习(含参考答案)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－32．方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝03．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝34．在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，解得x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是( )A．甲的错误，乙的正确B．甲的正确，乙的错误C．两人的都正确D．两人的都错误二、填空题5．一元二次方程7x2＝2x的解为____________．6．一元二次方程x(x－1)＝x的解是__________．7．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，则x2＋bx＋c分解因式的结果是______________．8．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．9．已知(x2＋4x－5)0＝x2－4x＋5，则x＝________．三、解答题10．解下列方程：(1)4x2－225＝0；(2)5x2＋20x＋20＝0；(3)(2x－1)2＝3x(2x－1)；(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(5)2(t－1)2＋t＝1；(6)2(x－3)2＝x2－9；(7)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.11．请选择适当的方法解下列方程：(1)(2x＋3)2－25＝0；(2)x2＋2x－224＝0；(3)2x(x－3)＝x－3；(4)2x2＋4x＝－1.12．已知一个等腰三角形的三边长都满足方程(x－3)(x＋3)＝10(x－3)，求这个等腰三角形的周长．13．阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x2－10x＋21＝0；②x2＋2x＝8；③x2－5x－6＝0.14 阅读例题，解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0.解：当x≥0时，原方程变形得x2－x－2＝0，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝2；当x＜0时，原方程变形得x2＋x－2＝0，解得x＝1(不合题意，舍去)或x＝－2. 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－2.依照上述解法解方程：x2－|x－1|－1＝0.1．[答案] D 2．[答案] C3．[解析] D 由原方程移项，得 (x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)(x －2－1)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 故选D .4．[解析] A (x ＋2)(x －2)＝5.整理，得x 2－9＝0.分解因式，得(x ＋3)(x －3)＝0，则x ＋3＝0或x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3.所以甲的错误，乙的正确．故选A .5．[答案] x 1＝0，x 2＝27[解析] 移项，得7x 2－2x ＝0， 左边分解因式，得x(7x －2)＝0， ∴x ＝0或7x －2＝0， ∴x 1＝0，x 2＝27.故答案为：x 1＝0，x 2＝27.6．[答案] x 1＝0，x 2＝2[解析] 原方程变形，得x(x －1)－x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2. 7．[答案] (x －6)(x ＋2) 8．[答案] 10或11 9．[答案] 2[解析] 依题意知x 2－4x ＋5＝1，x 2－4x ＋4＝0，(x －2)2＝0，解得x 1＝x 2＝2.当x ＝2时，x 2＋4x －5≠0，所以x ＝2符合题意．10．解：(1)利用平方差公式分解因式，得(2x ＋15)(2x －15)＝0， ∴2x ＋15＝0或2x －15＝0， ∴x 1＝－7.5，x 2＝7.5.(2)方程两边同除以5，得x 2＋4x ＋4＝0，写成平方形式，得(x ＋2)2＝0，∴x ＋2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.(3)(2x －1)(－x －1)＝0， ∴x 1＝12，x 2＝－1.(4)[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0， (7x －16)(4－3x)＝0，∴x 1＝167，x 2＝43.(5)2(t －1)2＋(t －1)＝0， (t －1)(2t －1)＝0， ∴t －1＝0或2t －1＝0， ∴t 1＝1，t 2＝12.(6)右边分解因式，得2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.∴x －3＝0或2(x －3)－(x ＋3)＝0. 解得x 1＝3，x 2＝9.(7)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0， (2x ＋1＋2)2＝0，∴x 1＝x 2＝－32.11．解：(1)(2x ＋3)2－25＝0， 2x ＋3＝±5， 解得x 1＝1，x 2＝－4. (2)x 2＋2x －224＝0， x ＋1＝±15，解得x 1＝14，x 2＝－16. (3)2x(x －3)＝x －3， 2x(x －3)－(x －3)＝0， (x －3)(2x －1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝12.(4)2x 2＋4x ＝－1，即2x 2＋4x ＋1＝0， a ＝2，b ＝4，c ＝1，b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8＞0，则x ＝－4±82×2，∴x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22.12．解：由(x －3)(x ＋3)＝10(x －3)， 得(x －3)(x －7)＝0，∴x 1＝3，x 2＝7.(1)当腰长为3，底边长为7时，3＋3<7，不能构成三角形； (2)当腰长为7，底边长为3时，周长l ＝7＋7＋3＝17； (3)当三角形为边长为3的等边三角形时，周长l ＝3×3＝9； (4)当三角形为边长为7的等边三角形时，周长l ＝7×3＝21. 所以这个等腰三角形的周长为9，17或21. 13．解：①分解因式，得(x －3)(x －7)＝0， ∴x －3＝0或x －7＝0，∴x 1＝3，x 2＝7. ②整理，得x 2＋2x －8＝0， 分解因式，得(x －2)(x ＋4)＝0， ∴x －2＝0或x ＋4＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－4.③分解因式，得(x －6)(x ＋1)＝0， ∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.14 解：当x －1≥0，即x ≥1时，原方程变形得x 2－x ＝0，即x(x －1)＝0， 解得x ＝0(不合题意，舍去)或x ＝1；当x －1＜0，即x ＜1时，原方程变形得x 2＋x －2＝0，即(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝1(不合题意，舍去)或x ＝－2. 综上所述，原方程的解是x 1＝1，x 2＝－2.。
新北师大版数学九上2.4 用因式分解法求解一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
解析 (1)若x+3=0,则x=-3;若x-2=0,则x=2. ∴x1=-3,x2=2. (2)原方程可变形为3x(x-4)=0. 若3x=0,则x=0;若x-4=0,则x=4.∴x1=0,x2=4. (3)原方程可变形为(x+4)2-36=0, ∴(x+4+6)(x+4-6)=0,即(x+10)(x-2)=0. 若x+10=0,则x=-10;若x-2=0,则x=2. ∴x1=-10,x2=2. (4)移项,得(x-2)2+(x-2)=0. ∴(x-2)[(x-2)+1]=0, 即(x-2)(x-1)=0, ∴x-2=0或x-1=0, ∴x1=2,x2=1.
栏目索引
分析 (1)2(x-1)2-18=0,整理可得(x-1)2=9,适合用直接开平方法; (2)x2+4x-1=0,二次项系数为1,一次项系数为偶数,适合用配方法; (3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理可得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,适合用因式分解法; (4)9x2-12x-1=0,用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,适合 用公式法.
4 用因式分解法求解一元二次方程
栏目索引
解析 (1)2(x-1)2-18=0,整理得(x-1)2=9,开平方得x-1=±3,即x-1=3或x-1=
-3, 所以方程的两根为x1=4,x2=-2. (2)原方程变形为x2+4x=1.配方得x2+4x+22=1+22,即(x+2)2=5,由此可得x+2 =± 5 , 所以方程的两根为x1=-2+ 5 ,x2=-2- 5 . (3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,因式分解得 [3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0,于是得3(x+1)+(2x-5)=0或3(x+1)-(2x-5)=0,
北师大版九年级数学上册习题 2.4 用因式分解法求解一
2.4 用因式分解法求解一元二次方程01 基础题知识点1 用因式分解法求解一元二次方程1．方程(x －1)(x ＋2)＝0的两根分别为(D)A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝1，x 2＝－22．(南阳唐河县期末)方程x 2＝2x 的解是(C)A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x ＝0或x ＝2D ．x ＝±23．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是(A)A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2x －2＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝04．方程x －2＝x(x －2)的解是(D)A ．x ＝1B ．x 1＝0，x 2＝2C ．x ＝2D ．x 1＝1，x 2＝25．利用因式分解法求解下列方程：(1)2x 2－3x ＝0；解：把方程左边因式分解，得x(2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0，解得x 1＝0，x 2＝32.(2)4x 2－121＝0；解：(2x ＋11)(2x －11)＝0，∴x 1＝－112，x 2＝112.(3)x(x －2)＝x.解：∵x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.知识点2 用适当的方法解一元二次方程6．一元二次方程x 2－x －2＝0的解是(D)A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＝－1，x 2＝－2D ．x 1＝－1，x 2＝27．用适当的方法解方程：(1)9x 2－25＝0；解：x 1＝－53，x 2＝53.(2)5x 2－2x ＝0；解：x 1＝0，x 2＝25.(3)(漳州中考)x 2－4x ＋1＝0；解：∵Δ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝4±122，即x ＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.(4)2(t －1)2＋t ＝1.解：2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0，∴t 1＝1，t 2＝12.02 中档题8．解下列方程：①2x 2－18＝0；②9x 2－12x －1＝0；③3x 2＋10x ＋2＝0；④2(5x －1)2＝2(5x －1)．用较简便的方法依次是(D)A ．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法B ．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法C ．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法D ．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法9．(三门峡期中)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(A)A ．12B ．9C ．13D ．12或910．若(2m ＋n)2＋2(2m ＋n)＋1＝0，则2m ＋n 的值是－1．11．(襄阳中考)若正数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是一元二次方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，则a 的值是5．12．解方程x(x ＋5)＝3(x ＋5)，甲同学的解法如下：解：方程两边同除以(x ＋5)，得x ＝3.请回答：(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．解：(1)不正确．因为当x ＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x ＋5＝0时，方程两边仍相等．(2)原方程可化为x(x ＋5)－3(x ＋5)＝0，(x －3)(x ＋5)＝0，∴x 1＝3，x 2＝－5.13．用适当的方法解方程：(1)y 2＋3y ＋1＝0；解：y 1＝－3－52，y 2＝－3＋52.(2)2x 2－22x －5＝0；解：a ＝2，b ＝－22，c ＝－5，∵Δ＝8＋40＝48，∴x ＝22±434＝2±232. ∴x 1＝2＋232，x 2＝2－232.(3)(3x －1)2－4(2x ＋3)2＝0；解：(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1＝－57，x 2＝－7.(4)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝13.解：原方程可化为x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.14．如图，把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆的半径为x m ，则大圆的半径为(x ＋5)m ，根据题意，得π(x ＋5)2＝2πx 2，解得x ＝5＋52或x ＝5－52(不合题意，舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52)m.03综合题15．阅读理解：例如：因为x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．所以方程x2＋5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝－2，x2＝－3.又如：x2－5x＋6＝x2＋[(－2)＋(－3)]x＋(－2)×(－3)．所以x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)．所以方程x2－5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝2，x2＝3.一般地，x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．所以x2＋(a＋b)x＋ab＝0，即(x＋a)(x＋b)＝0的解为x1＝－a，x2＝－b.请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：(1)x2＋8x＋7＝0；解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－7，x2＝－1.(2)x2－11x＋28＝0.解：∵x2＋[(－4)＋(－7)]x＋(－4)×(－7)＝0，(x－4)(x－7)＝0，∴x1＝4，x2＝7.。
2.4用因式分解法求解一元二次方程-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)
-平方差公式：例如，x^2 - ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = 0，应用公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2，快速分解因式。
-完全平方公式：例如，x^2 + 4x + 4 = 0，应用公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，快速分解因式。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了因式分解法求解一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调因式分解法的四种类型和它们的操作步骤。对于难点部分，如提取公因式和十字相乘法，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示如何用因式分解法求解一个具体的一元二次方程。
2.实践操作：列举并练习以下几种类型的因式分解法求解一元二次方程：
（1）提取公因式法：x^2 - 5x + 6 = 0；
（2）十字相乘法：x^2 + 3x - 4 = 0；
（3）平方差公式：x^2 - 4 = 0；
（4）完全平方公式：x^2 + 4x + 4 = 0。
北师版九年级上册 2.4因式分解法解一元二次方程
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明 地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
(6)(x 4)2 (5 2x)2
解 : x 4 (5 2x). x1 3, x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r
10 2
200
.
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法. 提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
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2.4 用因式分解法求解一元二次方程
基础题
知识点1用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( )
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．(重庆中考)一元二次方程x2－2x＝0的根是( )
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )
A．(2x－2)(3x－4)＝0，∴2－2x＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
4．用因式分解法解一元二次方程x(x－1)－2(1－x)＝0，变形后正确的是( ) A．(x＋1)(x＋2)＝0 B．(x＋1)(x－2)＝0
C．(x－1)(x－2)＝0 D．(x－1)(x＋2)＝0
5．已知方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3和－5，则x2＋px＋q可分解为( ) A．(x＋3)(x＋5) B．(x－3)(x－5)
C．(x－3)(x＋5) D．(x＋3)(x－5)
6．方程x(x－5)＝3(x－5)的根为________________．
7．解方程：
(1)x(x－2)＝x；
(2)(自贡中考)3x(x－2)＝2(2－x)；
(3)(x＋1)2＝(2x－1)2.
知识点2用适当的方法解一元二次方程
8．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较简便的方法是( ) A．直接开平方法B．因式分解法C．配方法D．公式法9．(云南中考)一元二次方程x2－x－2＝0的解是( ) A．x1＝1，x2＝2
B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＝－1，x2＝－2
D．x1＝－1，x2＝2
10．解方程：
(1)3(x＋1)2＝12；
(2)(漳州中考)x2－4x＋1＝0；
(3)2(t－1)2＋t＝1；
(4)(3x－1)2－4(2x＋3)2＝0.
中档题
11．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x －1)．用较简便的方法依次是( )
A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法
C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法
12．(济宁中考)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为( )
A．13 B．15
C．18 D．13或18
13．若(2m＋n)2＋2(2m＋n)＋1＝0，则2m＋n的值是________．
14．(襄阳中考)若正数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2
＋5x－m＝0的一个根，则a的值是________．
15．读题后回答问题：
解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：
解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.
请回答：
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？
(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．
16．用适当的方法解方程：
(1)y2＋3y＋1＝0；
(2)x2－8x＝84；
(3)3(x－2)＝5x(x－2)；
(4)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝13.
17．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a>b ），ab －b 2（a<b ），例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，求x 1*x 2的值．
综合题
18．阅读理解：
例如：因为x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3，所以x 2＋5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)．
所以方程x 2＋5x ＋6＝0用因式分解法解得x 1＝－2，x 2＝－3.
又如：x 2－5x ＋6＝x 2＋[(－2)＋(－3)]x ＋(－2)×(－3)．所以x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)． 所以方程x 2－5x ＋6＝0用因式分解法解得x 1＝2，x 2＝3.
一般地，x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．所以x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝0，即(x ＋a)(x ＋b)＝0的解为x 1＝－a ，x 2＝－b.
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：
(1)x 2＋8x ＋7＝0；
(2)x 2－11x ＋28＝0.
参考答案
基础题
1．D 2.D 3.A 4.D 5.C 6.x 1＝3，x 2＝5
7.(1)∵x(x －2)－x ＝0，∴x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0.∴x 1＝0，x 2＝3.
(2)(3x ＋2)(x －2)＝0，x 1＝－23
，x 2＝2. (3)(x ＋1)2－(2x －1)2＝0，(x ＋1＋2x －1)(x ＋1－2x ＋1)＝0，
∴3x ＝0或－x ＋2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2.
8.B 9.D
10.(1)(x ＋1)2＝4，x ＋1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝－3.
(2)∵Δ＝(－4)2－4×1×1＝12，∴x ＝4±122
，即x ＝2±3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. (3)2(t －1)2＋(t －1)＝0，(t －1)(2t －1)＝0，∴t －1＝0或2t －1＝0，∴t 1＝1，t 2＝12
. (4)(3x －1)2－[2(2x ＋3)]2＝0，(3x －1＋4x ＋6)(3x －1－4x －6)＝0，(7x ＋5)(－x －7)＝0，∴x 1
＝－57
，x 2＝－7. 中档题
11．D 12.A 13.－1 14.5
15.(1)不正确．因为当x ＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x ＋5＝0时，方程两边仍相等．
(2)原方程可化为x(x ＋5)－3(x ＋5)＝0，(x －3)(x ＋5)＝0，
∴x 1＝3，x 2＝－5.
16.(1)y 1＝－3－52，y 2＝－3＋52
. (2)x 1＝14，x 2＝－6.(3)x 1＝2，x 2＝35
. (4)原方程可化为x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.
17.x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，
x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.
当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4，
当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4.
综合题
18．(1)∵x 2＋(7＋1)x ＋7×1＝0，(x ＋7)(x ＋1)＝0，
∴x 1＝－7，x 2＝－1.
(2)∵x 2＋[(－4)＋(－7)]x ＋(－4)×(－7)＝0，(x －4)(x －7)＝0，∴x 1＝4， x 2＝7.。