2020届高三数学一轮复习 第十章《统计与概率》10-8精品练习

第10章 第8节一、选择题1．(2020·厦门质检)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( )A.1738 B.2738 C.1719 D.2719[答案] B[解析] m ⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1，∴m ＝2738.故选B.2．(2020·辽宁理)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16 [答案] B[解析] 恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是，则情形为两种，即甲为一等品，乙不是或乙为一等品甲不是，∴P ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512，故选B.3．从甲袋中摸出一个红球的概率为13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，则概率等于23的是( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率 [答案] C[解析] 两袋中各摸出一个球： ①甲红，乙红，P 1＝13×12＝16；②甲红，乙不是红，P 2＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝16；③甲不是红，乙红，P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝13；④甲、乙都非红，P 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝13.因此A 的概率为56，B 的概率为16，C 的概率为23，D 的概率为12，故选C.4．(2020·山东省实验中学)种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p 和q ，则恰有一株存活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq [答案] A[解析] 恰有一株存活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq . 5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ck ＋1，k ＝0,1,2,3，则E (ξ)＝( )A.1225 B.2325 C.1350 D.4625[答案] B[解析] 由条件知c ＋c 2＋c 3＋c 4＝1，∴c ＝1225，故分布列为故E (ξ)＝0×1225＋1×25＋2×25＋3×25＝25，∴选B.6．(2020·江西文，9)有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率是p (0<p <1)．假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n[答案] D[解析] 采用正难则反的方法，都通不过测试的概率为(1－P )n，则至少有一个通过测试的概率为1－(1－P )n.选D.7．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为821，则这10个小球中，中奖号码小球的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] C[解析] 设有x 个小球的号码为中奖号码，则 P (X ＝1)＝C x 1·C 10－x 3C 104＝821， ∴x (10－x )(9－x )(8－x )＝480，将选项中的值代入检验知，选C.8．在四次独立重复试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6581，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.13B.23C.3281D.881[答案] C[解析] 设事件A 在每次试验中发生的概率为p ，则事件A 在4次独立重复试验中，恰好发生k 次的概率为P k ＝C 4k p k(1－p )4－k(k ＝0,1,2,3,4)，∴p 0＝C 40p 0(1－p )4＝(1－p )4，由条件知1－p 0＝6581，∴(1－p )4＝1681，∴1－p ＝23，∴p ＝13，∴p 1＝C 41p ·(1－p )3＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，故选C.9．(2020·衡阳模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1210·⎝ ⎛⎭⎪⎫3810·⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 119·⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38C ．C 119·⎝ ⎛⎭⎪⎫589·⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 119·⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582[答案] B[解析] 从口袋中任取一球，取到红球的概率为38.重复进行了ξ次取球试验，其中红球恰好取到了10次，ξ＝12即进行了12次试验，其中前11次试验中出现了9次红球，第12次试验结果为红球，∴P (ξ＝12)＝C 119·⎝ ⎛⎭⎪⎫389×⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38.10．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 75⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 72⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 75⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235D ．C 73⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235[答案] B[分析] 关键是弄清S 7＝3的含义：S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7，而a i 的取值只有1和－1，故S 7＝3表示在a i 的七个值中有5个1、2个－1，即七次取球中有5次取到白球、2次取到红球．[解析] S 7＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝3表示七次取球试验中，有2次取到红球，而一次取球中，取到红球的概率P 1＝23，∴所求概率为P ＝C 72⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135.二、填空题11．(2020·山东枣庄模拟)设随机变量X ～B (n,0.5)，且D (X )＝2，则事件“X ＝1”的概率为________(用数字作答)[答案]132[解析] ∵X ～B (n,0.5)，∴D (X )＝n ×0.5×(1－0.5)＝2，∴n ＝8.∴事件“X ＝1”的概率为P (X ＝1)＝C 81×0.5×0.58－1＝132. 12．为了了解学生的体能素质，随机抽取一小组进行体能检测，要求每位学生长跑、跳远至少通过一项才算合格，已知通过长跑测试的有2人，通过跳远测试的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既通过长跑测试又通过跳远测试的人数，且P (ξ>0)＝710，则该小组有______人．[答案] 5[解析] 设该小组共有x 人，其中既通过长跑测试又通过跳远测试的有y 人，则 ⎩⎪⎨⎪⎧P ξ>0＝C y 1C x －y 1＋C y 2C x 2＝7102－y ＋y ＋5－y ＝x解得x ＝5或x ＝11237(舍去)．所以该小组一共有5人．13．在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为________．[答案] 12[解析] 设第一次抽到理科题为事件A ，第二次抽到理科题为事件B ，则两次都抽到理科题为事件A ∩B ，∴P (A )＝35，P (A ∩B )＝310，∴P (B |A )＝P A ∩B P A ＝12.[点评] 由于是不放回抽样，故在第一次抽到理科题条件下，相当于有2道理科题和2道文科题，从中抽一道，抽到理科题的概率为多少，故为P ＝12.14．(2020·上海大同中学模考)一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球，现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的，用ξ表示摸出的黑球数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.[答案] 32[解析] P (ξ＝0)＝C 33C 30C 63＝120，P (ξ＝1)＝C 32C 31C 63＝920，P (ξ＝2)＝C 31C 32C 63＝920，P (ξ＝3)＝C 30C 33C 63＝120，∴E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.三、解答题15．(2020·温州十校)一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分．(1)若从袋子里一次取出3个球，求得4分的概率；(2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求所得分数ξ的分布列及数学期望．[解析] (1)从袋子里一次取出3个球，得4分的概率为P ＝C 32C 21C 53＝35.(2)依题意，ξ的可能取值为2,3,4.P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，P (ξ＝3)＝C 21×35×25＝1225，P (ξ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425，故ξ的分布列为故ξ的数学期望E (ξ)＝2×25＋3×25＋4×25＝5.[点评] 取球问题是随机变量的常见题型，要注意球有无颜色限制，摸球的方法，终止摸球的条件，记分方法等等附加了哪些限制条件，请再练习下列两题：1°口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则换成对方进行下一次摸球；②每一次摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球．求在前三次的摸球中：(1)乙恰好摸到一次红球的概率； (2)甲至少摸到一次红球的概率；(3)甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望．[解析] 记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则P (A )＝P (B )＝44＋8＝13，P (A －)＝P (B －)＝23，且事件A ，B 相互独立． (1)在前三次摸球中，乙恰好摸到一次红球的概率为P ′＝P (A A －B )＋P (A －B B －)＝13×23×13＋23×13×23＝29. (2)因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为P 1＝P (A －·B )＋P (A －·B －·A －)＝23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1427， 所以甲至少摸到一次红球的概率为P 2＝1－P 1＝1－1427＝1327.(3)根据题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝P (A －·B )＝P (A －·B －·A －)＝23×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1427， P (ξ＝1)＝P (A ·A －)＝P (A －·B －·A )＝13×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1027，P (ξ＝2)＝P (A ·A ·A －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝227，P (ξ＝3)＝P (A ·A ·A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×27＋1×27＋2×27＋3×27＝27.2°袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13.(1)求m ，n 的值；(2)从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ，则P (B |A )＝m 9＝13， ∴m ＝3，n ＝10－3－1＝6. (2)ξ的可能的取值为3,4,5,6.P (ξ＝3)＝1·C 31C 102＝115，P (ξ＝4)＝1·C 61＋C 32C 102＝15， P (ξ＝5)＝C 31C 61C 102＝25，P (ξ＝6)＝C 62C 102＝13.ξ的分布列为E (ξ)＝3×115＋4×15＋5×5＋6×3＝5.16．(2020·广东理，17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．(3)从该流水线上任取5件产品、求恰有2件产品的重量超过505克的概率． [解析] (1)重量超过505克的产品数量是 40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件． (2)Y 的分布列为Y 0 1 2 PC 282C 402 C 281C 121C 402 C 122C 402 (3)从流水线上取5 C 283C 122C 405＝28×27×263×2×1×12×112×140×39×38×37×365×4×3×2×1＝21×1137×19＝231703. 17．一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校有5个交通岗，假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个岗遇到红灯的概率为p ，其余3个交通岗遇到红灯的概率均为12.(1)若p ＝23，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；(2)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过518，求p 的取值范围．[解析] (1)记“该学生在第i 个交通岗遇到红灯”为事件A i (i ＝1,2，…，5)， 则P (A －1A －2A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝112.即该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为112.(2)“该学生至多遇到一次红灯”指“没有遇到红灯(记为A )或恰好遇到一次红灯(记为B )”，P (A )＝(1－p )2·⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18(1－p )2，P (B )＝(1－p )2·C 31⎝⎛⎭⎪⎫1－122×12＋C 21p (1－p )×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝38(1－p )2＋14p (1－p )．由18(1－p )2＋38(1－p )2＋14p (1－p )≤518得， 13≤p ≤83，又0≤p ≤1，且p ＝1时，首末两个交通岗都必遇到红灯，不合题意，所以p 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.。