2.2.3独立重复试验与二项分布(1,2)使用

B1 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 A 1A 2A 3 PB1 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3
用Ai(i=1,2,3)表示第i次命中的事件 B1表示“恰好命中1次”的事件



2

2

＝q p q p q p 3q p
此时我们称随机变量X服从二项分布，
记作:
X ~ B( n, p) 其中p为成功概率.
运用n次独立重复试验模型解题例1某射手每次射击击中目标的概率 Nhomakorabea0.8.
手在10次射击中。
（1）恰有8次击中目标的概率；
求这名射
（2）至少有8次击中目标的概率。
（结果保留两个有效数字）
设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8)
基 本 概 念
1、 n 次独立重复试验: n 次试验称 一般地,在相同条件下，重复做的 为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An )
独立重复试验的特点： ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 1 ）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生； 他试验的影响 , ∴ 上面等式成立 . 2 ）任何一次试验中， A事件发生的概率相同，即相互 独立，互不影响试验的结果。
3、二项分布
P ( X k ) C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1, 2,..., n
… … n
n n 0 Cn pq
于是得到随机变量X的概率分布如下：(q=1－p) X p 0 1 … k
k k n k Cn pq
0 0 n 1 1 n 1 Cn p q Cn pq …
0.68
• 第二课时
练习
3 已知一个射手每次击中目标的概率为 p ， 5 求他在三次射击中下列事件发生的概率。
（1）命中一次； （2）恰在第三次命中目标； （3）命中两次； （4）刚好在第二、第三两次击中目标。 (5)至少一次击中
运用n次独立重复试验模型解题
例2 在图书室中只存放技术书和数学书，任一
高二数学 选修2-3
2.2.3独立重复试验与二 项分布(1)
复 习 引 入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便 . ⑴ P( A B) P( A) P( B)（当 A与B 互斥时） ； P ( AB ) ⑵ P ( B | A) P ( A) ⑶ P( AB) P( A) P( B) （当 A与B 相互独立时） 那么求概率还有什么模型呢？
2 2
恰好命中k（0≦k ≦3）次的概率是多少？
对于k=0,1,2,3分别讨论
PB0 P A1 A2 A3 q


3
Cpq
0 0 3 0 3
PB1 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 3q2 p C1 p1q31 3
2 P A A A P A A A P A A A 3 qp PB2 1 2 3 2 2 3 1 2 3
(1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为
P X 8 C 0.8 1 0.8
8 10 8
108
0.30
(2)在10次射击中,至少8次击中目标的概率为
P X 8 P X 8 P X 9 P X 10
8 C10 0.88 1 0.8 10 8 9 C10 0.89 1 0.8 10 9 10 C10 0.810 1 0.8 10 10
(2) 记事件 A “甲打完 3 局才能取胜” ， 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” ， 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” ． 事件 D ＝“按比赛规则甲获胜” ，则 D A B C ， 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥， 故 P ( D) P ( A B C ) P ( A) P ( B) P (C ) 1 3 3 1 1 ． 答： 按比赛规则甲获胜的概率为 ． 8 16 16 2 2
k n k
如果在1次试验中，事件A出现的概率为p, 则
事件 A发生的概率
n k
Pn ( k ) C p (1 p)
实验总次数
事件 A 发生的次数
（其中k = 0，1，2，· · · ，n ）
n展 是 (p+q) 说说与两点分布的 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数是 X，且 开式第 k+1 区别和联系,对符号 在每次试验中事件A发生的概率是p，那么事件 恰好发生 项吗 ? 的理解 nA ， p， k k次的概率是为
分析下面的试验，它们有什么共同特点？ ⑴投掷一个硬币投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次，击中目标的概率是 0.8， 他射击 10 次 ; (3)一个盒子中装有 5 个球（3 个红球和 2 个 黑球） ，有放回地依次从中抽取 5 个球; 它们共同特点： (4)生产一种零件，出现次品的概率是 0.04, 1). 每次试验是在同样的条件下进行的 ; 生产这种零件 4 件. 2).各次试验中的事件是相互独立的； 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.
小结：
2、二项分布： 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的
次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P( X k ) C p (1 p)
k n k
nk
, k 0,1, 2,..., n.
称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。
例4：甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为 0.7 , (1)每人各投篮3次，每人恰好都投中2次的概率是 多少？ (2)甲、乙各投3次求甲至少胜乙2个球的概率？
例5：一个口袋内装有5个黄球，3个红球，从袋 中往外取球，每次取出后记下球的颜色然后放回， 直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数§ 是一个随机变量，则p（ §=12）=？
判断下列试验是不是独立重复试验： 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上 ; × 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射 击了10次,其中6次击中; √ 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球;×
探
究
投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向 下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖 向上的概率是多少？那么恰好出现0次、2次、3次的概 率是多少?你能给出一个统一的公式吗？
小结：
1、 n 次独立重复试验: n 次试验称 一般地,在相同条件下，重复做的 为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中， 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然， P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An )
独立重复试验的特点： ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 1 ）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生； 他试验的影响 , ∴ 上面等式成立 . 2 ）任何一次试验中， A事件发生的概率相同，即相互 独立，互不影响试验的结果。








Cpq
Cpq
3 3 3
2 2 3 2 3
3 3
PB3 P A1 A2 A3 p
3
恰好命中k（0≦k ≦3）次的概率是多少？
PBk C p q
k k 3k 3
, k 0,1,2,3
2、n次独立重复试验的概率公式及结构特 点：
在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为： 事件 A 发生的概率
读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率 为0.8，设每人只借一本，有5名读者依次借书， 求至多有2人借数学书的概率。
变式练习
19 • 例3:3次独立重复试验中， 27A至少发生1次的概率
为，求A在一次试验中发生的概率？
运用n次独立重复试验模型解题
例3 甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛，甲对与乙对的实力之比为3:2，则在 5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比 赛）．中
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率．
⑵按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ，乙获胜的概率为 ． 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验， 且甲第 5 局比赛取胜，前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 C 4 ( ) ( ) . 2 2 2 16